五 轴向拉伸与压缩
试求图示各杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并作轴
一根中部对称开槽的直杆如图所示。试求横截面1-1和
2-2
N 1= 10kN
N 2= -15kN N 3= -18kN
解： 1．轴力
由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 N =-P 2．应力 σ=N -P -14⨯10
3
1-1A ==Pa 1-1A 1-120⨯4⨯10
-6
=-175MPa σ2-2
=N -P -14⨯10
3
A ==Pa =-2-2A 2-220-10⨯4⨯10
-6
350MPa
11-1
一桅杆起重机如图所示。起重杆AB 的横截面是外径为
2
铜和钢的弹性模量分
18 mm的圆环，钢丝绳CB 的横截面面积为10 mm。1=100GPa 和E 2=210GPa 。若杆的总伸长为∆l =0. 126 mm ，
试求起重杆和钢丝绳横截面上的应力。
解： 1．轴力
取节点B 为研究对象，受力如图所示，
∑X =0： N +N BC
AB cos 30+P cos 45 =0 ∑Y =0： -P sin 45
-N AB sin 30=0
由此解得： N AB =-2. 83kN ， N BC =1. 04kN 2．应力
起重杆横截面上的应力为 σ=N AB A
=
-2. 83⨯103
AB
Pa =-47. 4MPa 4
⨯(202-182)
⨯10-6 钢丝绳横截面上的应力为
σN BC 1BC =A =. 04⨯103
10⨯10
-6Pa =
104MPa 试求杆横截面上的应力和载荷P 。
解：
1．横截面上的应力 由题意有 ∆l =∆l Pl 11+∆l 2=+Pl 2⎛l 1l 2⎫
E =σ ⎪1A E 2A ⎝E +1
E 2⎪⎭ 由此得到杆横截面上的应力为
σ=∆l l =0. 126
Pa =15. 9MPa
1l 2600400
E +E +12100⨯109
210⨯109
2．载荷
P =σA =15. 9⨯106⨯π
4
⨯402⨯10-6N =20kN
11-2
E =200GPa
解：
1．最大正应力
在BC 段的任一横截面上，即
N 40⨯103
σmax ==Pa =127. 3M P a
A min ⨯202⨯10-64
2．杆的总伸长
Pl Pl
∆l =∆l AB +∆l BC =AB +BC
EA 1EA 2=
Pl AB E
πd 12
4
+
Pl BC E
2πd 2
=
4P E π
⎛l AB l BC ⎫ ⎪ d 2+d 2⎪
2⎭⎝1
⎫
⎪m =0. 57mm ⎪⎭
4
⎛400⨯10-3800⨯10-3
402⨯10-6+202⨯10-6⎝
4⨯40⨯103
=
200⨯109π
11-3
11-4
AB 和AC 组成如图所示。杆AC 的长度为杆AB
A =200mm 。两杆材料相同，许用应力2
[σ]=160MPa ，试求结构的许可载荷。
解： 由
∑X =0： N
AB
sin 45 -N AC sin 30=0
可以得到： N AC =2N AB >N AB ，即AC 杆比AB 杆危险，故 N σ]A =160⨯106
⨯200⨯10-6
AC =[ N =32kN N 1
AB =2
N AC =162kN
由
∑Y =0： N
AB
cos 45
+N AC cos 30-P =0
可求得结构的许可荷载为 P =43. 7kN
AB 各段内的轴力。
解：
为一次超静定问题。设支座反力分别为R A 和R B ，如图所示。 由截面法求得各段轴力分别为
N AC =R A ， N CD =R B +P ， N DB =R B ①静力平衡方程为
∑Y =0： R
A
-2P -P -R B =0 ②
变形协调方程为
∆l =∆l AC +∆l CD +∆l DB =0 ③
物理方程为
∆l N AC a AC =
， ∆l N CD 2a N a
EA CD =EA ， ∆l DB =DB EA
④由①②③④联立解得：R =74P ，R -5
A B =4P
故各段的轴力为：N 7P 5
AC =4P ，N CD =-4，N DB =-4
P 。
11-5
横梁AB 可视为刚体。杆1、2和3的横截面
A 。各杆材料相同，其许用应力为[σ]。试求许可载荷。
[σ]
与许用拉应力的比值为-=3。各杆横截面面积均为Ａ。试求该结
[σ+]
构的最大许可载荷Ｆ。
解：
为一次超静定问题。
由对称性可知，N AD =N BF ，∆l AD =∆l BF 。 静力平衡条件：
解：
B 点受力如图(a ) 所示，由平衡条件可得：N =F 拉杆强度条件 σ+=
∑
Y =0： N AD +N CE +N BF -P =0 ①
2
2，由
变形协调条件：
∆l AD =∆l CE
由对称性可知，AD 、BD 、AC 、BC 四杆受拉，拉力为F
N l N ⋅2l
即 AD =CE
EA EA
即 N AD =2N CE ②
2
由①②解得：N AD =N BF =2N CE =P
5
2P 5
由AD 、BF
杆强度条件σAD =σBF =≤[σ]，可得该结构的
A
许可载荷为
P ≤[σ]A
F 2
A
可得 F ≤2[σ+]A ①
D 点受力如图(b ) 所示，由平衡条件可得：N ' =-2N =-F CD 杆受压，压力为F ，由压杆强度条件
≤[σ+]
F
≤[σ-]=3[σ+] A
可得 F ≤3[σ+]A ②
σ-=
由①①可得结构的最大许可载荷为F =2[σ+]A 。
52
11-6
11-7
AC ，主动轮
A 传递外扭矩m 1=1kN ⋅m ，从
动轮B 、C 分别传递外扭矩为m 2=0. 4kN ⋅m ，m 3=0. 6kN ⋅m ，已某圆轴作用有四个外力偶矩m 1=1kN ⋅m ，m 2=0. 6kN ⋅m ，
m 3=m 4=0. 2kN ⋅m 。
(1) 试作轴扭矩图；
(2) 若m 1、
m 位置互换，扭矩图有何变化？
解：
(2)
知轴的直径d =4cm ，各轮间距l =50cm ，剪切弹性模量G =80GPa
，试求：
(1(2) 求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮A 与轮C 之间的
解：
1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为1. 0 kN ⋅m ； 当主动轮A 位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为0. 6 kN ⋅m ，因此，将主动轮A 布置在两从动轮B 和C 中间较为合理。
2．τT AC 0. 6⨯103
max =W =Pa =47.7MPa
t
π16⨯43⨯10-6 ϕT AC l 0. 6⨯103⨯50⨯10-2
AC =GI ==0. 014r 9a d =0. 854
p
80⨯109⨯⨯44⨯10-8
32
或 ϕτl T l T l
AC =max =AC =AC G d GI p 2GW d
t
2
11-9
一空心圆轴的外径D =90mm ，内径d =60mm ，试计算该轴的
W t ；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面模量W t ，计算结果说明了什么？ 解：
1．空心圆轴的抗扭截面模量
阶梯形圆轴直径分别为d 1=4cm ，d 2=7cm ，轴上装有三个皮
带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为P 3=30kW ，轮1输出的功率为P 1=13kW ，轴作匀速转动，转速n =200r /min ，材料的许用剪应力[τ]=60MPa ，剪切弹性模量G =80GPa ，许用扭转角[θ]=2 /m ，试校核轴的强度和刚度。
W t =
πD -d
D 2
(
44
=π(D
π
-d 16D
44
)=π(90
-6016⨯90
44
)=11. 5⨯10
4
mm 3
2．实心圆轴的抗扭截面模量
