3 剪切和扭转
1、本章着重研究受剪杆件的剪切应力计算，对剪切实用计算作如下主要假设：
1） 假设剪切面上的剪应力均匀分布，方向与剪力一致，由此得出剪切的名义切应力
τ=
剪切强度条件为
Q A
Q
≤[τ] A
τ=
2） 假设挤压面上的挤压应力均匀分布，方向垂直于挤压面，由此得出名义挤压应力
σjy =
挤压强度条件为
F jy A jy
σjy =
F jy A jy
≤σjy
[]
注意到，强度条件中的许用应力是在相似条件下进行试验，同样按应力均匀分布的假设 计算出来的。
2、剪切构件的强度计算与轴向拉压时相同，也是按外力分析，内力分析，强度计算等几个步骤进行的。
3、通过对受扭薄壁圆筒的分析引入：
(1) 纯剪切单元体和剪应力及剪应力互等定理； (2) 剪应变和剪切胡克定律 τ=Gγ；
它们是研究圆轴扭转时应力和变形的理论基础，也是材料力学中重要的基本概念和基本规律。
4、在平面假设下，利用上述基本概念和规律得到圆轴扭转： 外力偶矩 T =954P (kW )n
(N ⋅m )
或 T =P (马力)n
(N ⋅m ) 。
剪应力公式 τρ=
T ρ I p
式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。 变形公式
ϕ=
T l
GI p
强度条件 τmax ≤[τ]
τmax =
T
W P
ϕ
l =
T
（rad/m） GI p
单位长度扭转角 θ=
把弧度换算为度，圆杆扭转时的刚度条件为
θ=
T 180
/m） ≤[θ] （°
GI p π
剪切胡克定律τ=Gγ
危险剪应力（）均依赖扭转实验研究。
5、对非圆截面杆的扭转应掌握以下要点： (1) 翘曲现象；
(2) 自由扭转与约束扭转的基本特点； (3) 矩形截面杆扭转剪应力的分布特点
解题范例
3.1 如图3.1（a ）所示某起重机的吊具，吊钩与吊板通过销轴联结，起吊重物F 。己知：F ＝40kN ，销轴直径D ＝22mm ，吊钩厚度t ＝20mm 。销轴许用应力：
[τ]=60M P a , [σjy ]=120M P a 。试校核销轴的强度。
[解] （1）剪切强度校核
销轴的受力情况如图3.1（b ）、（c ）所示，剪切面为mn 和op 。截取mnop 段作为脱离体，在两剪切面上的剪力为
F s =剪应力强度条件为 τ=
F
2
F s
≤[τ] A
图3.1
（c ）
（a ）
将有关数据代入，得
F
τ==
2A
故安全。
40⨯103
==52. 6⨯106Pa =52. 6MPa
3. 14πD 2⨯⨯0. 02222⨯
44F
（2）挤压强度校核
销轴与吊钩及吊板均有接触，所以其上、下两个侧面都有挤压应力。设两板的厚度之和比钩厚度大，则只校核销抽与吊钩之间的挤压应力即可。 挤压应力强度条件为
σjy =
将有关数据代入，得
σ
故安全。
F
≤σjy A jy
[]
jy
F F 40⨯103====91⨯106Pa =91MPa ≤σjy A jy D ⨯t 0. 022⨯0. 02
[]
3.2 一木质拉杆接头部分如图3.2（a ）、（b ）所示，接头处的尺寸为h ＝b ＝18cm ，材料
的许用应力[σ]＝5MPa ，[σbs ]＝10MPa ，[τ]＝2.5MPa ，求许可拉力P 。
P
（a ）
P
（b ） 图3.2
P
[解] 按剪切强度理论计算
τ=
Q P
=≤[τ]
A lb
P ≤[τ]lb ≤2. 5⨯106⨯0. 182=81000=81kN
按挤压强度计算：
σbs =
P bs P
=≤[σbs ]A bs h
⨯b
3
h 0. 18
P ≤[σbs ]⨯⨯b =10⨯106⨯⨯0. 18=108000=108kN
33
按拉伸强度计算：
σ=
P h b ⨯3
≤[σ]
P ≤[σ]⨯b ⨯
因此，允许的最小拉力为54kN 。
h 0. 18=5⨯106⨯0. 18⨯=54000=54kN 33
3.3 等截面传动轴的转速n=150r/min，由A 转输入功率N A ＝8kW ，由B 、C 、D 各轮输出功率分别为N B =3kW，N C =1kW，N D =4kW。己知轴的许用剪应力[τ]＝60MPa ，剪切弹性模量G ＝80GPa ，[θ]=2/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
[解] 四个轮各自的位置如图3.3（a ）所示，其中A 轮应放在轴的中间位置，使得从A
°
轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A 、B 、C 、D 各点的扭矩
（a ）
（b ） 图3.3
-63.6N·m
8
T A ==509. 2(N ⋅m )
1503
T B ==191. 0(N ⋅m )
150
1
T C ==63. 6(N ⋅m )
1504
T D ==254. 6(N ⋅m )
150
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图3-3（b ）。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA 、AB 段，为
T max =254. 6kN ⋅m
最大剪应力为
τmax =
T max 254. 6
= πd 3W t
16
强度条件为
τmax
得到
d ≥T max ⨯16254. 6⨯16
==0. 028m =28mm （1）
6
π[τ]3. 14⨯60⨯10
由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA 、AB 段，等圆截面杆的单位长度的扭转角
θmax
刚度条件为
T max 32T max 180
==⋅4
G I p G πd π
θmax
得
d ≥T max ⨯32⨯180254. 6⨯32⨯180
==0. 031m =31mm （2）
π2G [θ]3. 142⨯80⨯109⨯2
从式（1）和式（2）中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，故轴的直径d ＝31mm
3.4 一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d 1 ，空心轴外径D 2 、内径d 2 ，内外径之比α＝d 2/D 2＝0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。
[解] 两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样 A 1＝A 2 ，即
π
4
可得
d 12=
π
4
(D 22-d 22)
d 12=D 22(1-α2)
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等 T 1＝T 2 。 实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
ϕ1=
T 1l
GI p 1
, ϕ2=
T 2l
GI p 2
式中，l 为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比
ϕ1I p 232==
ϕ2I p 1
将d 12=D 22(1-α2) 代入上式，则
π
D 24(1-α4) 32d 14
=
D 24(1-α4)
d 1
4
ϕ1D 24(1-α4) (1-α4) 1+α2
=== ϕ2D 2(1-α2) 2(1-α2) 21-α2
2
再将α＝0.8 代入上式，得
ϕ11+0. 82
==4. 56 ϕ21-0. 82
可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。
3.5 两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图3.4（a ）、（b ）所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D ＝40mm ，壁厚t ＝2mm ，长度为l 。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。
（a ）
[解]
（1）开口薄壁圆环
图
3.4
（b ）
开口薄壁圆环可以看成一个长为πD 、宽为t 的狭长矩形，则最大切应力
τ1max =
扭转角
M n M n 3M n
==2
2πDt 2hb πDt 33
ϕ1=
（2）闭口薄壁圆环 最大切应力 τ2max =
M n l M n l 3M n l
==3
3G πDt G hb G πDt 333
M n M n 2M n
==2
12At 2⨯πD 2t πD t 4M n l
GI p
扭转角
ϕ2=
对于薄壁圆环，I p 可以写成
I p =
[(D +t ) 32
π
4
-(D -t ) 4=
]
[8Dt (D 32
π
2
+t 2) ≈
]
π
4
D 3t
因此
ϕ2=
G
（3）两杆最大切应力之比
M n l
=
4
D 3t
4M n l
3
G πD t
τ1max τ2max
两杆扭转角之比
3M n
23D 3⨯40====30 2M n 2t 2⨯22πD t
3M n l
ϕ133D 23⨯402
==2==300 2
4M l ϕ24t 4⨯2n
3
G πD t
讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。
习题解析
3.1 如图3.5示铆接接头，板厚t =2mm ，宽b =15mm ，铆钉直径d =4mm ，许用切应力[τ]=100MPa ，许用挤压应力[σbs ]=300MPa ，许用应力[σ]=160MPa ，试计算接头的许用载荷。
图3.5
[解] 剪切面面积 A 1=
πd 2
4
挤压面积 A bs =td , 危险截面面积A =(b -d )t
由 τ=
P
≤[τ] A 1
6
所以 P ≤A . [τ]=100⨯10⨯
π
4
⨯42⨯10-6=1257N
σbs =
σ=
P
≤[σbs ] ，P ≤A bs [σbs ]=4⨯2⨯10-6⨯300⨯106=2400N A bs
P
≤[σ] ，P ≤A [σ]=(15-4)⨯2⨯10-6⨯160⨯106=3520N A
铆接头要同时满足剪切和拉压强度，所以取[P ]=1257N 。
3.2 图示3.6螺栓接头。已知P =40kN ，螺栓许用切应力[τ]=130MPa ，许用挤压应力[σbs ]=300MPa ，按强度条件计算螺栓所需直径。
图3.6
[解] 有两个铆钉双面受剪，所以每个受剪面上的剪力Q =
P
，挤压面压力N =P ；剪2
切面面积A =
πd 2
4
，挤压面A bs =20d 。
由
Q
≤[τ]得 A
P
80⨯103≤[τ]，d ≥4P ==14mm 6
πτπd 2π⨯130⨯10
4
由
N
≤[σbs ] 得 A bs
N
≤[σbs ] 20d
N 40⨯103
d ≥==6. 7mm
20σbs 20⨯10-3⨯300⨯106
故取d =14mm 。
3.3 试校核拉杆头部的剪切强度和挤压强度，已知图3.7中，D =32mm ，d =20mm ，
h =12mm ，[τ]=100MPa ，[σbs ]=200MPa 。
图3.7
[解] 剪切面面积A =πd h ，挤压面积
A bs =
π(D 2-d 2)
4
；N =Q =50kN
Q 50⨯103
==66. 3MPa
σbs
N 4⨯50⨯103===102. 1MPa
A π32-20⨯10
所以拉杆头部剪切和挤压强度符合要求。
3.4 试绘图3.8所示各轴扭矩图。
2kN ·m
1kN ·m 1kN ·m 2kN ·m
（b ）
3kN ·m （b ）
（a ）
3K 图3.8
3.5 如图3.9示某转动轴，转速n =300r min ，轮1为主动轮，输入功率N 1=50kW ，轮2、3、4为从动轮，输出功率分别为N 2=10kW ，N 3=N 4=20kW 。.
