河南2011-2016中考数学第22题
2011年
22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC
C =30°. 点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）. 过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .
（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.
2012年
22. （10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_______________， CG 和EH 的数量关系是_________________，的值是．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若（m ＞0），则的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F . 若（a ＞0，b ＞0），则的值是（用含a 、b 的代数式表示）．
2013年
22、（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90︒, ∠B =∠E =30︒.
（1）操作发现
如图2，固定 ABC ，使 DEC 绕点C 旋转。当点D
恰好落在AB 边上时，填空：
① 线段DE 与AC 的位置关系是；
② 设 BDC 的面积为S 1， AEC 的面积为S 2。
则S 1与S 2的数量关系是。
（2）猜想论证
当 DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2
的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中BC , CE
边上的高，请你证明小明的猜想。
（3）拓展探究
BD =CD =4， 已知∠ABC =60︒，点D 是其角平分线上一点，
OE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，
使S DCF =S BDC , 请直接写出相应的BF 的长 ．．．．
22. （10分）（1）问题发现
如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB 的度数为；
（2）线段BE 之间的数量关系是。
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE 。请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由。
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD 中，
P 满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A 到BP 的距离。
22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE . 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
①当α=0︒时，AE =_____________； BD
AE =__________. ②当α=180︒时，BD
AE 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. DB （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，
（3）问题解决
当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.
E B D （图1） C E （图2） C B （备用图） C
2016年
22. （10分）（1）发现
如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b .
填空：当点A 位于__________________时，线段AC 的
长取得最大值，且最大值为_____________.
（用含a ，b 的式子表示）
（2）应用
点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB ，
AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE 长的最大值.
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），点B 的坐标为（5 , 0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°. 请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.
河南2011-2016中考数学第22题
2011年
22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC
C =30°. 点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）. 过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .
（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.
2012年
22. （10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_______________， CG 和EH 的数量关系是_________________，的值是．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若（m ＞0），则的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F . 若（a ＞0，b ＞0），则的值是（用含a 、b 的代数式表示）．
2013年
22、（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90︒, ∠B =∠E =30︒.
（1）操作发现
如图2，固定 ABC ，使 DEC 绕点C 旋转。当点D
恰好落在AB 边上时，填空：
① 线段DE 与AC 的位置关系是；
② 设 BDC 的面积为S 1， AEC 的面积为S 2。
则S 1与S 2的数量关系是。
（2）猜想论证
当 DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2
的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中BC , CE
边上的高，请你证明小明的猜想。
（3）拓展探究
BD =CD =4， 已知∠ABC =60︒，点D 是其角平分线上一点，
OE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，
使S DCF =S BDC , 请直接写出相应的BF 的长 ．．．．
22. （10分）（1）问题发现
如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB 的度数为；
（2）线段BE 之间的数量关系是。
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE 。请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由。
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD 中，
P 满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A 到BP 的距离。
22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE . 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
①当α=0︒时，AE =_____________； BD
AE =__________. ②当α=180︒时，BD
AE 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. DB （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，
（3）问题解决
当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.
E B D （图1） C E （图2） C B （备用图） C
2016年
22. （10分）（1）发现
如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b .
填空：当点A 位于__________________时，线段AC 的
长取得最大值，且最大值为_____________.
（用含a ，b 的式子表示）
（2）应用
点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB ，
AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE 长的最大值.
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），点B 的坐标为（5 , 0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°. 请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.