设实心圆轴的直径为d '，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相等，即
π
4
d '2=
(D 4
2
-d 2，可得
)
解：
m 1=9. 55⨯
· d '=D 2-d 2=902-602=67. 1mm 故实心圆轴的抗扭截面模量为 W t '=
π
16
d '3=5. 9⨯104mm 3
3．比较1和2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心
圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆截面合理。
13
=0. 62kN ⋅m 200
30 m 3=9. 55⨯=1. 43kN ⋅m
200T AC 0. 62⨯103
(τAC )max ==Pa =49. 3MPa
W t AC ⨯43⨯10-6
16
T AC 0. 62⨯103
θAC ===0. 031 rad m =1. 77 m
G I p AC
80⨯109⨯⨯44⨯10-8
32
T DB 1. 43⨯103
(τDB )max ==Pa =21. 2MPa
W t DB ⨯73⨯10-6
16θDB
T DB ==G I p DB
1. 43⨯103
80⨯109⨯
π
32
=0. 008 rad m =0. 43
⨯74⨯10-8
11-10
有一外径D =100mm ，内径d =80mm 的空心圆轴与
1=80mm 的实心圆轴用键相连。轴的两端作用外力偶矩
如图所示，两圆轴用法兰上的12个螺栓联接。已知轴的传递扭
50D =30cm ，轴的
[τ]1=40d m =6kN ⋅m ，轴的许用剪应力[τ]1=80MPa ；键的尺寸为10⨯10⨯30mm 3，键的许用剪应力[τ]2=100MPa ，许用挤压应力
[解：
1．校核轴的强度 空心轴：
m D 32⨯6⨯103⨯100⨯10-3
τmax =πD 4-d 4=π⨯1004-804⨯10
-12
Pa =51. 8MPa
⨯6⨯103
max '=
π
D 3
3
1=
16π⨯80⨯10
-9
Pa =59. 7MPa
2．求所需键的个数
F =m 2⨯6⨯10
3
D =
0⨯10-3
N =150kN 128由τ=F n ⋅10⨯30⨯10-6
≤[τ]150⨯103
2可得：n ≥10⨯30⨯10-6⨯100⨯106=5
=F n ⨯5⨯30⨯10-6≤[σ≥150⨯103
由σbs bs ]可得：n 150⨯10-6⨯280⨯10
6
=3. 6∴ 所需键的个数n ≥5。
解： 1max 1πd 3[τ]1，可得
d ≥316m π16⨯50⨯103
[τ]=1π⨯40⨯10
6
m =185mm 2．求螺栓的直径
每个螺栓所受到的力为 F =1m 50122=
⨯103
6⨯30⨯10-2N =27. 8kN 由螺栓的剪切强度条件：τ=Q πd 2=4F
d 2
≤[τ]2，可得 14π1
d 4F 4⨯27. 8⨯103
1≥π[τ]=2π⨯60⨯10
6
m =24mm 由螺栓的挤压强度条件：σP bs F
bs =A =≤[σbs ]，可得
bs td 1 d F
27. 8⨯103
1≥t [σ=
2⨯10-2⨯120⨯106
m =12mm bs ]∴ d 1≥24mm 。
1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。并讨
设1-1、2-2截面无限接近于载荷作用位解：
(a ) 以整个梁为研究对象，求得支反力： R A =R B =
P 2
由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
P Pl ， M 1= 24P Pl
Q 2=-， M 2=
24
求得： Q 1=
可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为P ，弯矩不变。 (b ) 以整个梁为研究对象，求得支反力： R A =-
m m
，R B = l l
由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
m m
，M 1=- l 2m m
Q 2=-，M 2=
l 2
求得： Q 1=-
可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为m ，剪力不变。
(a )
(a 1)
(a 2) (a 3)
解：
1．求支反力，图(a ) ，
∑M C
=0： R A
⋅6-12-10⨯3=0， R A =7kN
∑Y =0： R
A
+R B -10=0， R B =3kN
2．列内力方程，图(a ) 和(a 1) ，
Q (x ) =⎧⎨7
kN 0
-3 kN 3
M (x ) =⎧⎨7
x -12
k N ⋅m 0 ≤ x ≤3⎩
3(6-x ) k N ⋅m 3 ≤
x
≤6
3．作内力图，图(
a 2) ，(a ) 。
(b )
(b 1)
(b 2)
Q
(b 3)
M
解：
1．求支反力，图(b ) ，
∑M =0： R A
⋅l -12ql 2+ql ⋅l
B
2
=0， R A =0
∑Y =0： R
A +R B -q ⋅l -ql =0， R B =2ql
2．列内力方程，图(b ) 和(b 1) ，
Q (x ) =⎧⎨-qx 0≤x
⎩ql l
M (x ) =⎧⎨-qx 22 0≤x ≤l
⎩-ql (3l 2-x )
l ≤x ≤3l 2
3．作内力图，图(b 2) ，(b 3) 。
Q
M
(b )
q (kN /m ) 为的等截面钢筋混
矩的绝对值相等，应将起吊点A 、B 放在何处（即a =? ）？
解：
作梁的计算简图及其M 图。由M +
max
=M -
max
，
2
即 ql ⎛2 l ⎫q ⎛l ⎫
qa 2⎝2-a ⎪⎭-2 ⎝2⎪⎭=2
即 a 2
+la -l 2
4=0 求得 a =2-1
2
l =0. 207l 。
(a
)
=
Q
=
M
=
八（2）
(b )
Q
M
弯曲应力
250 mm，截面尺寸为h ⨯b =0. 8m m ⨯25m m 的薄钢尺，由
=
+
=
+
=
+
于两端外力偶的作用而弯成中心角为60
的圆弧。已知弹性模量E =210GP a 。试求钢尺横截面上的最大正应力。
解：
根据题意
ρ=可以得到
l
θ
，
1
ρ
=
M
EI z
40⎛150⎫⨯103⨯ -40⎪⨯10-3
M y 11⎝2⎭σa =1-1a =Pa =6. 03 MPa I z 21. 09⨯10-6
*Q 1-1S z
τa ==
bI z
M E θ==E ⋅ I z ρl
故钢尺横截面上的最大正应力为
My max θh
σmax ==E ⋅⋅
I z l 2
π
9
0. 8⨯10=210⨯10⨯⨯Pa
2250⨯10-3
=352 M P a
1-1截面上a 、b 两点的正应
解： 1．求1-1截面上的剪力和弯矩
40
M B =0： R A ⨯2. 2-8⨯1=0， R A =kN
11
4040
∴ 1-1截面上的剪力和弯矩为：Q 1-1= kN ，M 1-1= kN ⋅m
1111
2．求1-1截面上a 、b 两点的应力
75⨯1503⨯10-12
=21. 09⨯10-6 m 4 I z =
12
-3
Pa =0.38 MPa
75⨯10-3⨯21. 09⨯10-6
40⎛150⎫⨯103⨯ -⨯10-3⎪
M y 11⎝2⎭Pa =-12. 93 MPa σ
b =1-1b = -6
I z 21. 09⨯10
τ=0
⎡⎤40⎛15040⎫⨯103⨯⎢75⨯40⨯ -⎪⨯10-9⎥112⎭⎝2⎣⎦
一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示。木料的许
[σ]=10MPa 。现需要在梁的截面Ｃ上中性轴处钻一直径
为d 的圆孔，问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d （不考虑圆孔处应力集中的影响）可达多少？
解：
∑
C 截面为危险截面。 M C =-5⨯(1000-250)⨯10-3- =-4. 31 kN ⋅m