（1）试绘轴的扭矩图。
（2）如将轮1和轮3位置对调，试分析对轴的受力是否有利？ [解] 设外力偶矩为
T 1=N 150=9549⨯=1591. 5N ⋅m n 300N 210=9549⨯=318. 3N ⋅m n 300
T 2=
（b ） 图3.9
T 3=T 4=9549⨯
20
=636. 6N ⋅m
300
求得2－1段截面、1－3段截面和3－4段截面的扭矩分别是
M t 2-1=-318. 3N ⋅m
M t 1-3=m 1-m 2=1273. 2N ⋅m M t 3-4=63. 66N ⋅m
绘制的扭矩图如（a ）所示。
（2）若将轮1和轮3对调位置，则原来各段的扭矩分别为
M ' t 2-1=-318. 3N ⋅m ，M ' t 1-3=-m 2-m 3=-954. 9N ⋅m ，M ' t 3-4=636. 6N ⋅m
轴的扭矩图如（b ）所示，可看出, 与原始情况相比，M ' t 1-3
3.6 某薄壁圆筒，外径D =44mm ，内径d =40mm ，横截面上扭矩M t =750N ⋅m ，试计算横截面上扭转切应力。
[解] 若假设横截面上的剪应力沿壁厚均匀分布，则由薄壁圆筒扭转切应力公式
图3.9 习题3.5图
τ=
M t
⇒τ=2
2πR 0t
750
⎛42⎫
2π⨯ ⎪⨯10-6⨯2⨯10-3
⎝2⎭
2
=135. 3MPa
若按空心圆截面杆扭转的精确理论计算，则横截面上最大的扭转切应力为
τ=
M t 16M t 16⨯750
= ==141. 5MPa 4W p πD 3⎡1-d 4⎤3-9⎡1-⎤π⋅44⨯10⨯⎢⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦
3.7 正方形受剪单元体，边长为a ，材料的剪切弹性模量为G ，设由试验测得对角线的伸长量为a 2000，试求切应力τ。
τ
'
τ
图3.10
C
τ
D
C '
[解] 从右图可知，正方形单元体ABCD 受剪变形为A B 'C 'D ， 由变形图的几何关系可知：
a
=C 1C '=C C 'sin 45 =a γsin 45 2000
则 γ=
2
r a d 2000
2
200G 0
故 τ=G γ=
3.8 空心圆截面轴，外径D =40mm ，内径d =20mm ，扭矩M t =1kN ⋅m ，试计算距圆心ρ处A 点的扭转切应力τA 以及横截面上的最大和最小扭转切应力，设ρ=15mm 。 [解]
M
τA =t ρ=
I p
32⨯1⨯10332⨯103⨯15⨯10-3
t ==63. 7MPa 44
⎡⎤⎡⎤⎛20⎫⎛1⎫πD 4⎢1- ⎪⎥π⋅404⋅⎢1- ⎪⎥⨯10-12
⎢⎝40⎭⎦⎥⎢⎥⎣⎣⎝2⎭⎦16⨯1⨯103
=84. 9MPa 4
⎡⎛1⎫⎤3
π⋅40⋅⎢1- ⎪⎥⨯10-9
⎢⎣⎝2⎭⎥⎦
τmax
M
=t =W p
τmin
M t d 32⨯1⨯103⨯10⨯10-3===42. 47MPa 4
I p 2⎡⎤1
π⋅404⋅⎢1-⎥⨯10-12
⎣2⎦
3.9 一直径为90mm 的圆截面轴，其转速为45r min ，设横截面上最大切应力为50MPa ，试求轴所传递的功率。
[解] 由τmax =
M t
得 W p
M t =W p ⋅τmax =
πd 3
16
⋅τ=
π⨯903⨯10-9
16
⨯50⨯106=7156. 9N ⋅m
N n
Tn 7156. 9⨯45
==33. 73kW 所以 N =
95499549
又 M t =T ，T =9549
2
3.10 当薄壁圆筒的R 0t ≥10时，按公式τ=M t 2πR 0t 计算扭转切应力最大误差是百
分之几？
[解] 设薄壁圆筒的内半径为r ，外半径为R ，平均半径为R 0，壁厚为t ，受到的扭矩为
M t ，则按空心圆截面杆扭转的精确理论计算的切应力为：
τmax =
M t M t R
= W p
R 4-r 42
()
2
与按公式τ=M t 2πR 0t 计算扭转切应力的误差为
M t R
(R -r )τmax -τ
=M t R τmax
4
4
4
-
M t 2πR 02t
(R 2
-r 4
)
11
-
R 4-r 44RR 02t =
1R 4-r 4
2
=1-=
R 4-r 4R 2R 0t
2
(R =1-
+r 2(R +r )(R -r )
2
)
R R +r R -r
r R -r r t ⋅=⋅R R +r 2R R 0
当
R 0R +r r 19=10时，即=10⇒=，则最大误差为4.6％。 t 2(R -r ) R 21
3.11 图3.11表示一圆杆在矩为T 的外力偶作用下发生扭转，两横截面ABE 、CDF 与水
平纵截面ABCD 的交线AB 与CD 从原来的平行关系变成空间斜交，试问它们的空间交角的大小都与哪些因素相关？
图3.11
[解] 由ϕ=
M t l
可知，交角φ与扭矩M t 和AB 、CD 两线间距离l 成正比，与圆杆的抗GI p
扭截面刚度GI p 成反比。
3.12 某小型水电站的水轮机容量为50kW ，转速为300r min ，钢轴直径为75mm ，如果在正常运转下且只考虑扭转作用时，其许用切应力[τ]=20MPa ，试校核该轴的强度。
[解] T =9549又T =M t
N 50
=9549⨯=1591. 5N ⋅m n 300
该轴的最大工作切应力
τmax =
M t 16M t 16⨯1591. 5
===19. 2MPa
所以，该刚轴强度符合要求。
3.13 圆轴的直径d =50mm ，转速为120r min ，若该轴横截面上最大切应力为
60MPa ，问所传递的功率为多少千瓦？
[解] 由τmax =
M t 16M t
得 =3
W p πd
M t =
