(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,3,4},则下列结论中正确的是( ) A .A ⊆B C .A ∪B ={1,2,3,4,5}
B .A ∩B ={2} D .A ∩(∁U B ) ={1}
解析:选D A 显然错误;A ∩B ={2,3},B 错;A ∪B ={1,2,3,4},C 错,故选D. 2.已知集合A ={x |y =1-x ,x ∈Z},B ={y |y =x 2+1,x ∈A },则A ∩B 为( ) A .∅ C .[0,+∞)
B .{1} D .{(0,1)}
解析:选B 由1-x 2≥0得,-1≤x ≤1, ∵x ∈Z ,∴A ={-1,0,1}.
当x ∈A 时,y =x 2+1∈{2,1},即B ={1,2}, ∴A ∩B ={1}.
x 1⎧⎪2e ,x <2,
3.设f (x ) =⎨则f (f (2))=( ) x
⎪log 3(2-1),x ≥2,⎩
-
A .0 C .2
解析:选C ∵f (2)=log 3(22-1) =1. ∴f (f (2))=f (1)=2e 11=2.
-
B .1 D .3
4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞) 上单调递减的函数是( ) A .y =x 2
-
B .y =x 1
-
C .y =x 2-2 解析:选A ∵y =x
-1
D .y =log 1x
2
是奇函数,y =log 1x 不具有奇偶性,故排除B 、D ,又函数y =
2
x 2-2在区间(0,+∞) 上是单调递增函数,故排除C ,只有选项A 符合题意.
5.函数y =log 2|1-x |的图像是(
)
解析:选D 函数y =log 2|1-x |可由下列变换得到: y =log 2x →y =log 2|x |→y =log 2|x -1|→y =log 2|1-x |.故选D.
2⎫⎛1
6.已知幂函数y =f (x ) 的图象过点,
⎝22⎭,则log 2f (2)的值为( ) 1A. 2C .2
α
1B
2D .-2
1
21α1112
解析:选A 设f (x ) =x ,则=⎛,∴α=f (2)=2log f (2)=log 2=22
2⎝22221
7.函数f (x ) =lg x -x ( ) A .(0,1) C .(10,100)
B .(1,10) D .(100,+∞)
191
解析:选B ∵f (1)=-1<0,f (10)=1->0,f (100)=2-0,
1010100
1
∴f (1)·f (10)<0,由函数零点存在性定理知,函数f (x ) =lg x -x 的零点所在的区间为(1,10).
8.已知a =0.32,b =log 20.3,c =20.3,则a ,b ,c 之间的大小关系是( ) A .a <c <b C .b <c <a
解析:选D ∵a =0.32∈(0,1), b =log 20.3<0,c =20.3>1. ∴c >a >b .
9.如右图,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定) ,注满烧杯后,继
续注水,直至注满水槽,水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )
B .a <b <c D .b <a <c
解析:选B 开始一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后,水槽中水面上升先快后慢.故选B.
1+x 210.已知函数f (x ) =,则有( )
1-x 1A .f (x ) 是奇函数,且f ⎛⎝x =-f (x ) 1B .f (x ) 是奇函数,且f x =f (x ) 1C .f (x ) 是偶函数,且f ⎛⎝x =-f (x )
1D .f (x ) 是偶函数,且f ⎛⎝x =f (x ) 解析:选C ∵f (-x ) =f (x ) , ∴f (x ) 是偶函数,排除A 、B. 1又f x =
1+x 2
==-f (x ) ,故选C. 1⎫2x -11-x ⎭1⎫21+⎛⎝x ⎭
11.已知函数f (x ) =m +log 2x 2的定义域是[1,2],且f (x ) ≤4,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,2] C .[2,+∞)
B .(-∞,2) D .(2,+∞)
解析:选A 因为f (x ) =m +2log 2x 在[1,2]是增函数,且由f (x ) ≤4,得f (2)=m +2≤4,得m ≤2.
|lg x |,0
12.已知函数f (x ) =⎨1若a ,b ,c 互不相等,且f (a ) =f (b ) =f (c ) ,则
-x +6,x >10,⎪⎩2abc 的取值范围是( )
A .(1,10) C .(10,12)
解析:选C 作出f (x ) 的大致图象.
