解填空题常用到的几个公式
1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ, 则cos θ=cos αcos β
2． 在二面角M -l -N 的面M 内，有直角三角形ABC, 斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D, 且∠ACD=θ1，∠ABD=θ2，二面角为θ，则sin 2θ=sin 2θ1+sin 2θ2
x 2y 2
3． 设F 1,F 2为椭圆2+2=1（a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ a b
则S ∆F 1MF 2=b 2tan θ
2, b =-e 2 . a
x 2y 2
4． 设F 1,F 2为双曲线2-2=1（a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ, a b
则S ∆F 1MF 2=b 2cot θ
2, b =e 2-1. a
x 2y 2
5．已知椭圆2+2=1（a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， a b
∠P F2F 1=β，则e =c =a cos α+β. α-βcos 2
x 2y 2x 2y 2
6. 设直线y =kx +b 与椭圆2+2=1(双曲线2-2=1) 相交于不同的两点a b a b
b 2x 0b 2x 0A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ,AB 的中点为M (x 0, y 0) , 则k =-2(k =2). a y 0a y 0
7. 过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为 θ的直线交抛物线于A , B 两点，
则线段AB =2P
sin 2θ
函数图像的对称问题(小结)
函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点成中心对称与函数自身的对称轴或对称中心是有本质区．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。
一、 同一个函数图象关于直线的对称
结论1：设a,b 均为常数，函数y =f (x ) 对一切数学x 都满足f (a +x ) =f (b -x ) ，则函数的图象关于直线x =a +b 对称。 2
推论1：在直角坐标系中，满足f (a +x ) =f (a -x ) 的函数y=f(x)关于直线x=a对称（其中a 为常数）
推论2：在直角坐标系中，满足f (a -x ) =f (x -a ) 的函数 的图象关于直线x=0对称。 例1 已知函数的定义域为R ，且对于一切实数x 满足
，当x ∈[2, 7]时， ， f(x)=(x -2) 2 f (x +2) =f (2-x ), f (x +7) =f (7-x ), ，
当x ∈[16, 20]时，求函数g (x ) =2x -f (x ) 的表达式。
解：由 f (x +2) =f (2-x ), f (x +7) =f (7-x ) 知，函数y =f (x ) 的图象关于直线x=2和x=7对称，且有
f (x ) =f [(x -2) +2]=f [2-(x -2)]=f (4-x ) =f [7-(3+x )]=f [7+(x +3)]=f (x +10) ∴f (x -10) =f (x )
当x ∈[16, 17]时， x -10∈[6, 7]，此时f (x ) =f (x -10) =(x -10-2) 2=(x -12) 2； 当x ∈(17, 20]时，x -20∈(-3, 0), 4-(x -20) ∈[4, 7],
∴f (x ) =f (x -20) =f [4-(x -20)]=[4-(x -20) -2]2=(x -22) 2，
2⎧⎪2x -(x -12) (16≤x ≤17) g(x)=⎨ 2⎪⎩2x -(x -22) (17 x ≤20)
二、两个函数图象关于直线的对称
结论2：在同一直角坐标系中，函数y =f (a +x ) 与函数y =f (b -x ) 的图象关于直线x =b -a 对称（其中a ，b 均为常数） 2
推论1：在直角坐标系中，函数y =f (a +x ) 与函数y =f (a -x ) 的图象关于直线x=0对称。 推论2：在直角坐标系中，函数y =f (a -x ) 与函数y =f (x -a ) 的图象关于直线x=a对称（其中a 为常数）。
例2 设函数f(x)=2x +1, g (x ) =21-x ，则它们的图象（ ）
A ．关于原点中心对称
B ．关于直线x=0对称
C ．关于直线x=1对称
D ．既不成中心对称也不成轴对称
解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y 轴，故应选B 。
三、 同一个函数图象关于点成中心对称
结论3：设a ，b 均为常数，函数y =f (x ) 对一切实数x 都满足f (a +x ) +f (a -x ) =2b ，则函数y =f (x ) 的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
例2 已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (-x ) =2002，求f -1(x ) +f -1(2002-x ) 的值。 解：由已知，在等式f (a +x ) +f (a -x ) =2b 中，令a=0，2b=2002，则函数y =f (x ) 关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y =f -1 (x ) 关于点(1001,0)对称。∴f -1(x +1001) +f -1(1001-x ) =0
将上式中的x 用x －1001换，得f -1(x ) +f -1(2002-x ) =0 。
b -a c , ) 22四、 两个函数图象关于点成中心对称 结论4：设a ，b ，c 均为常数，则函数 y =f (a +x ) 与y =c -f (b -x ) 关于点(
成中心对称图形。
例4 已知函数y =f (x ) 是定义在实数集R 上的函数，那么y =f (6-x ) 与y =-f (x +4) 的图象（ ）
A ．关于直线x=5对称 B ．关于直线x=1对称
C ．关于点(5, 0) 对称 D ．关于点(1,0)对称
解析：由题意，已知式变形为-y =f (x +4) ，-y =-f (6-x ) ，则有a=4，b=6，c=0。
由结论4知，y =f (6-x ) 与y =-f (x +4) 关于点(
(1,0)对称，故应选择D 。 6-40, ) 成中心对称，即关于点 22
