质点组的动能定理应用释疑
作者：王付军
来源：《科技创新导报》2012年第07期
摘 要:本文详细分析了应用质点组的动能定理的应用, 指出了如何分析一对力做功和恰当选取质点组的技巧, 对于学生的理解学习动能定理有很好的指导作用。
关键词:质点组 动能定理 一对力
中图分类号:O311 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)03(a)-0219-01
1 引言
动能定理是大学物理力学中一条重要的规律, 他的应用范围很广。大多数的物理教材中都重点强调了质点的动能定理, 而对质点组的动能定理涉及的比较少, 只是一个简单的说明:质点组动能的增量等于外力、内力对质点组所做的功的代数和, 这就是质点组的动能定理。我在教学活动中, 分析了质点组中一对内力做功的特点和如何恰当选取质点组, 取得了较好的教学效果。 2 内力做功的特点
可以证明, 一对内力(作用力和反作用力) 做功之和, 恒等于其中一个物体所受的力与这个物体相对于另一个物体相对位移的点积, 与参考系的选择无关。
如图1所示, 考虑两个质点, 设在任意时刻t 。他们相对于一参考点o 的位置分别为, 速度分别为, 作用在的力为, 作用在的力为, 当分别发生位移、时, 这是作用力和反作用力做功之和为, 由于, 所以
,
,,代入上式得, 是质点相对于的速度, 而是相对于的位移, 所以 ,积分得。相互作用力只依赖于现对位置, 因此积分与参考点O 的选择无关, 为了计算一对内力做功之和, 可以选取与相对静止的物体作为参考系, 这样作用在的力与相对位移的点积就是一对内力的总功。(如图1) 3 应用举例
把上述结论应用到一些二体问题(系统只有两个相互作用的质点) 中, 可以使问题的求解大为简化。
【例1】 在光滑的水平轨道上, 有两个半径都是R 的小球A 和B, 质量分别为m 和2m, 当两球心间的距离大于L(L比2R 大得多) 时,
两球之间无相互作用, 当两球心间的距离等于或
小于L(L比2R 大得多) 时,
两球之间存在恒定的斥力。
设A 球从远离B 球处
以速度沿两球心连线向原来静止的B 球运动, 如图所示, 欲使两球不发生接触, 必须满足什么条件？(如图2)
解:若使A 、B 不发生接触, 则必须在它们的距离最小,
即等于2R 时, 速度要正好相等。
不管在这一过程中A 、B 的真实位移是多少,
A相对于B 的有效位移都是
,所以根据质点组的动能定理有:
(1)
又根据质点组水平方向的动量守恒, 所以(2)
联立(1)式和(2)式解得:
,因此, 欲使两球不发生接触, 则
【例2】如图所示, 一质量为M, 长为L 的
长方形木板B 放在光滑的水平面上, 在右端放一质量为m 的小木块A(),现在以地面为参照系, 给A 和B 以大小相等, 方向相反的初速度, 使A 向左运动,B 开始向右运动, 但最后A 刚好滑到B 板的左侧端点, 没有滑离B 板。(如图3)
(1)若已知A 和B 的初速度, 求它们最后速度的大小和方向。
(2)若的大小未知, 求小木块向左运动到达的最远处离出发点的距离。
质点组的动能定理应用释疑
作者：王付军
来源：《科技创新导报》2012年第07期
摘 要:本文详细分析了应用质点组的动能定理的应用, 指出了如何分析一对力做功和恰当选取质点组的技巧, 对于学生的理解学习动能定理有很好的指导作用。
关键词:质点组 动能定理 一对力
中图分类号:O311 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)03(a)-0219-01
1 引言
动能定理是大学物理力学中一条重要的规律, 他的应用范围很广。大多数的物理教材中都重点强调了质点的动能定理, 而对质点组的动能定理涉及的比较少, 只是一个简单的说明:质点组动能的增量等于外力、内力对质点组所做的功的代数和, 这就是质点组的动能定理。我在教学活动中, 分析了质点组中一对内力做功的特点和如何恰当选取质点组, 取得了较好的教学效果。 2 内力做功的特点
可以证明, 一对内力(作用力和反作用力) 做功之和, 恒等于其中一个物体所受的力与这个物体相对于另一个物体相对位移的点积, 与参考系的选择无关。
如图1所示, 考虑两个质点, 设在任意时刻t 。他们相对于一参考点o 的位置分别为, 速度分别为, 作用在的力为, 作用在的力为, 当分别发生位移、时, 这是作用力和反作用力做功之和为, 由于, 所以
,
,,代入上式得, 是质点相对于的速度, 而是相对于的位移, 所以 ,积分得。相互作用力只依赖于现对位置, 因此积分与参考点O 的选择无关, 为了计算一对内力做功之和, 可以选取与相对静止的物体作为参考系, 这样作用在的力与相对位移的点积就是一对内力的总功。(如图1) 3 应用举例
把上述结论应用到一些二体问题(系统只有两个相互作用的质点) 中, 可以使问题的求解大为简化。
【例1】 在光滑的水平轨道上, 有两个半径都是R 的小球A 和B, 质量分别为m 和2m, 当两球心间的距离大于L(L比2R 大得多) 时,
两球之间无相互作用, 当两球心间的距离等于或
小于L(L比2R 大得多) 时,
两球之间存在恒定的斥力。
设A 球从远离B 球处
以速度沿两球心连线向原来静止的B 球运动, 如图所示, 欲使两球不发生接触, 必须满足什么条件？(如图2)
解:若使A 、B 不发生接触, 则必须在它们的距离最小,
即等于2R 时, 速度要正好相等。
不管在这一过程中A 、B 的真实位移是多少,
A相对于B 的有效位移都是
,所以根据质点组的动能定理有:
(1)
又根据质点组水平方向的动量守恒, 所以(2)
联立(1)式和(2)式解得:
,因此, 欲使两球不发生接触, 则
【例2】如图所示, 一质量为M, 长为L 的
长方形木板B 放在光滑的水平面上, 在右端放一质量为m 的小木块A(),现在以地面为参照系, 给A 和B 以大小相等, 方向相反的初速度, 使A 向左运动,B 开始向右运动, 但最后A 刚好滑到B 板的左侧端点, 没有滑离B 板。(如图3)
(1)若已知A 和B 的初速度, 求它们最后速度的大小和方向。
(2)若的大小未知, 求小木块向左运动到达的最远处离出发点的距离。