函数的概念.图像与性质

函数的概念、图像与性质

一函数的概念与表示函数的概念:

设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的数x ，

在集合B 中都有确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作Y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做 .x 的取值范围A 叫做函数的；与x 的值相对应的y 叫做，y 的取值范围叫做函数的 . 函数的三要素：、、 1．下列图象中，不可能是函数图象的是 ( )

2．下列各组函数中表示同一函数的是 ( )

A ．y ＝x 与y ＝x B ．y ＝lne x 与y ＝e ln x (x －1)(x ＋3) 1

C ．y ＝x ＋3与y ＝ D ．y ＝x 0与y ＝

x x －1

3．函数y ＝f (x ) 的图象如图1所示．那么，f (x ) 的定义域是；值域是；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是__ __．

【提高训练】设函数f (x ) 的定义域为R ，且满足f (xy ) ＝f (x ) ＋f (y ) ． (1)求f (0)与f (1)的值； 1

(2)求证：f () ＝－f (x ) ；

(3)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 都是常数) ，求f (36)的值．

1．函数y ＝2x －x 2的图象大致是(

)

2．已知函数f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则( )

A ．b ∈(－∞，0) B ．b ∈(0,1) C ．b ∈(1,2) D ．b ∈(2，＋∞)

【变式题】如图1，当参数A

λ=λ2时，连续函数

y =

(x ≥0)

C C 1+λx 的图像分别对应曲线1和2 , 则（）

3. 将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的1/3(纵坐标不变) ，再将此图象沿x 轴方向向左平移2个单位，则与所得图象所对应的函数是( )

A ．y=f(3x+6) B.y=f(3x+2) C.y=f(x/3+2/3) D.y=f(x/3+2) 【小结】

沿x 轴向左(a ＞0) 或向右(a ＜0) 平移|a |个单位

y=f(x+a) y=f(x)

y=f(x)各点横坐标缩短(ω＞1) 或伸长(0＜ω＜1）到原来的1/ω(y 不变)

y=f(ωx)

沿y 轴向上(b ＞0) 或向下(b

＜

0) 平移|b |个单位

y=f(x+a)+b

纵坐标伸长(A＞1) 或

y=Af(ωx)

缩短(0＜A ＜1) 到原来的A 倍(x 不变)

1. 值域与最值

1．定义在R 上的函数y ＝f (x ) 的值域为[a ，b ]，则y ＝f (x ＋1) 的值域为( )

A ．[a ，b ]

B ．[a ＋1，b ＋1] D ．无法确定

C ．[a －1，b －1]

2．函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( D )

A ．[1，＋∞) C ．(－∞，2]

3．函数f (x ) ＝x －2x ＋2x －5x ＋4的最小值为_____ _____．

【提高训练】设a 为实数，函数(1)若(2)求

B ．[0,2] D ．[1,2]

f (x ) =2x 2+(x -a ) |x -a |.

f (0)≥1，求a 的取值范围；

f (x ) 的最小值.

2. 单调性

设x 1, x 2∈a , b 那么：

[]

(1)

f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2

>0⇔f (x )在[a , b ]上是______函数；

(2)(x 1-x 2)⎡⎣f (x 1)-f (x 2)⎤⎦>0⇔f (x )在[a , b ]上是______函数

(x 1-x 2)⎡⎣f (x 1)-f (x 2)⎤⎦

复合函数单调性的判定方法： “同增异减”

1⎫

1．已知偶函数f (x ) 在区间[0，＋∞) 上单调增加，则满足f (2x －1)

12⎫

A. ⎛⎝33⎭

12⎫

B. ⎡⎣33⎭ 12⎫D. ⎡⎣23⎭

12⎫

C. ⎛⎝23⎭

2．函数y ＝log a (x 2＋2x －3) ，当x ＝2时y >0，则此函数的单调递减区间是( A )

A ．(－∞，－3) C ．(－∞，－1)

1＋x 【变式题】1. 数y ＝ln ____ ______．

1－x

0，⎤_____． 2．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是_____⎡⎣2⎦

证明：函数f ( x ) =-

B ．(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)

+1在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数. x 3

【变式题】判断函数 f (x ) =

3. 奇偶性与周期性

一般地，对于函数f (x ) ，如果对于定义域中的任意一个x 的值： ①若f (x ＋T ) ＝f (x )(T ≠0) ，则f (x ) 是周期函数，T 是它的一个周期；

②若f (x ＋a ) ＝f (x ＋b )(a ≠b ) ，则f (x ) 是周期函数，|b －a |是它的一个周期； ③若f (x ＋a ) ＝－f (x )(a ≠0) ，则f (x ) 是周期函数，2a 是它的一个周期；

④若f (x ＋a ) ＝(a ≠0，且f (x ) ≠0) ，则f (x ) 是周期函数，2a 是它的一个周期；

f (x )1＋f (x )

⑤若f (x ＋a ) ＝(a ≠0且f (x ) ≠1) ，则f (x ) 是周期函数，4a 是它的一个周期．

1－f (x )1．下列函数中是偶函数的是 ( )

x x 2-1

在区间 (-1 ,1 )上的单调性.

①f (x ) ＝lg(1＋x 2) ②g (x ) ＝2－|x |

x ＋2，x

③h (x ) ＝tan2x ④s (x ) ＝⎨0，|x |≤1，

⎪⎩－x ＋2，x >1.A ．①②

2．设f (x ) 为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) ＝2x ＋2x ＋b (b 为常数) ，则f (－1) 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3

3．函数f (x ) 的定义域为R ，若f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，则( ) (A) f (x ) 是偶函数 (B) f (x ) 是奇函数 (C) f (x ) =f (x +2) (D) f (x +3) 是奇函数

B ．①④ C ．②④ D ．①②④

f (x ) =

【变式题】若

4x ＋1

4．函数f (x ) ＝的图象是( )

A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称

+a 2x -1是奇函数，则a = ．

5．设周期为4的奇函数f (x ) 的定义域为R ，且当x ∈[4,6)时，f (x ) ＝2－x 2，则f (－1) 的值为___ __．

【提高训练】设f (x ) 是周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x ) ＝f (1－x ) ，当－1≤x ≤0时，f (x ) ＝－x ，试求函数f (x ) 在区间[－1,3]上的表达式．