第14讲哈密顿算子2

《矢分析量与场论

》第1讲 4哈顿算子密（）

2元中

中国张油大石学北（京）球地理物与信息程工学院

《矢

量析与场分》论

主要内容4

.算子运教算材第：3

章

.算4子算

∇ 算子的运运中算经，用常三个矢量的到混积合

公

式及，重二量矢公式积

v，v r v v vv vv •A ( ×B C) = B• ( C ×A) =C ( A• × B

)v vv v rv vv v × A( × B C )=B( A • C ) −C( A • B

在)用应这公些式的时，候法将其中设常矢的都到移 ∇前面，的将变而都矢保留在∇ 的后。

面

.4算子运算 4：证例明证：据根 ∇子算微分的性，质应乘积用微分的法，则有，

则rv v v v v v v v A× (B C× ) B =( A C )• −C ( A •B ) vvv v v v∇ × (A ×c B =) c A∇(• B ) − B(Ac • ∇ ) v v vv= A∇( •B) − ( A•∇ ) vB v v v vv∇ × ( A × B c )= ( B c • ∇ ) A − Bc ∇( •A v v) v =v (B ∇ ) • A−B ∇ • A( ) v vv v v vvv v v ∇ ×( A ×B) = B •( ) A∇− ( A •∇ ) B −B( ∇ •A) +(A∇• B

)vv v v v v∇ × ( × B A) ∇ × ( =c × BA ) + ∇ × A ×( c )B

v vv v v v v v vv∇× ( ×AB) =( B•∇ A − ) A•( ∇)B −(∇B •A ) + A( ∇ •B) 1（4）

.4子运算

算 vvv v u v=3 xisn zy， r= xi + y j + k ，z ∇求• ru例5 ：已知

。

：解

v v v∇• ur = u ∇•r + ∇ u r•

•∇ =r

v∂ ∂ v v∂∇ = (ui + + j k)3 x is yn zx ∂∂y∂ z v vv= (3sin z y + izx osc y zj+ x cys ozyk )

vv ∇ v• u r u∇ • r=+ ∇u•

vr v vv= 9 xsin y z+ (si3ny iz+ xz c o syjz +x yc s yokz) •r

= 1 2 x si yn + z6xyz cs ozy

.4算子算运

vvv v v 3 24 6例设 A ： xz= i− 2 yxz + 2jyz ，k点求M (1 2,1),处 ∇ × 。

A vv解：因为 ∇ × A =or A

tv，由 A

故0 −2 2x z 2 4

的可比雅阵

矩 xz 3 ⎞ ⎟ 2 −22 xy ⎟8 yz ⎟ ⎠

⎛ z33v ⎜ D A =⎜ − xy4z⎜ ⎝0

vv v 42 2∇× A = [ 2z −( −2x y ])i+ (3 xz −0 ) j ( −4 xyz +− )0k v v v 42 2= ( z + 2 x y 2) i+ 3 xz j− 4 xy k zvv vv ∇ ×A = 6i +3 j− 8

4算.子算运7例验：

证v v v v vv∫ a × r( • dl)= 2∫∫ a • d S，其中

l S

为常，矢 r为

位

矢量置。证：托斯克式公， ∫为

v vv A取 = × ra

l，

vvA • d l=

vv∫∫ ( ×∇A ) • d S

l S v v v lvv v v v S v ∇v ( A ××B )= ( B ∇ • ) A (−A • ∇ )B− B (∇ • A ) + A ( ∇• B )v v v vv v vv v v∇ × a ×( )r =( r •∇) a (−a •∇) r− r ∇ •(a ) a (+ ∇• r ) ∂ ∂∂v v= 0− (a x +a +ya z )r −0 +3 a∂ v vx∂v ∂y v vwv z =− ( a ix+ a yj + a z )k + 3a= a−+ 3a = a

2vv v∫ ( ×ar ) • ld=

∫

v • dlA=

v v ∫∫ ∇( ×(a × r ) )• dS

vv vv v ∫ a ( r )× • d l =2 ∫ a • ∫d

S Sl

.算子运算 4例8验证：格林第一式与格公

林第公式，

二v∫ ∫ ( ∇u v ) •d S= S

∫

∫∫ ( ∇v• ∇ + u Δuv ) dVΩ

∫ (u∫ ∇ − vv ∇ u • d ) =S

∫S∫∫(u Δ v− vΔu dV

)

