《直线与圆》单元测试题（1）
班级 学号 姓名
一、选择题：
1. 直线x -y -2=0的倾斜角为( )
A ．30︒ B．45︒ C. 60︒ D. 90︒
2. 将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A.y =-x + B. y =-x +1 C.y =
3x -3 D.y =3x +1 3-y +m =0与圆x +
y -2x -2=0相切，则实数m 等于（ ）
A ．-
B．-
D．或22
4．过点(0,1)的直线与圆x +y =4相交于A ，B 两点，则AB
的最小值为（ ）
2
2
131313
A ．2 B
． C．3 D．5. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准
方程是（ ）
A. (x -3) 2+(y -) 2=1 B. (x -2) +(y -1) =1 C. (x -1) +(y -3) =1 D. (x -) 2+(y -1) 2=1
6. 已知圆C 1：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方
程为（ ）
A. (x +2) +(y -2) =1 B.(x -2) +(y +2) =1 C. (x +2) +(y +2) =1 D.(x -2) +(y -2) =1
7. 已知圆C 与直线x -y =0 及x -y -4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的 方程为（ ）
A. (x +1) +(y -1) =2 B. (x -1) +(y +1) =2 C. (x -1) +(y -1) =2 D. (x +1) +(y
+1) =2
8．设A 在x 轴上，它到点P 的距离等于到点Q (0,1,-1) 的距离的两倍，那么A 点的坐标是( )
A. （1，0，0）和（ -1，0，0） B.（2，0，0）和（-2，0，0）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
73
22
22
32
C. （
11
，0，0）和（-，0，0） D.
（，0，0
0，0）
22
9．直线2x -y -1=0被圆(x -1) 2+y 2=2所截得的弦长为( )
B
D
10. 若直线y =x +
b 与曲线y =3有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A.[1-
1+
1，3] C.[-1
，1+
1-3] 二、填空题：
11. 设若圆x +y =4与圆x +y +2ay -6=0(a >0) 的公共弦长为2，则
2
2
2
2
a =______.
12. 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l :y =x -1被该圆所截得的弦长
为，则圆C 的标准方程为_________ ___．
13．已知圆C 的圆心与点P (-2，1) 关于直线y =x +1对称．直线3x +4y -11=0与圆C 相
交于A ，B 两点，且AB =6，则圆C 的方程为 ． 14．已知直线2x +3y -1=0与直线4x +ay =0 平行，则a = ．
15. 直线m 被两平行线l 1:x -y +1=0与l 2:x -y +3=0所截得的线段的长为22，则m 的 倾斜角可以是①15 ；②30 ；③45 ；④60；⑤75 . 其中正确答案的序号是 .
三、解答题：
16(1).已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程.
22
．(2)求与圆x +y -2x +4y +1=0同心，且与直线2x -y +1=0相切的圆的方程.
17. 已知圆C :(x -3) 2+(y -4) 2=4，
（Ⅰ）若直线l 1过定点A (1，0) ，且与圆C 相切，求l 1的方程；
(Ⅱ) 若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x +y -2=0上，且与圆C 外切，求圆D 的
方程．
2222
18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3) ＋(y －1) ＝4和圆C 2：(x －4) ＋(y －5) ＝9. (1)判断两圆的位置关系;
(2)求直线m 的方程，使直线m 被圆C 1截得的弦长为4，与圆C 2截得的弦长是6.