πd 3
16
⋅τmax =
π⨯503⨯10-9
16
⨯60⨯106=1472. 6N ⋅m
又M t =T ，T =9549
N
n
N =
n ⋅T
=1472. 6⨯1209549=18. 5kW 9549
3.14 已知钻探机钻杆外径D =60mm ，内径d =50mm ，功率N =7. 355kW ，转速
n =180r min ，钻杆入土深度l =40m ，钻杆材料的G =8⨯104MP a ，许用切应力
[τ]=40MPa 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均布的，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度t ； （2）作钻杆扭矩图，并进行强度校核；
（3）钻杆入土段相距10m 的A 、B 两截面的相对扭转角。
t
(x
)
图 3.12
[解]（1）由M t =T =9549
N 7. 335=9549⨯=389N ⋅m n 180
假定阻力矩沿长度均匀分布，则有
T =l ⋅t ⇒t =
T 389==9. 725N ⋅m /m l 40
（2）距钻杆下端x 处截面的扭矩为
M t (x )=tx
所以扭矩图为一斜直线，如图3.12所示，M t max =389N ⋅m 。 强度效核：
τ=
M t max
=W P
16⨯389
π⋅603⎢1-
⎢⎣
⎡
⎛50⎫
⎪⎝60⎭
4
⎤-9⎥⨯10⎥⎦
=17. 75MP a
满足强度要求。
（3）由d ϕ=
M t (x ) dx
得，
GI P
40
ϕAB =⎰
40
40txdx M t (x ) dx tx 2=⎰=0GI P GI P 2GI P
=
9. 725⨯402
2⨯80⨯109⨯
(60
32
4
-504⨯10-12
)
=0. 148rad =8. 5
3.15 图示一直径为50mm 的圆轴，两端受矩为M t =1kN ⋅m 的外力偶作用而发生扭转，轴的材料剪切弹性模量G =8⨯10MPa ，试求：
4
d
（1）横截面上A 点到轴心的距离为ρA =，试求该点
4
力τA 和切应变γA ；
（2）最大切应力和单位长度轴的扭转角θ。
图3.13
[解] 轴仅在两端受外力偶矩作用，所以任一横截面扭矩均为T =M t =1kN ⋅m 。 （1）ρA =
d
处：切应力为 4
T 32⨯1⨯10350⨯10-3
τA =ρA =⋅=20. 4MPa
I p π⨯504⨯10-124
切应
20. 4⨯106==2. 55⨯10-4rad 切应变 γA =10G 8⨯10
τA
（2）τmax
T 16⨯1⨯103
===40. 8MPa 3-9W p π⨯50⨯10
轴的单位长度扭转角
T 18032⨯1⨯103180θ=⨯=⨯=1. 17 104-12
GI p ππ8⨯10⨯π⨯50⨯10
3.16 图3.14示一端固定一端自由的等直圆杆，直径为50mm ，在自由端截面上受到其矩为T =12kN ⋅m 的外力偶作用。在圆杆表面上的A 点将位移到A 1点，已知弧长为
A A 1=6.3mm，圆杆材料的弹性模量E =2. 0⨯105MPa ，求横向变形系数（泊松比）μ。
图3.14
[解]
ϕoo =
1
AA 12⨯6. 3
==0. 252rad d 502
由于此圆杆O 端固定，则截面O 1相对固定端的扭转角为：
ϕoo =
1
M t l oo 1GI p
12⨯103⨯1⨯32
=0. 252 即 4-12
G ⨯π⨯50⨯10
可得 G =77606. 98MPa 由 G =
E
21+μ
E 2⨯105
-1=-1=0.29 所以 μ=2G 2⨯77606. 98
3.17 某钢轴，转速为n =250r min ，所传递功率N =60kW ，许用切应力
[τ]=40MPa ，单位长度轴的许用扭转角[θ]=0. 8
计轴的直径。
[解] 外力偶矩
m ，剪切弹性模量G =80GPa ，试设
T =9549
N 60
=9549⨯=2291. 8N ⋅m n 250
由截面法求得轴横截面的扭矩
M t =T
由强度条件τmax
M t 16M t M t 180πd 4
==≤[τ]和刚度条件θ=⨯≤[θ]及I P =有 W p GI p π32πd 3
d ≥M t ⨯16
πτ=2291. 8⨯16
=0. 0663m =66. 3mm 6
π⨯40⨯10
d ≥M t ⨯180⨯322291. 8⨯180⨯32==0. 0676m =67. 6mm 2102
G πθ8⨯10⨯π⨯0. 8
所以，取 d =68mm
3.18 若将上题的轴改为α=0. 8 α=
⎛
⎝d ⎫
⎪的空心轴，则其内径和外径分别为多大？将D ⎭
此空心轴与上题设计出的实心轴比较，空心轴质量为实心轴质量的百分之几？
[解] 由空心轴扭转强度条件τmax =
M t 16M t
=≤[τ]得 34W p πD 1-α
D ≥16M t 16⨯2291. 8
==0. 0791m =79. 1mm 446
π1-ατπ1-0. 8⨯40⨯10
M t 180πD 4
由空心轴扭转刚度条件θ=⨯≤[θ]及I P =1-α4有
GI p π32
()
D ≥M t ⨯180⨯322291. 8⨯180⨯32
==0. 0771m =77. 1mm 241024
G π1-αθ8⨯10⨯π1-0. 8⨯0. 8
取外径D ＝80mm ，则轴的内径为d 1=0. 8⨯80=64mm 。
两根材料和长度相同的等直杆，其质量之比就等于它们的横截面面积之比，则有
π
m 空
=m 实
(D 4
2
-d 12
)
d 2
802-642==0. 498
682
即空心轴质量是实心轴质量的49.8%.
