第五章 中心对称图形（二）(初三上册)
——知识点归纳以及相关题目总结
一、和圆有关的基本概念
1. 圆：
把线段OP 的一个端点O 固定，使线段OP 绕着点O 在平面内旋转1周，另一个端点P 运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径。
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”。
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
3. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 直径：经过圆心的弦。
6. 弧：圆上任意两点间的部分。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
7. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
8. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）
9. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。
10. 圆心角：顶点在圆心的角。
11. 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。
12. 圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。
13. 正多边形：
①定义：各边相等、各角也相等的多边形
②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。
14. 圆锥：
①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。
②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。
15. 三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
16. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
二、和圆有关的重要定理
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
3. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
5. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
6. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
⎧直线(直径) 平分弦直线过圆心（直径）⎫⎪⎬⇒⎨直线平分弦所对优弧直线垂直于弦⎭⎪⎩直线平分弦所对劣弧
垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。
推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
7. 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
8. 直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
9. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
10. 确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
11. 三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点
12. 圆的切线垂直于经过切点的半径。
13. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。
14. 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三、和圆有关的位置关系
1. 点和圆：
如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么
d
d=r 点P 在圆上 d>r 点P 在圆外
2. 直线和圆：
①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。
②直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
③直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么
d
d=r 直线l 与⊙O 相切
d>r 直线l 与⊙O 相离
3. 圆和圆：
①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。
②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，
叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。
③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。
④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。
（两个圆外切和内切统称为两个圆相切。）
⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 （两圆同心是两圆内含的一种特例。）
如果两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，那么
d>R+r 两圆外离
d=R+r 两圆外切
R-r
d=R-r(R>r) 两圆内切
0≤dr) 两圆内含
四、和圆有关的计算
1. 多边形和圆
每个内角的度数：
每个外角的度数：
（等于中心角）
正多边形和圆的关系定理：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可以采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
对于一些特殊的正n 边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
2. 扇形： 1n πr 2S =lr 面积公式： S = 或 2360
3. 弧长：
n n πr 弧长公式： l =⋅2πr = 360180
4. 圆锥：
（圆锥的侧面展开图，是一个扇形。）
圆锥的侧面积=S 侧＝×2πr ×a ＝πra
（圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。）
五、和圆有关的作图
1. 圆心
做一个已知圆的圆心
在圆上任意画一条线，作垂直与这条线的直径；再画一条弦，继续作垂直于这条弦的直径；两条直径的交点就是圆心。
2. 三角形的外接圆：
已知锐角三角形ABC ，用直尺和圆规作△ABC 的外接圆。
① 分别作边AB 、AC 的垂直平分线DE 、FG ，DE 与FC 相交于点O
② 以O 为圆心，OA 为半径作圆，⊙O 就是所求作的圆。
3. 用直尺和圆规做特殊的正多边形：
（1）正四边形
①在⊙O 中作两条互相垂直的直径AC 、BD
②依次连接A 、B 、C 、D 各点，四边形ABCD 就是所求做的正四边形。
（2）正六边形
①在⊙O 中任意做一条直径AD
②分别以A 、D 为圆心，⊙O 的半径作半径作弧，与⊙O 相交于B 、F 和C 、E
③依次连接A 、B 、C 、D 、E 、F 各点，六边形ABCDEF 就是所求作的正六边形。
六、和圆有关的常作辅助线
1. 见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还需作出相应的半径），通过垂径定理来沟通结论与题设间的关系。