1．作M 图，求I z C
12
⨯2⨯(1000-250)⨯10-6 kN ⋅m 2
160⨯1603160⨯d 340
-mm 4=1603-d 3 mm 4 I z =
12123160
y max =mm =80 mm
2
M C y max M C y max
由σmax == ≤[σ]，可得
40I z
1603-d 3⨯10-123
()
200⨯30⨯215+200⨯30⨯100
=157. 5 mm
200⨯30+200⨯30200⨯30330⨯20032
I z C =+200⨯30⨯57. 5++200⨯30⨯57. 52 1212
=6. 01⨯107 mm 4
y C = 2．强度校核 B 截面：σBl =σB 上 σBy =σB 下
()
20⨯103⨯72. 5⨯10-3
= Pa =24.1MPa
I z C 20⨯103⨯157. 5⨯10-3=Pa =52. 2M P
I z C 10⨯103⨯72. 5⨯10-3=Pa =12.1MPa
I z C 10⨯103⨯157. 5⨯10-3=Pa =26. 2M
I z C
d ≤1603- 3M C y max 40⨯10
-12
mm [σ]
C 截面：σCy =σC 上 σCl =σC 下
=3⨯4. 31⨯103⨯80⨯10-3
- mm =115 mm -126
40⨯
10⨯10⨯10
3
3．若倒置成⊥形时，σBl =σB 上=52. 2 MPa >[σl ]，∴不合理。
许用拉应力[σl ]=40MPa ，许用压应力[σy ]=160MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载
荷不变，但将T 形横截面倒置成为⊥
[τ]=100MPa ，若图示梁的[σ]=160MPa ，试选用工字钢型号。
为改善载荷分布，
在主梁AB 上安置辅助梁CD 。设主梁和辅助
W 和W ，材料相同。试求a 的合理长度。
解：
1．求支反力，作剪力、弯矩图。
Q max =22 kN ，M max =16. 2 kN ⋅m 2．按正应力强度条件选择工字钢型号
由σM
max =max W ≤[σ]，得到
z
W M max 16. 2z ≥[σ]=⨯103
160⨯10
6
=101. 25 cm 3 查表选14号工字钢，其
W 3 m m ，I *
z =102 cm ，b =5. 5z S z
=12. 0 cm
3． 剪应力强度条件校核
Q max 22⨯103
τmax =b I *
=Pa =33. 3 M P a
∴ 选择14号工字钢。
M CD
解：
1．作主梁AB 和辅助梁CD 的弯矩图 2．求主梁和辅助梁中的最大正应力主 梁： (σ(
M AB )m a x P (l -a 4 P (l AB )m a x =W ==-a )
1W 14W 1辅助梁： (σM CD )m a x
CD )m a x =
(W =
Pa 42
W =Pa
W 242
3．求a 的合理长度
最合理情况为
(σAB )max =(σCD )max
即： P (l -a )4W =Pa
14W 2
由此求得： a =
W 2
W l 1+W 2
度q
解： 1 2 对截面由σA max qa 2=对截面由σC max q (9-11-21
3
9P 9⨯40⨯10
h ≥=m =0. 208 m 6h 4[σ]4⨯10⨯10[σ]=10MPa 。m ，试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比，一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知P =5kN ，a =1. 5
b 以及锯成此梁所需木料的最小直径d 。
解：
1．作弯矩图 2．求高宽比 W 1bh 22z =6=1
6
b (d -b 2)
由
d W z
d b
=0，求得 b =d
，h =
2d
∴ 抗弯截面模量最大时的高宽比为：h
d 3b =2，此时，W z =93
3．确定所需材料的最小直径
由σ=M max 9Pa
max W =d 3
≤[σ]，得到
z d ≥9Pa 93⨯5⨯103
⨯1. 5
[σ]=10⨯106
m =0.227 m
由剪应力强度条件τ5
Q max =1. max A =1. 5P bh =9P
4h 2≤[τ]，可得 9P 9⨯40⨯103
h ≥4[τ]=4⨯3⨯10
6
m =0. 173 m ∴ h ≥0. 208 m ，b =
2h 3≥0. 139 m
九 弯曲变形
11-22
解：
(a ) 四个
当x =0时，
y 1=0，θ1=0； 当x =a 时，
y 1=y 2，θ1=θ2。 (b ) 六个
当x =a 时，
y 1=y 2=0，θ1=θ2； 当x =a +b 时， y 2=y 3=0， θ2=θ3。 (c ) 六个
当x =0时，
y 1=0，θ1=0； 当x =a 时， y 1=y 2； 当x =a +b 时， y 2=y 3=0， θ2=θ3。 (d ) 二个
当x =0时，y =0，
当x =l 时，y =-∆l qll 1=-1
2E
1A 1
（注：E 1和A 1分别为拉杆的弹性模量和横截面面积）
θ、θ及f 、f 。
解： AB 段(0≤x ≤
l
2
) ： EI y 1
''=M (x )=-12
qlx EI y 1
'=-1
4qlx 2+C 1 EIy =-1
112
qlx 3+C 1x +D 1
BC 段(l 3l
2≤x ≤2
) ：
EI y '1⎛3l 2
1⎛3l 2
'=M (x )=-2q ⎝2-x ⎫⎪⎭+4ql ⎫
⎝2-x ⎪⎭ 32
EI y '2
=16q ⎛ 3l ⎝2-x ⎫⎪⎭-18ql ⎛ 3l ⎝2-x ⎫
⎪⎭
+C 2 14
3
EIy 2=-
24q ⎛ 3l ⎝2-x ⎫⎪⎭+124ql ⎛ 3l ⎝2-x ⎫⎪⎛3l ⎫
⎭-C 2 ⎝2-x ⎪⎭+D 2 q ⎛3l 3
ql ⎛32
BC 段：θ6EI ⎝2-x ⎫⎪⎭-8EI l ⎝2-x ⎫
2= ⎪⎭
11-23
q ⎛3l ql ⎛3l ⎫⎫
y 2=- -x ⎪+ -x ⎪
24EI ⎝224EI ⎝2⎭⎭
由此可得到：
ql 35ql 3
， θB =θ1x =l = θA =θ1x =0=， 48EI 24EI 2
43
(a )
1．当P 单独作用时，查表得
Pl 2
θAP =-
16EI Pl 3
f CP =-
f A =y 1-ql 4
x =0
=24EI
， f D =y 2
x =l
=ql 4384EI
。
设梁的抗弯刚
解：
48EI
2．当m 0单独作用时，查表得
θm l
Am 0=-06EI
f m 2
0l Cm 0=-16EI
3．当P 和m 0共同作用时，
θA =θ⎛ Pl 2AP +θAm 0=-m 0l ⎫
16EI +6EI ⎪⎪
⎝⎭ f C =f CP +f Cm 0=-⎛ Pl 3m 0l 2⎫
⎪⎝48EI +16EI ⎪
⎭
11-24
b )
1．当q 单独作用时，查表得
θ=qa 3qa 4
Cq =θBq 24EI ， f Cq =θBq ⋅a =24EI
2．当P 单独作用时，查表得
qa 2⋅a qa ⋅a 25qa 3
θCP =θBm 0+θCP 1=-3EI -2EI =-6EI f qa 3qa ⋅a 3
2qa 4
CP =-θBm 0⋅a -f CP 1=-3EI ⋅a -3EI =-3EI
3． 当q 和P 共同作用时，
θ=θqa 35qa 319qa 3
C Cq +θCP =24EI -6EI =-24EI +f qa 42qa 45qa 4
f C =f Cq CP =24EI -3EI =-8EI
知一钢轴的飞轮重P =20kN ，而轴承B 处允许转角[θ]B =0. 5 ，试确定轴所需要的直径d (已知E =200GPa ) 。
解：
1．作轴的受力简图
2．由刚度条件确定轴的直径 由 θB =
Pa ⋅b
=Pab 3EI
3E
πd
4
≤[θ]π
B ⋅180 64
可得 d ≥
64Pab
64⨯20⨯103⨯1⨯2