3.19 有一壁厚为25mm ，内径为250mm 的空心圆筒，其长度为1m ，作用在轴两端面内的外力偶矩为180kN ⋅m ，试确定筒中最大切应力，并求筒内的应变能G =8⨯104MPa 。
[解] M t =T =180kN ⋅m ，圆筒外径D =250+25⨯2=300mm 所以
()
τmax
M 16M t =t ==W p πD 31-α4
16⨯180⨯103
=65. 6MPa 4
⎡⎤⎛250⎫-9
π·3003⨯⎢1- ⎪⎥⨯10
⎢⎝300⎭⎦⎥⎣
32
应变能
M l
U =t =
2GI p
2
⨯1⨯32
=491. 8J 4
⎡⎛250⎫⎤104-12
2⨯8⨯10⨯π⨯300⨯⎢1- ⎪⎥⨯10
⎢⎣⎝300⎭⎥⎦
(180⨯10)
3.20 如图3.15，全长为l ，两端面直径分别为d 1、d 2的圆锥形杆，在其两端各受一矩为T 的集中力偶作用，试求杆的总扭转角。
图3.15
[解] 设在距d 1端（细端）x 处（0
⎛d 2-d 1x ⎫
d =d 1 ⋅⎪ 1+d ⎪l ⎭1⎝
这横截面的极惯性矩为
d 2-d 1x ⎫ I p ==1+⋅⎪ ⎪3232⎝d 1l ⎭
同一横截面上的扭矩M t =T ，由单位长度扭转角公式可知：
πd 4
πd 14⎛
4
M t d ϕ
==dx GI p
32T
⎛d 2-d 1x ⎫G πd 14 ⋅⎪ 1+d l ⎪1⎝⎭
4
则杆的总扭转角为
32T
ϕ=
G πd 14
2⎫32T l ⎛d 12+d 1d 2+d 2
⎪= 33⎰0⎛d -d x ⎫43πG ⎪d 1d 2⎝⎭21
⎪1+⋅ d 1l ⎪⎝⎭l
dx
3.21如图3.15，一端固定的圆截面杆AB ，承受集度为t 的均布外力偶作用，试求杆内积蓄的变形能。
图3.15
[解] 作用在距自由端为x 的任意横截面的扭矩为M t (x )=tx 。设微段dx 的扭转角为
d φ，则
d ϕ=
应变能为
M t (x )dx
GI p
1T 2(x )dU =T (x )d ϕ=dx 22GI p
故整个杆积蓄的应变能为
t 2x 2t 2l 332t 2l 3
U =⎰==402GI 6GI 6G πd p p
l
3.22 已知实心圆轴转速n =300r /min ，传递功率为330kW ，轴的材料许用切应力
[τ]=60MPa ，剪切弹性模量G =8⨯104MPa 。若要求在2m 长度为扭转角不超过1°，求该
轴的直径。
[解] 外力偶矩为
T =9549
N 330
=9549⨯=10503. 9N ⋅m n 300
由截面法求得圆轴横截面上的扭矩为M t =T =10503. 9N . m ，[θ]=1 /2=0. 5 /m
M t l 180πD 4
由刚度条件θ=⨯≤[θ]及I P =有
GI P π32
D ≥M t ⨯180⨯3210503. 9⨯180⨯32==0. 111. 3m =111. 3mm G π2θ8⨯1010⨯π2⨯1/2
取 D ＝112mm 。
3.23 一直径为d=100mm 的等截面圆轴，转速n =120r /min ，材料的剪切弹性模量G ＝80MPa ，设由试验测得该轴1m 长内轴扭转角ϕ=0. 02rad ，试计算该轴所传递功率。
[解] 由ϕ=
M t l
得 GI p
GI p ϕl
8⨯107⨯π⨯1004⨯10-12⨯0. 02==15. 71N ⋅m
32⨯1
M t =
又因为 T =M t =15. 71N ⋅m 由T =9549
N
得轴所传递功率为 n
T n 15. 71⨯120N ===197. 4W
95499549
3.24 图3.16示组合轴，由外管与芯轴并借助两端的刚性平板牢固地连接在一起，设外力力偶矩T =2kN ⋅m ，外管和芯轴的剪切弹性模量分别为G 1=40GPa ，G 2=80GPa ，试求外管和芯轴的扭矩及最大扭转切应力。
[解] 取右边的刚性平板为研究对象，受力图如（a ）所示，设作用在外管和芯轴上的扭转力偶矩为M t 1和M t 2，
（a ）
图3.16
利用组合轴的平衡条件得：
M t 1+M t 2=T ①
由于外管和芯轴两端与刚性板固结在一起，故外管和芯轴的B 端相对于A 端的相对扭转角相同，建立的变形几何方程为
ϕ1=ϕ2 ②
又有 即
ϕ1=
M t 1l M t 2l
，ϕ2= G 1I p 1G 2I p 2
32M t 1l 32M t 2l
=94-124
80⨯10⨯π⨯40⨯10⎡⎛42⎫⎤94-12
40⨯10⨯π⨯60⎢1- ⎪⎥⨯10
⎢⎣⎝60⎭⎥⎦
所以 M t 1=1. 9235M t 2 ③ 联立①、③可得
M t 1=1315. 9N ⋅m ，M t 2=684. 1N ⋅m
故有
τ1max =τ2max =
M t 116M t 116⨯1315. 9===40. 83MPa W p 1πD 3(1-0. 74) π⨯603⨯0. 7599⨯10-9
M t 216M t 216⨯684. 1
===54. 44MPa 33-9
W p 2πd π⨯40⨯10
3.25 图3.17示圆截面轴，设已知截面B 的转角为φ，试计算所加外力偶矩T 的值。材料弹性模量G 、轴的直径d 均为已知。
M A C
图3.17
[解] 去掉固定端约束以支反力偶M A 和M C 代替，则AB 段扭矩为M A ，BC 段扭矩为M C ，根据平衡条件可得：
M A +M C =T ①
由于此杆的两端固定，故横截面B 对于两固定端A 和C 的相对扭转角在数值上相等，则建立的变形条件为：
ϕBA =ϕBC =ϕ，即
联立①②得
M C ⋅2a M A ⋅a
=⇒M A =2M C ②
G πd 4G πd 4M A =
则有
2T T ，M C = 33
2T
⋅a
M A ⋅a 3G πd 4ϕ3ϕ==⇒T =
64a G πd 4G πd 43.26 试求图3.18示轴的许用外力偶矩[T ]，已知[τ]=60MPa 。
[解] 去掉固定端约束以支反力偶T A 和T B 代替，则AC 段扭矩为Mt A ，BC 段扭矩为Mt B ，根据平衡条件可得：
T 图3.18
T B
T A +T B =T ① M tCA =T A ，M tCB =T B
变形条件为截面突变处C 转角相等，即
ϕCA =ϕCB
M tCA ⋅1. 5M tCB ⋅1
=⇒M tCA =2. 56M B ②44
G ⋅πD 1G ⋅πD 2由①②得
M tA =0. 72T ，M tB =0. 28T
利用强度条件，对AC 段：
τmax =
M tA 0. 72T
=≤[τ]⇒T (1)≤5. 612⨯103N ⋅m W p 13
⨯(0. 07)16
BC 段：
τmax =
M B 0. 28T
=≤[τ]⇒T (2)≤5. 259⨯103N ⋅m W p 23
⨯(0. 05)16
3
所以取 [T ]=5. 259⨯10N ⋅m
3.27 根据切应力互等定理，并结合杆件表面无切应力这一事实，试论证：任何截面形状的等直杆受扭时其横截面上外棱角（凸面）处必无切应力。再论证：内棱角（凹角）处可以有切应力。
证明：（1）假定杆件横截面外棱角的任一角点处有切应力τ，如图3.19(a)所示，按平行四边形法则将τ分解为τ1和τ2，τ1、τ2方向分别垂直于周边1和周边2。根据切应力互等定理，