B .(5,6) D .(20,24)
1
由图象知,要使f (a ) =f (b ) =f (c ) ,不妨设a
2于是lg a +lg b =0. 故ab =1. 因而abc =c .
由图知10
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设U =R ,已知集合A ={x |x >1},B ={x |x >a },且(∁U A ) ∪B =R ,则实数a 的取值范围是________.
解析:∵A ={x |x >1}, ∴∁U A ={x |x ≤1}.
由B ={x |x >a },(∁U A ) ∪B =R 可知a ≤1. 答案:(-∞,1]
414.-lg 83+lg 75=________.
7
2
12111
解析:原式=lg 4+-lg 7-lg 8+lg 7lg 5=2lg 2++lg 5)-2lg 2=.
232221
答案:
2
x ⎧⎪2+1,x <1,
15.已知函数f (x ) =⎨2若f (f (0))=4a ,则实数a 等于________.
⎪x +ax ,x ≥1,⎩
解析:∵0<1,∴f (0)=20+1=2. ∵2>1,∴f (2)=4+2a , ∴f (f (0))=f (2)=4+2a =4a , ∴a =2. 答案:2
16.已知函数f (x ) =lg(2x -b )(b 为常数) ,若x ∈[1,+∞) 时,f (x ) ≥0恒成立,则b 的取值范围是________.
解析:∵要使f (x ) =lg(2x -b ) 在x ∈[1,+∞) 上,恒有f (x ) ≥0,∴有2x -b ≥1在x ∈[1,+∞) 上恒成立,即2x ≥b +1恒成立.又∵指数函数g (x ) =2x 在定义域上是增函数.∴只要2≥b +1成立即可,解得b ≤1.
答案:(-∞,1]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分) 已知集合A ={x |2<2x <8},B ={x |a ≤x ≤a +3}. (1)当a =2时,求A ∩B ;
(2)若B ⊆∁R A ,求实数a 的取值范围.
解:(1)当a =2时,A ={x |2<2x <8}=(1,3),B ={x |a ≤x ≤a +3}=[2,5],故A ∩B =[2,3). (2)∁R A =(-∞,1]∪[3,+∞) . 故由B ⊆∁R A 知,a +3≤1或a ≥3,
故实数a 的取值范围为(-∞,-2]∪[3,+∞) .
18.(本小题满分12分) 已知f (x ) =log a x (a >0且a ≠1) 的图象过点(4,2). (1)求a 的值;
(2)若g (x ) =f (1-x ) +f (1+x ) ,求g (x ) 的解析式及定义域; (3)在(2)的条件下,求g (x ) 的单调减区间.
解:(1)由已知f (x ) =log a x (a >0且a ≠1) 的图象过点(4,2), 则2=log a 4,即a 2=4, 又a >0且a ≠1,所以a =2. (2)g (x ) =f (1-x ) +f (1+x ) =log 2(1-x ) +log 2(1+x ) .
⎧⎪1-x >0,由⎨得-1<x <1,定义域为(-1,1) . ⎪1+x >0,⎩
(3)g (x ) =log 2(1-x ) +log 2(1+x ) =log 2(1-x 2) ,其单调减区间为[0,1).
19.(本小题满分12分) 已知a ,b 为常数,且a ≠0,f (x ) =ax 2+bx ,f (2)=0,方程f (x ) =x 有两个相等实根.
(1)求函数f (x ) 的解析式; (2)若x ∈[1,2]时,求f (x ) 的值域;
(3)若F (x ) =f (x ) -f (-x ) ,试判断F (x ) 的奇偶性,并证明你的结论. 解:(1)由f (2)=0,得4a +2b =0,即 2a +b =0. ①
方程f (x ) =x ,即ax 2+bx =x ,
即ax 2+(b -1) x =0(a ≠0) 有两个相等实根, ∴(b -1) 2=0,
1∴b =1,代入①得a =-21
∴f (x ) =-x 2+x .
2
11
(2)由(1)知f (x ) =-x -1) 2+.
22显然函数f (x ) 在[1,2]上是减函数,
1
∴x =1时,f (x ) max =x =2时,f (x ) min =0.
