基于二阶方阵的特殊n 阶方阵幂的计算公式
梁永博，孙文豪，魏东，周传伟
（教育实验学院，电子信息类，13级）
摘要
关键词 矩阵幂 特征多项式 零化多项式
引言 一般情况下，矩阵幂的计算是比较繁琐的，高等代数教科书上通常介绍了两种方法。一是当矩阵可对角化时，即存在对角矩阵D 和可逆矩阵P 使A=P-1DP时，有An=P-1DnP。二是利用若尔当标准形的方法。上述两种方法的一个显著特点是将矩阵分解成几个矩阵的乘积，从而给计算带来方便。对此我们很容易产生这样的想法：将矩阵分解成两个矩阵的和也会带来方便，进一步思考，不难看出，若矩阵A 有分解：A=B+C，且BC=CB=O，则有An=Bn+Cn。当Bn ，Cn 易算时，这就是一种简便的方法。接下来便
是从较特殊的矩阵开始寻找这样的分解。
主要定理的证明
2阶矩阵非常简单，特别是它的特征多项式χA (λ) 是2次的，能分解成一次因式的乘积
χA (λ) =（λ-α）（λ-β），
其中α，β是A 的特征值。由哈密顿-凯莱定理可得 χA （A) = (A-αE)(A-βE) = 0， (1)
其中E 是单位矩阵。让我们讨论能否利用（1）式来解决下面的问题呢？
问题1 设2阶矩阵A 的特征值为α和β，求矩阵A 的幂A n 的计算公式。
由问题1可见，对2阶矩阵，我们的想法能够实现，而当矩阵A 的阶大于2，且A 有三个不同的特征值时，上述推导过程不宜推广。当A 的不同的特征值至多有两个，且存在2次零化多项式时，上述推导过程完全适用，因而所得结果与2阶矩阵时相同。下面我们讨论问题2：
问题2 求下列三阶矩阵的A 与A n：
⎡3-32⎤⎡-1-26⎤⎢⎥⎢⎥2）A =⎢-15-2⎥1）A =⎢-103⎥⎢0⎥⎢⎣-13⎦ ⎣-1-14⎥⎦
【问题1】由（1）式知，
（A - αE ）（A - βE)=(A - βE)(A - αE)=0
下面利用A-αE 和A-βE 来寻求A 的和式分解。
当α≠β时，设B=a（A-αE),C=b(A-βE), 使得A=B+C.那么只要如下选取a ，b 即可：
a=
不难发现，
A -αE 2 A -αE A -βE 2 A -βE （) =, () =。 β-αβ-αα-βα-βββ-α, b=α-β α
从而B 2 = βB,C 2 = αC, 于是
A -αE A -βE n A =β（）+ α（） β-αα-βn n αn -βn αn β-βn α =A - E α-βα-β
当α=β时，由（1) 式得，（A-αE) 2 =0，故（A-αE) k =0（k ≥2), 又因A=αE + (A - αE), 从而
A n = αn E + nαn-1(A - αE).
【问题2】 1）
⎡-1-26⎤⎢⎥A =⎢-103⎥⎢⎣-1-14⎥⎦
A 的特征多项式
λ+12
χ（λ）=1λ
1-6-3=(λ-1) 31λ-4
由于(A -E ) 2=O ，故
A n =[E +(A -E )]n =E +n (A -E ) =nA -(n -1) E 2)
⎡3-32⎤⎥A =⎢-15-2⎢⎥⎢0⎥⎣-13⎦
A 的特征多项式
λ-3
χ（λ）=1
13-22=(λ-2) 2(λ-4) λ-5-3λ
由于（A -2E （) A -4E ）=O , 故
n n 4-2A n =A （-4n +2n +1）E 2
基于二阶方阵的特殊n 阶方阵幂的计算公式
梁永博，孙文豪，魏东，周传伟
（教育实验学院，电子信息类，13级）
摘要
关键词 矩阵幂 特征多项式 零化多项式
引言 一般情况下，矩阵幂的计算是比较繁琐的，高等代数教科书上通常介绍了两种方法。一是当矩阵可对角化时，即存在对角矩阵D 和可逆矩阵P 使A=P-1DP时，有An=P-1DnP。二是利用若尔当标准形的方法。上述两种方法的一个显著特点是将矩阵分解成几个矩阵的乘积，从而给计算带来方便。对此我们很容易产生这样的想法：将矩阵分解成两个矩阵的和也会带来方便，进一步思考，不难看出，若矩阵A 有分解：A=B+C，且BC=CB=O，则有An=Bn+Cn。当Bn ，Cn 易算时，这就是一种简便的方法。接下来便
是从较特殊的矩阵开始寻找这样的分解。
主要定理的证明
2阶矩阵非常简单，特别是它的特征多项式χA (λ) 是2次的，能分解成一次因式的乘积
χA (λ) =（λ-α）（λ-β），
其中α，β是A 的特征值。由哈密顿-凯莱定理可得 χA （A) = (A-αE)(A-βE) = 0， (1)
其中E 是单位矩阵。让我们讨论能否利用（1）式来解决下面的问题呢？
问题1 设2阶矩阵A 的特征值为α和β，求矩阵A 的幂A n 的计算公式。
由问题1可见，对2阶矩阵，我们的想法能够实现，而当矩阵A 的阶大于2，且A 有三个不同的特征值时，上述推导过程不宜推广。当A 的不同的特征值至多有两个，且存在2次零化多项式时，上述推导过程完全适用，因而所得结果与2阶矩阵时相同。下面我们讨论问题2：
问题2 求下列三阶矩阵的A 与A n：
⎡3-32⎤⎡-1-26⎤⎢⎥⎢⎥2）A =⎢-15-2⎥1）A =⎢-103⎥⎢0⎥⎢⎣-13⎦ ⎣-1-14⎥⎦
【问题1】由（1）式知，
（A - αE ）（A - βE)=(A - βE)(A - αE)=0
下面利用A-αE 和A-βE 来寻求A 的和式分解。
当α≠β时，设B=a（A-αE),C=b(A-βE), 使得A=B+C.那么只要如下选取a ，b 即可：
a=
不难发现，
A -αE 2 A -αE A -βE 2 A -βE （) =, () =。 β-αβ-αα-βα-βββ-α, b=α-β α
从而B 2 = βB,C 2 = αC, 于是
A -αE A -βE n A =β（）+ α（） β-αα-βn n αn -βn αn β-βn α =A - E α-βα-β
当α=β时，由（1) 式得，（A-αE) 2 =0，故（A-αE) k =0（k ≥2), 又因A=αE + (A - αE), 从而
A n = αn E + nαn-1(A - αE).
【问题2】 1）
⎡-1-26⎤⎢⎥A =⎢-103⎥⎢⎣-1-14⎥⎦
A 的特征多项式
λ+12
χ（λ）=1λ
1-6-3=(λ-1) 31λ-4
由于(A -E ) 2=O ，故
A n =[E +(A -E )]n =E +n (A -E ) =nA -(n -1) E 2)
⎡3-32⎤⎥A =⎢-15-2⎢⎥⎢0⎥⎣-13⎦
A 的特征多项式
λ-3
χ（λ）=1
13-22=(λ-2) 2(λ-4) λ-5-3λ
由于（A -2E （) A -4E ）=O , 故
n n 4-2A n =A （-4n +2n +1）E 2