含部分延期交货的多级库存模型

第23卷第3期2010年9月

青岛大学学报(自然科学版) V o l. 23N o. 3

Sep. 2010JOURNAL OF QINGDAO UNIVERSITY (Natural Science Edition)

文章编号:1006 1037(2010) 03 0086 04

doi:10. 3969/j. iss n. 1006 1037. 2010. 03. 019

含部分延期交货的多级库存模型

王丛丛, 季雅萍, 徐如乾, 胡劲松

(青岛大学商学院管理科学与工程系, 山东青岛266071)

*

摘要:考虑到多级库存管理是供应链管理的重要形式, 研究了外部需求确定环境下的允许缺货且部分延期交货的多级库存系统管理问题, 建立了含缺货费用和销售损失费用的费用模型, 推导出了最优订货策略的算法。算例分析表明, 延期交货率增大, 最小费用减小; 销售损失成本增大, 最小费用增大。关键词:多级库存; 序列系统; 延期交货中图分类号:F274

文献标志码:A

现行的企业库存管理模式是从单一企业的角度考虑库存问题, 因而并不能使供应链整体达到最优。要进行供应链的全局性优化与控制, 必须采用多级库存优化与控制。近年来, 许多学者对多级库存系统进行了广泛的研究。Chiang 等

[1]

研究了不允许缺货情况下随机需求的两级库存问题。Geethar am anni, 等

[2]

研究

了不允许缺货情况下含模糊需求的多级库存系统。Gumus 等[3]研究了不允许缺货情况下在模糊和随机混合环境下的多级供应链库存模型。Gianno ccaro 等[4]研究了存在延期交货情况下需求为模糊变量的多级库存问题。然而在实际过程中可能由于一部分顾客拒绝以延期交货的形式来满足需求, 而是选择到别处购买, 此时会造成一部分销售损失。而有关允许缺货且存在销售损失的多级库存问题方面的研究还鲜见报道。鉴于此, 本文研究了允许缺货且延期交货率确定的多级库存系统模型。

1 模型符号与假设

1. 1 模型符号

为需求率; T i 为节点i 的订货间隔; k i 为节点i 的订购费用; h i 为节点i 的库存费率; h i 为节点i 的级库存费率, 且h i =h i -h i +1; 为延期交货率; p 为单位时间单位产品的缺货费用; 为单位时间单位产品的销售损失费用。 C (t) 为由t 决定的固定策略的平均费用。1. 2 模型假设

1) 具有N 节点的序列系统结构; 2) 采用网状存储策略, 对所有i(i =1, , N ) , 当节点i 订货时, 节点i -1也订货, 即一个节点的订货引发所有下游点的订货; 3) 级存储费率h i (每单位) 是固定且非负; 4) 需求在节点1连续发生, 外部需求允许系统缺货且具有确定延期交货率; 5) 补货是瞬时的, 备货期是0; 6) 目标是最小化系统长期平均库存费用。

2 模型建立与算法

2. 1 模型建立

基于模型假设, 节点1在周期T 1内的存储状态图如图1所示。

*

收稿日期:2010 05 20

基金项目:国家自然科学基金资助项目(70671056)

:( ) , , , :

第3期王丛丛, 等:

含部分延期交货的多级库存模型

87

图1 节点1在周期T 1内的存储状态图

图2 节点i 在周期T i 内的存储状态图

节点i 在周期T i 内的存储状态图如图2所示, 其中i =2, , N 。命题1 在周期T 1内节点1的单位时间的存储、缺货、销售损失费用之和为

1C 1(T 1) =H 0T 1, 其中, H 0=。

2[P +(1- ) ]+h 1

2

(1)

证明 根据存储状态图1, 存储量存在关系S = t 1, 缺货量B = (T 1-t 1) , 销售损失量(1- ) B =(1- ) 111

(T 1-t 1) , 所以节点1在周期T 1内的存储费为t 1h 1=t 1h 1=; 节点1在周期T 1内的缺货费为

222111111=(T 1-t 1) P =; 节点1在周期T 1内的销售损失费为

222(1- ) B(T 1-t 1) (1- ) (T 1-t 1) (1- ) (T 1-t 1) 2

=(T 1-t 1) =。于是, 节点1在周期T 1内的存储、

222

缺货、销售损失费用之和为

111111C 1(T 1) =++

222

2

2

2

2

(2)