210. ∴x ∈[1,2]时,函数f (x ) 的值域是⎡⎣2(3)F (x ) 是奇函数.
证明如下:F (x ) =f (x ) -f (-x ) -2+x ⎫-⎡--x )2+(-x )⎤ =⎛⎝2⎭⎣2⎦=2x ,
∵F (-x ) =2(-x ) =-2x =-F (x ) , ∴F (x ) 是奇函数.
20.(本小题满分12分) 某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品进价为3元/件,并规定其销售单价不低于商品进价,且不高于12元,该商品日均销售量y (件) 与销售单价x (元) 的关系如图所示.
(1)试求y 关于x 的函数解析式;
(2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大?
解:(1)设日均销售y 与销售单价x (元) 的函数关系为:y =kx +b (k ≠0) ,把(3,600),(5,500)
⎧⎪3k +b =600,代入上式,得⎨
⎪5k +b =500,⎩
解得k =-50,b =750,
∴日均销售量y 与销售单价x (元) 的函数关系为y =-50x +750,3≤x ≤12. (2)设销售单价为x 元,日均获利W 元,根据题意得, W =(x -3)(-50x +750) -300=-50(x -9) 2+1 500, ∵a =-50<0,且3<9<12,
∴当x =9时,W 有最大值,最大值为1 500元.
21.(本小题满分12分) 已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x ) =2x -1. (1)求f (3)+f (-1) ; (2)求f (x ) 的解析式;
(3)若x ∈A ,f (x ) ∈[-7,3],求区间A . 解:(1)∵f (x ) 是奇函数,
∴f (3)+f (-1) =f (3)-f (1)=23-1-2+1=6. (2)设x <0,则-x >0, ∴f (-x ) =2x -1,
-
∵f (x ) 为奇函数,
∴f (x ) =-f (-x ) =-2x +1,
-
x ⎧⎪2-1,x ≥0,
∴f (x ) =⎨-x
⎪-2+1,x <0. ⎩
(3)作出函数f (x ) 的图象,如图所示. 根据函数图象可得f (x ) 在R 上单调递增, 当x <0时,-7≤-2x +1<0,
-
解得-3≤x <0;
当x ≥0时,0≤2x -1≤3, 解得0≤x ≤2; ∴区间A 为[-3,2].
22.(本小题满分12分) 对于函数f (x ) =a -(1)探索函数y =f (x ) 的单调性;
(2)求实数a 的值,使函数y =f (x ) 为奇函数;
(3)在(2)的条件下,令b =2,求使f (x ) =m (x ∈[0,1]) 有解的实数m 的取值范围. 22
解:(1)函数f (x ) 的定义域为R ,设x 1<x 2,则f (x 1) -f (x 2) =⎛a -bx +1-⎛a -bx +1=
⎝⎭⎝⎭12
2(bx 1-bx 2)
(bx 1+1)(bx 2+1)
当b >1时,由x 1<x 2, 得bx 1<bx 2,从而bx 1-bx 2<0, 于是f (x 1) -f (x 2) <0, 所以f (x 1) <f (x 2) ,
此时函数f (x ) 在R 上是单调增函数; 当0<b <1时,由x 1<x 2, 得bx 1>bx 2,从而bx 1-bx 2>0, 于是f (x 1) -f (x 2) >0,所以f (x 1) >f (x 2) , 此时函数f (x ) 在R 上是单调减函数. (2)函数f (x ) 的定义域为R ,由f (0)=0得a =1. 当a =1时,
b x -12
f (x ) =1-=
b +1b +1
b x -11-b x 2
f (-x ) =1-=-b +1b +11+b -
a ∈R ,b >0,且b ≠1) . b +1
满足条件f (-x ) =-f (x ) , 故a =1时,函数f (x ) 为奇函数. 2
(3)f (x ) =1-,
2+1∵x ∈[0,1],
∴2x ∈[1,2],2x +1∈[2,3], 2
,1⎤, ∈⎡⎦2+1⎣3
10,, ∴f (x ) ∈⎡⎣3要使f (x ) =m (x ∈[0,1]) 有解,
11
0,⎤. 则0≤m ≤,即实数m 的取值范围为⎡⎣3⎦3
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,3,4},则下列结论中正确的是( ) A .A ⊆B C .A ∪B ={1,2,3,4,5}
B .A ∩B ={2} D .A ∩(∁U B ) ={1}
解析:选D A 显然错误;A ∩B ={2,3},B 错;A ∪B ={1,2,3,4},C 错,故选D. 2.已知集合A ={x |y =1-x ,x ∈Z},B ={y |y =x 2+1,x ∈A },则A ∩B 为( ) A .∅ C .[0,+∞)
B .{1} D .{(0,1)}
解析:选B 由1-x 2≥0得,-1≤x ≤1, ∵x ∈Z ,∴A ={-1,0,1}.
