目 录
摘要……………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………1 Abstr act ………………………………………………………………………………1 K e y w o r d s ……………………………………………………………………………1 引言………………………………………………………………………………………………1 1变量分离法……………………………………………………………1 2 常数变易法……………………………………………………………………………………3 3 积分因子法……………………………………………………………………………………4 4 伯努利微分方程的解法………………………………………………………………………5 5 卡迪方程的解法………………………………………………………………………………7 致谢………………………………………………………………………………………………8 参考文献…………………………………………………………………………………………8
一阶微分方程的几种解法
摘要:研究若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，借助变量分离方程、线性微分方程及恰当微分方程这三种类型的方程的初等解法研究变量变换法、常数变易法及积分因子法这三种一阶微分方程的初等解法。进而将一些不能用初等解法求解的特殊方程求解。 关键词:微分方程 解法
Some methods for solving first order differential equation
Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Fengxiao
Tutor Hao Zhaocai
Abstract : In this article, we study several equations which could be solved by primary methods and their general method of solving. Using the variable separation equations, linear differential equations and appropriate equations of these three types of equations of elementary solutions of the variable transformation methods, we study constant variation method and the integral factor method of these three elementary solution of first-order differential equations. And then we solve some special equations that can not use primary method.
Key words: Differential equation; Solution
引言 对于一阶微分方程的一些常见的特殊类型, 可以用初等解法求解, 即把微分方程的求解问题化为积分问题, 其解的表达式由初等函数或超越函数表示。对这类方程的求解一般方法有三种：分离变量法, 常数变易法, 积分因子法。它们对应的对象分别是变量分离方程，线性微分方程, 恰当微分方程。对于一些特殊的方程类型是不能直接用初等解法，对于这类方程则需要适当的施行变换把它化成能使用初等解法的类型。
1 变量分离法
形如的
dy
=f (x ) ϕ(y ) 方程为变量分离方程, 其中f (x ) , ϕ(y ) 分别是x,y 的连续函数。dx
当ϕ(y ) ≠0, 上式可改写为
dy
=f (x ) d (x ) , 这样变量就分离出来, 两边积分就能求出方程ϕ(y )
的通解, 当ϕ(y ) =0可直接求通解, 这类求解方法就称为变量分离法。变量分离法的直接对象就是变量分离方程。
例1 -(xy +x 3y ) dy +(1+y 2) dx =0. 解:我们将方程恒等变换得
dy 11+y 2=⋅
dx x +x y
, （1）
对方程（1）两端实行变量分离得
两边积分得
1
y 1dy =dx , 1+y 2x +x 3
11
ln(1+y 2) =ln |x |-ln(x 2+1) +c , 22
c 为任意常数
即 ln(1+y 2) =2ln |x |-ln |x 2+1|+2c , 整理得
x 22c
(1+y ) =2e ,
x +1
2
令c =e 2c , 通解为
(1+x 2)(1+y 2) =cx 2
有些方程虽然不是变量分离方程但经过适当的变量替换可化为变量分离方程, 这类方程也可以用变量分离法求解。
例2 (y +x ) dy +(x -y ) dx =0 （x ≠0）. 解:此方程不是可分离方程, 但可经过变换μ=程整理得
dy y -x =, dx y +x
y
化为变量可分离的方程。事实上, 对此方x
y -1dy 即 =, （2）
dx +1x
y
做变量变换μ=, （3）
x 即y =μx , 于是
dy d μ=μ+x , （4） dx dx
将（3）（4）代入方程（2）, 则原方程变为
μ+x
d μμ-1
=, dx μ+1
整理得
两边积分得
ln(μ2+1) +arctan μ=-ln |x |+c ,
2
μ+1dx
d μ=-, μ2+1x
12
通解为 ln(μ2+1) +arctan μ=-ln |x |+c ,
12
c 为任意常数. 2 常数变易法
一阶线性微分方程
dy
=P (x ) y +Q (x ) , (5) dx
dy
=P (x ) y , (6) 其中P (x ) , Q (x ) 在考虑的区间上是x 的连续函数, 若Q (x ) =0, （5）变为dx
(6）称为一阶齐次线性微分方程, 若Q (x ) ≠0, （5）称为一阶非齐次线性微方程。（6）为变量分离方程, 它的通解为y =ce ⎰
P (x ) dx
, （7）
c 为任意常数。
在（7）中将常数c 变易为x 的待定函数c (x ) , 令y =c (x ) e ⎰
y =c (x ) e ⎰
P (x ) dx
P (x ) dx
解得c (x ) , 则
为（5）的通解。
这种将常数变易为待定函数的方法即为常数变易法, 常数变易法实际上也是一种变量变换的方法。
dy 1-2x
例3 +2-1=0.