2. 见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是做直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。
3. 见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连接过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。
5. 两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
6. 两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可以把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
七、和圆有关的2解的问题
例1、已知：在⊙O 中，弦A B ∥
EF,AB=2,EF=2, ⊙O 的半径R=2,求AB 、EF 间的距离。 分析：利用对称性，可以在O 点的另一侧找到一条与AB 平行且长为2的弦A ’B ’，所以AB 与EF 距底离为两个结果。
，⊙O 半例2、已知：在⊙O 上，有一点A ，过点A 引弦AB 、AC ，弦心距分别为1
、
径R ＝2，求∠BAC 。
C
图2
例3、已知：⊙O 1与⊙O 2相于A 、B 两点，AB ＝4，R 1= 5,R2= 4。求O 1 O2。
例4、⊙O 1与⊙O 2相切，R 1=5,R2=3,求O 1 O2。
例5、⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，已知R 1=5 ，O 1 O2＝4，求R 2。
例6、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b (a >b ) ，则此圆的半径为 。
例7、在同一平面内，点P 到⊙O 的最长距离为8cm ，最短距离为2cm ，则⊙O 的半径为
___________。（答案：⊙O 的半径应为5cm 或3cm 。）
例8、⊙O 的直径为6cm ，如果直线a 上的一点C 到点O 的距离为3cm ，则直线a 与⊙O
的位置关系是_________。（答案：直线a 与⊙O 的位置关系是相切或相交。）
例9、⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB 与CD 之间的距离。（答
案：AB 与CD 之间的距离为1cm 或7cm 。）
例10、⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1的半径为10，⊙O 2的半径为17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。（答案O 1O 2=21或O 1O 2=9。）
例11、⊙O 的半径为1cm ，弦AB =
∠BAC=15°或∠BAC=75°。）
（答案：cm ，AC =cm ，则∠BAC=________。
例12、两圆相切，圆心距是10cm ，其中一圆的半径为4cm ，则另一圆的半径是_____。（答案：另一圆的半径为6cm 或14cm 。）
例13、⊙O 1的半径为2cm ，⊙O 2的半径为5cm ，两圆没有公共点，则两圆的圆心距d 的取值范围为___________。（答案：外离时，d>7cm；内含时，0cm ≤d
例14、PA ，PC 分别切⊙O 于A ，C 两点，B 为⊙O 上与A ，C 不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=_________度。（答案：∠ABC=65°或∠ABC=115°。）
例15、在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，P 为圆周上与C ，D 不重合的任意一点，判断∠COB 与∠CPD 的数量关系，并证明你的结论。（答案：当P 在优弧CPD 上时，∠COB=∠CPD ；当P 在劣弧CD 上时，∠COB=180︒-∠CPD 。）
第五章 中心对称图形（二）(初三上册)
——知识点归纳以及相关题目总结
一、和圆有关的基本概念
1. 圆：
把线段OP 的一个端点O 固定，使线段OP 绕着点O 在平面内旋转1周，另一个端点P 运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径。
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”。
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
3. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 直径：经过圆心的弦。
6. 弧：圆上任意两点间的部分。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
7. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
8. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）
9. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。
10. 圆心角：顶点在圆心的角。
11. 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。
12. 圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。
13. 正多边形：
①定义：各边相等、各角也相等的多边形
②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。
14. 圆锥：
①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。
②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。
15. 三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
16. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
二、和圆有关的重要定理
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
3. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
5. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
6. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
⎧直线(直径) 平分弦直线过圆心（直径）⎫⎪⎬⇒⎨直线平分弦所对优弧直线垂直于弦⎭⎪⎩直线平分弦所对劣弧
垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。
推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
7. 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
8. 直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
9. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
10. 确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
11. 三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点
12. 圆的切线垂直于经过切点的半径。
13. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。
