【本讲教育信息】
一. 教学内容：
一元一次不等式解法；用一元一次不等式解决实际问题
二. 教学目标：
1. 了解一元一次不等式的定义，会正确辨别一元一次不等式。
2. 初步掌握一元一次不等式的一般步骤，会在数轴上表示不等式的解集。
3. 通过类比一元一次方程的定义和一般步骤，掌握一元一次不等式的解法和一般步骤， 培养学生合情推理能力。
4. 能根据实际问题中的不等关系抽象出不等式并能求出符合实际意义的解或解集。
三. 教学重点、难点：
教学重点：一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤。
教学难点：一元一次不等式的解法。及准确利用实际问题中的不等关系抽象出不等式
四. 课堂教学： （一）知识要点：
知识点1：一元一次不等式 像2x－1>5、3x＋70>100、y＋4
符合这三个条件的不等式才是一元一次不等式。
例如：2x＋y＞3， 2x2－3x－2＜0，＞x都不是一元一次不等式. 知识点2：一元一次不等式解法
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的步骤很相似 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项； （4）合并同类项；（5）系数化为1。
知识点3：比较一元一次不等式的解法与一元一次方程的解的异同 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。
不同之处是，不等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式性质2，特别是注意在不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。
知识点4：求一元一次不等式的整数解与求一元一次不等式的解集的异同点 （1）解法步骤类似： 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
（2）求一元一次不等式的整数解比求一元一次方程的解集多一个步骤：就是在解集中找出整数解.
知识点5：利用一元一次不等式解决实际问题 在现实生活中，处处都存在不等关系，有很多的数量关系都可以通过建立数学模型——特别是不等式来实现的，这需要我们通过对问题的分析，从中抽象出不等式。
1. 类比法：
类比方法是指在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些方面（如特征、属性、关系）的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点，有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识，如学习不等式的基本性质，应将其与等式的基本性质进行类比，学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比，类比如下表：
在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，在数轴上表示解集比在数轴上表示数又前进了一步，本章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地看到不等式有无数多个解，并易于确定不等式组的解集。 3. 注意事项总结：
（1）对不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习，应复习对比等式的性质和解一元一次方程的内容，以比较异同。
（2）在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，特别是该数是负数时，一定不要忘记改变不等号的方向，如果不对该数加以限制，可有三种可能。以不等式5>3为例，在不等式3>2两边都乘以同一个数a时有下面三种情形：
3a>2a （a>0） 3a＝2a（a＝0） 3a
（3）不等式的解集xa与x≥a）用数轴表示时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别。
【典型例题】
例1. 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。
（1）2x－1＜4x＋13； （2）2（5x＋3）≤x－3（1－2x）。 解：（1）移项，得 2x－4x－7
这个不等式的解集在数轴上表示如下 （2）移项，得 10x－7x≤－9 合并同类项，得 3x≤－9 两边都除以3，得 x≤－3
这个不等式的解集在数轴上表示如下
例2. 解一元一次不等式2x－1＞ 4x＋13并将解集在数轴上表示出来： 2x－1＞4x＋13，
2x－4x＞13＋1， （移项）
－2x＞14， （合并同类项） x＞－7. （系数化为1） 它的解集在数轴上的表示如图：
观察上述解答有没有错误，为什么？
答：有错误。在系数化为1的时候不等号的方向应该发生改变
例3. 求不等式的正整数解 解：去分母，得 3（2x＋3）≥8x－2 去括号，得 6x＋9≥8x－2 移项，合并同类项得 －2x≥－11 系数化为1，得 x≤
所以原不等式的正整数解有1，2，3，4，5
例4. 解不等式：－＞1
分析：利用分数的基本性质，把分子、分母都乘以100，或者乘以10，再去分母。 解：整理得－＞1
去分母，得 4（8x＋200）－3（5x－20）＞12 去括号，得 32x＋800－15x＋60＞12 移项，合并同类项得17x＞－848 系数化为1，得x＞－
例5. 当x取何值时，代数式的值与解：根据题意，得
解这个不等式得 x≥所以当x≥
例6. 已知方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1的解适合不等式2（x－5）≥8a，求a的取值范围。
解：首先，解方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1得x＝把x＝
代入不等式2（x－5）≥8a中
的值与
的差不大于1
－
≤1
的差不大于1?