dx x
解:将方程整理得
dy 2x -1
=2+1=0 , （8） dx x 首先, 求齐次线性微分方程 齐次线性微分方程的通解
y =cx e ,
其次, 用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解, 在上式中把c 看作x 的待定函数c (x ) , 即y =c (x ) x e , （9） 微分得
11
2dy dc (x ) 211
=x e x +2c (x ) xe x +c (x ) x e x (-2) ,（10） dx dx x
dy 2x -1dy 2x -1=y =dx 得 的通解, 从dx x 2y x 2
1
2x
12x
将（9）（10）代入方程（8）得
dc (x ) 21
x e x =1, dx
求得
3
1x
c (x ) =e
将所求的c (x ) 代入（9）, 即原方程的通解为
y =(e
-1x
-
+c ,
+c ) x e
1x
12x
=x (1+ce ) ,
c 为任意常数.
2
3 积分因子法
对于一阶微分方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0, （11） 其中M (x , y ) , N (x , y ) 在某矩形域内是x , y 的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 如果方程的左端恰好是某个二元函数μ(x , y ) 的全微分, 即
M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =d μ(x , y ) =
称此方程为恰当微分方程. 方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0, 即
d μ(x , y ) =0,
因此方程的通解为μ(x , y ) =c 。
如果存在连续可微的函数μ=μ(x , y ) ≠0, 使得μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0, 为一恰当微分方程, 即存在函数υ, 使μMdx +μNdy ≡d υ （12） 则称μ(x , y ) 为方程（12）的积分因子. 这时υ(x , y ) =c 是方程（12）的通解, 因而也是方程（11）的通解. 这种通过求积分因子将非恰当微分方程化为恰当微分方程, 再通过积分求出它的通解的方法就称为积分因子法。积分因子法是全微分求积途径的一种基本方法。 例4 2(3xy 2+2x 3) dx +3(2x 2y +y 2) dy =0. 解:这里M =2(3xy 2+2x 3) , N =3(2x 2y +y 2) , 这时
∂N ∂M
=12xy , =12xy , ∂x ∂y
∂μ∂μ
dx +dy , ∂x ∂y
因此方程为恰当微分方程, 由公式（12）取x 0=y 0=0, 通解
4
(x , y )
⎰
即
(0,0)
2(3xy 2+2x 3) dx +3(2x 2y +y 2) dy =c ,
3x 2y 2+x 4+y 3=c ,
c 为任意常数.
例5 ydx -(x +y 3) dy =0. 解:M =y N =-(x +y 3) ,
则 方程不是全微分方程.
∂M ∂N
-
∂y ∂x -2
=只与y 有关, 故方程有只与y 有关的积分因子
-M y
∂N ∂M
=-1, =1 , ∂x ∂y
μ=e
⎰-y dy
2
=e -2ln|y |=
1, 2y
方程两边同乘以
11x
dx -(+y ) dy =0, 得到
y 2y y 2
通解为 2x -y 3=cy , y =0.
4 伯努利微分方程的解法
dy
=P (x ) y +Q (x ) y n 的方程, 其中P (x ) , Q (x ) 为x 的连续函数, n ≠0,1是常数, dx
称为伯努方程。伯努利方程不可直接利用初等解法, 但可以变换成有初等解法的方程来求解。
dy y
=6-xy 2. 例6 dx x
解:法一, n =2方程为伯努利微分方程 将方程变型为
利形如
y -2
dx
-e ⎰x
6
dy 1
-6+x =0, dx xy
将上式两边同乘得
-2
66
dx dx dx dy ⎰61⎰⎰x x x
-y ⋅e +6e -xe =0,
dx xy
5
从而得
d (y -1e ⎰6x dx ⎰6
dx dx
) =xe x ,
即 d (y -1
e ⎰6
x dx
) =xe
⎰6
x dx
dx ,
将上式两边积分得
6
6
y -1
e ⎰x dx =⎰xe ⎰x dx
+c , x 6y -x 8
即8=c , （c 为任意常数）.