=
m =112 mm
3πE
180
[θ]B
3π⨯200⨯109
⨯
180
⨯0. 5
11-25
(
解：
(a )
A 点：T A =240-80=160N ⋅m
τT 16T A =A A W =d 3=16⨯160
π⨯203⨯10-9Pa =10. 19M P a
t πB 点：T B =-80N ⋅m
τT 16T B =B B W =πd 3=-16⨯80
π⨯20⨯10Pa =-50. 9M P a t 3-9
(b )
A 点：M 80A =
3⨯2-12⨯20⨯22=40
3kN ⋅m Q 8040
A =3-20⨯2=-3kN
I 120⨯2003⨯10-12
z =
12=8⨯10-5m 4 40
⨯103⨯50⨯10-3
σM y
A =A A I =z 8⨯10
-5
Pa =8. 33M P a -40⨯103⨯120⨯50⨯75⨯10-9 τQ *
A =A S zA
bI =⨯10⨯8⨯10Pa z 120-3-5
=-0. 63M P a
B 点：M B =-100⨯1=-100kN ⋅m Q B =100kN
σM 3B =B y B =(-100⨯10)⨯(-50⨯10-3
)
I Pa =62. 5z 8⨯10
-5
M Q S *
B zB 100⨯103⨯120⨯50⨯75⨯10-9
τB =bI =Pa =4. 7M P
a z 120⨯10-3⨯8⨯10-5
试用解析法求图示各单元体斜截面上的应力（图中应力单
(a ) (b ) 解：
(a ) σx =-50MPa ，σy =100MPa ，τxy =0，α=150 σ-50+100150 =2+-50-100
2
cos 300 -0=-12. 5M P a
τ150
= -50-100
2
sin 300 +0=65. 0M P a
(b )
σx =-40MPa ，σy =0，τxy =20MPa ，α=60 σ-40+0-40-0
60 =2+2
cos 120 -20sin 120 =-27. 3M P a
τ60
= -40-0
2
sin 120 +20cos 120 =-27. 3M P a
(c ) σx =30MPa ，σy =50MPa ，τxy =-20MPa ，α=30
11-27
P a
30+5030-50
+cos 60 -(-20)sin 60 =52. 3M P a
22
30-50
τ30 =
sin 60 +(-20)cos 60 =-18. 7M P a
2
锅炉内径D =1m ，壁厚t =10mm ，内受蒸汽压力p =3MPa ，
σ30 =
τ60 = σ2-σ1
2
sin 120 =
75-
150
sin 120 =-32. 5MPa 2
试求：
(1) 壁内主应力σ1、σ2以及最大剪应力τmax ； (2) 斜截面ab 上的正应力及剪应力。
解：
(1) σpD 1=
2t =3⨯1000
2⨯10=150MPa σpD 3⨯1000
2=4t =4⨯10
=75MPa
σ3=0
τσ-σ3
max =12=75MPa
(2) α=60
σσ+σ1σ2-σ1
60 =22+2cos 120
=75+15075-150
2+2
cos 120 =131. 3MPa
已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa ），试用解析
法求：
(1) 主应力大小和主平面位置；
(2) 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； (3) 最大剪应力。
(a )
(a ) σx =50MPa ，σy =0，τxy =20MPa
σmax ⎫=σx +σy
⎛ σ2
x -σy ⎫
⎪
σ⎬±⎪+τmin ⎭2 ⎝
2⎭
(xy )
2
=502±2
50⎫
⎝2⎪⎭+202=⎧⎨57. 0⎩
-7. 0MPa
∴ σ1=57. 0MPa ，σ2=0，σ3=-7. 0MPa
tg 2α2τxy 2⨯204
0=-σ=-=-， α0=-19. 3 或70. 7
x -σy 505
11-28
τmax =
σ1-σ3
2
=
57-(-7) =32M P a
2
(b ) σx =-40MPa ，σy =-20MPa ，τxy =-40MPa
2
σmax ⎫30+(-20)⎧52. 2⎡30-(-20)⎤2
=±+40=M P a ⎬⎨⎢⎥σmin ⎭-42. 222⎣⎦⎩
σ1=52. 2M P a ，σ2=50MPa ，σ3=-42. 2MPa τ
max =
σmax ⎫-40-20⎧11. 2⎛-40+20⎫2
± MPa ⎪+(-40)=⎨⎬=
σmin ⎭-71. 222⎝⎭⎩
2⨯(-40)=-4， α0=52 或-38
-40+2011. 2-(-71. 2) ==41. 2M P a
2
2
52. 2-
(-42. 2) =47. 2M P a
2
两种应力状态如图所示，试按第四强度理论比较两者的危险程
度。
∴ σ1=11. 2MPa ，σ2=0，σ3=-71. 2MPa tg 2α0=- τmax
（应力单位为MPa ）。
解：
对图(a )
2
σ1⎫σ⎛σ⎫2
⎬=± ⎪+τ，σ2=0
σ3⎭2⎝2⎭
解：
(a )
σ1=σ2=50M P a ，σ3=-50MPa τmax =(b )
σr 4=
1
(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2+3τ2 2
对图(b )
σ1=σ ，σ2=τ，σ3=-τ（假设σ≥τ，σ≤τ同理） σr 4=2+3τ2
由于两者的相当应力相同，故两者的危险程度相同。
11-29
σ1-σ3
2
50-(-50) ==50M P a
2
缩，其最大压应力为
Pa a ⨯
P =2P '=σmax +2a ⨯2a 1a 3
⨯2a ⨯a 12∴
) 为P =40 k N ，
许用应力[σ]=120 MP a 。 应力是原来的8倍。
'σmax
=8σ
y max
P Ma 1=-=2. 9-35. 2=32. 3MPa
A I y
∴ 框架立柱满足强度条件。
3. 5⨯103
Pa
2⨯152⨯10-6
>[σ]
100%=0. 87%
11-32
. 9
=138. 6 N =259kN
h =60m m ，MPa ，弹性模量
11-33
l ≥
b πE
23μσp
=
30⨯10-3⨯π23⨯0. 5210⨯109
m =1. 76m
200⨯106
故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
πd 4πd 24
b =1. 12MPa ，λ1=100，
a -σs 304-235
λ2===61. 6
b 1. 12
故λ2
σcr =a -b λ=304-1. 12⨯80=214. 4M P a
π
N cr =σcr A =214. 4⨯106⨯⨯42⨯10-4N =269. 4kN
4
P cr =
λ=
μl
i
=
l
=
4l 4⨯800==80查表得：a =304MPa ，d 40
图示托架中，AB 杆的直径d =4cm ，长度l =80cm ，两端
材料为A3钢。
(1) 试根据AB 杆的失稳来求托架的临界载荷P cr ；
(2) 若已知实际载荷P =70kN ，AB 杆的规定稳定安全系数
n st =2，问此托架是否安
全？ 解：
(1) sin θ=7 对CD 杆，
7
N cr =118. 8kN 666P =⨯70=158. 7kN (2) N =7N 269. 4n =cr ==1. 7
N 158. 7
某钢材的σp =230MPa ，σs =274MPa ，E =200GPa ，
cr 1. 22λ。试计算λ1和λ2值，并绘出临界应力总图（0≤λ≤150) 。
解：
N sin θ⨯600-P ⨯(600+300)=0
P =N 对
AB
杆
，
其
柔
度
∑
M C =0：
π2E 200⨯109
λ1==π=92. 6 6
σp 230⨯10338-σs 338-274
λ2===52. 5
1. 22
1. 22
11-34
临界应力总图
11-35