证奥：公氏为，式取S

v v ∫ ∫ A• d =S ∫∫∇ ∫ •Ad

SVΩ

A = uv ∇ v

，vv v ∇•uA = u • ∇ +A∇ u • A

Ωv u∇(v) • S = d∫∫∫∇ •(u∇)vVd= ∫∫ ∫∇( • uv∇+ u∇ •∇ )dv V∫

=∫∫∫∫ (∇u • v∇ +uv)dΔVΩ

4.算子

运例算8验：证格第林一公与式格第林公式二，v

∫∫( ∇ u v)• d S =

∫∫∫

∇ ( v•∇ +u Δu v dV

Ω)

v∫∫ u ( ∇ v− v∇ u) • S d=S

∫∫ (u Δ∫v −v Δ u)d V

：同证理可，

得v

∫∫ vu ∇ dS•= ∫ ∫∫ ∇v(• u + v∇uΔ)d v ∫∫V ∇uv• d S ∫∫∫ (=u ∇ •v∇+ u v)dΔV

Ω两式

相减可，得，v

∫∫ u ∇( − vv ∇u ) • d S

∫∫∫ (uΔ v v−Δ u )dV

算子运.算例8验：格证第林一公与格林式二第式，公

∫v∫ (u∇ v) •d S

∫∫∫(∇ v ∇•u u +Δv )dV

v ∫ ∫(u ∇v − ∇v u ) d S =

•

∫∫∫(u Δ v− v Δu )d

Ω由

于

∫∫ uv∇v• d =S∫ ∫ ∫(∇ u •v∇+ uΔv) V

Ωd

当u=v 时，可得，通用形式的

， S SΩ

∇uu• dS = ∫∫ ∫( ∇u() 2+ Δu ud)V ∫

∫

v u ∇ v )( • dSn ∫=

(∫∇ v•∇ u + u ∇ 2 v dV )∫∫

Ω∫

vv 2 u2u •∇nd S =∫∫∫(∇u(2 + )u2∇)ud ∫∫ (Vu∇v− v u∇ ) •ndS= ∫∫(u∇ v −∫ ∇vu )dV ∫，∫S

.4算子运算v v

v v vv vr 例：设a, b 为常，矢 x=i+ y j +k z = ，r，求证r

（

习题第76题

v v）（1）v∇ ( r • a)= a ; v1v v （ 2） •∇( r a ) = r (• a ) r 1; v vv（3） ∇× ( ar) =( ×r a); r vvv v （4v ∇ ） [(× r a• b) ]= a × ;b

v2 v v v v v v v（5 ∇） (a× r )=2[( a • a ) −r( a r•) a ] .

子运算

v v v 算vv v vr 例：设a b, 常矢，为 =x + yj + ik ， z r =，求证

（r习题7第题）6

v v v v v = ( ∂ iv ∂ v++ ∂k )( r • a ) j 明证：1（）∇ r(• a )∂ v ∂v ∂ v v ( =i j++k ) (xa x +y a +yz za ) a=. ∂ x∂ yz ∂x∂∂ ∂y

vvv v r vv= 1 ( r •a .)v （2） ∇•( a ) =r ∇r• a +∇r() • a = r•a vr v vvv vr =1 ( × ar). v （）3∇ × ( ra) = r∇ × a+( ∇r ) a = ×r× a r vv v vv vv vv v v4（）∇ × (r[ •a )b = (]r• a) ∇× b + ∇[( r a•]× ) b a × =

算.运子

算 vvv v v vvr 例设：a,b 为矢常，= x + yi + jkz， =r ，证求r

习（7题第题6）v v

v 2vv v ∇ a (× r)= ∇ [( × r a ) •( a× r )] 证：（5明）v v v vvv v v v v v v( ×a ) • ( b × d ) = ( ca• c )( b• d ) −( •ad )(b • c v v)v v v vv vv v 2= ∇[ ( a • a)( r • r ) −( a• r ) a • r () ]∇( a × )rv v v v2 2 = ( a a• )∇(

r ) −∇ ( • ar ) vv v v vv= 2 r (a a•) ∇ r− 2( a • r∇) ( a•r v v v)r v vv =2r (a •a ) −(a2• r a r) v v vvv v = [(2a • a) r− (a • r ) a]

算子运.算

v：已知函例 u数和源场无A 别分满足，

v vΔ u= ( F x,y ,z ), Δ A = −G (x, y z, ) vv 证求 B =∇ u + ∇× A 满足下以程方（习题组第7题7 v ） vv ∇ •B = F(x , y , z ) , ∇×B =G ( x,y , z ) v 证v：因 B明 =∇ u + ∇× vA v v有 ∇ • =B∇ • ∇( u+ ∇ ×)A= ∇ • ∇u +∇ • (∇ ×A) v=Δ u +∇ (•∇ × )A v 代，入 ∇ •∇ ( ×) = A, 0Δu = ( F x, y, z ), v v∇• = BΔu + ∇• ( ∇ × A) = F ( x, y ,z ) + 0 = (F x, y z, )