'和τ2'，且τ1'=τ1，τ2'=τ2，而杆件表面是自由面，则杆件表面上在该点处必存在相对的切应力τ1
没有切应力。即τ1=τ2=0，所以横截面外棱角处切应力为零。
（a ）
图3.19
（b
）
（2）对于内棱角处有无切应力的判断，同样可以应用平形四边形法则。如图3.19 (b)所示，切应力的两个分量τ2、τ3分别垂直于对应的周边2和周边3，根据切应力互等定理，τ2、τ3分别与
'、τ3'互等，而杆的纵截面不是自由表面，其上可以有切应力，所以，内棱杆的纵截面上的剪应力τ2
角处可以有切应力。
3.28 图3.20示一个T 形薄壁截面杆，其长度l ＝2m ，在两端受扭转力偶的作用，材料
图3.20
的剪切弹性模量G =8⨯10MPa ，杆横截面上的扭矩为
4
T =0. 2kN ⋅m ，试求此杆在自由扭转时的最大切应力及扭转
角。
[解] T 形薄壁截面可视为二狭长矩形截面的组合，T 形截面的相当极惯性矩可用
13
∑3表示，最大切应力发生在二
狭长矩形截面的长边上，其值为
τmax =
M t t max 3T 3⨯0. 2⨯1000
===25MPa 22-9
132ht 2⨯120⨯10⨯10
h i t i ∑3
杆两端面的相对扭转角为
M t l 3⨯0. 2⨯103⨯2
ϕ===0. 0543rad =3. 11 103-12
138⨯10⨯1. 15⨯120⨯10⨯10⨯2G η∑h i t i
3
3.29 图3.21示矩形截面钢杆受矩为T =3kN ⋅m 的一对外力偶作用，已知材料的剪切弹性模
量G =8⨯10MPa ，求：
（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向。 （2）横截面短边中点处的切应力。
（3）单位杆长的扭转角。
4
图3.21
图（a ）
[解] （1）最大切应力发生在长边中点，平行于边界和扭矩反向，如图3.21（a ）所示。
τmax =
m =
所以
M t
，M t =T ，W t =βb 3， W t
h
=1. 5，查表得α=0. 294、β=0. 346和υ=0. 858 b
τmax
M t 3⨯103=3==40. 1MPa βb 0. 346⨯603⨯10-9
（2）短边中点处的切应力则为该边各点的切应力中最大值，即
τ=υτmax
故
τ=0. 858⨯40. 1=34. 4MPa
（3）由 I t =αb 4，θ=
M t
知 GI t
3⨯103-3
θ==9. 842⨯10rad /m =0. 56/m
104-12
8⨯10⨯0. 294⨯60⨯10
3 剪切和扭转
1、本章着重研究受剪杆件的剪切应力计算，对剪切实用计算作如下主要假设：
1） 假设剪切面上的剪应力均匀分布，方向与剪力一致，由此得出剪切的名义切应力
τ=
剪切强度条件为
Q A
Q
≤[τ] A
τ=
2） 假设挤压面上的挤压应力均匀分布，方向垂直于挤压面，由此得出名义挤压应力
σjy =
挤压强度条件为
F jy A jy
σjy =
F jy A jy
≤σjy
[]
注意到，强度条件中的许用应力是在相似条件下进行试验，同样按应力均匀分布的假设 计算出来的。
2、剪切构件的强度计算与轴向拉压时相同，也是按外力分析，内力分析，强度计算等几个步骤进行的。
3、通过对受扭薄壁圆筒的分析引入：
(1) 纯剪切单元体和剪应力及剪应力互等定理； (2) 剪应变和剪切胡克定律 τ=Gγ；
它们是研究圆轴扭转时应力和变形的理论基础，也是材料力学中重要的基本概念和基本规律。
4、在平面假设下，利用上述基本概念和规律得到圆轴扭转： 外力偶矩 T =954P (kW )n
(N ⋅m )
或 T =P (马力)n
(N ⋅m ) 。
剪应力公式 τρ=
T ρ I p
式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。 变形公式
ϕ=
T l
GI p
强度条件 τmax ≤[τ]
τmax =
T
W P
ϕ
l =
T
（rad/m） GI p
单位长度扭转角 θ=
把弧度换算为度，圆杆扭转时的刚度条件为
θ=
T 180
/m） ≤[θ] （°
GI p π
剪切胡克定律τ=Gγ
危险剪应力（）均依赖扭转实验研究。
5、对非圆截面杆的扭转应掌握以下要点： (1) 翘曲现象；
(2) 自由扭转与约束扭转的基本特点； (3) 矩形截面杆扭转剪应力的分布特点
解题范例
3.1 如图3.1（a ）所示某起重机的吊具，吊钩与吊板通过销轴联结，起吊重物F 。己知：F ＝40kN ，销轴直径D ＝22mm ，吊钩厚度t ＝20mm 。销轴许用应力：
[τ]=60M P a , [σjy ]=120M P a 。试校核销轴的强度。
[解] （1）剪切强度校核
销轴的受力情况如图3.1（b ）、（c ）所示，剪切面为mn 和op 。截取mnop 段作为脱离体，在两剪切面上的剪力为
F s =剪应力强度条件为 τ=
F
2
F s
≤[τ] A
图3.1
（c ）
（a ）
将有关数据代入，得
F
τ==
2A
故安全。
40⨯103
==52. 6⨯106Pa =52. 6MPa
3. 14πD 2⨯⨯0. 02222⨯
44F
（2）挤压强度校核
销轴与吊钩及吊板均有接触，所以其上、下两个侧面都有挤压应力。设两板的厚度之和比钩厚度大，则只校核销抽与吊钩之间的挤压应力即可。 挤压应力强度条件为
σjy =
将有关数据代入，得
σ
故安全。
F
≤σjy A jy
[]
jy
F F 40⨯103====91⨯106Pa =91MPa ≤σjy A jy D ⨯t 0. 022⨯0. 02
[]
3.2 一木质拉杆接头部分如图3.2（a ）、（b ）所示，接头处的尺寸为h ＝b ＝18cm ，材料
的许用应力[σ]＝5MPa ，[σbs ]＝10MPa ，[τ]＝2.5MPa ，求许可拉力P 。
P
（a ）
P
（b ） 图3.2
P
[解] 按剪切强度理论计算
τ=
Q P
=≤[τ]
A lb
P ≤[τ]lb ≤2. 5⨯106⨯0. 182=81000=81kN
按挤压强度计算：
σbs =
P bs P
=≤[σbs ]A bs h
⨯b
3
h 0. 18
P ≤[σbs ]⨯⨯b =10⨯106⨯⨯0. 18=108000=108kN
33
按拉伸强度计算：
σ=
P h b ⨯3
≤[σ]
P ≤[σ]⨯b ⨯
因此，允许的最小拉力为54kN 。
h 0. 18=5⨯106⨯0. 18⨯=54000=54kN 33
3.3 等截面传动轴的转速n=150r/min，由A 转输入功率N A ＝8kW ，由B 、C 、D 各轮输出功率分别为N B =3kW，N C =1kW，N D =4kW。己知轴的许用剪应力[τ]＝60MPa ，剪切弹性模量G ＝80GPa ，[θ]=2/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
[解] 四个轮各自的位置如图3.3（a ）所示，其中A 轮应放在轴的中间位置，使得从A
°
轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A 、B 、C 、D 各点的扭矩
（a ）
（b ） 图3.3
-63.6N·m
8
T A ==509. 2(N ⋅m )
1503
T B ==191. 0(N ⋅m )
150
1