五 轴向拉伸与压缩
试求图示各杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并作轴
一根中部对称开槽的直杆如图所示。试求横截面1-1和
2-2
N 1= 10kN
N 2= -15kN N 3= -18kN
解： 1．轴力
由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 N =-P 2．应力 σ=N -P -14⨯10
3
1-1A ==Pa 1-1A 1-120⨯4⨯10
-6
=-175MPa σ2-2
=N -P -14⨯10
3
A ==Pa =-2-2A 2-220-10⨯4⨯10
-6
350MPa
11-1
一桅杆起重机如图所示。起重杆AB 的横截面是外径为
2
铜和钢的弹性模量分
18 mm的圆环，钢丝绳CB 的横截面面积为10 mm。1=100GPa 和E 2=210GPa 。若杆的总伸长为∆l =0. 126 mm ，
试求起重杆和钢丝绳横截面上的应力。
解： 1．轴力
取节点B 为研究对象，受力如图所示，
∑X =0： N +N BC
AB cos 30+P cos 45 =0 ∑Y =0： -P sin 45
-N AB sin 30=0
由此解得： N AB =-2. 83kN ， N BC =1. 04kN 2．应力
起重杆横截面上的应力为 σ=N AB A
=
-2. 83⨯103
AB
Pa =-47. 4MPa 4
⨯(202-182)
⨯10-6 钢丝绳横截面上的应力为
σN BC 1BC =A =. 04⨯103
10⨯10
-6Pa =
104MPa 试求杆横截面上的应力和载荷P 。
解：
1．横截面上的应力 由题意有 ∆l =∆l Pl 11+∆l 2=+Pl 2⎛l 1l 2⎫
E =σ ⎪1A E 2A ⎝E +1
E 2⎪⎭ 由此得到杆横截面上的应力为
σ=∆l l =0. 126
Pa =15. 9MPa
1l 2600400
E +E +12100⨯109
210⨯109
2．载荷
P =σA =15. 9⨯106⨯π
4
⨯402⨯10-6N =20kN
11-2
E =200GPa
解：
1．最大正应力
在BC 段的任一横截面上，即
N 40⨯103
σmax ==Pa =127. 3M P a
A min ⨯202⨯10-64
2．杆的总伸长
Pl Pl
∆l =∆l AB +∆l BC =AB +BC
EA 1EA 2=
Pl AB E
πd 12
4
+
Pl BC E
2πd 2
=
4P E π
⎛l AB l BC ⎫ ⎪ d 2+d 2⎪
2⎭⎝1
⎫
⎪m =0. 57mm ⎪⎭
4
⎛400⨯10-3800⨯10-3
402⨯10-6+202⨯10-6⎝
4⨯40⨯103
=
200⨯109π
11-3
11-4
AB 和AC 组成如图所示。杆AC 的长度为杆AB
A =200mm 。两杆材料相同，许用应力2
[σ]=160MPa ，试求结构的许可载荷。
解： 由
∑X =0： N
AB
sin 45 -N AC sin 30=0
可以得到： N AC =2N AB >N AB ，即AC 杆比AB 杆危险，故 N σ]A =160⨯106
⨯200⨯10-6
AC =[ N =32kN N 1
AB =2
N AC =162kN
由
∑Y =0： N
AB
cos 45
+N AC cos 30-P =0
可求得结构的许可荷载为 P =43. 7kN
AB 各段内的轴力。
解：
为一次超静定问题。设支座反力分别为R A 和R B ，如图所示。 由截面法求得各段轴力分别为
N AC =R A ， N CD =R B +P ， N DB =R B ①静力平衡方程为
∑Y =0： R
A
-2P -P -R B =0 ②
变形协调方程为
∆l =∆l AC +∆l CD +∆l DB =0 ③
物理方程为
∆l N AC a AC =
， ∆l N CD 2a N a
EA CD =EA ， ∆l DB =DB EA
④由①②③④联立解得：R =74P ，R -5
A B =4P
故各段的轴力为：N 7P 5
AC =4P ，N CD =-4，N DB =-4
P 。
11-5
横梁AB 可视为刚体。杆1、2和3的横截面
A 。各杆材料相同，其许用应力为[σ]。试求许可载荷。
[σ]
与许用拉应力的比值为-=3。各杆横截面面积均为Ａ。试求该结
[σ+]
构的最大许可载荷Ｆ。
解：
为一次超静定问题。
由对称性可知，N AD =N BF ，∆l AD =∆l BF 。 静力平衡条件：
解：
B 点受力如图(a ) 所示，由平衡条件可得：N =F 拉杆强度条件 σ+=
∑
Y =0： N AD +N CE +N BF -P =0 ①
2
2，由
变形协调条件：
∆l AD =∆l CE
由对称性可知，AD 、BD 、AC 、BC 四杆受拉，拉力为F
N l N ⋅2l
即 AD =CE
EA EA
即 N AD =2N CE ②
2
由①②解得：N AD =N BF =2N CE =P
5
2P 5
由AD 、BF
杆强度条件σAD =σBF =≤[σ]，可得该结构的
A
许可载荷为
P ≤[σ]A
F 2
A
可得 F ≤2[σ+]A ①
D 点受力如图(b ) 所示，由平衡条件可得：N ' =-2N =-F CD 杆受压，压力为F ，由压杆强度条件
≤[σ+]
F
≤[σ-]=3[σ+] A
可得 F ≤3[σ+]A ②
σ-=
由①①可得结构的最大许可载荷为F =2[σ+]A 。
52
11-6
11-7
AC ，主动轮
A 传递外扭矩m 1=1kN ⋅m ，从
动轮B 、C 分别传递外扭矩为m 2=0. 4kN ⋅m ，m 3=0. 6kN ⋅m ，已某圆轴作用有四个外力偶矩m 1=1kN ⋅m ，m 2=0. 6kN ⋅m ，
m 3=m 4=0. 2kN ⋅m 。
(1) 试作轴扭矩图；
(2) 若m 1、
m 位置互换，扭矩图有何变化？
解：
(2)
知轴的直径d =4cm ，各轮间距l =50cm ，剪切弹性模量G =80GPa
，试求：
(1(2) 求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮A 与轮C 之间的
解：
1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为1. 0 kN ⋅m ； 当主动轮A 位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为0. 6 kN ⋅m ，因此，将主动轮A 布置在两从动轮B 和C 中间较为合理。
2．τT AC 0. 6⨯103
max =W =Pa =47.7MPa
t
π16⨯43⨯10-6 ϕT AC l 0. 6⨯103⨯50⨯10-2
AC =GI ==0. 014r 9a d =0. 854
p
80⨯109⨯⨯44⨯10-8
32
或 ϕτl T l T l
AC =max =AC =AC G d GI p 2GW d
t
2
11-9
一空心圆轴的外径D =90mm ，内径d =60mm ，试计算该轴的
W t ；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面模量W t ，计算结果说明了什么？ 解：
1．空心圆轴的抗扭截面模量
阶梯形圆轴直径分别为d 1=4cm ，d 2=7cm ，轴上装有三个皮
带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为P 3=30kW ，轮1输出的功率为P 1=13kW ，轴作匀速转动，转速n =200r /min ，材料的许用剪应力[τ]=60MPa ，剪切弹性模量G =80GPa ，许用扭转角[θ]=2 /m ，试校核轴的强度和刚度。
W t =
πD -d
D 2
(
44
=π(D
π
-d 16D
44
)=π(90
-6016⨯90
44
)=11. 5⨯10
4
mm 3
2．实心圆轴的抗扭截面模量
