等腰三角形证明题的思路分析
等腰三角形是特殊的三角形之一，它具有许多特性，因此，以等腰三角形为背景的证明题特别受到中考命题者的青睐，常以此考查同学们对等腰三角形性质的掌握情况及运用能力。
例1. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是顶角∠BAC 的外角的平分线。 求证：AD ∥BC.
分析：要证AD ∥BC ，只需证明同位角∠1＝∠B （或内错角
∠2＝∠C ）即可，而这些角究竟有什么关系呢？考虑已知条件
AB ＝AC ，知∠B ＝∠C 。
AD 平分∠BAC 的外角，得∠1＝∠2
又∠1＋∠2＝∠B ＋∠C （三角形外角等于与它不相邻的两个
内角的和）
由这三个相等关系即可得：∠1＝∠B
故AD ∥BC 成立。
例2. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 边上一点，E
是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 交BC 于F 。
求证：DF ＝EF.
分析：要证DF ＝EF ，只需设法证明DF 与EF 所在的三角形全
等，但由于DF 所在的△DFB 比EF 所在的△EFC 显然大，故应考
虑添加辅助线。
作DG ∥AC ，交BC 于G ，则∠DGB ＝∠ACB
从而∠DGF ＝∠ECF （等角的补角相等）
由AB ＝AC ，得∠B ＝∠ACB
从而∠DGB ＝∠B ，DG ＝BD ＝CE
在△DFG 与△EFC 中，∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC （对顶角相等）
故∠GDF ＝∠FEC
又DG ＝CE ，所以△DFG ≌△EFC
所以DF ＝EF
例3. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上任一点，DE
⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：(DE +DF )为定值。
分析：所谓定值是指不论点D 在底边BC 的何处，DE ＋DF 的大
小总是等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常
量。那么本题的定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D 所在的特殊位置，当点D 与点B 重合时，DE 的长度为0，DF 等于AC 边上的高，可见，（DE ＋DF ）的定值是腰上的高，因此，作△ABC 的高BG ，然后只需证明DE ＋DF ＝BG 即可。
要证D E +D F =BG ，可在BG 上截取GH ＝DF ，然后只需证BH ＝DE 。连接DH ，则只需证明△BDE ≌△DBH 。易知四边形DFGH 是矩形，从而DH ∥AC ，∠BDH ＝∠C ，∠BHD ＝∠DHG ＝90°＝∠BED 。又AB ＝AC ，∠EBD ＝∠ABC ＝∠C ，所以∠BDH ＝∠EBD 。所以∠EDB ＝∠DBH 。又BD 为公共边，所以△BDE ≌△DBH 。
如果注意到高，联想到三角形面积，则可采用如下简单的证法：
连接AD
则由S ∆ABD +S ∆ACD =S ∆ABC ，得：
11AB ·DE +AC ·DF =S ∆ABC 22
又AB ＝AC
∴DE +DF =
2S ∆ABC =AC 边上的高＝定值. AC
例4. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 边上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE 。
求证：DE ＞
BC.
分析：要证DE ＞BC ，由于它们不是同一个三角形的两边，故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE 沿AB 平移到BF ，连
接EF 、CF ，则只需证明∠BCF ＞∠BFC 。易知四边形BDEF 是
平行四边形，所以
∠DEF ＝∠DBF ，EF ＝BD ＝CE ，∠ECF ＝∠EFC
又∠BCF =180︒-∠ACB -∠ECF
∠BFC =∠BFE -∠EFC =(180︒-∠DEF )-∠EFC
而∠DEF =∠DBF >∠ABC =∠ACB
所以∠BCF ＞∠BFC
故DE ＞BC.
【练习】
1. 等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是底边BC 延长线上一点。
求证：AD 2=AB 2+BD ·DC .
2. 等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点（中点除外），且BD ＝AE 。 求证：DE 1BC . 2
等腰三角形证明题的思路分析
等腰三角形是特殊的三角形之一，它具有许多特性，因此，以等腰三角形为背景的证明题特别受到中考命题者的青睐，常以此考查同学们对等腰三角形性质的掌握情况及运用能力。
例1. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是顶角∠BAC 的外角的平分线。 求证：AD ∥BC.
分析：要证AD ∥BC ，只需证明同位角∠1＝∠B （或内错角
∠2＝∠C ）即可，而这些角究竟有什么关系呢？考虑已知条件
AB ＝AC ，知∠B ＝∠C 。
AD 平分∠BAC 的外角，得∠1＝∠2
又∠1＋∠2＝∠B ＋∠C （三角形外角等于与它不相邻的两个
内角的和）
由这三个相等关系即可得：∠1＝∠B
故AD ∥BC 成立。
例2. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 边上一点，E
是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 交BC 于F 。
求证：DF ＝EF.
分析：要证DF ＝EF ，只需设法证明DF 与EF 所在的三角形全
等，但由于DF 所在的△DFB 比EF 所在的△EFC 显然大，故应考
虑添加辅助线。
作DG ∥AC ，交BC 于G ，则∠DGB ＝∠ACB
从而∠DGF ＝∠ECF （等角的补角相等）
由AB ＝AC ，得∠B ＝∠ACB
从而∠DGB ＝∠B ，DG ＝BD ＝CE
在△DFG 与△EFC 中，∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC （对顶角相等）
故∠GDF ＝∠FEC
又DG ＝CE ，所以△DFG ≌△EFC
所以DF ＝EF
例3. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上任一点，DE
⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：(DE +DF )为定值。
分析：所谓定值是指不论点D 在底边BC 的何处，DE ＋DF 的大
小总是等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常
量。那么本题的定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D 所在的特殊位置，当点D 与点B 重合时，DE 的长度为0，DF 等于AC 边上的高，可见，（DE ＋DF ）的定值是腰上的高，因此，作△ABC 的高BG ，然后只需证明DE ＋DF ＝BG 即可。
要证D E +D F =BG ，可在BG 上截取GH ＝DF ，然后只需证BH ＝DE 。连接DH ，则只需证明△BDE ≌△DBH 。易知四边形DFGH 是矩形，从而DH ∥AC ，∠BDH ＝∠C ，∠BHD ＝∠DHG ＝90°＝∠BED 。又AB ＝AC ，∠EBD ＝∠ABC ＝∠C ，所以∠BDH ＝∠EBD 。所以∠EDB ＝∠DBH 。又BD 为公共边，所以△BDE ≌△DBH 。
如果注意到高，联想到三角形面积，则可采用如下简单的证法：
连接AD
则由S ∆ABD +S ∆ACD =S ∆ABC ，得：
11AB ·DE +AC ·DF =S ∆ABC 22
又AB ＝AC
∴DE +DF =
2S ∆ABC =AC 边上的高＝定值. AC
例4. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 边上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE 。
求证：DE ＞
BC.
分析：要证DE ＞BC ，由于它们不是同一个三角形的两边，故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE 沿AB 平移到BF ，连
接EF 、CF ，则只需证明∠BCF ＞∠BFC 。易知四边形BDEF 是
平行四边形，所以
∠DEF ＝∠DBF ，EF ＝BD ＝CE ，∠ECF ＝∠EFC
又∠BCF =180︒-∠ACB -∠ECF
∠BFC =∠BFE -∠EFC =(180︒-∠DEF )-∠EFC
而∠DEF =∠DBF >∠ABC =∠ACB
所以∠BCF ＞∠BFC
故DE ＞BC.
【练习】
1. 等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是底边BC 延长线上一点。
求证：AD 2=AB 2+BD ·DC .
2. 等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点（中点除外），且BD ＝AE 。 求证：DE 1BC . 2