22
19. 已知圆C ：(x -1) +(y -2) =25, 直线l :(2m +1) x +(m +1) y =7m +4(m ∈R )
（1）证明：不论m 取何实数，直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值及此时直线l 的方程；
⎛220．已知以点C t ， (t ∈R，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，
⎝
t ⎭
其中O 为原点．
(1)求证：△AOB 的面积为定值；
(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程；
21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x +y -12x +32=0 的圆心为Q ，过点P (0，2) 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B ．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）以OA,OB 为邻边作平行四边形OADB, 是否存在常数k ，使得直线OD 与PQ 平行
如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
2
2
参考答案：
一、选择题： 题号 1 答案 B 二、填空题
11. _1__. 12.(x -3) 2+y 2=4． 13．x 2+(y +1) 2=18．⑤ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤） 16. 解：(1)(x －2) ＋y ＝10 ;(2)(x -1) 2+(y +2) 2=5;
2
2
2 A
3 A
4 B
5 B
6 B
7 B
8 A
9 D
10 D
17.（Ⅰ）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x =1，符合题意．
②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y =k (x -1) ，即kx -y -k =0． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2， 即
=2 解之得 k =
3
．所求直线方程是x =1，3x -4y -3=0． 4
（Ⅱ）依题意设D (a ,2-a ) ，又已知圆的圆心C (3,4),r =2， 由两圆外切，可知CD =5
∴可知
5， 解得 a =3, 或a =-2， ∴ D (3,-1) 或D (－2,4) ， ∴ 所求圆的方程为 （x -3) 2+(y +1) 2=9或（x +2) 2+(y -4) 2=9． 18. 解 (1)圆C 1的圆心C 1(－3,1) ，半径r 1＝2；
圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 27＋465>r 1＋r 2， ∴两圆相离；
（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.
19. 解:（1）证明：直线l :(2m +1) x +(m +1) y =7m +4(m ∈R ) 可化为：
m (2x +y -7) +x +y -4=0，由此知道直线必经过直线2x +y -7=0与x +y -4=0
⎧x =3
的交点，解得：⎨，则两直线的交点为A （3，1），而此点在圆的内部，故不论m 为任
⎩y =1
何实数，直线l 与圆C 恒相交。
（2）联结AC ，过A 作AC 的垂线，此时的直线与圆C 相交于B 、D 两点，根据圆的几何性质可得，线段BD 为直线被圆所截得最短弦，此时|AC|=
5，|BC|=5，所以|BD|=4。
即最短弦为45；又直线AC 的斜率为-
1
，所求的直线方程为y -1=2(x -3) ，即2
2x -y -5=0
⎛22242
20. (1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t ) ＋ y ＝t ＋2，
⎝
t ⎭
t
422
化简得x －2tx ＋y －y ＝0，
t
当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t, 0) ；
4⎛4当x ＝0时，y ＝0或B 0，，
⎝t ⎭
11⎪4⎪∴S △AOB ＝OA ·OB ＝|2t |·⎪⎪＝4为定值． 22⎪t ⎪
t
(2)解 ∵OM ＝ON ，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ， 则CH ⊥MN ，
2
t 21
∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2＝，
t t 2
∴t ＝2或t ＝－2.
∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1) ，
∴圆C 的方程为(x －2) ＋(y －1) ＝5或(x ＋2) ＋(y ＋1) ＝5，
由于当圆方程为(x ＋2) ＋(y ＋1) ＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C 的方程为(x －2) ＋(y －1) ＝5. 21. 解：（Ⅰ）圆的方程可写成(x -6) +y =4，
所以圆心为Q (6，0) ，过P (0，2) 且斜率为k 的直线方程为y =kx +2． 代入圆方程得x +(kx +2) -12x +32=0， 整理得(1+k ) x +4(k -3) x +36=0． ①
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，B 等价于 直线与圆交于两个不同的点A