设实心圆轴的直径为d '，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相等，即
π
4
d '2=
(D 4
2
-d 2，可得
)
解：
m 1=9. 55⨯
· d '=D 2-d 2=902-602=67. 1mm 故实心圆轴的抗扭截面模量为 W t '=
π
16
d '3=5. 9⨯104mm 3
3．比较1和2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心
圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆截面合理。
13
=0. 62kN ⋅m 200
30 m 3=9. 55⨯=1. 43kN ⋅m
200T AC 0. 62⨯103
(τAC )max ==Pa =49. 3MPa
W t AC ⨯43⨯10-6
16
T AC 0. 62⨯103
θAC ===0. 031 rad m =1. 77 m
G I p AC
80⨯109⨯⨯44⨯10-8
32
T DB 1. 43⨯103
(τDB )max ==Pa =21. 2MPa
W t DB ⨯73⨯10-6
16θDB
T DB ==G I p DB
1. 43⨯103
80⨯109⨯
π
32
=0. 008 rad m =0. 43
⨯74⨯10-8
11-10
有一外径D =100mm ，内径d =80mm 的空心圆轴与
1=80mm 的实心圆轴用键相连。轴的两端作用外力偶矩
如图所示，两圆轴用法兰上的12个螺栓联接。已知轴的传递扭
50D =30cm ，轴的
[τ]1=40d m =6kN ⋅m ，轴的许用剪应力[τ]1=80MPa ；键的尺寸为10⨯10⨯30mm 3，键的许用剪应力[τ]2=100MPa ，许用挤压应力
[解：
1．校核轴的强度 空心轴：
m D 32⨯6⨯103⨯100⨯10-3
τmax =πD 4-d 4=π⨯1004-804⨯10
-12
Pa =51. 8MPa
⨯6⨯103
max '=
π
D 3
3
1=
16π⨯80⨯10
-9
Pa =59. 7MPa
2．求所需键的个数
F =m 2⨯6⨯10
3
D =
0⨯10-3
N =150kN 128由τ=F n ⋅10⨯30⨯10-6
≤[τ]150⨯103
2可得：n ≥10⨯30⨯10-6⨯100⨯106=5
=F n ⨯5⨯30⨯10-6≤[σ≥150⨯103
由σbs bs ]可得：n 150⨯10-6⨯280⨯10
6
=3. 6∴ 所需键的个数n ≥5。
解： 1max 1πd 3[τ]1，可得
d ≥316m π16⨯50⨯103
[τ]=1π⨯40⨯10
6
m =185mm 2．求螺栓的直径
每个螺栓所受到的力为 F =1m 50122=
⨯103
6⨯30⨯10-2N =27. 8kN 由螺栓的剪切强度条件：τ=Q πd 2=4F
d 2
≤[τ]2，可得 14π1
d 4F 4⨯27. 8⨯103
1≥π[τ]=2π⨯60⨯10
6
m =24mm 由螺栓的挤压强度条件：σP bs F
bs =A =≤[σbs ]，可得
bs td 1 d F
27. 8⨯103
1≥t [σ=
2⨯10-2⨯120⨯106
m =12mm bs ]∴ d 1≥24mm 。
1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。并讨
设1-1、2-2截面无限接近于载荷作用位解：
(a ) 以整个梁为研究对象，求得支反力： R A =R B =
P 2
由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
P Pl ， M 1= 24P Pl
Q 2=-， M 2=
24
求得： Q 1=
可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为P ，弯矩不变。 (b ) 以整个梁为研究对象，求得支反力： R A =-
m m
，R B = l l
由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
m m
，M 1=- l 2m m
Q 2=-，M 2=
l 2
求得： Q 1=-
可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为m ，剪力不变。
(a )
(a 1)
(a 2) (a 3)
解：
1．求支反力，图(a ) ，
∑M C
=0： R A
⋅6-12-10⨯3=0， R A =7kN
∑Y =0： R
A
+R B -10=0， R B =3kN
2．列内力方程，图(a ) 和(a 1) ，
Q (x ) =⎧⎨7
kN 0
-3 kN 3
M (x ) =⎧⎨7
x -12
k N ⋅m 0 ≤ x ≤3⎩
3(6-x ) k N ⋅m 3 ≤
x
≤6
3．作内力图，图(
a 2) ，(a ) 。
(b )
(b 1)
(b 2)
Q
(b 3)
M
解：
1．求支反力，图(b ) ，
∑M =0： R A
⋅l -12ql 2+ql ⋅l
B
2
=0， R A =0
∑Y =0： R
A +R B -q ⋅l -ql =0， R B =2ql
2．列内力方程，图(b ) 和(b 1) ，
Q (x ) =⎧⎨-qx 0≤x
⎩ql l
M (x ) =⎧⎨-qx 22 0≤x ≤l
⎩-ql (3l 2-x )
l ≤x ≤3l 2
3．作内力图，图(b 2) ，(b 3) 。
Q
M
(b )
q (kN /m ) 为的等截面钢筋混
矩的绝对值相等，应将起吊点A 、B 放在何处（即a =? ）？
解：
作梁的计算简图及其M 图。由M +
max
=M -
max
，
2
即 ql ⎛2 l ⎫q ⎛l ⎫
qa 2⎝2-a ⎪⎭-2 ⎝2⎪⎭=2
即 a 2
+la -l 2
4=0 求得 a =2-1
2
l =0. 207l 。
(a
)
=
Q
=
M
=
八（2）
(b )
Q
M
弯曲应力
250 mm，截面尺寸为h ⨯b =0. 8m m ⨯25m m 的薄钢尺，由
=
+
=
+
=
+
于两端外力偶的作用而弯成中心角为60
的圆弧。已知弹性模量E =210GP a 。试求钢尺横截面上的最大正应力。
解：
根据题意
ρ=可以得到
l
θ
，
1
ρ
=
M
EI z
40⎛150⎫⨯103⨯ -40⎪⨯10-3
M y 11⎝2⎭σa =1-1a =Pa =6. 03 MPa I z 21. 09⨯10-6
*Q 1-1S z
τa ==
bI z
M E θ==E ⋅ I z ρl
故钢尺横截面上的最大正应力为
My max θh
σmax ==E ⋅⋅
I z l 2
π
9
0. 8⨯10=210⨯10⨯⨯Pa
2250⨯10-3
=352 M P a
1-1截面上a 、b 两点的正应
解： 1．求1-1截面上的剪力和弯矩
40
M B =0： R A ⨯2. 2-8⨯1=0， R A =kN
11
4040
∴ 1-1截面上的剪力和弯矩为：Q 1-1= kN ，M 1-1= kN ⋅m
1111
2．求1-1截面上a 、b 两点的应力
75⨯1503⨯10-12
=21. 09⨯10-6 m 4 I z =
12
-3
Pa =0.38 MPa
75⨯10-3⨯21. 09⨯10-6
40⎛150⎫⨯103⨯ -⨯10-3⎪
M y 11⎝2⎭Pa =-12. 93 MPa σ
b =1-1b = -6
I z 21. 09⨯10
τ=0
⎡⎤40⎛15040⎫⨯103⨯⎢75⨯40⨯ -⎪⨯10-9⎥112⎭⎝2⎣⎦
一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示。木料的许
[σ]=10MPa 。现需要在梁的截面Ｃ上中性轴处钻一直径
为d 的圆孔，问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d （不考虑圆孔处应力集中的影响）可达多少？
解：
∑
C 截面为危险截面。 M C =-5⨯(1000-250)⨯10-3- =-4. 31 kN ⋅m