对C 1(T 1) 分别求关于t 1的一阶导数和二阶导数:

111t 1- P (T 1-t 1) - (1- ) (T 1-t 1) d t 1=h

211=h 1 + P + (1- ) d t 1

d 2C 1(T 1) *

因为0! ! 1, h 1, , P 均为非负数, 所以∀0, 因此, 存在t 1使得C 1(T 1) 最小。

d t 1

d C 1(T 1) [P +(1- ) ]T 1*

1=令=0, 得t

d t 1h 1+[P +(1- ) ]将t 1代入C 1(T 1) 得

1[P +(1- ) ]T 1

C 1(T 1) =2

h 1+[P +(1- ) ]

*

2

[P +(1- ) ]T 1+2T 1-1

h +[P +(1- ) ]

2

2

+

(3)

122+2

1H 010T 1-=T =22h 1P +(1- ) 2T H h 1+[P +(1- ) ]1

因此在周期T 1内节点1的单位时间的存储、缺货、销售损失费用之和为

C 1(T 1) =

11=H 0T 1。 证毕。T 12

命题2 在周期T i 内节点i 的单位时间存储费为C i (T i ) =2 h i (T i -T i -1) , 其中i =2, , N 。

22[2T i -1T i (m i -1) -(m i -m i ) T i -1]T i -1+ +h i (T i -(m i -1) T i -1) T i -1=h i

(4)

证明 节点i(i =2, , N ) 在周期T i 内的总存储费为C i (T i ) =h i (T i -T i -1) T i -1+h i (T i -2T i -1)

88

因为T i =m i T

i -1

青岛大学学报(自然科学版)

, 所以

22 h i (T i -m i T i -1) 2

第23卷

i 222h [2T i -1m i (m i -1) -(m i -m i ) T i -1]=2

i i 因此在周期T i 内节点i 的单位时间存储费为C i (T i ) ==

T i

C i (T i ) =

费用之和。

命题3 序列系统的单位时间总费用为

C (T ) =

其中T =(T 1, T 2, , T N ) 。证明 C (T ) =h 3T 2+2h N T i=2N

i=2

(5)

h i (T i -T i -1) , i =2, , N 。证毕。2

序列系统的单位时间总费用为各节点单位时间的订购费用、存储费用、及节点1的缺货费用和销售损失

#

N

i +h i

T i +T i 2

N

1+(H 0-h 2) T 1T 12

N

(6)

#

h 4T 42

i 1h i (T i -T i -1) +#i +1+H 0T 1=#2T 2i=2T i =2

-h 4T 3+ +h N -1T N -1-22

i=2

i +h 2T 2-h 2T 1+h 3T 3-T i 222h N -1T N -2+h N T N -22

i=2

1N -1++H 0T 1

=

T 12

#

N

i 1+h 2T 2+h 3T 3+ +h N T N ++H 0T 1-h 2T 1=T i 222T 122

#

N

i 1+h i T i ++(H 0-h 2) T 1, 证毕。T i 2T 12

根据命题3, 最优订货策略可表述为如下的规划问题:

N

min C (T) =T i =m i T

i -1

i=2

#

i +h i T T i 2

i

+

1+(H 0-h 2) T 1T 12

, i =2, , N

2. 2 模型算法

基于上述模型, 推导出了部分延期交货的序列系统最优订货策略算法。

将节点N 分成几组或几圈, 具有相同的订货间隔的节点分成一组或一圈, 令N m 表示一个独立的圈, 设置下标m 表示圈中最小的节点数i 。pr ev (m) =紧跟在m 所在的圈之前的圈的下标。

对任何子集M N, 定义:K (M) =

#

i ∃M

K i , G(M) =

#

i ∃M

G i , 其中G i = h i , X (M) =K (M) /G (M) 。

Step 1. 令N i ={i}, i =1, , N , 则prev (i) =i +1, 计算X (N i ) =K i /G i ;