当x ∈A 时,y =x 2+1∈{2,1},即B ={1,2}, ∴A ∩B ={1}.
x 1⎧⎪2e ,x <2,
3.设f (x ) =⎨则f (f (2))=( ) x
⎪log 3(2-1),x ≥2,⎩
-
A .0 C .2
解析:选C ∵f (2)=log 3(22-1) =1. ∴f (f (2))=f (1)=2e 11=2.
-
B .1 D .3
4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞) 上单调递减的函数是( ) A .y =x 2
-
B .y =x 1
-
C .y =x 2-2 解析:选A ∵y =x
-1
D .y =log 1x
2
是奇函数,y =log 1x 不具有奇偶性,故排除B 、D ,又函数y =
2
x 2-2在区间(0,+∞) 上是单调递增函数,故排除C ,只有选项A 符合题意.
5.函数y =log 2|1-x |的图像是(
)
解析:选D 函数y =log 2|1-x |可由下列变换得到: y =log 2x →y =log 2|x |→y =log 2|x -1|→y =log 2|1-x |.故选D.
2⎫⎛1
6.已知幂函数y =f (x ) 的图象过点,
⎝22⎭,则log 2f (2)的值为( ) 1A. 2C .2
α
1B
2D .-2
1
21α1112
解析:选A 设f (x ) =x ,则=⎛,∴α=f (2)=2log f (2)=log 2=22
2⎝22221
7.函数f (x ) =lg x -x ( ) A .(0,1) C .(10,100)
B .(1,10) D .(100,+∞)
191
解析:选B ∵f (1)=-1<0,f (10)=1->0,f (100)=2-0,
1010100
1
∴f (1)·f (10)<0,由函数零点存在性定理知,函数f (x ) =lg x -x 的零点所在的区间为(1,10).
8.已知a =0.32,b =log 20.3,c =20.3,则a ,b ,c 之间的大小关系是( ) A .a <c <b C .b <c <a
解析:选D ∵a =0.32∈(0,1), b =log 20.3<0,c =20.3>1. ∴c >a >b .
9.如右图,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定) ,注满烧杯后,继
续注水,直至注满水槽,水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )
B .a <b <c D .b <a <c
解析:选B 开始一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后,水槽中水面上升先快后慢.故选B.
1+x 210.已知函数f (x ) =,则有( )
1-x 1A .f (x ) 是奇函数,且f ⎛⎝x =-f (x ) 1B .f (x ) 是奇函数,且f x =f (x ) 1C .f (x ) 是偶函数,且f ⎛⎝x =-f (x )
1D .f (x ) 是偶函数,且f ⎛⎝x =f (x ) 解析:选C ∵f (-x ) =f (x ) , ∴f (x ) 是偶函数,排除A 、B. 1又f x =
1+x 2
==-f (x ) ,故选C. 1⎫2x -11-x ⎭1⎫21+⎛⎝x ⎭
11.已知函数f (x ) =m +log 2x 2的定义域是[1,2],且f (x ) ≤4,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,2] C .[2,+∞)
B .(-∞,2) D .(2,+∞)
解析:选A 因为f (x ) =m +2log 2x 在[1,2]是增函数,且由f (x ) ≤4,得f (2)=m +2≤4,得m ≤2.
|lg x |,0
12.已知函数f (x ) =⎨1若a ,b ,c 互不相等,且f (a ) =f (b ) =f (c ) ,则
-x +6,x >10,⎪⎩2abc 的取值范围是( )
A .(1,10) C .(10,12)
解析:选C 作出f (x ) 的大致图象.