解填空题常用到的几个公式
1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ, 则cos θ=cos αcos β
2． 在二面角M -l -N 的面M 内，有直角三角形ABC, 斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D, 且∠ACD=θ1，∠ABD=θ2，二面角为θ，则sin 2θ=sin 2θ1+sin 2θ2
x 2y 2
3． 设F 1,F 2为椭圆2+2=1（a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ a b
则S ∆F 1MF 2=b 2tan θ
2, b =-e 2 . a
x 2y 2
4． 设F 1,F 2为双曲线2-2=1（a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ, a b
则S ∆F 1MF 2=b 2cot θ
2, b =e 2-1. a
x 2y 2
5．已知椭圆2+2=1（a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， a b
∠P F2F 1=β，则e =c =a cos α+β. α-βcos 2
x 2y 2x 2y 2
6. 设直线y =kx +b 与椭圆2+2=1(双曲线2-2=1) 相交于不同的两点a b a b
b 2x 0b 2x 0A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ,AB 的中点为M (x 0, y 0) , 则k =-2(k =2). a y 0a y 0
7. 过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为 θ的直线交抛物线于A , B 两点，
则线段AB =2P
sin 2θ
函数图像的对称问题(小结)
函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点成中心对称与函数自身的对称轴或对称中心是有本质区．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。
一、 同一个函数图象关于直线的对称
结论1：设a,b 均为常数，函数y =f (x ) 对一切数学x 都满足f (a +x ) =f (b -x ) ，则函数的图象关于直线x =a +b 对称。 2
推论1：在直角坐标系中，满足f (a +x ) =f (a -x ) 的函数y=f(x)关于直线x=a对称（其中a 为常数）
推论2：在直角坐标系中，满足f (a -x ) =f (x -a ) 的函数 的图象关于直线x=0对称。 例1 已知函数的定义域为R ，且对于一切实数x 满足
，当x ∈[2, 7]时， ， f(x)=(x -2) 2 f (x +2) =f (2-x ), f (x +7) =f (7-x ), ，
当x ∈[16, 20]时，求函数g (x ) =2x -f (x ) 的表达式。
解：由 f (x +2) =f (2-x ), f (x +7) =f (7-x ) 知，函数y =f (x ) 的图象关于直线x=2和x=7对称，且有
f (x ) =f [(x -2) +2]=f [2-(x -2)]=f (4-x ) =f [7-(3+x )]=f [7+(x +3)]=f (x +10) ∴f (x -10) =f (x )
当x ∈[16, 17]时， x -10∈[6, 7]，此时f (x ) =f (x -10) =(x -10-2) 2=(x -12) 2； 当x ∈(17, 20]时，x -20∈(-3, 0), 4-(x -20) ∈[4, 7],
∴f (x ) =f (x -20) =f [4-(x -20)]=[4-(x -20) -2]2=(x -22) 2，
2⎧⎪2x -(x -12) (16≤x ≤17) g(x)=⎨ 2⎪⎩2x -(x -22) (17 x ≤20)
二、两个函数图象关于直线的对称
结论2：在同一直角坐标系中，函数y =f (a +x ) 与函数y =f (b -x ) 的图象关于直线x =b -a 对称（其中a ，b 均为常数） 2
推论1：在直角坐标系中，函数y =f (a +x ) 与函数y =f (a -x ) 的图象关于直线x=0对称。 推论2：在直角坐标系中，函数y =f (a -x ) 与函数y =f (x -a ) 的图象关于直线x=a对称（其中a 为常数）。
例2 设函数f(x)=2x +1, g (x ) =21-x ，则它们的图象（ ）
A ．关于原点中心对称
B ．关于直线x=0对称
C ．关于直线x=1对称
D ．既不成中心对称也不成轴对称
解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y 轴，故应选B 。
三、 同一个函数图象关于点成中心对称
结论3：设a ，b 均为常数，函数y =f (x ) 对一切实数x 都满足f (a +x ) +f (a -x ) =2b ，则函数y =f (x ) 的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
例2 已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (-x ) =2002，求f -1(x ) +f -1(2002-x ) 的值。 解：由已知，在等式f (a +x ) +f (a -x ) =2b 中，令a=0，2b=2002，则函数y =f (x ) 关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y =f -1 (x ) 关于点(1001,0)对称。∴f -1(x +1001) +f -1(1001-x ) =0
将上式中的x 用x －1001换，得f -1(x ) +f -1(2002-x ) =0 。
b -a c , ) 22四、 两个函数图象关于点成中心对称 结论4：设a ，b ，c 均为常数，则函数 y =f (a +x ) 与y =c -f (b -x ) 关于点(
成中心对称图形。
例4 已知函数y =f (x ) 是定义在实数集R 上的函数，那么y =f (6-x ) 与y =-f (x +4) 的图象（ ）
A ．关于直线x=5对称 B ．关于直线x=1对称
C ．关于点(5, 0) 对称 D ．关于点(1,0)对称
解析：由题意，已知式变形为-y =f (x +4) ，-y =-f (6-x ) ，则有a=4，b=6，c=0。
由结论4知，y =f (6-x ) 与y =-f (x +4) 关于点(
(1,0)对称，故应选择D 。 6-40, ) 成中心对称，即关于点 22