Step 2. 对i =N , , 1; 如果prev (i) %0且X (N prev (i) ) ! X (N i ) , 则重新设置N i =N prev (i) U N i , 计算K (N i ) =K (N prev (i) ) +K (N i ) , G (N i ) =G (N prev (i) ) +G (N i ) , X (N i ) =K (N i ) /G (N i ) , pr ev (i) =prev (prev (i) ) , T (N i ) =[2X (N i ) ];

Step 3. 选择任意固定值T 0, 令n(N i ) =与log 2

*

i *n(N ) *

最接近的整数, 计算T (N i ) =2i T 0, T (j ) T 0

*

*

=T *(N i ) , j 为N 个节点中属于圈N i 的节点, T *=(T *j ) j ;

Step 4. 将T 的值代入目标函数, 得相应的最小费用, 即C =C (T ) 。

3 计算示例

考虑具有如下参数的多级序列系统:N =4, =1, 所有h i =1, G i =1(i =1, , 4) , K 1=2, K 2=2, K 3=8, K 4=4, p =16, =20, =0. 5, T 0=1。

***

基于上节算法, 可得多级序列系统的最优订货策略T *1=2, T 2=2, T 3=4和T 4=4, 最小费用C *=

10. 4667。延期交货率 和销售损失费用 对最优订货策略的影响结果示于表1。

第3期王丛丛, 等:含部分延期交货的多级库存模型

表1 延期交货率以及销售损失费用对最优订货策略的影响

延期交货率( )

89

销售损失费用( )

T

42060200

*

1

T

*2

0. 5

T

*4

1

T

*4

T *3

C (T )

*

T *12222

T *22222

T *

3

C (T *

) T *

1T *2T *34444

T *44444

C (T *) 10. 200010. 200010. 200010. 2000

2222

2222

4444

4444

10. 333310. 600010. 800010. 9273

4444

4444

10. 272710. 466710. 680010, 8667

2222

2222

结果表明, 1) 延期交货率增大时, 最小费用减小, 完全延期交货时最小费用最小; 2) 销售损失成本增大时, 最小费用增大。

4 结语

本文研究了一个允许缺货且部分延期交货情况下的序列系统库存策略制定问题, 建立了含缺货费用和

销售损失费用的多级库存管理模型。算例分析表明销售损失费用增大将导致库存总费用变大, 延期交货率增加将导致库存费用变小。由于延期交货率很难估计且常常表现为模糊不确定性, 未来可进一步研究含模糊延期交货率的多级库存策略。参考文献:

[1] Chiang W K , M onahan G E. M anaging inventor ies in a two echelon dual channel supply chain [J].Eur opean Journal o f

O per ational R esear ch, 2005, 162(2) :325 341.

[2] Geethar amanni G , T hangav el K , Elang o C. F uzzy multi echelo n invento ry system [J]. Research Jo ur nal of A pplied Sci

ences, 2007, 2(5) :568 573.

[3] Gumus A T , Guner A F. A multi echelon inv ento ry manag ement fr amewo rk for st ochastic and fuzzy supply chains [J].

Ex per t Systems w it h A pplicatio ns, 2009, 36(3) :5565 5575.

[4] G iannoccaro I, P ontrandolfo P, Sco zzi B. A fuzzy echelon a ppro ach for inventor y manag ement in supply chains [J].Eu

ro pean Jo urnal of Operatio na l Research, 2003, (149) :185 196.