1．作M 图，求I z C
12
⨯2⨯(1000-250)⨯10-6 kN ⋅m 2
160⨯1603160⨯d 340
-mm 4=1603-d 3 mm 4 I z =
12123160
y max =mm =80 mm
2
M C y max M C y max
由σmax == ≤[σ]，可得
40I z
1603-d 3⨯10-123
()
200⨯30⨯215+200⨯30⨯100
=157. 5 mm
200⨯30+200⨯30200⨯30330⨯20032
I z C =+200⨯30⨯57. 5++200⨯30⨯57. 52 1212
=6. 01⨯107 mm 4
y C = 2．强度校核 B 截面：σBl =σB 上 σBy =σB 下
()
20⨯103⨯72. 5⨯10-3
= Pa =24.1MPa
I z C 20⨯103⨯157. 5⨯10-3=Pa =52. 2M P
I z C 10⨯103⨯72. 5⨯10-3=Pa =12.1MPa
I z C 10⨯103⨯157. 5⨯10-3=Pa =26. 2M
I z C
d ≤1603- 3M C y max 40⨯10
-12
mm [σ]
C 截面：σCy =σC 上 σCl =σC 下
=3⨯4. 31⨯103⨯80⨯10-3
- mm =115 mm -126
40⨯
10⨯10⨯10
3
3．若倒置成⊥形时，σBl =σB 上=52. 2 MPa >[σl ]，∴不合理。
许用拉应力[σl ]=40MPa ，许用压应力[σy ]=160MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载
荷不变，但将T 形横截面倒置成为⊥
[τ]=100MPa ，若图示梁的[σ]=160MPa ，试选用工字钢型号。
为改善载荷分布，
在主梁AB 上安置辅助梁CD 。设主梁和辅助
W 和W ，材料相同。试求a 的合理长度。
解：
1．求支反力，作剪力、弯矩图。
Q max =22 kN ，M max =16. 2 kN ⋅m 2．按正应力强度条件选择工字钢型号
由σM
max =max W ≤[σ]，得到
z
W M max 16. 2z ≥[σ]=⨯103
160⨯10
6
=101. 25 cm 3 查表选14号工字钢，其
W 3 m m ，I *
z =102 cm ，b =5. 5z S z
=12. 0 cm
3． 剪应力强度条件校核
Q max 22⨯103
τmax =b I *
=Pa =33. 3 M P a
∴ 选择14号工字钢。
M CD
解：
1．作主梁AB 和辅助梁CD 的弯矩图 2．求主梁和辅助梁中的最大正应力主 梁： (σ(
M AB )m a x P (l -a 4 P (l AB )m a x =W ==-a )
1W 14W 1辅助梁： (σM CD )m a x
CD )m a x =
(W =
Pa 42
W =Pa
W 242
3．求a 的合理长度
最合理情况为
(σAB )max =(σCD )max
即： P (l -a )4W =Pa
14W 2
由此求得： a =
W 2
W l 1+W 2
度q
解： 1 2 对截面由σA max qa 2=对截面由σC max q (9-11-21
3
9P 9⨯40⨯10
h ≥=m =0. 208 m 6h 4[σ]4⨯10⨯10[σ]=10MPa 。m ，试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比，一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知P =5kN ，a =1. 5
b 以及锯成此梁所需木料的最小直径d 。
解：
1．作弯矩图 2．求高宽比 W 1bh 22z =6=1
6
b (d -b 2)
由
d W z
d b
=0，求得 b =d
，h =
2d
∴ 抗弯截面模量最大时的高宽比为：h
d 3b =2，此时，W z =93
3．确定所需材料的最小直径
由σ=M max 9Pa
max W =d 3
≤[σ]，得到
z d ≥9Pa 93⨯5⨯103
⨯1. 5
[σ]=10⨯106
m =0.227 m
由剪应力强度条件τ5
Q max =1. max A =1. 5P bh =9P
4h 2≤[τ]，可得 9P 9⨯40⨯103
h ≥4[τ]=4⨯3⨯10
6
m =0. 173 m ∴ h ≥0. 208 m ，b =
2h 3≥0. 139 m
九 弯曲变形
11-22
解：
(a ) 四个
当x =0时，
y 1=0，θ1=0； 当x =a 时，
y 1=y 2，θ1=θ2。 (b ) 六个
当x =a 时，
y 1=y 2=0，θ1=θ2； 当x =a +b 时， y 2=y 3=0， θ2=θ3。 (c ) 六个
当x =0时，
y 1=0，θ1=0； 当x =a 时， y 1=y 2； 当x =a +b 时， y 2=y 3=0， θ2=θ3。 (d ) 二个
当x =0时，y =0，
当x =l 时，y =-∆l qll 1=-1
2E
1A 1
（注：E 1和A 1分别为拉杆的弹性模量和横截面面积）
θ、θ及f 、f 。
解： AB 段(0≤x ≤
l
2
) ： EI y 1
''=M (x )=-12
qlx EI y 1
'=-1
4qlx 2+C 1 EIy =-1
112
qlx 3+C 1x +D 1
BC 段(l 3l
2≤x ≤2
) ：
EI y '1⎛3l 2
1⎛3l 2
'=M (x )=-2q ⎝2-x ⎫⎪⎭+4ql ⎫
⎝2-x ⎪⎭ 32
EI y '2
=16q ⎛ 3l ⎝2-x ⎫⎪⎭-18ql ⎛ 3l ⎝2-x ⎫
⎪⎭
+C 2 14
3
EIy 2=-
24q ⎛ 3l ⎝2-x ⎫⎪⎭+124ql ⎛ 3l ⎝2-x ⎫⎪⎛3l ⎫
⎭-C 2 ⎝2-x ⎪⎭+D 2 q ⎛3l 3
ql ⎛32
BC 段：θ6EI ⎝2-x ⎫⎪⎭-8EI l ⎝2-x ⎫
2= ⎪⎭
11-23
q ⎛3l ql ⎛3l ⎫⎫
y 2=- -x ⎪+ -x ⎪
24EI ⎝224EI ⎝2⎭⎭
由此可得到：
ql 35ql 3
， θB =θ1x =l = θA =θ1x =0=， 48EI 24EI 2
43
(a )
1．当P 单独作用时，查表得
Pl 2
θAP =-
16EI Pl 3
f CP =-
f A =y 1-ql 4
x =0
=24EI
， f D =y 2
x =l
=ql 4384EI
。
设梁的抗弯刚
解：
48EI
2．当m 0单独作用时，查表得
θm l
Am 0=-06EI
f m 2
0l Cm 0=-16EI
3．当P 和m 0共同作用时，
θA =θ⎛ Pl 2AP +θAm 0=-m 0l ⎫
16EI +6EI ⎪⎪
⎝⎭ f C =f CP +f Cm 0=-⎛ Pl 3m 0l 2⎫
⎪⎝48EI +16EI ⎪
⎭
11-24
b )
1．当q 单独作用时，查表得
θ=qa 3qa 4
Cq =θBq 24EI ， f Cq =θBq ⋅a =24EI
2．当P 单独作用时，查表得
qa 2⋅a qa ⋅a 25qa 3
θCP =θBm 0+θCP 1=-3EI -2EI =-6EI f qa 3qa ⋅a 3
2qa 4
CP =-θBm 0⋅a -f CP 1=-3EI ⋅a -3EI =-3EI
3． 当q 和P 共同作用时，
θ=θqa 35qa 319qa 3
C Cq +θCP =24EI -6EI =-24EI +f qa 42qa 45qa 4
f C =f Cq CP =24EI -3EI =-8EI
知一钢轴的飞轮重P =20kN ，而轴承B 处允许转角[θ]B =0. 5 ，试确定轴所需要的直径d (已知E =200GPa ) 。
解：
1．作轴的受力简图
2．由刚度条件确定轴的直径 由 θB =
Pa ⋅b
=Pab 3EI
3E
πd
4
≤[θ]π
B ⋅180 64
可得 d ≥
64Pab
64⨯20⨯103⨯1⨯2
