2017年上海市中考数学试卷及解析 一、 选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 ； B.
； C. –2 ； D. 2. 7
【考点】无理数.
【分析】整数或分数是有理数，无限不循环小数为无理数。
D 。
【点评】本题考查了无理数的定义，
带根号的数不一定就是无理数如
，分数虽除不尽，但是无限循环小数为有理数，关键掌握无理数是无
限不循环小数. 27
2. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x 2-2x =0； B. x2-2x -1=0； C. x 2-2x +1=0； D. x 2-2x +2=0 .
【考点】一元二次方程根的判别式.
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义, 求得判别式△＜0即
可.
【解答】经计算, x2-2x +2=0的△=-4＜0, 故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系, 当△＞0，方
程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根. 本题二次项系数为1，一次项系数为偶数，
用配方法也可得到答案.
3. 如果一次函数y ＝kx +b （k 、b 是常数, k≠0）的图像经过第一、二、
四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）
A ．k ＞0, 且b ＞0 ；
C ．k ＞0, 且b ＜0 ； B ．k ＜0, 且b ＞0 ； D ．k ＜0, 且b ＜0 .
【考点】一次函数的图像.
【解析】根据一次函数解析式的系数与图像的关系，k ＞0, 直线从左
到右上升图像经过一、三象限，k ＜0, 直线从左到右下降图像经过二、
四象限，确定A 、C 错误，b ＞0, 直线与y 轴交点在x 轴上方，b ＜0，
直线与y 轴交点在x 轴下方，确定D 错误, 故选B.
【点评】本题考查了一次函数的图像，研究函数的重要方法就是数形
结合.
4. 数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ）
A. 0和6 ； B. 0和8 ； C. 5和6 ； D. 5和8 .
【考点】 众数；中位数．
【分析】 找中位数要把数据按从小到大重新排序，若奇数个位于正
中间的那个数，偶数个位于中间两个数的平均数为中位数；众数是一
组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】数据重新排列为：0、1、2、5、6、6、8，其中6出现次数
最多为众数，5处在7个数的第4位正中间是中位数，故选C.
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，属于基础
题．注意找中位数的时候一定要重新排序，然后再根据奇数和偶数个
来确定中位数，否则A 选项就可能成为干扰项．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 菱形； B. 等边三角形； C. 平行四边形； D. 等腰梯形．
【考点】轴对称图形和中心对称图形.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义及菱形、等边三角形、
平行四边形、等腰梯形的性质判定即可.
【解答】等边三角形和等腰梯形是轴对称图形，平行四边形是中心对
称图形，只有菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选A.
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础
题．根据定义结合相关图形的性质进行判断，不难选出正确项．
6. 已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列
条件中，能判断平行四边形为矩形的是（ ）
A. ∠BAC ＝∠DCA ； B. ∠BAC ＝∠DAC ；
C. ∠BAC ＝∠ABD ； D. ∠BAC ＝∠ADB ．
【考点】矩形的判定.
【解析】A 选项对任意平行四边形均成立，B 选项可判定对角线平分
一组对角，因此平行四边形是菱形，C 选项可判定对角线一半相等，
得对角线相等，从而平行四边形是矩形，正确. D 选项由∠BAC ＝
1∠ADB ，可推得△BAO ∽△BDA ，∴BA ＝BO • BD ＝BD 2 BD
22
，无法判定平行四边形为矩形，故选C.
【点评】本题考查了矩形的判定，掌握特殊平行四边形的判定是解题
的关键. D 选项比较有挑战性，因为是单选题，若能判定C 选项，
D 可直接跳过.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 计算：2a· a2=_______．
【考点】同底数幂相乘.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可求解.
【解答】2a· a2=2a 1+2=2a 3．
【点评】本题考查了同底数幂相乘，熟记运算法则是解题的关键.
⎧2x ＞68. 不等式组⎨的解集是_________． x -2＞0⎩
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分，就是不
等式组的解集.
⎧x ＞3【解答】原不等式组变为⎨，解得，x ＞3. x ＞2⎩
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，解一元一次不等式组
时，一般先求出其中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部
分，求公共解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到.
9.
=1的根是_________．
【考点】根式方程.
【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可.
【解答】方程两边平方得：2x - 3=1，解得x =2.
把x =2代入原方程，左边=1，右边=1， ∵左边=右边，∴x =2是原方程的解.
【点评】本题考查了无理方程的解法，正确利用平方法解出方程，并
正确进行验根是解题的关键.
k 10. 如果反比例函数y =( k是常数, k ≠0) 的图像经过点 (2, 3)，那么x
在这个函数图像所在的每一个项限内，y 的值随着x 的值的增大而
_____．( 填“增大”, 或“减小”)
【考点】反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式.
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，然后利用当k ＞0时，
双曲线的两支分别位于一、三象限，在每一个象限内，函数值y 随自
变量x 的增大而减小；当k ＜0时，双曲线的两支分别位于二、四象
限，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大，进而得出答
案.
k 【解答】∵反比例函数y =( k是常数, k ≠0) 的图像经过点 (2, 3)，x
k 6∴3=，解得：k =6，∴反比例函数解析式是：y =， 2x
∵k =6＞0，∴y 随x 的增大而减小，故答案为：减小．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解
析式. 求出解析式，正确记忆增减性是解题的关键.
