1. 一队同学顺次等候体验。设每人体验所需要的时间服从均值为2min的指数分布并且与其他人所需时间是相互独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检，在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）？
2. 设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已有无数患者等候，而每次专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20min，且每名患者的服务时间是独立的指数分布。问8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间？
3. 设每天过某路口的车辆数为：早上7:00-8:00，11:00-12:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆，则早上7:30到中午11:20平均有多少辆汽车经过此路口，这段时间经过路口的车辆超过500辆的概率是多少？
4. 设今日有雨，则明日也有雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的概率为0.5。求星期一有雨，星期三也有雨的概率？
5. 某人有r把伞用于上下班，如果一天的开始他在家（一天的结束他在办公室）中而且天下雨，只要有伞可取到，他将拿一把到办公室（家）中。如果天不下雨，那么他不带伞，假设每天的开始（结束）下雨的概率为p，且与过去情况独立。
（1）定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率；
（2）计算极限分布；
（3）他被淋湿的平均次数所占比率是多少（如果天下雨而全部伞在另一处，那么称他被淋湿）？
6. 将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中。每次从两个盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后甲盒中的红球数。
（1）说明{X(n), n≥0}是一Markov链并求转移矩阵P；
（2）试证{X(n), n=0,1,2,…}是遍历的；
（3）求它的极限分布。
7. 设有3个盒子装有红白两种颜色球，装球情况如下：
做下面的抽取：在甲盒中随机抽取1个球，记下它的颜色，然后重新放回1个与它不同颜色的球，在乙盒中随机抽取后记下颜色再放回，在丙盒中随机抽取后只记颜色不放回。现在某人随机选中一个盒子，按与此盒相应的抽取方式得到了一个如下记录（红，红，红，红，白），则他最可能选取的是哪一个盒子。
8. 考虑一个掷骰子的试验。设甲乙二人同时掷骰子，以X记甲掷出的点数，Y表示甲乙二人掷出的点数之和，给出不同Y值下的所有E(X|Y)(y)值。
9. 考虑Polya模型。令Mn表示第n次摸球后，红球的比例（设最初有1只红球和1只黄球），证明
P{Mnk1,k1,2,,n1. n2n1
10. 设{B(t), t≥0}为标准Brown运动，求B(1)+B(2)+…+B(n)的分布，并验证
1{X(t)tB()}仍为[0,)上的Brown运动。 t
11. 设{B(t), t≥0}为标准Brown运动，计算条件概率
P{B(2)0|B(10)}
问事件{B(2)>0}与{B(1)>0}是否独立？
12. 有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层，设每个乘客在任何一层楼走出电梯的概率都相等，试建立一个概率模型，求直到电梯中乘客全部下完时电梯需要停的次数的数学期望。
1. 一队同学顺次等候体验。设每人体验所需要的时间服从均值为2min的指数分布并且与其他人所需时间是相互独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检，在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）？
2. 设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已有无数患者等候，而每次专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20min，且每名患者的服务时间是独立的指数分布。问8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间？
3. 设每天过某路口的车辆数为：早上7:00-8:00，11:00-12:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆，则早上7:30到中午11:20平均有多少辆汽车经过此路口，这段时间经过路口的车辆超过500辆的概率是多少？
4. 设今日有雨，则明日也有雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的概率为0.5。求星期一有雨，星期三也有雨的概率？
5. 某人有r把伞用于上下班，如果一天的开始他在家（一天的结束他在办公室）中而且天下雨，只要有伞可取到，他将拿一把到办公室（家）中。如果天不下雨，那么他不带伞，假设每天的开始（结束）下雨的概率为p，且与过去情况独立。
（1）定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率；
（2）计算极限分布；
（3）他被淋湿的平均次数所占比率是多少（如果天下雨而全部伞在另一处，那么称他被淋湿）？
6. 将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中。每次从两个盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后甲盒中的红球数。
（1）说明{X(n), n≥0}是一Markov链并求转移矩阵P；
（2）试证{X(n), n=0,1,2,…}是遍历的；
（3）求它的极限分布。
7. 设有3个盒子装有红白两种颜色球，装球情况如下：
做下面的抽取：在甲盒中随机抽取1个球，记下它的颜色，然后重新放回1个与它不同颜色的球，在乙盒中随机抽取后记下颜色再放回，在丙盒中随机抽取后只记颜色不放回。现在某人随机选中一个盒子，按与此盒相应的抽取方式得到了一个如下记录（红，红，红，红，白），则他最可能选取的是哪一个盒子。
8. 考虑一个掷骰子的试验。设甲乙二人同时掷骰子，以X记甲掷出的点数，Y表示甲乙二人掷出的点数之和，给出不同Y值下的所有E(X|Y)(y)值。
9. 考虑Polya模型。令Mn表示第n次摸球后，红球的比例（设最初有1只红球和1只黄球），证明
P{Mnk1,k1,2,,n1. n2n1
10. 设{B(t), t≥0}为标准Brown运动，求B(1)+B(2)+…+B(n)的分布，并验证
1{X(t)tB()}仍为[0,)上的Brown运动。 t
11. 设{B(t), t≥0}为标准Brown运动，计算条件概率
P{B(2)0|B(10)}
问事件{B(2)>0}与{B(1)>0}是否独立？
12. 有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层，设每个乘客在任何一层楼走出电梯的概率都相等，试建立一个概率模型，求直到电梯中乘客全部下完时电梯需要停的次数的数学期望。