.算4子运

v 例算：知已函 u数和源无场分A别满足，v

v Δu = F (x, y, z) ,Δ =A− (G x, y , )zv v 求证 B ∇u=+ ∇ ×A 满足以下方程组（习7第7题题）v vv ∇ B =• F x ,( ,y z) ,∇× =B G ( ,xy , z )v v B= ∇ u + × A ∇证：明因 v vv ∇×有B = ∇ ×(∇ +u∇ × A =) ×∇u ∇ ∇× +∇× A() vv = ∇×∇ u +∇ ( • ∇A) − Δ A

代入，∇ × ∇u( ) =0,

v vv Δ A = G (− x ,y ,z ,) ∇ • A = 0

v v∇ × B =G ( , y , xz )

.4子算运

算v ：设例为区域S 的边界曲面，n Ω为S 的向单外法位，f矢 g与均为 Ω的调中函数，证明

和1）（2）（（）

3∫∫

∫∫S

S∫∫

∂

fd S 0 =∂n∂ 2 fd = ∫∫∫ ∇S f Vdf ∂nΩ ∂ f g∂dS （习题78题第）d =S∫∫ fg∂ n n ∂

S v∫ ∫( u∇ ) v d • =SS

明证（1：）格林第公式一，为

∫∫

∫( v •∇∇ u + u Δv ) d V

4算.运算子

v证：明1（）∫∫ (u ∇ v )• Sd =

∫∫∫ ∇ ( • ∇vu +u Δv ) d

令 =u , 1 v= f，可，

v得 ∫ ∫(∇1f ) d• S =S

∫∫ (∫∇ •f ∇1+ 1Δ f ) d

ΩV

f 为

和函调，数故 fΔ= 0 ，故有， v v= f∂ S d∫ ∫∇( f) •d S =0 ∫=∫ ( ∇ f) • dSn∫∫ n ∂SS S

为Ω 中和调数函充的要条是件，

∫

∂ fSd 0 ∂=

.子算算

v 证明运：2）（ ∫ ∫(u∇ v ) d S =

•S

∫∫

∫( ∇ v• ∇ u+ u Δ v ) dV

Ω令u f=, v f =，可，得S

∫v ∫ f ∇(f •) d S ∫=∫∫ (∇f• f∇+ fΔ f)d

为调和函数f故， fΔ 0 =故，有 v ， 2∫∫( ∇f f)• S = d∫∫∫ f∇d V

∂f v v f (f∇) dS • =∫∫( f ∇ f • )dSn= ∫ ∫f ∂ndS ∫∫S

∫∫

Sf dS = f∂ ∂

∫n∫

∫f

∇

.子运算

算v证明： 3） ∫∫（( u∇v −v ∇ )u dS•= ∫∫∫ u(Δv− vuΔ) Vd

Ω令 =uf , v g=，得，

可S

v∫ ( ∫f∇g− g∇f )• S =d ∫∫ ∫ (Δgf− Δfg) d

VΩ

, 为调g函和，数 Δ故f = ,0 Δg = 0 故，有， ∫v (∫ ∇gf −∇g f)• Sd 0

∫∫S

f∇g v d•S =∫∫ gf ∇• SdS

∫

fv∇ •gn Sd =∫∫

g∇f• ndS S

∫

∂gS ∂ff dS = ∫ g∫d S∂ ∂nnS

.4算运算子例：证明v

vv v v v v vvv ∇× ( A ×B)= ( B • ) ∇A− ( A •) ∇ −BB ∇(• A) + A(∇ • （14B） )

v v ∇：证算首子是算先子，对A B,分别起用，作v v v vvv vv ∇ × (A × B) ∇=A × ( A B)× + ∇B × (A ×B ) vv∇ 算又是子普通矢，与 A量 , 构成B重叉双积，r v vv v v v vv A× (B ×C ) B =( A •C) C−(A • B )v

v 式右上第一端项算子为 ∇不能，成写∇ A•B ，

vv v v v v v ∇vA (× A× B = )( B• ∇ A ) A− ∇ ( • AA B

v) vv v vv v v vvv v ∇ ×B( × A B ) =∇−B × (B × A )= − ( A • ∇B) B+ (∇ B • )B

vv v v vv v vvv ×∇ A(× B) =( B •)∇ A− ( • ∇A B)− B(∇ • )A+ A ∇ (• B)