11. 某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降
了10%. 如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降了10%，那么今
年PM2.5的年均浓度将是_____微克/立方米．
【考点】平均变化率问题。
【分析】下降率问题．根据第一年的年均浓度×(1-平均年下降率) 2=
第三年的年均浓度，列出方程即可．
【解答】今年PM2.5的年均浓度=50(1-10%)2=40.5(微克/立方米) .
【点评】本题考查了平均变化率问题．若设变化前的量为a ，变化后
的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为
a (1±x ) 2=b ．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号
选“-”）．
12. 不透明的布袋里有2个黄球，3个红球，5个白球，它们除颜色
外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是
_______．
【考点】概率公式.
【分析】共有10种等可能出现的结果数，其中从布袋中任意摸出一
个球恰好为红球有三种，从而利用概率公式可求出从布袋中任意摸出
一个球恰好为红球的概率.
3【解答】从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率P (A )=. 10
【点评】本题考查了概率公式 ：随机事件A 的概率P (A )=事件A 可
能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
13. 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为 (0, -1) ，那么
这个二次函数的解析式可以是_______．(只需写一个)
【考点】二次函数的性质，求顶点表达式的方法.
【分析】已知顶点坐标(h , k) ，二次函数顶点表达式为y ＝a (x - h) 2+ k ，
当a ＞0时，二次函数的图像开口向上，当a ＜0时，二次函数的图像
开口向下.
【解答】∵二次函数的图像开口向上，a ＞0，取a =1，
又顶点坐标为 (0, -1) ，∴二次函数的解析式为y =x 2-1.
【点评】本题考查了二次函数的性质及求顶点表达式，根据题意取a
＞0的任一个值，结合顶点坐标，即可求出解析式．
14. 某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如
图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值
平均数是_____万元．
【考点】扇形统计图.
【分析】二月份产值除以百分比，得这个季度总产值， 再除以3得这个季度月产值平均数. 图 1
【解答】由题意，二月份的百分比=1-25%-45%=30%，
这个季度总产值为72÷30%=240， 该企业第一季度月产值平均数是80万元．
【点评】本题考查了扇形统计图，统计图能反应出每个项目的数据，
读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
15. 如图2，已知AB ∥CD ，CD =2AB ，AD 、BC 相交于点E . 设AE =a ，
CE =b ，那么向量CD 用向量a 、b 表示为_____． 【考点】相似三角形的判定与性质；平面向量。
【分析】利用三角形法则求解．
【解答】∵AB ∥CD ， CD =2AB ，∴△DEC ∽△AEB ，
DE CD ∴==2，∴ED =2AE ， AE AB D
a ∵AE =a ，∴ED =2AE =2，
又CE =b ， ∴CD =ED +CE =2a +b ．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应
用是解题的关键.
16. 一副三角尺按图3的位置摆放 (顶点C 与F 重合，边CA 与边
FE 重合，顶点B 、C 、D 在一条直线上). 将三角尺DEF 绕着点F 按
顺时针方向旋转 n ° 后 (0＜n ＜180) ，如果EF ∥AB ，那么n 的值是
_______．
E
A 【考点】图形旋转；平行线的性质.
【解析】依题意EF ∥AB ，则∠ACE =∠BAC =45°，即n =45.
【点评】图形旋转题，考查重点在平行线的性质上面。 B D 知道两直线平行内错角相等即可，难度不大。 C (F ) 图 3
17. 如图4，已知Rt △ABC ，∠C =90°，AC = 3，BC =4，分别以点A 、
B 为圆心画圆，如果点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外，且⊙B 与⊙A 内
切，那么⊙B 的半径的长r 的取值范围是_________． A
【考点】点与圆、圆与圆的位置关系.
图4 【分析】根据勾股定理得到AB =5，根据C 在⊙A 内， C
点B 在⊙A 外，⊙A 的半径x ，满足3＜x ＜5，由⊙B 与⊙A 内切，
得r -x = 5，，即可求解.
【解答】∵Rt △ABC ，∠C =90°，AC = 3，BC =4，∴AB = 5，
∵点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外， 设⊙A 的半径为x ，则3＜x ＜5，
又⊙B 与⊙A 内切，⊙B 的半径为r ， ∴r -x = 5，即r = x + 5，∴r 的取值范围是8＜r ＜10.
【点评】本题考查了点与圆、圆与圆的位置关系，掌握相关的判定是
解题的关键.
18. 我们规定：一个正n 边形 ( n为常数, n ≥4) 的最短对角线与最
长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”。记为λn ，那
么λ6=_________．
【考点】正六边形有关概念；锐角三角函数.
【分析】画出图形，找出最短与最长对角线，根据正六边形有关概念，
明确角度，把“特征值”转化为合适的三角比，本题即可求解.
【解答】如图，在正六边形ABCDEF 中，
AE 是最短对角线，EB 是最长对角线， ∵∠EBA =60°，∠EAB =90°，∴AE =sin 60°= EB 2 F
即λ6=. 2
【点评】本题考查了正六边形有关概念及锐角三角函数. 弄清概念，
画出图形，把规定的“特征值”转化为锐角三角函数是关键.
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）
21
21-11) -9+() ． 2
【考点】实数的运算.