时，代数式
2（－5）≥8a
然后解不等式得a≤所以a的取值范围是a≤
例7. 一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.3kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.这只纸箱内最多能装多少个苹果？
解：设这只纸箱内最多能装x个苹果。 根据题意，得1＋0.3x≤10 解这个不等式得 x≤30
答：这只纸箱内最多能装30个苹果。
例8. 抗洪抢险，向险段运送物资，共有120千米原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50千米后，后半小时速度多大才能保证及时送到？
分析：题目中的数量关系是：前半小时和后半小时走的路程之和至少应该是120千米，抓住了这个数量关系就可以建立不等式.
解：设后半小时速度为每小时x千米 50＋0.5x≥120
解这个不等式得x≥140
答：后半小时速度为每小时140千米才能保证及时送到
例9.
那么，怎样设计租船方案才能使所付租金最少?（严禁超载）
解：设坐大船的有x人，则坐小船的有（48－x）人，租金为w元
所以因为
w＝
x为1≤x≤48
的整数，所以当
艘，小船
＝
时
x取45w＝29
元
所以在租大船
45÷5=93÷3=1
艘时付租金最少。
例10. 某校举行庆祝元旦的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个，学
（2）学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多少钱？
解：（1）6×5＋5×10＋4×15＝140（元）
（2）设三等奖为x元，则二等奖为4x元，一等奖为20x元 根据题意得100x＋40x＋15x≤1000
解这个不等式为x≤6所以x取4，5，6所以有二套方案分别是：三等奖为4元二等奖为16元一等奖为80元；
三等奖为6元二等奖为24元一等奖为120元 所以花费最多的一种方案需155×6＝930元
例
11. 商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55
）。请回答下列问题：
度，
为了减少库存，商场决定将
（1）已知
A
型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的
元，商场为了保证利润不低于
A型冰箱的进价为1700
3％，试确定A型冰箱降价的范围；
（2）如果只考虑价格与耗电量那么商场至少打几折，消费者购买两种冰箱才一样
合算（按使用期为
10
年，每年
365
天，每度电
0.40元计算）?
解：（1）设商场将A型冰箱降价x元，可保证利润不低于3％
解得x≤439
答：商场将A型冰箱降价439元，可保证利润不低于3％
（2）设商场将A型冰箱的售价打y折时，消费者购买两种冰箱才一样合算
＝2190（1＋10％）＋0.4·10·365·0.55
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
y＝8
答：商场将A型冰箱的售价打8折时，消费者购买两种冰箱才一样合算。
（一）选择题
1. x的值不大于3，用不等式表示x的取值范围为（ ） A. x>3 B. x7的解的为（ ） A. －2 B. –2.5 C. ＋3 D. –1.5 3. 下列说法错误的是（ ）
A. x
4. 一个两位数，将十位数字与个位数字对调，所得两位数与原来的两位数之差等于27， 则这个两位数为（ ）
A. 36 B. 57 C. 64 D. 79 5. 已知中，b为正数，则n的取值范围是（ ） A. n＜2 B. n＜3 C. n＜4 D. n＜5
（二）填空题
6. 在数0，－3， 3， －， －0.4， －20中，是方程x＋3＝0的解；式x＋3>0的解； 是不等式x＋3≤0的解。
7. 要使三个连续奇数之和不小于100，那么3个奇数中，最小的奇数应当是. 8. 若方程kx＋1＝2x－1的解是正数，则k的取值范围是_________
（三）解答题
9. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： ①－3 x 3 x－7
③10. （1）求
≤
④
－1的负整数解.
；
（2）求不等式1－≤的最小整数解. 11. a取什么值时，代数式4a＋2的值
（1）大于1？ （2）等于1？ （3）小于1？
12. 一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务.问以后6天内平均每天至少要挖土多少m3. 13. “中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？
14. 某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？
15. 水果店进了某种水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
【试题答案】
1. D 2. B 3. C 4. A 5. C 6.
0.4
x＜
数轴略
7. 33 8. k＜2 9. x ＞0 x ＞－2 x＞10. （1）－2，－1（2）x＝2
11. a＞， a＝， a＜
12. 设以后6天内平均每天至少要挖土xm3. 根据题意得120＋6x≥600 x≥80
答：以后6天内平均每天至少要挖土80 m3.