B .(5,6) D .(20,24)
1
由图象知,要使f (a ) =f (b ) =f (c ) ,不妨设a
2于是lg a +lg b =0. 故ab =1. 因而abc =c .
由图知10
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设U =R ,已知集合A ={x |x >1},B ={x |x >a },且(∁U A ) ∪B =R ,则实数a 的取值范围是________.
解析:∵A ={x |x >1}, ∴∁U A ={x |x ≤1}.
由B ={x |x >a },(∁U A ) ∪B =R 可知a ≤1. 答案:(-∞,1]
414.-lg 83+lg 75=________.
7
2
12111
解析:原式=lg 4+-lg 7-lg 8+lg 7lg 5=2lg 2++lg 5)-2lg 2=.
232221
答案:
2
x ⎧⎪2+1,x <1,
15.已知函数f (x ) =⎨2若f (f (0))=4a ,则实数a 等于________.
⎪x +ax ,x ≥1,⎩
解析:∵0<1,∴f (0)=20+1=2. ∵2>1,∴f (2)=4+2a , ∴f (f (0))=f (2)=4+2a =4a , ∴a =2. 答案:2
16.已知函数f (x ) =lg(2x -b )(b 为常数) ,若x ∈[1,+∞) 时,f (x ) ≥0恒成立,则b 的取值范围是________.
解析:∵要使f (x ) =lg(2x -b ) 在x ∈[1,+∞) 上,恒有f (x ) ≥0,∴有2x -b ≥1在x ∈[1,+∞) 上恒成立,即2x ≥b +1恒成立.又∵指数函数g (x ) =2x 在定义域上是增函数.∴只要2≥b +1成立即可,解得b ≤1.
答案:(-∞,1]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分) 已知集合A ={x |2<2x <8},B ={x |a ≤x ≤a +3}. (1)当a =2时,求A ∩B ;
(2)若B ⊆∁R A ,求实数a 的取值范围.
解:(1)当a =2时,A ={x |2<2x <8}=(1,3),B ={x |a ≤x ≤a +3}=[2,5],故A ∩B =[2,3). (2)∁R A =(-∞,1]∪[3,+∞) . 故由B ⊆∁R A 知,a +3≤1或a ≥3,
故实数a 的取值范围为(-∞,-2]∪[3,+∞) .
18.(本小题满分12分) 已知f (x ) =log a x (a >0且a ≠1) 的图象过点(4,2). (1)求a 的值;
(2)若g (x ) =f (1-x ) +f (1+x ) ,求g (x ) 的解析式及定义域; (3)在(2)的条件下,求g (x ) 的单调减区间.
解:(1)由已知f (x ) =log a x (a >0且a ≠1) 的图象过点(4,2), 则2=log a 4,即a 2=4, 又a >0且a ≠1,所以a =2. (2)g (x ) =f (1-x ) +f (1+x ) =log 2(1-x ) +log 2(1+x ) .
⎧⎪1-x >0,由⎨得-1<x <1,定义域为(-1,1) . ⎪1+x >0,⎩
(3)g (x ) =log 2(1-x ) +log 2(1+x ) =log 2(1-x 2) ,其单调减区间为[0,1).
19.(本小题满分12分) 已知a ,b 为常数,且a ≠0,f (x ) =ax 2+bx ,f (2)=0,方程f (x ) =x 有两个相等实根.
(1)求函数f (x ) 的解析式; (2)若x ∈[1,2]时,求f (x ) 的值域;
(3)若F (x ) =f (x ) -f (-x ) ,试判断F (x ) 的奇偶性,并证明你的结论. 解:(1)由f (2)=0,得4a +2b =0,即 2a +b =0. ①
方程f (x ) =x ,即ax 2+bx =x ,
即ax 2+(b -1) x =0(a ≠0) 有两个相等实根, ∴(b -1) 2=0,
1∴b =1,代入①得a =-21
∴f (x ) =-x 2+x .
2
11
(2)由(1)知f (x ) =-x -1) 2+.
22显然函数f (x ) 在[1,2]上是减函数,
1
∴x =1时,f (x ) max =x =2时,f (x ) min =0.
