如何做一个最大的无盖长方体盒子？
研究问题：寒假时，学校布置给我们一个数学探究作业：用一张A4纸制作一
个最大的无盖长方体盒子。
研究方法：我通过测量，A4纸的长宽分别约是29和21。我发现最简单的是
截取4个角上的4个正方形。那个正方形的边长是做好后长方体的高。我于是得到了以下几个关系式：
设做好后长方体长为a，宽为b，高为c： 则a+2c=29,且b+2c=21， ∴a-b=8，b=21-2c
开学后，老师又用了一节课的时间，让我们来探索：如果给的纸是13cm*19cm，那么制作最大的无盖长方体盒子的最大体积又是多少呢？
设的长为a，宽为b，高为c，
已知b+2c=29，a+2c=21→b=29-2c，a=21-21 S（做好长方体）=abc ∴S=a·b·c=（21-2c）（29-2c）·c
=（609-100c+4c²）·c =609c-100 c²+4c³
也就是说，做好长方体的体积只与C和S有关。
这样，一道几何问题变成了一道代数题：求C为多少时，S最大。 下图是我找到的S与C之间的关系：
研究结论：从图中可知，当高为2.5cm，体积最大为280cm³
拓展：我从中探索到规律：用体积最大时的长除以长和宽的和，商总是稳定在
0.4左右，难道，这是一个规律么？
我于是选择了另外一种长方形纸。它的长宽相等。假定它的边长为20cm：设的长为a，宽为b，高为c，
已知b+2c=29，a+2c=21→b=29-2c，a=21-21 S（做好长方体）=abc ∴S=a·b·c=（20-2c）（20-2c）·c
=（400-80c+4c²）·c =400c-80c²+4c³
由图知，当边长为13cm、高为3.5cm时，体积最大。而这时，得到的是0.65。
当长和宽为相差比较大时，又会是什么情况呢？
我选了长和宽分别是50cm和5cm的长方形， 已知b+2c=50，a+2c=5→b=50-2c，a=5-2c S（做好长方体）=abc ∴S=a·b·c=（50-2c）（5-2c）·c
=（250-110c+4c²）·c =250c-110 c²+4c³
试验体积如下：
得到最大体积的长方体的长为48cm，宽为3cm，高为1cm，这时，得到的约是0.87。（图见下页）
拓展规律：综上，三种情况，用体积最大时的长除以长和宽的和，得到的分
别是0.4、0.65、0.87。
变形一下，如果给你一个长方形纸，做一个最大的长方体盒子，分三种情况：
1、
2、 3、
如果长等于宽，用长的2倍乘以0.65，得到的就是制作好的长方体的长；
如果长和宽接近，把长加上宽再乘以0.4，得到的就是制作好的长方体的长；
如果长和宽相差很多，把长加上宽再乘以0.87，得到的就是制作好的长方体的长。
如何做一个最大的无盖长方体盒子？
研究问题：寒假时，学校布置给我们一个数学探究作业：用一张A4纸制作一
个最大的无盖长方体盒子。
研究方法：我通过测量，A4纸的长宽分别约是29和21。我发现最简单的是
截取4个角上的4个正方形。那个正方形的边长是做好后长方体的高。我于是得到了以下几个关系式：
设做好后长方体长为a，宽为b，高为c： 则a+2c=29,且b+2c=21， ∴a-b=8，b=21-2c
开学后，老师又用了一节课的时间，让我们来探索：如果给的纸是13cm*19cm，那么制作最大的无盖长方体盒子的最大体积又是多少呢？
设的长为a，宽为b，高为c，
已知b+2c=29，a+2c=21→b=29-2c，a=21-21 S（做好长方体）=abc ∴S=a·b·c=（21-2c）（29-2c）·c
=（609-100c+4c²）·c =609c-100 c²+4c³
也就是说，做好长方体的体积只与C和S有关。
这样，一道几何问题变成了一道代数题：求C为多少时，S最大。 下图是我找到的S与C之间的关系：
研究结论：从图中可知，当高为2.5cm，体积最大为280cm³
拓展：我从中探索到规律：用体积最大时的长除以长和宽的和，商总是稳定在
0.4左右，难道，这是一个规律么？
我于是选择了另外一种长方形纸。它的长宽相等。假定它的边长为20cm：设的长为a，宽为b，高为c，
已知b+2c=29，a+2c=21→b=29-2c，a=21-21 S（做好长方体）=abc ∴S=a·b·c=（20-2c）（20-2c）·c
=（400-80c+4c²）·c =400c-80c²+4c³
由图知，当边长为13cm、高为3.5cm时，体积最大。而这时，得到的是0.65。
当长和宽为相差比较大时，又会是什么情况呢？
我选了长和宽分别是50cm和5cm的长方形， 已知b+2c=50，a+2c=5→b=50-2c，a=5-2c S（做好长方体）=abc ∴S=a·b·c=（50-2c）（5-2c）·c
=（250-110c+4c²）·c =250c-110 c²+4c³
试验体积如下：
得到最大体积的长方体的长为48cm，宽为3cm，高为1cm，这时，得到的约是0.87。（图见下页）
拓展规律：综上，三种情况，用体积最大时的长除以长和宽的和，得到的分
别是0.4、0.65、0.87。
变形一下，如果给你一个长方形纸，做一个最大的长方体盒子，分三种情况：
1、
2、 3、
如果长等于宽，用长的2倍乘以0.65，得到的就是制作好的长方体的长；
如果长和宽接近，把长加上宽再乘以0.4，得到的就是制作好的长方体的长；
如果长和宽相差很多，把长加上宽再乘以0.87，得到的就是制作好的长方体的长。