法二, 令z =y -1解得
dz dx =y -2dy dx
, 代入原方程得
dz dx =-6
x
z +x , 方程化为线性微分方程, 求得它的通解为
z =c x 2
x 6+8
,
即原方程的通解为
x 6x 8
y -8
=c , （c 为任意常数） 法三, （常数变易法）
方程对应的齐次线性微分方程
dy y dx =6x
, 的通解为
y =cx 6,
将c 看作x 的待定函数c (x ) 即
y =c (x ) x 6,
微分得 dy dc (x dx =) dx x 6
+6x 5c (x ) , 从而得
dc (x )
dx
=-c 2x 7, 积分1c (x ) =1
8
x 8+c , 6
得
x 6x 8
故原方程的通解为 -=c , （c 为任意常数）.
y 8
5 卡蒂方程的解法
dy
=P (x ) y 2+Q (x ) y +R (x ) 的方程称为卡蒂方程, 这类方程一般也没有初等解法, 形如
dx
对这类方程同样可通过变换求通解。
例7 dy dx =y 2+1x y -3x
2. 解:法一, 经检验y (x ) =-3
x
, (13)
是方程的一个特解
令y =z +y , (14) 微分得
dy dz 3dx =dx +x 2
, (15) 将（13）（14）（15）代入原方程整理得 dz dx =-5
x
z +z 2, 方程（16）为伯努利方程 解得方程（16）的通解为
z =
4
x +4cx 5
, （c 为任意常数）.
从而 y =z +y =4x +4cx 5
-3
x
, =1-12cx 4
x +4cx
5
, 令c =
14c
, 原方程的通解为 y =c -3x 4cx +x 5=-3x 4-c
cx +x 5
.
u x
du
法二, 令y =
-u x , 则dy
dx
=x
2, 代入方程 即得 du u 2+2u dx =-3x
, 解得通解为 u -1
u +3
=cx 4 , （c 为任意常数）. 从而原方程的通解为
7
16） （
c +3x 4
y =-5 , （c 为任意常数）.
x -cx
致谢
在写论文期间, 感谢我的导师郝兆才老师, 论文在他的悉心指导和关怀下得以完成。从论文的最初开题, 到课题的阶段性研究, 再到论文的撰写及最后定稿, 整个过程都得到了郝兆才老师方向性、建设性的意见, 使论文能够顺利完成。 参考文献
[1]王高雄等. 常微分方程（第三版）. 高等教育出版社.30-60.
[2]王浩. 关于若干类型一阶微分方程的解法, 陕西广播电视大学学报, 2006,1(8):3-8. [3]张祖发. 一阶微分方程的求解, 高等函授学报, 1955,15(1):2-5.
[4]张小慧等. 解一阶微分方程的变换方法, 商丘职业技术学院学报, 2006,2(5):3-7. [5]赵零. 一类一阶微分方程的解, 桂林市教育学院学报, 1994(2):12-18.
[6]汤光宋. 徐利姣. 三类一阶微分方程的求解公式, 沙洋师范高等专科学校学报2004(4):10-15. [7]杨淑娥. 一阶微分方程的积分因子解法, 彭城职业大学学报, 2000,1(15):4-9.
8
目 录
摘要……………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………1 Abstr act ………………………………………………………………………………1 K e y w o r d s ……………………………………………………………………………1 引言………………………………………………………………………………………………1 1变量分离法……………………………………………………………1 2 常数变易法……………………………………………………………………………………3 3 积分因子法……………………………………………………………………………………4 4 伯努利微分方程的解法………………………………………………………………………5 5 卡迪方程的解法………………………………………………………………………………7 致谢………………………………………………………………………………………………8 参考文献…………………………………………………………………………………………8
一阶微分方程的几种解法
摘要:研究若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，借助变量分离方程、线性微分方程及恰当微分方程这三种类型的方程的初等解法研究变量变换法、常数变易法及积分因子法这三种一阶微分方程的初等解法。进而将一些不能用初等解法求解的特殊方程求解。 关键词:微分方程 解法
Some methods for solving first order differential equation
Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Fengxiao
Tutor Hao Zhaocai
Abstract : In this article, we study several equations which could be solved by primary methods and their general method of solving. Using the variable separation equations, linear differential equations and appropriate equations of these three types of equations of elementary solutions of the variable transformation methods, we study constant variation method and the integral factor method of these three elementary solution of first-order differential equations. And then we solve some special equations that can not use primary method.
