高考数学复习点拨双曲线的第二定义

双曲线的第二定义

观察教材第57页例5我们可知双曲线的轨迹还可以用另一种形式给出，这就是双曲线的第二定义，此定义可以快速解决某些双曲线问题，下面对其作简单介绍：

一、双曲线的第二定义

0)的距离和它到定直线l:x 例1 点M(x，y)与定点F(c，的距离的比是常数c

c(ca0)，求点M的轨迹． a

MFc 解：设d是点M到直线l的距离．根据题意，所求轨迹就是集合PM|，

da

22c．化简，得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)． ax2y2

设cab，就可化为221(a0，b0)，这是双曲线的标准方程，所以点M的轨ab2

2b的双曲线（如图）迹是实轴长、虚轴长分别为2a，．

由例1可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ce(e1)时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，a

常数e是双曲线的离心率．

x2y2a2

0)的准线方程是x 对于双曲线221，相应于焦点F(c，，根据双曲线的对称性，abc

0)的准线方程是x，所以双曲线有两条准线．相应于焦点F(c，c

二、第二定义的应用

0)的距离的例2 一动点到定直线x3的距离是它到定点F(4，1，求这个动点的轨迹2

方程．

误：由题意知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，所以动点的轨迹是双曲线．

0)，∴c4．又∵F(4，

∵准线x3，∴3，即a212，b24． c

x2y2

故双曲线方程为1． 1214

0)和准线（定直线）方程析：错解中误认为曲线中心为原点．仅由焦点（即定点）F(4，

x3，不能得出c4及3． c

正：由题设知离心率e2，

0)与定直线x3是双曲线相应的右焦点与右准线，又定点F(4，

a224 所以c2a，c1，解得ac． 33c

80．所以双曲线中心为O，3

(3x8)23y24 又b，故双曲线方程为1． 3442

评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．

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