7.2.2定义与命题（二）教学设计
一、 教材分析
1、教材的地位和作用: 定义与命题的知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节.
2、学情分析:本节课针对的是八年级上学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但这是他们第一次接触到严格的几何定理证明，要让学生初步体会证明的思路与书写的过程，这将会是他们学习上的一大难点。
二、 教学目标
（一）知识与技能
1、了解判断真假命题的方法
2、能正确区分公理、定理及其证明的含义
3、理解本教科书上的八条基本事实，并通过实例感受证明的过程与格式
（二）过程与方法
过实例感受证明的过程与格式，初步感受公理化思想
（三）情感态度与价值观
阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
三、教学重、难点
重点：正确区分公理、定理和证明间的关系
难点：如何证明一个定理，明确证明的过程与格式
四、教学过程分析
本节课的教学过程设计分为：复习与回顾——引入新课——定理证明——小结
五、教学过程
（一）复习与回顾
1、判断一件事情的句子，叫做命题
2、一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.
3、正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
4、要说明一个命题是假命题，常常可以举一个例子，使它具备命题的条件而不具备命题的结论，这种例子称为反例。
1、下列句子哪些是命题，哪些不是命题。
（1）动物都需要水 （是）
（2）猴子是动物的一种（是）
（3）美丽的天空（否）
（4）负数都小于零（是）
（5）你的作业做完了吗？（否）
（6）如果a=b,a=c,那么b=c（是）
2、下列命题的条件和结论分别是什么，并说出哪些是真命题，哪些是假命题。假命题的请举出反例
（1）两个锐角之和一定是钝角（假命题）
(2)直角三角形的两锐角互余（真命题）
（3）两直线平行，同位角相等（真命题）
（设计意图：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础．）
（二）、引入新课
1、想一想：举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
（设计意图：由上节课的知识内容自然的过度到本节课的知识点，开门见山，直奔主题，给学生讨论与思考的时间，引出寻找证明出发点的必要性）
2、读一读：在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公里、
定义和已经证明为真的命题来证明。
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作。
3、公理、证明及其定理的定义
公理：公认的真命题称为公理
证明：除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。演绎推理的过程称为证明。
定理：经过证明的真命题称为定理。证明时所需的定义、公理和其它定理都要编写在这个定理的前面。
4、本教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据（公理）
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
5、其它公理
数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以看作公理。
（设计意图：培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯）
（三）、定理证明
1、从以上基本事实出发，我们可以证明下列定理：
定理 同角（等角）的补角相等
定理 同角（等角）的余角相等
定理 三角形的任意两边之和大于第三边
2、证明“同角（等角）的补角相等”
已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的补角（已知）
∴∠2+∠1=180°（补角的定义）
∴∠2=180°-∠1（等式的性质）
又∵∠3是∠1的补角（已知）
∴∠3+∠1=180°（补角的定义）
∴∠3=180°-∠1（等式的性质）
∴∠2=∠3（等量代换）
（设计意图：因为一一证明以上定理时间不允许，所以选择其中一个在课堂上来证明，先让学生自主思考，明确证明一个文字题应该写出已知及其求证，最后来证明，每证明一步要写出依据，在体验证明过程的同时明确书写格式）
（四）习题巩固
例 已知：如图7-5，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证：∠AOC=∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O（已知）
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)
定理 对顶角相等
（设计意图：在上面定理证明的基础上来证明这一个例题，告诉学生证明过的定理可以拿来作为证明其他定理的依据）
小结
1、公理和定理有哪些相同点和不同点
相同点：（1）它们都是真命题
（2）它们都可以作为证明的依据
不同点：公理的真实性是通过实践证实的，而定理的真实性必须通过推理证明
2、证明一个真命题的格式（定理的证明）
已知：
求证：
证明：
3、公理、证明、定理的定义及它们之间的关系
（设计意图：帮助学生归纳本节课所学知识，对本节课有一个系统的认识，清楚公理，证明及其定理间的关系，这对以后的证明有很大的帮助）
7.2.2定义与命题（二）教学设计
一、 教材分析
1、教材的地位和作用: 定义与命题的知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节.