Key words: Differential equation; Solution
引言 对于一阶微分方程的一些常见的特殊类型, 可以用初等解法求解, 即把微分方程的求解问题化为积分问题, 其解的表达式由初等函数或超越函数表示。对这类方程的求解一般方法有三种：分离变量法, 常数变易法, 积分因子法。它们对应的对象分别是变量分离方程，线性微分方程, 恰当微分方程。对于一些特殊的方程类型是不能直接用初等解法，对于这类方程则需要适当的施行变换把它化成能使用初等解法的类型。
1 变量分离法
形如的
dy
=f (x ) ϕ(y ) 方程为变量分离方程, 其中f (x ) , ϕ(y ) 分别是x,y 的连续函数。dx
当ϕ(y ) ≠0, 上式可改写为
dy
=f (x ) d (x ) , 这样变量就分离出来, 两边积分就能求出方程ϕ(y )
的通解, 当ϕ(y ) =0可直接求通解, 这类求解方法就称为变量分离法。变量分离法的直接对象就是变量分离方程。
例1 -(xy +x 3y ) dy +(1+y 2) dx =0. 解:我们将方程恒等变换得
dy 11+y 2=⋅
dx x +x y
, （1）
对方程（1）两端实行变量分离得
两边积分得
1
y 1dy =dx , 1+y 2x +x 3
11
ln(1+y 2) =ln |x |-ln(x 2+1) +c , 22
c 为任意常数
即 ln(1+y 2) =2ln |x |-ln |x 2+1|+2c , 整理得
x 22c
(1+y ) =2e ,
x +1
2
令c =e 2c , 通解为
(1+x 2)(1+y 2) =cx 2
有些方程虽然不是变量分离方程但经过适当的变量替换可化为变量分离方程, 这类方程也可以用变量分离法求解。
例2 (y +x ) dy +(x -y ) dx =0 （x ≠0）. 解:此方程不是可分离方程, 但可经过变换μ=程整理得
dy y -x =, dx y +x
y
化为变量可分离的方程。事实上, 对此方x
y -1dy 即 =, （2）
dx +1x
y
做变量变换μ=, （3）
x 即y =μx , 于是
dy d μ=μ+x , （4） dx dx
将（3）（4）代入方程（2）, 则原方程变为
μ+x
d μμ-1
=, dx μ+1
整理得
两边积分得
ln(μ2+1) +arctan μ=-ln |x |+c ,
2
μ+1dx
d μ=-, μ2+1x
12
通解为 ln(μ2+1) +arctan μ=-ln |x |+c ,
12
c 为任意常数. 2 常数变易法
一阶线性微分方程
dy
=P (x ) y +Q (x ) , (5) dx
dy
=P (x ) y , (6) 其中P (x ) , Q (x ) 在考虑的区间上是x 的连续函数, 若Q (x ) =0, （5）变为dx
(6）称为一阶齐次线性微分方程, 若Q (x ) ≠0, （5）称为一阶非齐次线性微方程。（6）为变量分离方程, 它的通解为y =ce ⎰
P (x ) dx
, （7）
c 为任意常数。
在（7）中将常数c 变易为x 的待定函数c (x ) , 令y =c (x ) e ⎰
y =c (x ) e ⎰
P (x ) dx
P (x ) dx
解得c (x ) , 则
为（5）的通解。
这种将常数变易为待定函数的方法即为常数变易法, 常数变易法实际上也是一种变量变换的方法。
dy 1-2x
例3 +2-1=0.
dx x
解:将方程整理得
dy 2x -1
=2+1=0 , （8） dx x 首先, 求齐次线性微分方程 齐次线性微分方程的通解
y =cx e ,
其次, 用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解, 在上式中把c 看作x 的待定函数c (x ) , 即y =c (x ) x e , （9） 微分得
11
2dy dc (x ) 211
=x e x +2c (x ) xe x +c (x ) x e x (-2) ,（10） dx dx x
dy 2x -1dy 2x -1=y =dx 得 的通解, 从dx x 2y x 2
1
2x
12x
将（9）（10）代入方程（8）得
dc (x ) 21
x e x =1, dx
求得
3
1x
c (x ) =e
将所求的c (x ) 代入（9）, 即原方程的通解为
y =(e
-1x
-
+c ,
+c ) x e
1x
12x
=x (1+ce ) ,
c 为任意常数.
2
3 积分因子法
对于一阶微分方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0, （11） 其中M (x , y ) , N (x , y ) 在某矩形域内是x , y 的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 如果方程的左端恰好是某个二元函数μ(x , y ) 的全微分, 即
M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =d μ(x , y ) =
称此方程为恰当微分方程. 方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0, 即
d μ(x , y ) =0,
因此方程的通解为μ(x , y ) =c 。
如果存在连续可微的函数μ=μ(x , y ) ≠0, 使得μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0, 为一恰当微分方程, 即存在函数υ, 使μMdx +μNdy ≡d υ （12） 则称μ(x , y ) 为方程（12）的积分因子. 这时υ(x , y ) =c 是方程（12）的通解, 因而也是方程（11）的通解. 这种通过求积分因子将非恰当微分方程化为恰当微分方程, 再通过积分求出它的通解的方法就称为积分因子法。积分因子法是全微分求积途径的一种基本方法。 例4 2(3xy 2+2x 3) dx +3(2x 2y +y 2) dy =0. 解:这里M =2(3xy 2+2x 3) , N =3(2x 2y +y 2) , 这时
∂N ∂M
=12xy , =12xy , ∂x ∂y
∂μ∂μ
dx +dy , ∂x ∂y
因此方程为恰当微分方程, 由公式（12）取x 0=y 0=0, 通解
4
(x , y )
⎰
即
(0,0)
2(3xy 2+2x 3) dx +3(2x 2y +y 2) dy =c ,
3x 2y 2+x 4+y 3=c ,
c 为任意常数.