【分析】利用二次根式以及分数指数幂，负整数指数幂的性质，分别
进行化简，再用实数的混合运算法则计算即可。
【解答】原式
-
-
3 +2=
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的混合运算，分数
指数幂，负整数指数幂等知识，属于基础题．
20. （本题满分10分） 13解方程：2-=1． x -3x x -1
【考点】解分式方程.
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类
项，系数化1，进行计算即可.
【解答】方程两边同乘公分母x (x -3) ，
去分母得3-x =x 2-3 x 移项、整理得 x 2-2 x -3=0， 解得 x 1=-1，x 2=3， 经检验：x 2=3是增根，舍去；x 1=-1是原方程的根. ∴原方程的根是x =-1.
【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关
键，注意验根.
21. （本题满分10分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分） 如图5, 一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中
柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥
(1) 求sin B 的值；
(2) 现需要加装支架DE 、EF ，其中点E 在AB 上， 图 5
BE =2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为F ，求支架DE 的长。
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用。
【分析】（1）由D 是BC 的中点，求出BD ，再根据勾股定理求出
AB ，从而求得sin B 的值；
（2）由AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，得出EF ∥ AD，所以△BEF ∽△BAD ，EF BE 2DF AE 1得==，求出EF ，由==，求出DF ，最后由勾AD AB 3BD AB 3
股定理求得DE.
【解答】（1）∵BC =18， D 是BC 的中点，∴BD =9，
又AD =6，AD ⊥BC ，
在Rt △ABD 中，由勾股定理得
AB
=
AD ∴ sinB==； AB 13图5
（2）∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴ EF∥ AD，
∴△BEF ∽△BAD ，又BE =2AE ，
2EF BE 2∴==，∴EF =AD = 4， 3AD AB 3
1DF AE 1又==，∴DF =BD = 3， 3BD AB 3
在Rt △DEF 中，DE
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及相似三角形的判定
与性质，难度适中．
22. （本题满分10分，每小题满分各5分）
甲、乙两家绿色养护公司各自推出了校园养护服务的收费方案。 甲公司方案：每月养护费用y (元) 与绿化面积x (平方米) 是一次函
数关系，如图6所示。 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500
元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超
过部分每平方米收取4元。
(1) 求如图6所示的y 与x 的函数解析式；(不要求写出定义域)
(2) 如果学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选 择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少。
【考点】一次函数的应用. 【分析】（1）设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b (k ≠0) ， 6 图 将点(0，400) 、(100，900) 代入函数解析式得到关于 k ，b 的方程组，从而求得函数的解析式；（2）当x =1200时， x (平方米)
代入求得函数的解析式得到甲公司费用y =6400 (元); 乙公司费用 z =5500+ (1200-1000)× 4=6300 (元) ，比较y 与 z 的值得出结论.
【解答】（1）设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b (k ≠0) ， 函数图像经过(0，400) ，(100，900) ，
⎧400=0+b ⎧k =5
得 ⎨900=100k +b ⇒⎨b =400， ⎩⎩
∴y 关于x 的函数解析式为y =5x +400；
（2）由（1）知，甲公司费用解析式为y =5x +400，
当x =1200时，y =5×1200+400=6400 (元) ， 设乙公司费用为z ，z =5500+ (1200-1000)× 4=6300 (元) ，
∵6400＞6300，∴选择乙公司费用较少。
【点评】本题考查了一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数
解析式是解题的关键.
23. （本题满分12分，第⑴小题满分7分，第⑵小题满分5分） 已知：如图7，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线
BD 上的一点，且EA=EC. A
D
(1) 求证：四边形ABCD 是菱形；
(2) 如果BE =BC ，且∠CBE :∠BCE =2: 3， 求证：四边形ABCD 是正方形。 图 7
【考点】平行四边形、菱形、正方形的判定；全等三角形的判定与性
质；等腰三角形判定与性质；平行线性质、三角形内角和定理等．
【分析】（1）证△ADE ≌△CDE 得∠ADE =∠CDE ，由AD ∥BC ，
得∠CBD =∠ADB =∠CDB ，从而得BC =CD= AD，根据一组对边平行
且相等得平行四边形，再一组邻边相等得菱形；（2）由（1）知四边B C
形ABCD 是菱形，再证一角为直角即可.
【解答】证明：（1）在△ADE 和△CDE 中，
A D ∵AD =CD ，EA=EC，DE =DE ，
∴△ADE ≌△CDE (s s s) ，∴∠ADE =∠CDE ， ∵AD ∥BC ，∴∠CBD =∠ADB =∠CDB ， B C
图7 ∴BC =CD= AD，
∵AD ∥BC ，AD = BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又AD =CD ，∴四边形ABCD 是菱形；
（2）∵BE =BC ，∴∠BEC =∠BCE ，
又∠CBE :∠BCE =2: 3，设∠CBE =2x ，则∠BEC =∠BCE =3x ， 在△BCE 中，∠CBE +∠BCE +∠BEC =180°， 即2x+3x +3x =180°，解得x =22.5°，∴∠CBD =45°， ∴∠ADE =∠CDE =∠CBD =45°，∴∠ADC =90°， 又四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形.
【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形的判定，全等三角形
的判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线性质、三角形内角和
定理等．主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目较好，难度适
中．
24. （本题满分12分，每小题满分各4分） 在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点
A (2， 2) ，对称轴是直线x =1，顶点为B .