=
m =112 mm
3πE
180
[θ]B
3π⨯200⨯109
⨯
180
⨯0. 5
11-25
(
解：
(a )
A 点：T A =240-80=160N ⋅m
τT 16T A =A A W =d 3=16⨯160
π⨯203⨯10-9Pa =10. 19M P a
t πB 点：T B =-80N ⋅m
τT 16T B =B B W =πd 3=-16⨯80
π⨯20⨯10Pa =-50. 9M P a t 3-9
(b )
A 点：M 80A =
3⨯2-12⨯20⨯22=40
3kN ⋅m Q 8040
A =3-20⨯2=-3kN
I 120⨯2003⨯10-12
z =
12=8⨯10-5m 4 40
⨯103⨯50⨯10-3
σM y
A =A A I =z 8⨯10
-5
Pa =8. 33M P a -40⨯103⨯120⨯50⨯75⨯10-9 τQ *
A =A S zA
bI =⨯10⨯8⨯10Pa z 120-3-5
=-0. 63M P a
B 点：M B =-100⨯1=-100kN ⋅m Q B =100kN
σM 3B =B y B =(-100⨯10)⨯(-50⨯10-3
)
I Pa =62. 5z 8⨯10
-5
M Q S *
B zB 100⨯103⨯120⨯50⨯75⨯10-9
τB =bI =Pa =4. 7M P
a z 120⨯10-3⨯8⨯10-5
试用解析法求图示各单元体斜截面上的应力（图中应力单
(a ) (b ) 解：
(a ) σx =-50MPa ，σy =100MPa ，τxy =0，α=150 σ-50+100150 =2+-50-100
2
cos 300 -0=-12. 5M P a
τ150
= -50-100
2
sin 300 +0=65. 0M P a
(b )
σx =-40MPa ，σy =0，τxy =20MPa ，α=60 σ-40+0-40-0
60 =2+2
cos 120 -20sin 120 =-27. 3M P a
τ60
= -40-0
2
sin 120 +20cos 120 =-27. 3M P a
(c ) σx =30MPa ，σy =50MPa ，τxy =-20MPa ，α=30
11-27
P a
30+5030-50
+cos 60 -(-20)sin 60 =52. 3M P a
22
30-50
τ30 =
sin 60 +(-20)cos 60 =-18. 7M P a
2
锅炉内径D =1m ，壁厚t =10mm ，内受蒸汽压力p =3MPa ，
σ30 =
τ60 = σ2-σ1
2
sin 120 =
75-
150
sin 120 =-32. 5MPa 2
试求：
(1) 壁内主应力σ1、σ2以及最大剪应力τmax ； (2) 斜截面ab 上的正应力及剪应力。
解：
(1) σpD 1=
2t =3⨯1000
2⨯10=150MPa σpD 3⨯1000
2=4t =4⨯10
=75MPa
σ3=0
τσ-σ3
max =12=75MPa
(2) α=60
σσ+σ1σ2-σ1
60 =22+2cos 120
=75+15075-150
2+2
cos 120 =131. 3MPa
已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa ），试用解析
法求：
(1) 主应力大小和主平面位置；
(2) 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； (3) 最大剪应力。
(a )
(a ) σx =50MPa ，σy =0，τxy =20MPa
σmax ⎫=σx +σy
⎛ σ2
x -σy ⎫
⎪
σ⎬±⎪+τmin ⎭2 ⎝
2⎭
(xy )
2
=502±2
50⎫
⎝2⎪⎭+202=⎧⎨57. 0⎩
-7. 0MPa
∴ σ1=57. 0MPa ，σ2=0，σ3=-7. 0MPa
tg 2α2τxy 2⨯204
0=-σ=-=-， α0=-19. 3 或70. 7
x -σy 505
11-28
τmax =
σ1-σ3
2
=
57-(-7) =32M P a
2
(b ) σx =-40MPa ，σy =-20MPa ，τxy =-40MPa
2
σmax ⎫30+(-20)⎧52. 2⎡30-(-20)⎤2
=±+40=M P a ⎬⎨⎢⎥σmin ⎭-42. 222⎣⎦⎩
σ1=52. 2M P a ，σ2=50MPa ，σ3=-42. 2MPa τ
max =
σmax ⎫-40-20⎧11. 2⎛-40+20⎫2
± MPa ⎪+(-40)=⎨⎬=
σmin ⎭-71. 222⎝⎭⎩
2⨯(-40)=-4， α0=52 或-38
-40+2011. 2-(-71. 2) ==41. 2M P a
2
2
52. 2-
(-42. 2) =47. 2M P a
2
两种应力状态如图所示，试按第四强度理论比较两者的危险程
度。
∴ σ1=11. 2MPa ，σ2=0，σ3=-71. 2MPa tg 2α0=- τmax
（应力单位为MPa ）。
解：
对图(a )
2
σ1⎫σ⎛σ⎫2
⎬=± ⎪+τ，σ2=0
σ3⎭2⎝2⎭
解：
(a )
σ1=σ2=50M P a ，σ3=-50MPa τmax =(b )
σr 4=
1
(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2+3τ2 2
对图(b )
σ1=σ ，σ2=τ，σ3=-τ（假设σ≥τ，σ≤τ同理） σr 4=2+3τ2
由于两者的相当应力相同，故两者的危险程度相同。
11-29
σ1-σ3
2
50-(-50) ==50M P a
2
缩，其最大压应力为
Pa a ⨯
P =2P '=σmax +2a ⨯2a 1a 3
⨯2a ⨯a 12∴
) 为P =40 k N ，
许用应力[σ]=120 MP a 。 应力是原来的8倍。
'σmax
=8σ
y max
P Ma 1=-=2. 9-35. 2=32. 3MPa
A I y
∴ 框架立柱满足强度条件。
3. 5⨯103
Pa
2⨯152⨯10-6
>[σ]
100%=0. 87%
11-32
. 9
=138. 6 N =259kN
h =60m m ，MPa ，弹性模量
11-33
l ≥
b πE
23μσp
=
30⨯10-3⨯π23⨯0. 5210⨯109
m =1. 76m
200⨯106
故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
πd 4πd 24
b =1. 12MPa ，λ1=100，
a -σs 304-235
λ2===61. 6
b 1. 12
故λ2
σcr =a -b λ=304-1. 12⨯80=214. 4M P a
π
N cr =σcr A =214. 4⨯106⨯⨯42⨯10-4N =269. 4kN
4
P cr =
λ=
μl
i
=
l
=
4l 4⨯800==80查表得：a =304MPa ，d 40
图示托架中，AB 杆的直径d =4cm ，长度l =80cm ，两端
材料为A3钢。
(1) 试根据AB 杆的失稳来求托架的临界载荷P cr ；
(2) 若已知实际载荷P =70kN ，AB 杆的规定稳定安全系数
n st =2，问此托架是否安
全？ 解：
(1) sin θ=7 对CD 杆，
7
N cr =118. 8kN 666P =⨯70=158. 7kN (2) N =7N 269. 4n =cr ==1. 7
N 158. 7
某钢材的σp =230MPa ，σs =274MPa ，E =200GPa ，
cr 1. 22λ。试计算λ1和λ2值，并绘出临界应力总图（0≤λ≤150) 。
解：
N sin θ⨯600-P ⨯(600+300)=0
P =N 对
AB
杆
，
其
柔
度
∑
M C =0：
π2E 200⨯109
λ1==π=92. 6 6
σp 230⨯10338-σs 338-274
λ2===52. 5
1. 22
1. 22
11-34
临界应力总图
11-35