韦达定理习题

一元二次方程根与系数的关系习题

1、如果方程ax2bxc0(a0)的两根是x1、x2，那么x1x2，

x1x2

2、已知x1、x2是方程2x23x40的两个根，那么：x1x2x1x21x1

1x2



；x12x22(x11)(x21)；|x1x2|

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

4、如果关于x的一元二次方程x22xa0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a的值为 。

5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么。

6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则

a

10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1x2=－2，则m= ，x1x2

11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为为 。

12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二

次方程为 。(其中二次项系数为1)

14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β；。

16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=

17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且m= 。

1x1

1x2



34

139

，那么常数项应改

，则

18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m= 。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。

21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是 。

22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。

23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

24、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

(1)x

2

3x50,(2)x26

2

30

25、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）x13x2x1x23 （2）

1x

21



1x

22

（3）(x12x22)2 （4）x1x2 （5）

x2

2

x1



x1

2

x2

（6）x15x22x12x25

26、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。

27、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

28、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。

29、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式|x1x2|1，求m的值及两个根。

30、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足

(1)(1)1

9100

，求m的值。

31、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值： (1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零； (4)有一根为1； (5)两根的平方和为

164

。

32、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

33、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。

34、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和

等于29，求b、c的值。

35、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。

36、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。

37、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。

38、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

39、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方

程y2+5my+7=0的两个实数根，且xy=2,xy=2，求m、n的值。

1

1

2

2

40、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－

m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。

41、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根

的倒数和，求m的值。

42、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。

(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值； (2)若α2+β2=6时，求m的值。

43、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。

44、关于x的方程x22mx

14

n

2

=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底

边长。

(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；

(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

45、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。

46、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

47、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，

那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?

48、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。

49、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。

50、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x1－4)(x2－4)； (2)x13x24+x14x23； (3)x1



11

x23x； 3x21

51、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。

(4)x13+x23。

52、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7， 求m和n的值。

53、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。

54、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个

一元二次方程 ，使它的两个根分别是：

(1)a+1.b+1 (2)

55、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为

角形斜边的长 。

56、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?

57、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(2x13)(2x23)；

33(2)x1x2x1x2。

722b2a,ab cm2，求这个直角三

58、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。

11159、已知m2+m－4=0，240，m，n为实数，且m，则nnn

m1

n

60、.设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x12+2)(x22+2)；

(2)(2x1+1)(2x2+1)；

(3)(x1－x2)2。

61、.已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。

62、已知方程x2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。

63、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：

2b2=9ac。

64、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。

65、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总

有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?

66、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两

个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?

67、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

68、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式=25，求a，b 的值。

69、已知一元二次方程8y2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为

零?(2)m为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。

70、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大

于－2，另一个 根小于－2?

71、已知x，x是一元二次方程x2+mxn=0的两个实数根，且12

x1x2(x1x2)2223，2x2

12x225，求m和n的值。

一元二次方程根与系数的关系习题

1、如果方程ax2bxc0(a0)的两根是x1、x2，那么x1x2，

x1x2

2、已知x1、x2是方程2x23x40的两个根，那么：x1x2x1x21x1

1x2



；x12x22(x11)(x21)；|x1x2|

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

4、如果关于x的一元二次方程x22xa0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a的值为 。

5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么。

6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则

a

10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1x2=－2，则m= ，x1x2

11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为为 。

12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二

次方程为 。(其中二次项系数为1)

14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β；。

16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=

17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且m= 。

1x1

1x2



34

139

，那么常数项应改

，则

18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m= 。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。

21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是 。

22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。

23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

24、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

(1)x

2

3x50,(2)x26

2

30

25、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）x13x2x1x23 （2）

1x

21



1x

22

（3）(x12x22)2 （4）x1x2 （5）

x2

2

x1



x1

2

x2

（6）x15x22x12x25

26、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。

27、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

28、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。

29、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式|x1x2|1，求m的值及两个根。

30、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足

(1)(1)1

9100

，求m的值。

31、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值： (1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零； (4)有一根为1； (5)两根的平方和为

164

。

32、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

33、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。

34、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和

等于29，求b、c的值。

35、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。

36、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。

37、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。

38、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

39、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方

程y2+5my+7=0的两个实数根，且xy=2,xy=2，求m、n的值。

1

1

2

2

40、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－

m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。

41、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根

的倒数和，求m的值。

42、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。

(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值； (2)若α2+β2=6时，求m的值。

43、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。

44、关于x的方程x22mx

14

n

2

=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底

边长。

(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；

(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

45、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。

46、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

47、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，

那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?

48、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。

49、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。

50、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x1－4)(x2－4)； (2)x13x24+x14x23； (3)x1



11

x23x； 3x21

51、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。

(4)x13+x23。

52、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7， 求m和n的值。

53、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。

54、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个

一元二次方程 ，使它的两个根分别是：

(1)a+1.b+1 (2)

55、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为

角形斜边的长 。

56、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?

57、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(2x13)(2x23)；

33(2)x1x2x1x2。

722b2a,ab cm2，求这个直角三

58、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。

11159、已知m2+m－4=0，240，m，n为实数，且m，则nnn

m1

n

60、.设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x12+2)(x22+2)；

(2)(2x1+1)(2x2+1)；

(3)(x1－x2)2。

61、.已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。

62、已知方程x2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。

63、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：

2b2=9ac。

64、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。

65、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总

有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?

66、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两

个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?

67、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

68、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式=25，求a，b 的值。

69、已知一元二次方程8y2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为

零?(2)m为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。

70、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大

于－2，另一个 根小于－2?

71、已知x，x是一元二次方程x2+mxn=0的两个实数根，且12

x1x2(x1x2)2223，2x2

12x225，求m和n的值。