∆=[4(k -3) 2]-4⨯36(1+k 2) =42(-8k 2-6k ) >0，
解得-
3⎛3⎫
（Ⅱ）设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则OA +OB =(x 1+x 2，y 1+y 2) ，
由方程①，
4(k -3)
②又y 1+y 2=k (x 1+x 2) +4． ③
1+k 2
而P (0，，2) Q (6，，0) PQ =(6，-2) ． x 1+x 2=-
OA +OB 所以与PQ 共线等价于(x 1+x 2) =6(y 1+y 2) ，
将②③代入上式，解得k =-
3⎛3⎫． 由（Ⅰ）知k ∈ ， 0⎪，故没有符合题意的常数k ．4⎝4⎭
《直线与圆》单元测试题（1）
班级 学号 姓名
一、选择题：
1. 直线x -y -2=0的倾斜角为( )
A ．30︒ B．45︒ C. 60︒ D. 90︒
2. 将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A.y =-x + B. y =-x +1 C.y =
3x -3 D.y =3x +1 3-y +m =0与圆x +
y -2x -2=0相切，则实数m 等于（ ）
A ．-
B．-
D．或22
4．过点(0,1)的直线与圆x +y =4相交于A ，B 两点，则AB
的最小值为（ ）
2
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131313
A ．2 B
． C．3 D．5. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准
方程是（ ）
A. (x -3) 2+(y -) 2=1 B. (x -2) +(y -1) =1 C. (x -1) +(y -3) =1 D. (x -) 2+(y -1) 2=1
6. 已知圆C 1：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方
程为（ ）
A. (x +2) +(y -2) =1 B.(x -2) +(y +2) =1 C. (x +2) +(y +2) =1 D.(x -2) +(y -2) =1
7. 已知圆C 与直线x -y =0 及x -y -4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的 方程为（ ）
A. (x +1) +(y -1) =2 B. (x -1) +(y +1) =2 C. (x -1) +(y -1) =2 D. (x +1) +(y
+1) =2
8．设A 在x 轴上，它到点P 的距离等于到点Q (0,1,-1) 的距离的两倍，那么A 点的坐标是( )
A. （1，0，0）和（ -1，0，0） B.（2，0，0）和（-2，0，0）
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C. （
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，0，0）和（-，0，0） D.
（，0，0
0，0）
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9．直线2x -y -1=0被圆(x -1) 2+y 2=2所截得的弦长为( )
B
D
10. 若直线y =x +
b 与曲线y =3有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A.[1-
1+
1，3] C.[-1
，1+
1-3] 二、填空题：
11. 设若圆x +y =4与圆x +y +2ay -6=0(a >0) 的公共弦长为2，则
2
2
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a =______.
12. 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l :y =x -1被该圆所截得的弦长
为，则圆C 的标准方程为_________ ___．
13．已知圆C 的圆心与点P (-2，1) 关于直线y =x +1对称．直线3x +4y -11=0与圆C 相
交于A ，B 两点，且AB =6，则圆C 的方程为 ． 14．已知直线2x +3y -1=0与直线4x +ay =0 平行，则a = ．
15. 直线m 被两平行线l 1:x -y +1=0与l 2:x -y +3=0所截得的线段的长为22，则m 的 倾斜角可以是①15 ；②30 ；③45 ；④60；⑤75 . 其中正确答案的序号是 .
三、解答题：
16(1).已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程.
22
．(2)求与圆x +y -2x +4y +1=0同心，且与直线2x -y +1=0相切的圆的方程.
17. 已知圆C :(x -3) 2+(y -4) 2=4，
（Ⅰ）若直线l 1过定点A (1，0) ，且与圆C 相切，求l 1的方程；
(Ⅱ) 若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x +y -2=0上，且与圆C 外切，求圆D 的
方程．
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18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3) ＋(y －1) ＝4和圆C 2：(x －4) ＋(y －5) ＝9. (1)判断两圆的位置关系;
(2)求直线m 的方程，使直线m 被圆C 1截得的弦长为4，与圆C 2截得的弦长是6.