T C ==63. 6(N ⋅m )
1504
T D ==254. 6(N ⋅m )
150
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图3-3（b ）。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA 、AB 段，为
T max =254. 6kN ⋅m
最大剪应力为
τmax =
T max 254. 6
= πd 3W t
16
强度条件为
τmax
得到
d ≥T max ⨯16254. 6⨯16
==0. 028m =28mm （1）
6
π[τ]3. 14⨯60⨯10
由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA 、AB 段，等圆截面杆的单位长度的扭转角
θmax
刚度条件为
T max 32T max 180
==⋅4
G I p G πd π
θmax
得
d ≥T max ⨯32⨯180254. 6⨯32⨯180
==0. 031m =31mm （2）
π2G [θ]3. 142⨯80⨯109⨯2
从式（1）和式（2）中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，故轴的直径d ＝31mm
3.4 一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d 1 ，空心轴外径D 2 、内径d 2 ，内外径之比α＝d 2/D 2＝0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。
[解] 两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样 A 1＝A 2 ，即
π
4
可得
d 12=
π
4
(D 22-d 22)
d 12=D 22(1-α2)
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等 T 1＝T 2 。 实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
ϕ1=
T 1l
GI p 1
, ϕ2=
T 2l
GI p 2
式中，l 为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比
ϕ1I p 232==
ϕ2I p 1
将d 12=D 22(1-α2) 代入上式，则
π
D 24(1-α4) 32d 14
=
D 24(1-α4)
d 1
4
ϕ1D 24(1-α4) (1-α4) 1+α2
=== ϕ2D 2(1-α2) 2(1-α2) 21-α2
2
再将α＝0.8 代入上式，得
ϕ11+0. 82
==4. 56 ϕ21-0. 82
可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。
3.5 两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图3.4（a ）、（b ）所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D ＝40mm ，壁厚t ＝2mm ，长度为l 。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。
（a ）
[解]
（1）开口薄壁圆环
图
3.4
（b ）
开口薄壁圆环可以看成一个长为πD 、宽为t 的狭长矩形，则最大切应力
τ1max =
扭转角
M n M n 3M n
==2
2πDt 2hb πDt 33
ϕ1=
（2）闭口薄壁圆环 最大切应力 τ2max =
M n l M n l 3M n l
==3
3G πDt G hb G πDt 333
M n M n 2M n
==2
12At 2⨯πD 2t πD t 4M n l
GI p
扭转角
ϕ2=
对于薄壁圆环，I p 可以写成
I p =
[(D +t ) 32
π
4
-(D -t ) 4=
]
[8Dt (D 32
π
2
+t 2) ≈
]
π
4
D 3t
因此
ϕ2=
G
（3）两杆最大切应力之比
M n l
=
4
D 3t
4M n l
3
G πD t
τ1max τ2max
两杆扭转角之比
3M n
23D 3⨯40====30 2M n 2t 2⨯22πD t
3M n l
ϕ133D 23⨯402
==2==300 2
4M l ϕ24t 4⨯2n
3
G πD t
讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。
习题解析
3.1 如图3.5示铆接接头，板厚t =2mm ，宽b =15mm ，铆钉直径d =4mm ，许用切应力[τ]=100MPa ，许用挤压应力[σbs ]=300MPa ，许用应力[σ]=160MPa ，试计算接头的许用载荷。
图3.5
[解] 剪切面面积 A 1=
πd 2
4
挤压面积 A bs =td , 危险截面面积A =(b -d )t
由 τ=
P
≤[τ] A 1
6
所以 P ≤A . [τ]=100⨯10⨯
π
4
⨯42⨯10-6=1257N
σbs =
σ=
P
≤[σbs ] ，P ≤A bs [σbs ]=4⨯2⨯10-6⨯300⨯106=2400N A bs
P
≤[σ] ，P ≤A [σ]=(15-4)⨯2⨯10-6⨯160⨯106=3520N A
铆接头要同时满足剪切和拉压强度，所以取[P ]=1257N 。
3.2 图示3.6螺栓接头。已知P =40kN ，螺栓许用切应力[τ]=130MPa ，许用挤压应力[σbs ]=300MPa ，按强度条件计算螺栓所需直径。
图3.6
[解] 有两个铆钉双面受剪，所以每个受剪面上的剪力Q =
P
，挤压面压力N =P ；剪2
切面面积A =
πd 2
4
，挤压面A bs =20d 。
由
Q
≤[τ]得 A
P
80⨯103≤[τ]，d ≥4P ==14mm 6
πτπd 2π⨯130⨯10
4
由
N
≤[σbs ] 得 A bs
N
≤[σbs ] 20d
N 40⨯103
d ≥==6. 7mm
20σbs 20⨯10-3⨯300⨯106
故取d =14mm 。
3.3 试校核拉杆头部的剪切强度和挤压强度，已知图3.7中，D =32mm ，d =20mm ，
h =12mm ，[τ]=100MPa ，[σbs ]=200MPa 。
图3.7
[解] 剪切面面积A =πd h ，挤压面积
A bs =
π(D 2-d 2)
4
；N =Q =50kN
Q 50⨯103
==66. 3MPa
σbs
N 4⨯50⨯103===102. 1MPa
A π32-20⨯10
所以拉杆头部剪切和挤压强度符合要求。
3.4 试绘图3.8所示各轴扭矩图。
2kN ·m
1kN ·m 1kN ·m 2kN ·m
（b ）
3kN ·m （b ）
（a ）
3K 图3.8
3.5 如图3.9示某转动轴，转速n =300r min ，轮1为主动轮，输入功率N 1=50kW ，轮2、3、4为从动轮，输出功率分别为N 2=10kW ，N 3=N 4=20kW 。.