Multi echelon Inventory Model with Partial Backorder

WA N G Cong cong, JI Y a ping, XU Ru qian, H U Jin song

(Department o f Management Science and Eng ineering , Qingdao U niversity, Qingdao 266071, China) Abstract:Considering backo rdering playing an important ro le in real invento ry m anagement, a multi eche lon inventory m odel w ith given backorder is proposed under the environment o f deterministic dem and. The to tal cost model w ith sho rtag e cost and lost sale cost is dev elo ped. The algor ithm is desig ned to obtain op timal order po licy. Numerical ex ample show s the effect of backorder rate and lost sale co st o n the optimal results. Results show that the total cost per unit time decr eases as the backorder rate incr eases, and the to tal co st per unit time decreases as the lo st sale cost increases. Key words:multi echelon inventory ; serial sy stems; backorder

责任编辑:马述立英文校对:孔伟金

第23卷第3期2010年9月

青岛大学学报(自然科学版) V o l. 23N o. 3

Sep. 2010JOURNAL OF QINGDAO UNIVERSITY (Natural Science Edition)

文章编号:1006 1037(2010) 03 0086 04

doi:10. 3969/j. iss n. 1006 1037. 2010. 03. 019

含部分延期交货的多级库存模型

王丛丛, 季雅萍, 徐如乾, 胡劲松

(青岛大学商学院管理科学与工程系, 山东青岛266071)

*

摘要:考虑到多级库存管理是供应链管理的重要形式, 研究了外部需求确定环境下的允许缺货且部分延期交货的多级库存系统管理问题, 建立了含缺货费用和销售损失费用的费用模型, 推导出了最优订货策略的算法。算例分析表明, 延期交货率增大, 最小费用减小; 销售损失成本增大, 最小费用增大。关键词:多级库存; 序列系统; 延期交货中图分类号:F274

文献标志码:A

现行的企业库存管理模式是从单一企业的角度考虑库存问题, 因而并不能使供应链整体达到最优。要进行供应链的全局性优化与控制, 必须采用多级库存优化与控制。近年来, 许多学者对多级库存系统进行了广泛的研究。Chiang 等

[1]

研究了不允许缺货情况下随机需求的两级库存问题。Geethar am anni, 等

[2]

研究

了不允许缺货情况下含模糊需求的多级库存系统。Gumus 等[3]研究了不允许缺货情况下在模糊和随机混合环境下的多级供应链库存模型。Gianno ccaro 等[4]研究了存在延期交货情况下需求为模糊变量的多级库存问题。然而在实际过程中可能由于一部分顾客拒绝以延期交货的形式来满足需求, 而是选择到别处购买, 此时会造成一部分销售损失。而有关允许缺货且存在销售损失的多级库存问题方面的研究还鲜见报道。鉴于此, 本文研究了允许缺货且延期交货率确定的多级库存系统模型。

1 模型符号与假设

1. 1 模型符号

为需求率; T i 为节点i 的订货间隔; k i 为节点i 的订购费用; h i 为节点i 的库存费率; h i 为节点i 的级库存费率, 且h i =h i -h i +1; 为延期交货率; p 为单位时间单位产品的缺货费用; 为单位时间单位产品的销售损失费用。 C (t) 为由t 决定的固定策略的平均费用。1. 2 模型假设

1) 具有N 节点的序列系统结构; 2) 采用网状存储策略, 对所有i(i =1, , N ) , 当节点i 订货时, 节点i -1也订货, 即一个节点的订货引发所有下游点的订货; 3) 级存储费率h i (每单位) 是固定且非负; 4) 需求在节点1连续发生, 外部需求允许系统缺货且具有确定延期交货率; 5) 补货是瞬时的, 备货期是0; 6) 目标是最小化系统长期平均库存费用。

2 模型建立与算法

2. 1 模型建立

基于模型假设, 节点1在周期T 1内的存储状态图如图1所示。

*

收稿日期:2010 05 20

基金项目:国家自然科学基金资助项目(70671056)

:( ) , , , :

第3期王丛丛, 等:

含部分延期交货的多级库存模型

87

图1 节点1在周期T 1内的存储状态图

图2 节点i 在周期T i 内的存储状态图

节点i 在周期T i 内的存储状态图如图2所示, 其中i =2, , N 。命题1 在周期T 1内节点1的单位时间的存储、缺货、销售损失费用之和为

1C 1(T 1) =H 0T 1, 其中, H 0=。

2[P +(1- ) ]+h 1

2

(1)