22
19. 已知圆C ：(x -1) +(y -2) =25, 直线l :(2m +1) x +(m +1) y =7m +4(m ∈R )
（1）证明：不论m 取何实数，直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值及此时直线l 的方程；
⎛220．已知以点C t ， (t ∈R，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，
⎝
t ⎭
其中O 为原点．
(1)求证：△AOB 的面积为定值；
(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程；
21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x +y -12x +32=0 的圆心为Q ，过点P (0，2) 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B ．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）以OA,OB 为邻边作平行四边形OADB, 是否存在常数k ，使得直线OD 与PQ 平行
如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
2
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参考答案：
一、选择题： 题号 1 答案 B 二、填空题
11. _1__. 12.(x -3) 2+y 2=4． 13．x 2+(y +1) 2=18．⑤ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤） 16. 解：(1)(x －2) ＋y ＝10 ;(2)(x -1) 2+(y +2) 2=5;
2
2
2 A
3 A
4 B
5 B
6 B
7 B
8 A
9 D
10 D
17.（Ⅰ）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x =1，符合题意．
②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y =k (x -1) ，即kx -y -k =0． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2， 即
=2 解之得 k =
3
．所求直线方程是x =1，3x -4y -3=0． 4
（Ⅱ）依题意设D (a ,2-a ) ，又已知圆的圆心C (3,4),r =2， 由两圆外切，可知CD =5
∴可知
5， 解得 a =3, 或a =-2， ∴ D (3,-1) 或D (－2,4) ， ∴ 所求圆的方程为 （x -3) 2+(y +1) 2=9或（x +2) 2+(y -4) 2=9． 18. 解 (1)圆C 1的圆心C 1(－3,1) ，半径r 1＝2；
圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 27＋465>r 1＋r 2， ∴两圆相离；
（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.
19. 解:（1）证明：直线l :(2m +1) x +(m +1) y =7m +4(m ∈R ) 可化为：
m (2x +y -7) +x +y -4=0，由此知道直线必经过直线2x +y -7=0与x +y -4=0
⎧x =3
的交点，解得：⎨，则两直线的交点为A （3，1），而此点在圆的内部，故不论m 为任
⎩y =1
何实数，直线l 与圆C 恒相交。
（2）联结AC ，过A 作AC 的垂线，此时的直线与圆C 相交于B 、D 两点，根据圆的几何性质可得，线段BD 为直线被圆所截得最短弦，此时|AC|=
5，|BC|=5，所以|BD|=4。
即最短弦为45；又直线AC 的斜率为-
1
，所求的直线方程为y -1=2(x -3) ，即2
2x -y -5=0
⎛22242
20. (1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t ) ＋ y ＝t ＋2，
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t ⎭
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化简得x －2tx ＋y －y ＝0，
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当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t, 0) ；
4⎛4当x ＝0时，y ＝0或B 0，，
⎝t ⎭
11⎪4⎪∴S △AOB ＝OA ·OB ＝|2t |·⎪⎪＝4为定值． 22⎪t ⎪
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(2)解 ∵OM ＝ON ，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ， 则CH ⊥MN ，
2
t 21
∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2＝，
t t 2
∴t ＝2或t ＝－2.
∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1) ，
∴圆C 的方程为(x －2) ＋(y －1) ＝5或(x ＋2) ＋(y ＋1) ＝5，
由于当圆方程为(x ＋2) ＋(y ＋1) ＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C 的方程为(x －2) ＋(y －1) ＝5. 21. 解：（Ⅰ）圆的方程可写成(x -6) +y =4，
所以圆心为Q (6，0) ，过P (0，2) 且斜率为k 的直线方程为y =kx +2． 代入圆方程得x +(kx +2) -12x +32=0， 整理得(1+k ) x +4(k -3) x +36=0． ①
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，B 等价于 直线与圆交于两个不同的点A
∆=[4(k -3) 2]-4⨯36(1+k 2) =42(-8k 2-6k ) >0，
解得-
3⎛3⎫
（Ⅱ）设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则OA +OB =(x 1+x 2，y 1+y 2) ，
由方程①，
4(k -3)
②又y 1+y 2=k (x 1+x 2) +4． ③
1+k 2
而P (0，，2) Q (6，，0) PQ =(6，-2) ． x 1+x 2=-
OA +OB 所以与PQ 共线等价于(x 1+x 2) =6(y 1+y 2) ，
将②③代入上式，解得k =-
3⎛3⎫． 由（Ⅰ）知k ∈ ， 0⎪，故没有符合题意的常数k ．4⎝4⎭