第二讲 加法与乘法原理
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加法原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有M 1种不．．
同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有m 1+m2+……+m n 种不同的方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重) ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N 个步骤：完成第一个步骤有m 1种方法，完成第
二个步骤有m 2种方法，…，完成第N 个步骤有m n 种方法，那么，完成这件工作
共有m 1×m 2×…×m n 种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N 个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
精典例题例1：从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？ 思路点拨
我们把坐火车看成第一类走法，有2种不同的选法；乘飞机是第二类走法，有3种不同的选法；坐轮船为第三类走法，只有1种选法。无论哪一种选法，都可以直接完成这件事。 ．．
模仿练习
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？
思路点拨
运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。
模仿练习
小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称几种不同重量的物体？（要求砝码只放在一个托盘中）
例3：用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？
思路点拨运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：
第一步：确定三位数百位上数字，有3种选法（最高位不能为0）。第二步：确定十位上数字，有3种选法。第三步：确定个位上数字，有……种选法
模仿练习
用数字2，1，0，3,9能组成多少个数字不重复的四位数？
例4：用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
思路点拨
（1）当区域A 与区域E 颜色相同时，A 有5种颜色可选；B 有
4种颜色可选；C 有3种颜色可选；D 也有3种颜色可选。根据乘法
原理，此时不同的染色方法有……
（2）当区域A 与区域E 颜色不同时，A 有5种颜色可选；E 有4种颜色可选；B 有3种颜色可选；C 有2种颜色可选；D 有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有……
模仿练习
用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不
同的颜色，每个区域染一种颜色。问：共有多少种不同的
染色方法？
铜牌练习
1. 学校图书馆有100本不同的童话书、50本不同的科技书、120本不同的连环画，小红想从中借一本书回家，她有多少种不同的选法？
2.如下图，请问：①下左图中，共有多少条不同的线段？ ②下右图中，共有多少个不同的角？
3. 如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？
4. 某校举行单循环赛，有12个队参加。问：共需要进行多少场比赛？
5. 各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
6.由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数？(各位上的数字允许重复)
银牌练习
7. 下图中共有16个方格，要把A ，B,C,D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？
8. 找出图2中从A 点出发，经过C 点和D 点到B 点的最短路线，共有多少条？
9. 如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？
金牌练习
10. 一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？
第二讲 加法与乘法原理
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加法原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有M 1种不．．
同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有m 1+m2+……+m n 种不同的方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重) ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N 个步骤：完成第一个步骤有m 1种方法，完成第
二个步骤有m 2种方法，…，完成第N 个步骤有m n 种方法，那么，完成这件工作
共有m 1×m 2×…×m n 种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N 个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
精典例题例1：从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？ 思路点拨
我们把坐火车看成第一类走法，有2种不同的选法；乘飞机是第二类走法，有3种不同的选法；坐轮船为第三类走法，只有1种选法。无论哪一种选法，都可以直接完成这件事。 ．．
模仿练习
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？
思路点拨
运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。
模仿练习
小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称几种不同重量的物体？（要求砝码只放在一个托盘中）
例3：用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？
思路点拨运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：
第一步：确定三位数百位上数字，有3种选法（最高位不能为0）。第二步：确定十位上数字，有3种选法。第三步：确定个位上数字，有……种选法
模仿练习
用数字2，1，0，3,9能组成多少个数字不重复的四位数？
例4：用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
思路点拨
（1）当区域A 与区域E 颜色相同时，A 有5种颜色可选；B 有
4种颜色可选；C 有3种颜色可选；D 也有3种颜色可选。根据乘法
原理，此时不同的染色方法有……
（2）当区域A 与区域E 颜色不同时，A 有5种颜色可选；E 有4种颜色可选；B 有3种颜色可选；C 有2种颜色可选；D 有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有……
模仿练习
用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不
同的颜色，每个区域染一种颜色。问：共有多少种不同的
染色方法？
铜牌练习
1. 学校图书馆有100本不同的童话书、50本不同的科技书、120本不同的连环画，小红想从中借一本书回家，她有多少种不同的选法？
2.如下图，请问：①下左图中，共有多少条不同的线段？ ②下右图中，共有多少个不同的角？
3. 如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？
4. 某校举行单循环赛，有12个队参加。问：共需要进行多少场比赛？
5. 各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
6.由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数？(各位上的数字允许重复)
银牌练习
7. 下图中共有16个方格，要把A ，B,C,D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？
8. 找出图2中从A 点出发，经过C 点和D 点到B 点的最短路线，共有多少条？
9. 如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？
金牌练习
10. 一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？