(1) 求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；
(2) 点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结 AM ，用含m 的代数式表示∠AMB 的余切值；
(3) 将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上。 原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q
求点Q 的坐标。
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的 表达式，再配方成顶点式求出顶点B 的坐标；
图 8
（2）过点A 作AD ⊥对称轴BC ，垂足为点D ，得D 点坐标(1，2) ， 再由点A 、M 坐标得AD =1，MD =m -2，进而求得cot ∠AMB 的表达
值；（3）易知点C 坐标为(1，0) ，将顶点B (1，3) 平移至点C ，抛物
线y =-x 2+2x +2向下平移3个单位，∴新抛物线解析式为y =-x 2+2x -1，
连接PQ ，∵OP =OQ ，PQ ⊥x 轴，∴PQ 关于x 轴对称，PQ =3，知Q
33点纵坐标为-，把y =-代入y =-x 2+2x -1，求出Q 点横坐标即可. 22
【解答】（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (2， 2) ，∴2=-4+2b +c ①，
b b 又对称轴x =-==1，即b =2，代入①得c =2， 2a 2∴这条抛物线的表达式为y =-x 2+2x +2，
当x =1时，y =3，∴顶点B 的坐标为 (1，3)
或把y =-x 2+2x +2配方成y =-( x-1) 2+3， ∴顶点B 的坐标为 (1，3) ； x
（2）过点A 作AD ⊥对称轴BC ，垂足为点D ， +bx+c
则M (1，m ) ，D (1，2) ，AD =1，MD =m -2， 在Rt △AMD 中，∠ADM =90°，
MD cot ∠AMB ==m -2； AD
（3）∵对称轴x =1与x 轴的交点为C ，∴点C 坐标为(1，0) ，
将顶点B (1，3) 平移至点C ，抛物线y =-x 2+2x +2向下平移
3个单位，∴新抛物线解析式为y =-x 2+2x -1，
连接PQ ，∵OP =OQ ，PQ ⊥x 轴，
∴PQ 关于x 轴对称，PQ =3，
∴Q 点纵坐标为-，
3 把y =-代入y =-x 2+2x -1，解得x 3223∴Q 1 ，-) ，Q 2 22+2x+2
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛
物线的表达式、顶点坐标求法，对称、余切函数、图像平移等知识点，
难度适中.
25. （本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，
第（3）小题满分5分） 如图9，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB =AC ，
BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC .
(1) 求证：△OAD ∽△ABD ；
(2) 当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；
(3) 记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别是S 1、S 2、S 3，如果S 2 是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长。
图9 备用图
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）通过证明△AOB ≌△AOC ，得∠BAO =∠CAO ，由 AO = BO，得∠BAO =∠B =∠DAO ，可证△OAD ∽△ABD ；
（2）∵∠C 是等腰△AOC 的底角，∴∠C ≠90°. △OCD 是直角三角形有两种情况，① 当∠ODC =90°时， 联结BC ，△ABC 是等边三角形，可得BC
② 当∠DOC =90°时，联结BC ，△BOC 是等腰直角三角形， 可得BC
=BC
OD AD OD AD ==（3）由△OAD ∽△ABD ，得，即 OA AB OB AB
S 2S 3OD DC ==由S 2 是S 1和S 3的比例中项，得，即， OB AD S 1S 2
AD DC =∴，推出点D 是线段AC 的黄金分割点，
AB AD
OD DC ==∴，求出OD.
OB AD 2
【解答】证明：（1）在△和△AOC 中，
∵AB =AC ，AO =AO ，BO =CO ，
∴△AOB ≌△AOC ，∴∠BAO =∠CAO ， 图9 ∵AO = BO，∴∠BAO =∠B ，∴∠DAO =∠B ，
B
又∠ODA =∠ADB ，∴△OAD ∽△ABD ；
解：（2）∵∠C 是等腰△AOC 的底角，∴∠C ≠90°.
△OCD 是直角三角形有两种情况， 如图，① 当∠ODC =90°时，∠ADB =90°，
由（1）知∠BAD =∠BAO+∠DAO =2∠B ，∴∠BAD =60°，
∵AB =AC ，∴联结BC ，△ABC
∴BC =AC =2DC =2OC •cos 30°
② 当∠DOC =90°时，∠BOC =90°， ∵BO =CO ，∴联结BC ，△BOC ∴BC 综上，BC
OD AD OD AD ==解：（3）由（1）知△OAD ∽△ABD ，∴，即， OA AB OB AB
S 2S 3OD DC ==∵S 2 是S 1和S 3的比例中项，∴，∴，OB AD S 1S 2
∴AD DC =，∴点D 是线段AC 的黄金分割点， AB AD
OD DC ==∴，∵OB=1，∴OD=. OB AD 22
解法2：如图，∵AB =AC
∴圆心O 到弦AB 、AC 的距离相等，
∴S 1: S 2: S 3=AB : AD : DC ，
又S 2 是S 1和S 3的比例中项， ∴S 22 =S 1• S3 ⇒AD 2=AB • DC，即AD 2=AC • DC，
S 3DC ==∴点D 是线段AC 的黄金分割点，∴， S 2AD 2
S 2OD S 3===∵，OB=1，∴OD=. S 1OB S 222
【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形、
锐角三角函数、比例中项、黄金分割、面积比等知识，利用分类讨论
得出△OCD 是直角三角形有两种情况，进而求出BC 是解题关键．
2017年上海市中考数学试卷及解析 一、 选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 ； B.