证明 根据存储状态图1, 存储量存在关系S = t 1, 缺货量B = (T 1-t 1) , 销售损失量(1- ) B =(1- ) 111

(T 1-t 1) , 所以节点1在周期T 1内的存储费为t 1h 1=t 1h 1=; 节点1在周期T 1内的缺货费为

222111111=(T 1-t 1) P =; 节点1在周期T 1内的销售损失费为

222(1- ) B(T 1-t 1) (1- ) (T 1-t 1) (1- ) (T 1-t 1) 2

=(T 1-t 1) =。于是, 节点1在周期T 1内的存储、

222

缺货、销售损失费用之和为

111111C 1(T 1) =++

222

2

2

2

2

(2)

对C 1(T 1) 分别求关于t 1的一阶导数和二阶导数:

111t 1- P (T 1-t 1) - (1- ) (T 1-t 1) d t 1=h

211=h 1 + P + (1- ) d t 1

d 2C 1(T 1) *

因为0! ! 1, h 1, , P 均为非负数, 所以∀0, 因此, 存在t 1使得C 1(T 1) 最小。

d t 1

d C 1(T 1) [P +(1- ) ]T 1*

1=令=0, 得t

d t 1h 1+[P +(1- ) ]将t 1代入C 1(T 1) 得

1[P +(1- ) ]T 1

C 1(T 1) =2

h 1+[P +(1- ) ]

*

2

[P +(1- ) ]T 1+2T 1-1

h +[P +(1- ) ]

2

2

+

(3)

122+2

1H 010T 1-=T =22h 1P +(1- ) 2T H h 1+[P +(1- ) ]1

因此在周期T 1内节点1的单位时间的存储、缺货、销售损失费用之和为

C 1(T 1) =

11=H 0T 1。 证毕。T 12

命题2 在周期T i 内节点i 的单位时间存储费为C i (T i ) =2 h i (T i -T i -1) , 其中i =2, , N 。

22[2T i -1T i (m i -1) -(m i -m i ) T i -1]T i -1+ +h i (T i -(m i -1) T i -1) T i -1=h i

(4)

证明 节点i(i =2, , N ) 在周期T i 内的总存储费为C i (T i ) =h i (T i -T i -1) T i -1+h i (T i -2T i -1)

88

因为T i =m i T

i -1

青岛大学学报(自然科学版)

, 所以

22 h i (T i -m i T i -1) 2

第23卷

i 222h [2T i -1m i (m i -1) -(m i -m i ) T i -1]=2

i i 因此在周期T i 内节点i 的单位时间存储费为C i (T i ) ==

T i

C i (T i ) =

费用之和。

命题3 序列系统的单位时间总费用为

C (T ) =

其中T =(T 1, T 2, , T N ) 。证明 C (T ) =h 3T 2+2h N T i=2N

i=2

(5)

h i (T i -T i -1) , i =2, , N 。证毕。2

序列系统的单位时间总费用为各节点单位时间的订购费用、存储费用、及节点1的缺货费用和销售损失

#

N

i +h i

T i +T i 2

N

1+(H 0-h 2) T 1T 12

N

(6)

#

h 4T 42

i 1h i (T i -T i -1) +#i +1+H 0T 1=#2T 2i=2T i =2

-h 4T 3+ +h N -1T N -1-22

i=2

i +h 2T 2-h 2T 1+h 3T 3-T i 222h N -1T N -2+h N T N -22

i=2

1N -1++H 0T 1

=

T 12

#

N

i 1+h 2T 2+h 3T 3+ +h N T N ++H 0T 1-h 2T 1=T i 222T 122

#

N

i 1+h i T i ++(H 0-h 2) T 1, 证毕。T i 2T 12

根据命题3, 最优订货策略可表述为如下的规划问题:

N

min C (T) =T i =m i T

i -1

i=2

#

i +h i T T i 2

i

+

1+(H 0-h 2) T 1T 12

, i =2, , N

2. 2 模型算法

基于上述模型, 推导出了部分延期交货的序列系统最优订货策略算法。

将节点N 分成几组或几圈, 具有相同的订货间隔的节点分成一组或一圈, 令N m 表示一个独立的圈, 设置下标m 表示圈中最小的节点数i 。pr ev (m) =紧跟在m 所在的圈之前的圈的下标。