13. 设商家把售价至少定为每千克x元，才能避免亏本 根据题意得：1.5＜x（1－6％） 解得x＝1.6
答：商家把售价至少定为每千克1.6元才能避免亏本 14. 平均每场次至少应出售学生优惠票x张 根据题意得2x＋300×52000 x≥250
答：平均每场次至少应出售学生优惠票250张 15. 设：余下的水果可以按原定价的x折出售x≥8
答：余下的水果可以按原定价的8折出售
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
一元一次不等式解法；用一元一次不等式解决实际问题
二. 教学目标：
1. 了解一元一次不等式的定义，会正确辨别一元一次不等式。
2. 初步掌握一元一次不等式的一般步骤，会在数轴上表示不等式的解集。
3. 通过类比一元一次方程的定义和一般步骤，掌握一元一次不等式的解法和一般步骤， 培养学生合情推理能力。
4. 能根据实际问题中的不等关系抽象出不等式并能求出符合实际意义的解或解集。
三. 教学重点、难点：
教学重点：一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤。
教学难点：一元一次不等式的解法。及准确利用实际问题中的不等关系抽象出不等式
四. 课堂教学： （一）知识要点：
知识点1：一元一次不等式 像2x－1>5、3x＋70>100、y＋4
符合这三个条件的不等式才是一元一次不等式。
例如：2x＋y＞3， 2x2－3x－2＜0，＞x都不是一元一次不等式. 知识点2：一元一次不等式解法
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的步骤很相似 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项； （4）合并同类项；（5）系数化为1。
知识点3：比较一元一次不等式的解法与一元一次方程的解的异同 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。
不同之处是，不等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式性质2，特别是注意在不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。
知识点4：求一元一次不等式的整数解与求一元一次不等式的解集的异同点 （1）解法步骤类似： 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
（2）求一元一次不等式的整数解比求一元一次方程的解集多一个步骤：就是在解集中找出整数解.
知识点5：利用一元一次不等式解决实际问题 在现实生活中，处处都存在不等关系，有很多的数量关系都可以通过建立数学模型——特别是不等式来实现的，这需要我们通过对问题的分析，从中抽象出不等式。
1. 类比法：
类比方法是指在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些方面（如特征、属性、关系）的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点，有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识，如学习不等式的基本性质，应将其与等式的基本性质进行类比，学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比，类比如下表：
在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，在数轴上表示解集比在数轴上表示数又前进了一步，本章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地看到不等式有无数多个解，并易于确定不等式组的解集。 3. 注意事项总结：
（1）对不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习，应复习对比等式的性质和解一元一次方程的内容，以比较异同。
（2）在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，特别是该数是负数时，一定不要忘记改变不等号的方向，如果不对该数加以限制，可有三种可能。以不等式5>3为例，在不等式3>2两边都乘以同一个数a时有下面三种情形：
3a>2a （a>0） 3a＝2a（a＝0） 3a
（3）不等式的解集xa与x≥a）用数轴表示时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别。
【典型例题】
例1. 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。
（1）2x－1＜4x＋13； （2）2（5x＋3）≤x－3（1－2x）。 解：（1）移项，得 2x－4x－7
这个不等式的解集在数轴上表示如下 （2）移项，得 10x－7x≤－9 合并同类项，得 3x≤－9 两边都除以3，得 x≤－3
这个不等式的解集在数轴上表示如下
例2. 解一元一次不等式2x－1＞ 4x＋13并将解集在数轴上表示出来： 2x－1＞4x＋13，
2x－4x＞13＋1， （移项）
－2x＞14， （合并同类项） x＞－7. （系数化为1） 它的解集在数轴上的表示如图：
观察上述解答有没有错误，为什么？
答：有错误。在系数化为1的时候不等号的方向应该发生改变
例3. 求不等式的正整数解 解：去分母，得 3（2x＋3）≥8x－2 去括号，得 6x＋9≥8x－2 移项，合并同类项得 －2x≥－11 系数化为1，得 x≤
所以原不等式的正整数解有1，2，3，4，5
例4. 解不等式：－＞1
分析：利用分数的基本性质，把分子、分母都乘以100，或者乘以10，再去分母。 解：整理得－＞1
去分母，得 4（8x＋200）－3（5x－20）＞12 去括号，得 32x＋800－15x＋60＞12 移项，合并同类项得17x＞－848 系数化为1，得x＞－
例5. 当x取何值时，代数式的值与解：根据题意，得
解这个不等式得 x≥所以当x≥
例6. 已知方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1的解适合不等式2（x－5）≥8a，求a的取值范围。
解：首先，解方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1得x＝把x＝
代入不等式2（x－5）≥8a中
的值与
的差不大于1
－
≤1
的差不大于1?