14. 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三、和圆有关的位置关系
1. 点和圆：
如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么
d
d=r 点P 在圆上 d>r 点P 在圆外
2. 直线和圆：
①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。
②直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
③直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么
d
d=r 直线l 与⊙O 相切
d>r 直线l 与⊙O 相离
3. 圆和圆：
①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。
②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，
叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。
③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。
④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。
（两个圆外切和内切统称为两个圆相切。）
⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 （两圆同心是两圆内含的一种特例。）
如果两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，那么
d>R+r 两圆外离
d=R+r 两圆外切
R-r
d=R-r(R>r) 两圆内切
0≤dr) 两圆内含
四、和圆有关的计算
1. 多边形和圆
每个内角的度数：
每个外角的度数：
（等于中心角）
正多边形和圆的关系定理：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可以采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
对于一些特殊的正n 边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
2. 扇形： 1n πr 2S =lr 面积公式： S = 或 2360
3. 弧长：
n n πr 弧长公式： l =⋅2πr = 360180
4. 圆锥：
（圆锥的侧面展开图，是一个扇形。）
圆锥的侧面积=S 侧＝×2πr ×a ＝πra
（圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。）
五、和圆有关的作图
1. 圆心
做一个已知圆的圆心
在圆上任意画一条线，作垂直与这条线的直径；再画一条弦，继续作垂直于这条弦的直径；两条直径的交点就是圆心。
2. 三角形的外接圆：
已知锐角三角形ABC ，用直尺和圆规作△ABC 的外接圆。
① 分别作边AB 、AC 的垂直平分线DE 、FG ，DE 与FC 相交于点O
② 以O 为圆心，OA 为半径作圆，⊙O 就是所求作的圆。
3. 用直尺和圆规做特殊的正多边形：
（1）正四边形
①在⊙O 中作两条互相垂直的直径AC 、BD
②依次连接A 、B 、C 、D 各点，四边形ABCD 就是所求做的正四边形。
（2）正六边形
①在⊙O 中任意做一条直径AD
②分别以A 、D 为圆心，⊙O 的半径作半径作弧，与⊙O 相交于B 、F 和C 、E
③依次连接A 、B 、C 、D 、E 、F 各点，六边形ABCDEF 就是所求作的正六边形。
六、和圆有关的常作辅助线
1. 见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还需作出相应的半径），通过垂径定理来沟通结论与题设间的关系。
2. 见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是做直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。
3. 见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连接过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。
5. 两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
6. 两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可以把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
七、和圆有关的2解的问题
例1、已知：在⊙O 中，弦A B ∥
EF,AB=2,EF=2, ⊙O 的半径R=2,求AB 、EF 间的距离。 分析：利用对称性，可以在O 点的另一侧找到一条与AB 平行且长为2的弦A ’B ’，所以AB 与EF 距底离为两个结果。
，⊙O 半例2、已知：在⊙O 上，有一点A ，过点A 引弦AB 、AC ，弦心距分别为1
、
径R ＝2，求∠BAC 。
C
图2
例3、已知：⊙O 1与⊙O 2相于A 、B 两点，AB ＝4，R 1= 5,R2= 4。求O 1 O2。
例4、⊙O 1与⊙O 2相切，R 1=5,R2=3,求O 1 O2。
例5、⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，已知R 1=5 ，O 1 O2＝4，求R 2。
例6、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b (a >b ) ，则此圆的半径为 。
例7、在同一平面内，点P 到⊙O 的最长距离为8cm ，最短距离为2cm ，则⊙O 的半径为
___________。（答案：⊙O 的半径应为5cm 或3cm 。）
例8、⊙O 的直径为6cm ，如果直线a 上的一点C 到点O 的距离为3cm ，则直线a 与⊙O
的位置关系是_________。（答案：直线a 与⊙O 的位置关系是相切或相交。）
例9、⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB 与CD 之间的距离。（答
案：AB 与CD 之间的距离为1cm 或7cm 。）
例10、⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1的半径为10，⊙O 2的半径为17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。（答案O 1O 2=21或O 1O 2=9。）
例11、⊙O 的半径为1cm ，弦AB =
∠BAC=15°或∠BAC=75°。）
（答案：cm ，AC =cm ，则∠BAC=________。
例12、两圆相切，圆心距是10cm ，其中一圆的半径为4cm ，则另一圆的半径是_____。（答案：另一圆的半径为6cm 或14cm 。）
例13、⊙O 1的半径为2cm ，⊙O 2的半径为5cm ，两圆没有公共点，则两圆的圆心距d 的取值范围为___________。（答案：外离时，d>7cm；内含时，0cm ≤d
例14、PA ，PC 分别切⊙O 于A ，C 两点，B 为⊙O 上与A ，C 不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=_________度。（答案：∠ABC=65°或∠ABC=115°。）
例15、在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，P 为圆周上与C ，D 不重合的任意一点，判断∠COB 与∠CPD 的数量关系，并证明你的结论。（答案：当P 在优弧CPD 上时，∠COB=∠CPD ；当P 在劣弧CD 上时，∠COB=180︒-∠CPD 。）