； C. –2 ； D. 2. 7
【考点】无理数.
【分析】整数或分数是有理数，无限不循环小数为无理数。
D 。
【点评】本题考查了无理数的定义，
带根号的数不一定就是无理数如
，分数虽除不尽，但是无限循环小数为有理数，关键掌握无理数是无
限不循环小数. 27
2. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x 2-2x =0； B. x2-2x -1=0； C. x 2-2x +1=0； D. x 2-2x +2=0 .
【考点】一元二次方程根的判别式.
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义, 求得判别式△＜0即
可.
【解答】经计算, x2-2x +2=0的△=-4＜0, 故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系, 当△＞0，方
程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根. 本题二次项系数为1，一次项系数为偶数，
用配方法也可得到答案.
3. 如果一次函数y ＝kx +b （k 、b 是常数, k≠0）的图像经过第一、二、
四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）
A ．k ＞0, 且b ＞0 ；
C ．k ＞0, 且b ＜0 ； B ．k ＜0, 且b ＞0 ； D ．k ＜0, 且b ＜0 .
【考点】一次函数的图像.
【解析】根据一次函数解析式的系数与图像的关系，k ＞0, 直线从左
到右上升图像经过一、三象限，k ＜0, 直线从左到右下降图像经过二、
四象限，确定A 、C 错误，b ＞0, 直线与y 轴交点在x 轴上方，b ＜0，
直线与y 轴交点在x 轴下方，确定D 错误, 故选B.
【点评】本题考查了一次函数的图像，研究函数的重要方法就是数形
结合.
4. 数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ）
A. 0和6 ； B. 0和8 ； C. 5和6 ； D. 5和8 .
【考点】 众数；中位数．
【分析】 找中位数要把数据按从小到大重新排序，若奇数个位于正
中间的那个数，偶数个位于中间两个数的平均数为中位数；众数是一
组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】数据重新排列为：0、1、2、5、6、6、8，其中6出现次数
最多为众数，5处在7个数的第4位正中间是中位数，故选C.
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，属于基础
题．注意找中位数的时候一定要重新排序，然后再根据奇数和偶数个
来确定中位数，否则A 选项就可能成为干扰项．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 菱形； B. 等边三角形； C. 平行四边形； D. 等腰梯形．
【考点】轴对称图形和中心对称图形.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义及菱形、等边三角形、
平行四边形、等腰梯形的性质判定即可.
【解答】等边三角形和等腰梯形是轴对称图形，平行四边形是中心对
称图形，只有菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选A.
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础
题．根据定义结合相关图形的性质进行判断，不难选出正确项．
6. 已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列
条件中，能判断平行四边形为矩形的是（ ）
A. ∠BAC ＝∠DCA ； B. ∠BAC ＝∠DAC ；
C. ∠BAC ＝∠ABD ； D. ∠BAC ＝∠ADB ．
【考点】矩形的判定.
【解析】A 选项对任意平行四边形均成立，B 选项可判定对角线平分
一组对角，因此平行四边形是菱形，C 选项可判定对角线一半相等，
得对角线相等，从而平行四边形是矩形，正确. D 选项由∠BAC ＝
1∠ADB ，可推得△BAO ∽△BDA ，∴BA ＝BO • BD ＝BD 2 BD
22
，无法判定平行四边形为矩形，故选C.
【点评】本题考查了矩形的判定，掌握特殊平行四边形的判定是解题
的关键. D 选项比较有挑战性，因为是单选题，若能判定C 选项，
D 可直接跳过.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 计算：2a· a2=_______．
【考点】同底数幂相乘.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可求解.
【解答】2a· a2=2a 1+2=2a 3．
【点评】本题考查了同底数幂相乘，熟记运算法则是解题的关键.
⎧2x ＞68. 不等式组⎨的解集是_________． x -2＞0⎩
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分，就是不
等式组的解集.
⎧x ＞3【解答】原不等式组变为⎨，解得，x ＞3. x ＞2⎩
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，解一元一次不等式组
时，一般先求出其中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部
分，求公共解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到.
9.
=1的根是_________．
【考点】根式方程.
【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可.
【解答】方程两边平方得：2x - 3=1，解得x =2.
把x =2代入原方程，左边=1，右边=1， ∵左边=右边，∴x =2是原方程的解.
【点评】本题考查了无理方程的解法，正确利用平方法解出方程，并
正确进行验根是解题的关键.
k 10. 如果反比例函数y =( k是常数, k ≠0) 的图像经过点 (2, 3)，那么x
在这个函数图像所在的每一个项限内，y 的值随着x 的值的增大而
_____．( 填“增大”, 或“减小”)
【考点】反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式.
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，然后利用当k ＞0时，
双曲线的两支分别位于一、三象限，在每一个象限内，函数值y 随自
变量x 的增大而减小；当k ＜0时，双曲线的两支分别位于二、四象
限，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大，进而得出答
案.
k 【解答】∵反比例函数y =( k是常数, k ≠0) 的图像经过点 (2, 3)，x
k 6∴3=，解得：k =6，∴反比例函数解析式是：y =， 2x
∵k =6＞0，∴y 随x 的增大而减小，故答案为：减小．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解
析式. 求出解析式，正确记忆增减性是解题的关键.