210. ∴x ∈[1,2]时,函数f (x ) 的值域是⎡⎣2(3)F (x ) 是奇函数.
证明如下:F (x ) =f (x ) -f (-x ) -2+x ⎫-⎡--x )2+(-x )⎤ =⎛⎝2⎭⎣2⎦=2x ,
∵F (-x ) =2(-x ) =-2x =-F (x ) , ∴F (x ) 是奇函数.
20.(本小题满分12分) 某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品进价为3元/件,并规定其销售单价不低于商品进价,且不高于12元,该商品日均销售量y (件) 与销售单价x (元) 的关系如图所示.
(1)试求y 关于x 的函数解析式;
(2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大?
解:(1)设日均销售y 与销售单价x (元) 的函数关系为:y =kx +b (k ≠0) ,把(3,600),(5,500)
⎧⎪3k +b =600,代入上式,得⎨
⎪5k +b =500,⎩
解得k =-50,b =750,
∴日均销售量y 与销售单价x (元) 的函数关系为y =-50x +750,3≤x ≤12. (2)设销售单价为x 元,日均获利W 元,根据题意得, W =(x -3)(-50x +750) -300=-50(x -9) 2+1 500, ∵a =-50<0,且3<9<12,
∴当x =9时,W 有最大值,最大值为1 500元.
21.(本小题满分12分) 已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x ) =2x -1. (1)求f (3)+f (-1) ; (2)求f (x ) 的解析式;
(3)若x ∈A ,f (x ) ∈[-7,3],求区间A . 解:(1)∵f (x ) 是奇函数,
∴f (3)+f (-1) =f (3)-f (1)=23-1-2+1=6. (2)设x <0,则-x >0, ∴f (-x ) =2x -1,
-
∵f (x ) 为奇函数,
∴f (x ) =-f (-x ) =-2x +1,
-
x ⎧⎪2-1,x ≥0,
∴f (x ) =⎨-x
⎪-2+1,x <0. ⎩
(3)作出函数f (x ) 的图象,如图所示. 根据函数图象可得f (x ) 在R 上单调递增, 当x <0时,-7≤-2x +1<0,
-
解得-3≤x <0;
当x ≥0时,0≤2x -1≤3, 解得0≤x ≤2; ∴区间A 为[-3,2].
22.(本小题满分12分) 对于函数f (x ) =a -(1)探索函数y =f (x ) 的单调性;
(2)求实数a 的值,使函数y =f (x ) 为奇函数;
(3)在(2)的条件下,令b =2,求使f (x ) =m (x ∈[0,1]) 有解的实数m 的取值范围. 22
解:(1)函数f (x ) 的定义域为R ,设x 1<x 2,则f (x 1) -f (x 2) =⎛a -bx +1-⎛a -bx +1=
⎝⎭⎝⎭12
2(bx 1-bx 2)
(bx 1+1)(bx 2+1)
当b >1时,由x 1<x 2, 得bx 1<bx 2,从而bx 1-bx 2<0, 于是f (x 1) -f (x 2) <0, 所以f (x 1) <f (x 2) ,
此时函数f (x ) 在R 上是单调增函数; 当0<b <1时,由x 1<x 2, 得bx 1>bx 2,从而bx 1-bx 2>0, 于是f (x 1) -f (x 2) >0,所以f (x 1) >f (x 2) , 此时函数f (x ) 在R 上是单调减函数. (2)函数f (x ) 的定义域为R ,由f (0)=0得a =1. 当a =1时,
b x -12
f (x ) =1-=
b +1b +1
b x -11-b x 2
f (-x ) =1-=-b +1b +11+b -
a ∈R ,b >0,且b ≠1) . b +1
满足条件f (-x ) =-f (x ) , 故a =1时,函数f (x ) 为奇函数. 2
(3)f (x ) =1-,
2+1∵x ∈[0,1],
∴2x ∈[1,2],2x +1∈[2,3], 2
,1⎤, ∈⎡⎦2+1⎣3
10,, ∴f (x ) ∈⎡⎣3要使f (x ) =m (x ∈[0,1]) 有解,
11
0,⎤. 则0≤m ≤,即实数m 的取值范围为⎡⎣3⎦3