（1）试绘轴的扭矩图。
（2）如将轮1和轮3位置对调，试分析对轴的受力是否有利？ [解] 设外力偶矩为
T 1=N 150=9549⨯=1591. 5N ⋅m n 300N 210=9549⨯=318. 3N ⋅m n 300
T 2=
（b ） 图3.9
T 3=T 4=9549⨯
20
=636. 6N ⋅m
300
求得2－1段截面、1－3段截面和3－4段截面的扭矩分别是
M t 2-1=-318. 3N ⋅m
M t 1-3=m 1-m 2=1273. 2N ⋅m M t 3-4=63. 66N ⋅m
绘制的扭矩图如（a ）所示。
（2）若将轮1和轮3对调位置，则原来各段的扭矩分别为
M ' t 2-1=-318. 3N ⋅m ，M ' t 1-3=-m 2-m 3=-954. 9N ⋅m ，M ' t 3-4=636. 6N ⋅m
轴的扭矩图如（b ）所示，可看出, 与原始情况相比，M ' t 1-3
3.6 某薄壁圆筒，外径D =44mm ，内径d =40mm ，横截面上扭矩M t =750N ⋅m ，试计算横截面上扭转切应力。
[解] 若假设横截面上的剪应力沿壁厚均匀分布，则由薄壁圆筒扭转切应力公式
图3.9 习题3.5图
τ=
M t
⇒τ=2
2πR 0t
750
⎛42⎫
2π⨯ ⎪⨯10-6⨯2⨯10-3
⎝2⎭
2
=135. 3MPa
若按空心圆截面杆扭转的精确理论计算，则横截面上最大的扭转切应力为
τ=
M t 16M t 16⨯750
= ==141. 5MPa 4W p πD 3⎡1-d 4⎤3-9⎡1-⎤π⋅44⨯10⨯⎢⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦
3.7 正方形受剪单元体，边长为a ，材料的剪切弹性模量为G ，设由试验测得对角线的伸长量为a 2000，试求切应力τ。
τ
'
τ
图3.10
C
τ
D
C '
[解] 从右图可知，正方形单元体ABCD 受剪变形为A B 'C 'D ， 由变形图的几何关系可知：
a
=C 1C '=C C 'sin 45 =a γsin 45 2000
则 γ=
2
r a d 2000
2
200G 0
故 τ=G γ=
3.8 空心圆截面轴，外径D =40mm ，内径d =20mm ，扭矩M t =1kN ⋅m ，试计算距圆心ρ处A 点的扭转切应力τA 以及横截面上的最大和最小扭转切应力，设ρ=15mm 。 [解]
M
τA =t ρ=
I p
32⨯1⨯10332⨯103⨯15⨯10-3
t ==63. 7MPa 44
⎡⎤⎡⎤⎛20⎫⎛1⎫πD 4⎢1- ⎪⎥π⋅404⋅⎢1- ⎪⎥⨯10-12
⎢⎝40⎭⎦⎥⎢⎥⎣⎣⎝2⎭⎦16⨯1⨯103
=84. 9MPa 4
⎡⎛1⎫⎤3
π⋅40⋅⎢1- ⎪⎥⨯10-9
⎢⎣⎝2⎭⎥⎦
τmax
M
=t =W p
τmin
M t d 32⨯1⨯103⨯10⨯10-3===42. 47MPa 4
I p 2⎡⎤1
π⋅404⋅⎢1-⎥⨯10-12
⎣2⎦
3.9 一直径为90mm 的圆截面轴，其转速为45r min ，设横截面上最大切应力为50MPa ，试求轴所传递的功率。
[解] 由τmax =
M t
得 W p
M t =W p ⋅τmax =
πd 3
16
⋅τ=
π⨯903⨯10-9
16
⨯50⨯106=7156. 9N ⋅m
N n
Tn 7156. 9⨯45
==33. 73kW 所以 N =
95499549
又 M t =T ，T =9549
2
3.10 当薄壁圆筒的R 0t ≥10时，按公式τ=M t 2πR 0t 计算扭转切应力最大误差是百
分之几？
[解] 设薄壁圆筒的内半径为r ，外半径为R ，平均半径为R 0，壁厚为t ，受到的扭矩为
M t ，则按空心圆截面杆扭转的精确理论计算的切应力为：
τmax =
M t M t R
= W p
R 4-r 42
()
2
与按公式τ=M t 2πR 0t 计算扭转切应力的误差为
M t R
(R -r )τmax -τ
=M t R τmax
4
4
4
-
M t 2πR 02t
(R 2
-r 4
)
11
-
R 4-r 44RR 02t =
1R 4-r 4
2
=1-=
R 4-r 4R 2R 0t
2
(R =1-
+r 2(R +r )(R -r )
2
)
R R +r R -r
r R -r r t ⋅=⋅R R +r 2R R 0
当
R 0R +r r 19=10时，即=10⇒=，则最大误差为4.6％。 t 2(R -r ) R 21
3.11 图3.11表示一圆杆在矩为T 的外力偶作用下发生扭转，两横截面ABE 、CDF 与水
平纵截面ABCD 的交线AB 与CD 从原来的平行关系变成空间斜交，试问它们的空间交角的大小都与哪些因素相关？
图3.11
[解] 由ϕ=
M t l
可知，交角φ与扭矩M t 和AB 、CD 两线间距离l 成正比，与圆杆的抗GI p
扭截面刚度GI p 成反比。
3.12 某小型水电站的水轮机容量为50kW ，转速为300r min ，钢轴直径为75mm ，如果在正常运转下且只考虑扭转作用时，其许用切应力[τ]=20MPa ，试校核该轴的强度。
[解] T =9549又T =M t
N 50
=9549⨯=1591. 5N ⋅m n 300
该轴的最大工作切应力
τmax =
M t 16M t 16⨯1591. 5
===19. 2MPa
所以，该刚轴强度符合要求。
3.13 圆轴的直径d =50mm ，转速为120r min ，若该轴横截面上最大切应力为
60MPa ，问所传递的功率为多少千瓦？
[解] 由τmax =
M t 16M t
得 =3
W p πd
M t =
πd 3
16
⋅τmax =
π⨯503⨯10-9
16
⨯60⨯106=1472. 6N ⋅m
又M t =T ，T =9549
N
n
N =
n ⋅T
=1472. 6⨯1209549=18. 5kW 9549
3.14 已知钻探机钻杆外径D =60mm ，内径d =50mm ，功率N =7. 355kW ，转速
n =180r min ，钻杆入土深度l =40m ，钻杆材料的G =8⨯104MP a ，许用切应力
[τ]=40MPa 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均布的，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度t ； （2）作钻杆扭矩图，并进行强度校核；
（3）钻杆入土段相距10m 的A 、B 两截面的相对扭转角。
t
(x
)
图 3.12
[解]（1）由M t =T =9549
N 7. 335=9549⨯=389N ⋅m n 180
假定阻力矩沿长度均匀分布，则有
T =l ⋅t ⇒t =
T 389==9. 725N ⋅m /m l 40
（2）距钻杆下端x 处截面的扭矩为
M t (x )=tx
所以扭矩图为一斜直线，如图3.12所示，M t max =389N ⋅m 。 强度效核：
τ=
M t max
=W P
16⨯389
π⋅603⎢1-
⎢⎣
⎡
⎛50⎫
⎪⎝60⎭
4
⎤-9⎥⨯10⎥⎦
=17. 75MP a
满足强度要求。
（3）由d ϕ=
M t (x ) dx
得，
GI P
40
ϕAB =⎰
40
40txdx M t (x ) dx tx 2=⎰=0GI P GI P 2GI P
=
9. 725⨯402
2⨯80⨯109⨯
(60
32
4
-504⨯10-12
)
=0. 148rad =8. 5
3.15 图示一直径为50mm 的圆轴，两端受矩为M t =1kN ⋅m 的外力偶作用而发生扭转，轴的材料剪切弹性模量G =8⨯10MPa ，试求：
4
d
（1）横截面上A 点到轴心的距离为ρA =，试求该点
4
力τA 和切应变γA ；
（2）最大切应力和单位长度轴的扭转角θ。
图3.13
[解] 轴仅在两端受外力偶矩作用，所以任一横截面扭矩均为T =M t =1kN ⋅m 。 （1）ρA =
d
处：切应力为 4
T 32⨯1⨯10350⨯10-3
τA =ρA =⋅=20. 4MPa
I p π⨯504⨯10-124
切应
20. 4⨯106==2. 55⨯10-4rad 切应变 γA =10G 8⨯10
τA
（2）τmax
T 16⨯1⨯103
===40. 8MPa 3-9W p π⨯50⨯10
轴的单位长度扭转角
T 18032⨯1⨯103180θ=⨯=⨯=1. 17 104-12
GI p ππ8⨯10⨯π⨯50⨯10
3.16 图3.14示一端固定一端自由的等直圆杆，直径为50mm ，在自由端截面上受到其矩为T =12kN ⋅m 的外力偶作用。在圆杆表面上的A 点将位移到A 1点，已知弧长为
A A 1=6.3mm，圆杆材料的弹性模量E =2. 0⨯105MPa ，求横向变形系数（泊松比）μ。
图3.14
[解]
ϕoo =
1
AA 12⨯6. 3
==0. 252rad d 502
由于此圆杆O 端固定，则截面O 1相对固定端的扭转角为：
ϕoo =
1
M t l oo 1GI p
12⨯103⨯1⨯32
=0. 252 即 4-12
G ⨯π⨯50⨯10
可得 G =77606. 98MPa 由 G =
E
21+μ
E 2⨯105
-1=-1=0.29 所以 μ=2G 2⨯77606. 98
3.17 某钢轴，转速为n =250r min ，所传递功率N =60kW ，许用切应力
[τ]=40MPa ，单位长度轴的许用扭转角[θ]=0. 8
计轴的直径。
[解] 外力偶矩
m ，剪切弹性模量G =80GPa ，试设
T =9549
N 60
=9549⨯=2291. 8N ⋅m n 250
由截面法求得轴横截面的扭矩
M t =T
由强度条件τmax
M t 16M t M t 180πd 4
==≤[τ]和刚度条件θ=⨯≤[θ]及I P =有 W p GI p π32πd 3
d ≥M t ⨯16
πτ=2291. 8⨯16
=0. 0663m =66. 3mm 6
π⨯40⨯10
d ≥M t ⨯180⨯322291. 8⨯180⨯32==0. 0676m =67. 6mm 2102
G πθ8⨯10⨯π⨯0. 8
所以，取 d =68mm
3.18 若将上题的轴改为α=0. 8 α=
⎛
⎝d ⎫
⎪的空心轴，则其内径和外径分别为多大？将D ⎭
此空心轴与上题设计出的实心轴比较，空心轴质量为实心轴质量的百分之几？
[解] 由空心轴扭转强度条件τmax =
M t 16M t
=≤[τ]得 34W p πD 1-α
D ≥16M t 16⨯2291. 8
==0. 0791m =79. 1mm 446
π1-ατπ1-0. 8⨯40⨯10
M t 180πD 4
由空心轴扭转刚度条件θ=⨯≤[θ]及I P =1-α4有
GI p π32
()
D ≥M t ⨯180⨯322291. 8⨯180⨯32
==0. 0771m =77. 1mm 241024
G π1-αθ8⨯10⨯π1-0. 8⨯0. 8
取外径D ＝80mm ，则轴的内径为d 1=0. 8⨯80=64mm 。
两根材料和长度相同的等直杆，其质量之比就等于它们的横截面面积之比，则有
π
m 空
=m 实
(D 4
2
-d 12
)
d 2
802-642==0. 498
682
即空心轴质量是实心轴质量的49.8%.