11. 某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降
了10%. 如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降了10%，那么今
年PM2.5的年均浓度将是_____微克/立方米．
【考点】平均变化率问题。
【分析】下降率问题．根据第一年的年均浓度×(1-平均年下降率) 2=
第三年的年均浓度，列出方程即可．
【解答】今年PM2.5的年均浓度=50(1-10%)2=40.5(微克/立方米) .
【点评】本题考查了平均变化率问题．若设变化前的量为a ，变化后
的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为
a (1±x ) 2=b ．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号
选“-”）．
12. 不透明的布袋里有2个黄球，3个红球，5个白球，它们除颜色
外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是
_______．
【考点】概率公式.
【分析】共有10种等可能出现的结果数，其中从布袋中任意摸出一
个球恰好为红球有三种，从而利用概率公式可求出从布袋中任意摸出
一个球恰好为红球的概率.
3【解答】从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率P (A )=. 10
【点评】本题考查了概率公式 ：随机事件A 的概率P (A )=事件A 可
能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
13. 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为 (0, -1) ，那么
这个二次函数的解析式可以是_______．(只需写一个)
【考点】二次函数的性质，求顶点表达式的方法.
【分析】已知顶点坐标(h , k) ，二次函数顶点表达式为y ＝a (x - h) 2+ k ，
当a ＞0时，二次函数的图像开口向上，当a ＜0时，二次函数的图像
开口向下.
【解答】∵二次函数的图像开口向上，a ＞0，取a =1，
又顶点坐标为 (0, -1) ，∴二次函数的解析式为y =x 2-1.
【点评】本题考查了二次函数的性质及求顶点表达式，根据题意取a
＞0的任一个值，结合顶点坐标，即可求出解析式．
14. 某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如
图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值
平均数是_____万元．
【考点】扇形统计图.
【分析】二月份产值除以百分比，得这个季度总产值， 再除以3得这个季度月产值平均数. 图 1
【解答】由题意，二月份的百分比=1-25%-45%=30%，
这个季度总产值为72÷30%=240， 该企业第一季度月产值平均数是80万元．
【点评】本题考查了扇形统计图，统计图能反应出每个项目的数据，
读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
15. 如图2，已知AB ∥CD ，CD =2AB ，AD 、BC 相交于点E . 设AE =a ，
CE =b ，那么向量CD 用向量a 、b 表示为_____． 【考点】相似三角形的判定与性质；平面向量。
【分析】利用三角形法则求解．
【解答】∵AB ∥CD ， CD =2AB ，∴△DEC ∽△AEB ，
DE CD ∴==2，∴ED =2AE ， AE AB D
a ∵AE =a ，∴ED =2AE =2，
又CE =b ， ∴CD =ED +CE =2a +b ．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应
用是解题的关键.
16. 一副三角尺按图3的位置摆放 (顶点C 与F 重合，边CA 与边
FE 重合，顶点B 、C 、D 在一条直线上). 将三角尺DEF 绕着点F 按
顺时针方向旋转 n ° 后 (0＜n ＜180) ，如果EF ∥AB ，那么n 的值是
_______．
E
A 【考点】图形旋转；平行线的性质.
【解析】依题意EF ∥AB ，则∠ACE =∠BAC =45°，即n =45.
【点评】图形旋转题，考查重点在平行线的性质上面。 B D 知道两直线平行内错角相等即可，难度不大。 C (F ) 图 3
17. 如图4，已知Rt △ABC ，∠C =90°，AC = 3，BC =4，分别以点A 、
B 为圆心画圆，如果点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外，且⊙B 与⊙A 内
切，那么⊙B 的半径的长r 的取值范围是_________． A
【考点】点与圆、圆与圆的位置关系.
图4 【分析】根据勾股定理得到AB =5，根据C 在⊙A 内， C
点B 在⊙A 外，⊙A 的半径x ，满足3＜x ＜5，由⊙B 与⊙A 内切，
得r -x = 5，，即可求解.
【解答】∵Rt △ABC ，∠C =90°，AC = 3，BC =4，∴AB = 5，
∵点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外， 设⊙A 的半径为x ，则3＜x ＜5，
又⊙B 与⊙A 内切，⊙B 的半径为r ， ∴r -x = 5，即r = x + 5，∴r 的取值范围是8＜r ＜10.
【点评】本题考查了点与圆、圆与圆的位置关系，掌握相关的判定是
解题的关键.
18. 我们规定：一个正n 边形 ( n为常数, n ≥4) 的最短对角线与最
长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”。记为λn ，那
么λ6=_________．
【考点】正六边形有关概念；锐角三角函数.
【分析】画出图形，找出最短与最长对角线，根据正六边形有关概念，
明确角度，把“特征值”转化为合适的三角比，本题即可求解.
【解答】如图，在正六边形ABCDEF 中，
AE 是最短对角线，EB 是最长对角线， ∵∠EBA =60°，∠EAB =90°，∴AE =sin 60°= EB 2 F
即λ6=. 2
【点评】本题考查了正六边形有关概念及锐角三角函数. 弄清概念，
画出图形，把规定的“特征值”转化为锐角三角函数是关键.
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）
21
21-11) -9+() ． 2
【考点】实数的运算.