例5 ydx -(x +y 3) dy =0. 解:M =y N =-(x +y 3) ,
则 方程不是全微分方程.
∂M ∂N
-
∂y ∂x -2
=只与y 有关, 故方程有只与y 有关的积分因子
-M y
∂N ∂M
=-1, =1 , ∂x ∂y
μ=e
⎰-y dy
2
=e -2ln|y |=
1, 2y
方程两边同乘以
11x
dx -(+y ) dy =0, 得到
y 2y y 2
通解为 2x -y 3=cy , y =0.
4 伯努利微分方程的解法
dy
=P (x ) y +Q (x ) y n 的方程, 其中P (x ) , Q (x ) 为x 的连续函数, n ≠0,1是常数, dx
称为伯努方程。伯努利方程不可直接利用初等解法, 但可以变换成有初等解法的方程来求解。
dy y
=6-xy 2. 例6 dx x
解:法一, n =2方程为伯努利微分方程 将方程变型为
利形如
y -2
dx
-e ⎰x
6
dy 1
-6+x =0, dx xy
将上式两边同乘得
-2
66
dx dx dx dy ⎰61⎰⎰x x x
-y ⋅e +6e -xe =0,
dx xy
5
从而得
d (y -1e ⎰6x dx ⎰6
dx dx
) =xe x ,
即 d (y -1
e ⎰6
x dx
) =xe
⎰6
x dx
dx ,
将上式两边积分得
6
6
y -1
e ⎰x dx =⎰xe ⎰x dx
+c , x 6y -x 8
即8=c , （c 为任意常数）.
法二, 令z =y -1解得
dz dx =y -2dy dx
, 代入原方程得
dz dx =-6
x
z +x , 方程化为线性微分方程, 求得它的通解为
z =c x 2
x 6+8
,
即原方程的通解为
x 6x 8
y -8
=c , （c 为任意常数） 法三, （常数变易法）
方程对应的齐次线性微分方程
dy y dx =6x
, 的通解为
y =cx 6,
将c 看作x 的待定函数c (x ) 即
y =c (x ) x 6,
微分得 dy dc (x dx =) dx x 6
+6x 5c (x ) , 从而得
dc (x )
dx
=-c 2x 7, 积分1c (x ) =1
8
x 8+c , 6
得
x 6x 8
故原方程的通解为 -=c , （c 为任意常数）.
y 8
5 卡蒂方程的解法
dy
=P (x ) y 2+Q (x ) y +R (x ) 的方程称为卡蒂方程, 这类方程一般也没有初等解法, 形如
dx
对这类方程同样可通过变换求通解。
例7 dy dx =y 2+1x y -3x
2. 解:法一, 经检验y (x ) =-3
x
, (13)
是方程的一个特解
令y =z +y , (14) 微分得
dy dz 3dx =dx +x 2
, (15) 将（13）（14）（15）代入原方程整理得 dz dx =-5
x
z +z 2, 方程（16）为伯努利方程 解得方程（16）的通解为
z =
4
x +4cx 5
, （c 为任意常数）.
从而 y =z +y =4x +4cx 5
-3
x
, =1-12cx 4
x +4cx
5
, 令c =
14c
, 原方程的通解为 y =c -3x 4cx +x 5=-3x 4-c
cx +x 5
.
u x
du
法二, 令y =
-u x , 则dy
dx
=x
2, 代入方程 即得 du u 2+2u dx =-3x
, 解得通解为 u -1
u +3
=cx 4 , （c 为任意常数）. 从而原方程的通解为
7
16） （
c +3x 4
y =-5 , （c 为任意常数）.
x -cx
致谢
在写论文期间, 感谢我的导师郝兆才老师, 论文在他的悉心指导和关怀下得以完成。从论文的最初开题, 到课题的阶段性研究, 再到论文的撰写及最后定稿, 整个过程都得到了郝兆才老师方向性、建设性的意见, 使论文能够顺利完成。 参考文献
[1]王高雄等. 常微分方程（第三版）. 高等教育出版社.30-60.
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