对任何子集M N, 定义:K (M) =

#

i ∃M

K i , G(M) =

#

i ∃M

G i , 其中G i = h i , X (M) =K (M) /G (M) 。

Step 1. 令N i ={i}, i =1, , N , 则prev (i) =i +1, 计算X (N i ) =K i /G i ;

Step 2. 对i =N , , 1; 如果prev (i) %0且X (N prev (i) ) ! X (N i ) , 则重新设置N i =N prev (i) U N i , 计算K (N i ) =K (N prev (i) ) +K (N i ) , G (N i ) =G (N prev (i) ) +G (N i ) , X (N i ) =K (N i ) /G (N i ) , pr ev (i) =prev (prev (i) ) , T (N i ) =[2X (N i ) ];

Step 3. 选择任意固定值T 0, 令n(N i ) =与log 2

*

i *n(N ) *

最接近的整数, 计算T (N i ) =2i T 0, T (j ) T 0

*

*

=T *(N i ) , j 为N 个节点中属于圈N i 的节点, T *=(T *j ) j ;

Step 4. 将T 的值代入目标函数, 得相应的最小费用, 即C =C (T ) 。

3 计算示例

考虑具有如下参数的多级序列系统:N =4, =1, 所有h i =1, G i =1(i =1, , 4) , K 1=2, K 2=2, K 3=8, K 4=4, p =16, =20, =0. 5, T 0=1。

***

基于上节算法, 可得多级序列系统的最优订货策略T *1=2, T 2=2, T 3=4和T 4=4, 最小费用C *=

10. 4667。延期交货率 和销售损失费用 对最优订货策略的影响结果示于表1。

第3期王丛丛, 等:含部分延期交货的多级库存模型

表1 延期交货率以及销售损失费用对最优订货策略的影响

延期交货率( )

89

销售损失费用( )

T

42060200

*

1

T

*2

0. 5

T

*4

1

T

*4

T *3

C (T )

*

T *12222

T *22222

T *

3

C (T *

) T *

1T *2T *34444

T *44444

C (T *) 10. 200010. 200010. 200010. 2000

2222

2222

4444

4444

10. 333310. 600010. 800010. 9273

4444

4444

10. 272710. 466710. 680010, 8667

2222

2222

结果表明, 1) 延期交货率增大时, 最小费用减小, 完全延期交货时最小费用最小; 2) 销售损失成本增大时, 最小费用增大。

4 结语

本文研究了一个允许缺货且部分延期交货情况下的序列系统库存策略制定问题, 建立了含缺货费用和

销售损失费用的多级库存管理模型。算例分析表明销售损失费用增大将导致库存总费用变大, 延期交货率增加将导致库存费用变小。由于延期交货率很难估计且常常表现为模糊不确定性, 未来可进一步研究含模糊延期交货率的多级库存策略。参考文献:

[1] Chiang W K , M onahan G E. M anaging inventor ies in a two echelon dual channel supply chain [J].Eur opean Journal o f

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Multi echelon Inventory Model with Partial Backorder

WA N G Cong cong, JI Y a ping, XU Ru qian, H U Jin song

(Department o f Management Science and Eng ineering , Qingdao U niversity, Qingdao 266071, China) Abstract:Considering backo rdering playing an important ro le in real invento ry m anagement, a multi eche lon inventory m odel w ith given backorder is proposed under the environment o f deterministic dem and. The to tal cost model w ith sho rtag e cost and lost sale cost is dev elo ped. The algor ithm is desig ned to obtain op timal order po licy. Numerical ex ample show s the effect of backorder rate and lost sale co st o n the optimal results. Results show that the total cost per unit time decr eases as the backorder rate incr eases, and the to tal co st per unit time decreases as the lo st sale cost increases. Key words:multi echelon inventory ; serial sy stems; backorder

责任编辑:马述立英文校对:孔伟金