【分析】利用二次根式以及分数指数幂，负整数指数幂的性质，分别
进行化简，再用实数的混合运算法则计算即可。
【解答】原式
-
-
3 +2=
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的混合运算，分数
指数幂，负整数指数幂等知识，属于基础题．
20. （本题满分10分） 13解方程：2-=1． x -3x x -1
【考点】解分式方程.
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类
项，系数化1，进行计算即可.
【解答】方程两边同乘公分母x (x -3) ，
去分母得3-x =x 2-3 x 移项、整理得 x 2-2 x -3=0， 解得 x 1=-1，x 2=3， 经检验：x 2=3是增根，舍去；x 1=-1是原方程的根. ∴原方程的根是x =-1.
【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关
键，注意验根.
21. （本题满分10分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分） 如图5, 一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中
柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥
(1) 求sin B 的值；
(2) 现需要加装支架DE 、EF ，其中点E 在AB 上， 图 5
BE =2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为F ，求支架DE 的长。
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用。
【分析】（1）由D 是BC 的中点，求出BD ，再根据勾股定理求出
AB ，从而求得sin B 的值；
（2）由AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，得出EF ∥ AD，所以△BEF ∽△BAD ，EF BE 2DF AE 1得==，求出EF ，由==，求出DF ，最后由勾AD AB 3BD AB 3
股定理求得DE.
【解答】（1）∵BC =18， D 是BC 的中点，∴BD =9，
又AD =6，AD ⊥BC ，
在Rt △ABD 中，由勾股定理得
AB
=
AD ∴ sinB==； AB 13图5
（2）∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴ EF∥ AD，
∴△BEF ∽△BAD ，又BE =2AE ，
2EF BE 2∴==，∴EF =AD = 4， 3AD AB 3
1DF AE 1又==，∴DF =BD = 3， 3BD AB 3
在Rt △DEF 中，DE
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及相似三角形的判定
与性质，难度适中．
22. （本题满分10分，每小题满分各5分）
甲、乙两家绿色养护公司各自推出了校园养护服务的收费方案。 甲公司方案：每月养护费用y (元) 与绿化面积x (平方米) 是一次函
数关系，如图6所示。 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500
元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超
过部分每平方米收取4元。
(1) 求如图6所示的y 与x 的函数解析式；(不要求写出定义域)
(2) 如果学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选 择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少。
【考点】一次函数的应用. 【分析】（1）设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b (k ≠0) ， 6 图 将点(0，400) 、(100，900) 代入函数解析式得到关于 k ，b 的方程组，从而求得函数的解析式；（2）当x =1200时， x (平方米)
代入求得函数的解析式得到甲公司费用y =6400 (元); 乙公司费用 z =5500+ (1200-1000)× 4=6300 (元) ，比较y 与 z 的值得出结论.
【解答】（1）设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b (k ≠0) ， 函数图像经过(0，400) ，(100，900) ，
⎧400=0+b ⎧k =5
得 ⎨900=100k +b ⇒⎨b =400， ⎩⎩
∴y 关于x 的函数解析式为y =5x +400；
（2）由（1）知，甲公司费用解析式为y =5x +400，
当x =1200时，y =5×1200+400=6400 (元) ， 设乙公司费用为z ，z =5500+ (1200-1000)× 4=6300 (元) ，
∵6400＞6300，∴选择乙公司费用较少。
【点评】本题考查了一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数
解析式是解题的关键.
23. （本题满分12分，第⑴小题满分7分，第⑵小题满分5分） 已知：如图7，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线
BD 上的一点，且EA=EC. A
D
(1) 求证：四边形ABCD 是菱形；
(2) 如果BE =BC ，且∠CBE :∠BCE =2: 3， 求证：四边形ABCD 是正方形。 图 7
【考点】平行四边形、菱形、正方形的判定；全等三角形的判定与性
质；等腰三角形判定与性质；平行线性质、三角形内角和定理等．
【分析】（1）证△ADE ≌△CDE 得∠ADE =∠CDE ，由AD ∥BC ，
得∠CBD =∠ADB =∠CDB ，从而得BC =CD= AD，根据一组对边平行
且相等得平行四边形，再一组邻边相等得菱形；（2）由（1）知四边B C
形ABCD 是菱形，再证一角为直角即可.
【解答】证明：（1）在△ADE 和△CDE 中，
A D ∵AD =CD ，EA=EC，DE =DE ，
∴△ADE ≌△CDE (s s s) ，∴∠ADE =∠CDE ， ∵AD ∥BC ，∴∠CBD =∠ADB =∠CDB ， B C
图7 ∴BC =CD= AD，
∵AD ∥BC ，AD = BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又AD =CD ，∴四边形ABCD 是菱形；
（2）∵BE =BC ，∴∠BEC =∠BCE ，
又∠CBE :∠BCE =2: 3，设∠CBE =2x ，则∠BEC =∠BCE =3x ， 在△BCE 中，∠CBE +∠BCE +∠BEC =180°， 即2x+3x +3x =180°，解得x =22.5°，∴∠CBD =45°， ∴∠ADE =∠CDE =∠CBD =45°，∴∠ADC =90°， 又四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形.
【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形的判定，全等三角形
的判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线性质、三角形内角和
定理等．主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目较好，难度适
中．
24. （本题满分12分，每小题满分各4分） 在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点
A (2， 2) ，对称轴是直线x =1，顶点为B .