时，代数式
2（－5）≥8a
然后解不等式得a≤所以a的取值范围是a≤
例7. 一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.3kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.这只纸箱内最多能装多少个苹果？
解：设这只纸箱内最多能装x个苹果。 根据题意，得1＋0.3x≤10 解这个不等式得 x≤30
答：这只纸箱内最多能装30个苹果。
例8. 抗洪抢险，向险段运送物资，共有120千米原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50千米后，后半小时速度多大才能保证及时送到？
分析：题目中的数量关系是：前半小时和后半小时走的路程之和至少应该是120千米，抓住了这个数量关系就可以建立不等式.
解：设后半小时速度为每小时x千米 50＋0.5x≥120
解这个不等式得x≥140
答：后半小时速度为每小时140千米才能保证及时送到
例9.
那么，怎样设计租船方案才能使所付租金最少?（严禁超载）
解：设坐大船的有x人，则坐小船的有（48－x）人，租金为w元
所以因为
w＝
x为1≤x≤48
的整数，所以当
艘，小船
＝
时
x取45w＝29
元
所以在租大船
45÷5=93÷3=1
艘时付租金最少。
例10. 某校举行庆祝元旦的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个，学
（2）学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多少钱？
解：（1）6×5＋5×10＋4×15＝140（元）
（2）设三等奖为x元，则二等奖为4x元，一等奖为20x元 根据题意得100x＋40x＋15x≤1000
解这个不等式为x≤6所以x取4，5，6所以有二套方案分别是：三等奖为4元二等奖为16元一等奖为80元；
三等奖为6元二等奖为24元一等奖为120元 所以花费最多的一种方案需155×6＝930元
例
11. 商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55
）。请回答下列问题：
度，
为了减少库存，商场决定将
（1）已知
A
型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的
元，商场为了保证利润不低于
A型冰箱的进价为1700
3％，试确定A型冰箱降价的范围；
（2）如果只考虑价格与耗电量那么商场至少打几折，消费者购买两种冰箱才一样
合算（按使用期为
10
年，每年
365
天，每度电
0.40元计算）?
解：（1）设商场将A型冰箱降价x元，可保证利润不低于3％
解得x≤439
答：商场将A型冰箱降价439元，可保证利润不低于3％
（2）设商场将A型冰箱的售价打y折时，消费者购买两种冰箱才一样合算
＝2190（1＋10％）＋0.4·10·365·0.55
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
y＝8
答：商场将A型冰箱的售价打8折时，消费者购买两种冰箱才一样合算。
（一）选择题
1. x的值不大于3，用不等式表示x的取值范围为（ ） A. x>3 B. x7的解的为（ ） A. －2 B. –2.5 C. ＋3 D. –1.5 3. 下列说法错误的是（ ）
A. x
4. 一个两位数，将十位数字与个位数字对调，所得两位数与原来的两位数之差等于27， 则这个两位数为（ ）
A. 36 B. 57 C. 64 D. 79 5. 已知中，b为正数，则n的取值范围是（ ） A. n＜2 B. n＜3 C. n＜4 D. n＜5
（二）填空题
6. 在数0，－3， 3， －， －0.4， －20中，是方程x＋3＝0的解；式x＋3>0的解； 是不等式x＋3≤0的解。
7. 要使三个连续奇数之和不小于100，那么3个奇数中，最小的奇数应当是. 8. 若方程kx＋1＝2x－1的解是正数，则k的取值范围是_________
（三）解答题
9. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： ①－3 x 3 x－7
③10. （1）求
≤
④
－1的负整数解.
；
（2）求不等式1－≤的最小整数解. 11. a取什么值时，代数式4a＋2的值
（1）大于1？ （2）等于1？ （3）小于1？
12. 一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务.问以后6天内平均每天至少要挖土多少m3. 13. “中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？
14. 某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？
15. 水果店进了某种水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
【试题答案】
1. D 2. B 3. C 4. A 5. C 6.
0.4
x＜
数轴略
7. 33 8. k＜2 9. x ＞0 x ＞－2 x＞10. （1）－2，－1（2）x＝2
11. a＞， a＝， a＜
12. 设以后6天内平均每天至少要挖土xm3. 根据题意得120＋6x≥600 x≥80
答：以后6天内平均每天至少要挖土80 m3.
13. 设商家把售价至少定为每千克x元，才能避免亏本 根据题意得：1.5＜x（1－6％） 解得x＝1.6
答：商家把售价至少定为每千克1.6元才能避免亏本 14. 平均每场次至少应出售学生优惠票x张 根据题意得2x＋300×52000 x≥250
答：平均每场次至少应出售学生优惠票250张 15. 设：余下的水果可以按原定价的x折出售x≥8
答：余下的水果可以按原定价的8折出售