3.19 有一壁厚为25mm ，内径为250mm 的空心圆筒，其长度为1m ，作用在轴两端面内的外力偶矩为180kN ⋅m ，试确定筒中最大切应力，并求筒内的应变能G =8⨯104MPa 。
[解] M t =T =180kN ⋅m ，圆筒外径D =250+25⨯2=300mm 所以
()
τmax
M 16M t =t ==W p πD 31-α4
16⨯180⨯103
=65. 6MPa 4
⎡⎤⎛250⎫-9
π·3003⨯⎢1- ⎪⎥⨯10
⎢⎝300⎭⎦⎥⎣
32
应变能
M l
U =t =
2GI p
2
⨯1⨯32
=491. 8J 4
⎡⎛250⎫⎤104-12
2⨯8⨯10⨯π⨯300⨯⎢1- ⎪⎥⨯10
⎢⎣⎝300⎭⎥⎦
(180⨯10)
3.20 如图3.15，全长为l ，两端面直径分别为d 1、d 2的圆锥形杆，在其两端各受一矩为T 的集中力偶作用，试求杆的总扭转角。
图3.15
[解] 设在距d 1端（细端）x 处（0
⎛d 2-d 1x ⎫
d =d 1 ⋅⎪ 1+d ⎪l ⎭1⎝
这横截面的极惯性矩为
d 2-d 1x ⎫ I p ==1+⋅⎪ ⎪3232⎝d 1l ⎭
同一横截面上的扭矩M t =T ，由单位长度扭转角公式可知：
πd 4
πd 14⎛
4
M t d ϕ
==dx GI p
32T
⎛d 2-d 1x ⎫G πd 14 ⋅⎪ 1+d l ⎪1⎝⎭
4
则杆的总扭转角为
32T
ϕ=
G πd 14
2⎫32T l ⎛d 12+d 1d 2+d 2
⎪= 33⎰0⎛d -d x ⎫43πG ⎪d 1d 2⎝⎭21
⎪1+⋅ d 1l ⎪⎝⎭l
dx
3.21如图3.15，一端固定的圆截面杆AB ，承受集度为t 的均布外力偶作用，试求杆内积蓄的变形能。
图3.15
[解] 作用在距自由端为x 的任意横截面的扭矩为M t (x )=tx 。设微段dx 的扭转角为
d φ，则
d ϕ=
应变能为
M t (x )dx
GI p
1T 2(x )dU =T (x )d ϕ=dx 22GI p
故整个杆积蓄的应变能为
t 2x 2t 2l 332t 2l 3
U =⎰==402GI 6GI 6G πd p p
l
3.22 已知实心圆轴转速n =300r /min ，传递功率为330kW ，轴的材料许用切应力
[τ]=60MPa ，剪切弹性模量G =8⨯104MPa 。若要求在2m 长度为扭转角不超过1°，求该
轴的直径。
[解] 外力偶矩为
T =9549
N 330
=9549⨯=10503. 9N ⋅m n 300
由截面法求得圆轴横截面上的扭矩为M t =T =10503. 9N . m ，[θ]=1 /2=0. 5 /m
M t l 180πD 4
由刚度条件θ=⨯≤[θ]及I P =有
GI P π32
D ≥M t ⨯180⨯3210503. 9⨯180⨯32==0. 111. 3m =111. 3mm G π2θ8⨯1010⨯π2⨯1/2
取 D ＝112mm 。
3.23 一直径为d=100mm 的等截面圆轴，转速n =120r /min ，材料的剪切弹性模量G ＝80MPa ，设由试验测得该轴1m 长内轴扭转角ϕ=0. 02rad ，试计算该轴所传递功率。
[解] 由ϕ=
M t l
得 GI p
GI p ϕl
8⨯107⨯π⨯1004⨯10-12⨯0. 02==15. 71N ⋅m
32⨯1
M t =
又因为 T =M t =15. 71N ⋅m 由T =9549
N
得轴所传递功率为 n
T n 15. 71⨯120N ===197. 4W
95499549
3.24 图3.16示组合轴，由外管与芯轴并借助两端的刚性平板牢固地连接在一起，设外力力偶矩T =2kN ⋅m ，外管和芯轴的剪切弹性模量分别为G 1=40GPa ，G 2=80GPa ，试求外管和芯轴的扭矩及最大扭转切应力。
[解] 取右边的刚性平板为研究对象，受力图如（a ）所示，设作用在外管和芯轴上的扭转力偶矩为M t 1和M t 2，
（a ）
图3.16
利用组合轴的平衡条件得：
M t 1+M t 2=T ①
由于外管和芯轴两端与刚性板固结在一起，故外管和芯轴的B 端相对于A 端的相对扭转角相同，建立的变形几何方程为
ϕ1=ϕ2 ②
又有 即
ϕ1=
M t 1l M t 2l
，ϕ2= G 1I p 1G 2I p 2
32M t 1l 32M t 2l
=94-124
80⨯10⨯π⨯40⨯10⎡⎛42⎫⎤94-12
40⨯10⨯π⨯60⎢1- ⎪⎥⨯10
⎢⎣⎝60⎭⎥⎦
所以 M t 1=1. 9235M t 2 ③ 联立①、③可得
M t 1=1315. 9N ⋅m ，M t 2=684. 1N ⋅m
故有
τ1max =τ2max =
M t 116M t 116⨯1315. 9===40. 83MPa W p 1πD 3(1-0. 74) π⨯603⨯0. 7599⨯10-9
M t 216M t 216⨯684. 1
===54. 44MPa 33-9
W p 2πd π⨯40⨯10
3.25 图3.17示圆截面轴，设已知截面B 的转角为φ，试计算所加外力偶矩T 的值。材料弹性模量G 、轴的直径d 均为已知。
M A C
图3.17
[解] 去掉固定端约束以支反力偶M A 和M C 代替，则AB 段扭矩为M A ，BC 段扭矩为M C ，根据平衡条件可得：
M A +M C =T ①
由于此杆的两端固定，故横截面B 对于两固定端A 和C 的相对扭转角在数值上相等，则建立的变形条件为：
ϕBA =ϕBC =ϕ，即
联立①②得
M C ⋅2a M A ⋅a
=⇒M A =2M C ②
G πd 4G πd 4M A =
则有
2T T ，M C = 33
2T
⋅a
M A ⋅a 3G πd 4ϕ3ϕ==⇒T =
64a G πd 4G πd 43.26 试求图3.18示轴的许用外力偶矩[T ]，已知[τ]=60MPa 。
[解] 去掉固定端约束以支反力偶T A 和T B 代替，则AC 段扭矩为Mt A ，BC 段扭矩为Mt B ，根据平衡条件可得：
T 图3.18
T B
T A +T B =T ① M tCA =T A ，M tCB =T B
变形条件为截面突变处C 转角相等，即
ϕCA =ϕCB
M tCA ⋅1. 5M tCB ⋅1
=⇒M tCA =2. 56M B ②44
G ⋅πD 1G ⋅πD 2由①②得
M tA =0. 72T ，M tB =0. 28T
利用强度条件，对AC 段：
τmax =
M tA 0. 72T
=≤[τ]⇒T (1)≤5. 612⨯103N ⋅m W p 13
⨯(0. 07)16
BC 段：
τmax =
M B 0. 28T
=≤[τ]⇒T (2)≤5. 259⨯103N ⋅m W p 23
⨯(0. 05)16
3
所以取 [T ]=5. 259⨯10N ⋅m
3.27 根据切应力互等定理，并结合杆件表面无切应力这一事实，试论证：任何截面形状的等直杆受扭时其横截面上外棱角（凸面）处必无切应力。再论证：内棱角（凹角）处可以有切应力。
证明：（1）假定杆件横截面外棱角的任一角点处有切应力τ，如图3.19(a)所示，按平行四边形法则将τ分解为τ1和τ2，τ1、τ2方向分别垂直于周边1和周边2。根据切应力互等定理，
'和τ2'，且τ1'=τ1，τ2'=τ2，而杆件表面是自由面，则杆件表面上在该点处必存在相对的切应力τ1
没有切应力。即τ1=τ2=0，所以横截面外棱角处切应力为零。
（a ）
图3.19
（b
）
（2）对于内棱角处有无切应力的判断，同样可以应用平形四边形法则。如图3.19 (b)所示，切应力的两个分量τ2、τ3分别垂直于对应的周边2和周边3，根据切应力互等定理，τ2、τ3分别与
'、τ3'互等，而杆的纵截面不是自由表面，其上可以有切应力，所以，内棱杆的纵截面上的剪应力τ2
角处可以有切应力。
3.28 图3.20示一个T 形薄壁截面杆，其长度l ＝2m ，在两端受扭转力偶的作用，材料
图3.20
的剪切弹性模量G =8⨯10MPa ，杆横截面上的扭矩为
4
T =0. 2kN ⋅m ，试求此杆在自由扭转时的最大切应力及扭转
角。
[解] T 形薄壁截面可视为二狭长矩形截面的组合，T 形截面的相当极惯性矩可用
13
∑3表示，最大切应力发生在二
狭长矩形截面的长边上，其值为
τmax =
M t t max 3T 3⨯0. 2⨯1000
===25MPa 22-9
132ht 2⨯120⨯10⨯10
h i t i ∑3
杆两端面的相对扭转角为
M t l 3⨯0. 2⨯103⨯2
ϕ===0. 0543rad =3. 11 103-12
138⨯10⨯1. 15⨯120⨯10⨯10⨯2G η∑h i t i
3
3.29 图3.21示矩形截面钢杆受矩为T =3kN ⋅m 的一对外力偶作用，已知材料的剪切弹性模
量G =8⨯10MPa ，求：
（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向。 （2）横截面短边中点处的切应力。
（3）单位杆长的扭转角。
4
图3.21
图（a ）
[解] （1）最大切应力发生在长边中点，平行于边界和扭矩反向，如图3.21（a ）所示。
τmax =
m =
所以
M t
，M t =T ，W t =βb 3， W t
h
=1. 5，查表得α=0. 294、β=0. 346和υ=0. 858 b
τmax
M t 3⨯103=3==40. 1MPa βb 0. 346⨯603⨯10-9
（2）短边中点处的切应力则为该边各点的切应力中最大值，即
τ=υτmax
故
τ=0. 858⨯40. 1=34. 4MPa
（3）由 I t =αb 4，θ=
M t
知 GI t
3⨯103-3
θ==9. 842⨯10rad /m =0. 56/m
104-12
8⨯10⨯0. 294⨯60⨯10