(1) 求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；
(2) 点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结 AM ，用含m 的代数式表示∠AMB 的余切值；
(3) 将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上。 原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q
求点Q 的坐标。
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的 表达式，再配方成顶点式求出顶点B 的坐标；
图 8
（2）过点A 作AD ⊥对称轴BC ，垂足为点D ，得D 点坐标(1，2) ， 再由点A 、M 坐标得AD =1，MD =m -2，进而求得cot ∠AMB 的表达
值；（3）易知点C 坐标为(1，0) ，将顶点B (1，3) 平移至点C ，抛物
线y =-x 2+2x +2向下平移3个单位，∴新抛物线解析式为y =-x 2+2x -1，
连接PQ ，∵OP =OQ ，PQ ⊥x 轴，∴PQ 关于x 轴对称，PQ =3，知Q
33点纵坐标为-，把y =-代入y =-x 2+2x -1，求出Q 点横坐标即可. 22
【解答】（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (2， 2) ，∴2=-4+2b +c ①，
b b 又对称轴x =-==1，即b =2，代入①得c =2， 2a 2∴这条抛物线的表达式为y =-x 2+2x +2，
当x =1时，y =3，∴顶点B 的坐标为 (1，3)
或把y =-x 2+2x +2配方成y =-( x-1) 2+3， ∴顶点B 的坐标为 (1，3) ； x
（2）过点A 作AD ⊥对称轴BC ，垂足为点D ， +bx+c
则M (1，m ) ，D (1，2) ，AD =1，MD =m -2， 在Rt △AMD 中，∠ADM =90°，
MD cot ∠AMB ==m -2； AD
（3）∵对称轴x =1与x 轴的交点为C ，∴点C 坐标为(1，0) ，
将顶点B (1，3) 平移至点C ，抛物线y =-x 2+2x +2向下平移
3个单位，∴新抛物线解析式为y =-x 2+2x -1，
连接PQ ，∵OP =OQ ，PQ ⊥x 轴，
∴PQ 关于x 轴对称，PQ =3，
∴Q 点纵坐标为-，
3 把y =-代入y =-x 2+2x -1，解得x 3223∴Q 1 ，-) ，Q 2 22+2x+2
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛
物线的表达式、顶点坐标求法，对称、余切函数、图像平移等知识点，
难度适中.
25. （本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，
第（3）小题满分5分） 如图9，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB =AC ，
BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC .
(1) 求证：△OAD ∽△ABD ；
(2) 当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；
(3) 记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别是S 1、S 2、S 3，如果S 2 是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长。
图9 备用图
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）通过证明△AOB ≌△AOC ，得∠BAO =∠CAO ，由 AO = BO，得∠BAO =∠B =∠DAO ，可证△OAD ∽△ABD ；
（2）∵∠C 是等腰△AOC 的底角，∴∠C ≠90°. △OCD 是直角三角形有两种情况，① 当∠ODC =90°时， 联结BC ，△ABC 是等边三角形，可得BC
② 当∠DOC =90°时，联结BC ，△BOC 是等腰直角三角形， 可得BC
=BC
OD AD OD AD ==（3）由△OAD ∽△ABD ，得，即 OA AB OB AB
S 2S 3OD DC ==由S 2 是S 1和S 3的比例中项，得，即， OB AD S 1S 2
AD DC =∴，推出点D 是线段AC 的黄金分割点，
AB AD
OD DC ==∴，求出OD.
OB AD 2
【解答】证明：（1）在△和△AOC 中，
∵AB =AC ，AO =AO ，BO =CO ，
∴△AOB ≌△AOC ，∴∠BAO =∠CAO ， 图9 ∵AO = BO，∴∠BAO =∠B ，∴∠DAO =∠B ，
B
又∠ODA =∠ADB ，∴△OAD ∽△ABD ；
解：（2）∵∠C 是等腰△AOC 的底角，∴∠C ≠90°.
△OCD 是直角三角形有两种情况， 如图，① 当∠ODC =90°时，∠ADB =90°，
由（1）知∠BAD =∠BAO+∠DAO =2∠B ，∴∠BAD =60°，
∵AB =AC ，∴联结BC ，△ABC
∴BC =AC =2DC =2OC •cos 30°
② 当∠DOC =90°时，∠BOC =90°， ∵BO =CO ，∴联结BC ，△BOC ∴BC 综上，BC
OD AD OD AD ==解：（3）由（1）知△OAD ∽△ABD ，∴，即， OA AB OB AB
S 2S 3OD DC ==∵S 2 是S 1和S 3的比例中项，∴，∴，OB AD S 1S 2
∴AD DC =，∴点D 是线段AC 的黄金分割点， AB AD
OD DC ==∴，∵OB=1，∴OD=. OB AD 22
解法2：如图，∵AB =AC
∴圆心O 到弦AB 、AC 的距离相等，
∴S 1: S 2: S 3=AB : AD : DC ，
又S 2 是S 1和S 3的比例中项， ∴S 22 =S 1• S3 ⇒AD 2=AB • DC，即AD 2=AC • DC，
S 3DC ==∴点D 是线段AC 的黄金分割点，∴， S 2AD 2
S 2OD S 3===∵，OB=1，∴OD=. S 1OB S 222
【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形、
锐角三角函数、比例中项、黄金分割、面积比等知识，利用分类讨论
得出△OCD 是直角三角形有两种情况，进而求出BC 是解题关键．