2、学情分析:本节课针对的是八年级上学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但这是他们第一次接触到严格的几何定理证明，要让学生初步体会证明的思路与书写的过程，这将会是他们学习上的一大难点。
二、 教学目标
（一）知识与技能
1、了解判断真假命题的方法
2、能正确区分公理、定理及其证明的含义
3、理解本教科书上的八条基本事实，并通过实例感受证明的过程与格式
（二）过程与方法
过实例感受证明的过程与格式，初步感受公理化思想
（三）情感态度与价值观
阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
三、教学重、难点
重点：正确区分公理、定理和证明间的关系
难点：如何证明一个定理，明确证明的过程与格式
四、教学过程分析
本节课的教学过程设计分为：复习与回顾——引入新课——定理证明——小结
五、教学过程
（一）复习与回顾
1、判断一件事情的句子，叫做命题
2、一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.
3、正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
4、要说明一个命题是假命题，常常可以举一个例子，使它具备命题的条件而不具备命题的结论，这种例子称为反例。
1、下列句子哪些是命题，哪些不是命题。
（1）动物都需要水 （是）
（2）猴子是动物的一种（是）
（3）美丽的天空（否）
（4）负数都小于零（是）
（5）你的作业做完了吗？（否）
（6）如果a=b,a=c,那么b=c（是）
2、下列命题的条件和结论分别是什么，并说出哪些是真命题，哪些是假命题。假命题的请举出反例
（1）两个锐角之和一定是钝角（假命题）
(2)直角三角形的两锐角互余（真命题）
（3）两直线平行，同位角相等（真命题）
（设计意图：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础．）
（二）、引入新课
1、想一想：举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
（设计意图：由上节课的知识内容自然的过度到本节课的知识点，开门见山，直奔主题，给学生讨论与思考的时间，引出寻找证明出发点的必要性）
2、读一读：在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公里、
定义和已经证明为真的命题来证明。
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作。
3、公理、证明及其定理的定义
公理：公认的真命题称为公理
证明：除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。演绎推理的过程称为证明。
定理：经过证明的真命题称为定理。证明时所需的定义、公理和其它定理都要编写在这个定理的前面。
4、本教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据（公理）
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
5、其它公理
数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以看作公理。
（设计意图：培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯）
（三）、定理证明
1、从以上基本事实出发，我们可以证明下列定理：
定理 同角（等角）的补角相等
定理 同角（等角）的余角相等
定理 三角形的任意两边之和大于第三边
2、证明“同角（等角）的补角相等”
已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的补角（已知）
∴∠2+∠1=180°（补角的定义）
∴∠2=180°-∠1（等式的性质）
又∵∠3是∠1的补角（已知）
∴∠3+∠1=180°（补角的定义）
∴∠3=180°-∠1（等式的性质）
∴∠2=∠3（等量代换）
（设计意图：因为一一证明以上定理时间不允许，所以选择其中一个在课堂上来证明，先让学生自主思考，明确证明一个文字题应该写出已知及其求证，最后来证明，每证明一步要写出依据，在体验证明过程的同时明确书写格式）
（四）习题巩固
例 已知：如图7-5，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证：∠AOC=∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O（已知）
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)
定理 对顶角相等
（设计意图：在上面定理证明的基础上来证明这一个例题，告诉学生证明过的定理可以拿来作为证明其他定理的依据）
小结
1、公理和定理有哪些相同点和不同点
相同点：（1）它们都是真命题
（2）它们都可以作为证明的依据
不同点：公理的真实性是通过实践证实的，而定理的真实性必须通过推理证明
2、证明一个真命题的格式（定理的证明）
已知：
求证：
证明：
3、公理、证明、定理的定义及它们之间的关系
（设计意图：帮助学生归纳本节课所学知识，对本节课有一个系统的认识，清楚公理，证明及其定理间的关系，这对以后的证明有很大的帮助）