线面角和二面角
一．选择
1. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=
BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（ ）
(A) 60 (B) 90 (C) 105 (D) 75
D是侧面BB1C1C的中心，2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点
则AD与平面BB1C1C所成角的大小是
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
∆ABC是边长为1的正三角形，SC为3. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，
球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（ ）
(B
) (C
) (D)
6632
4. 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1
= E为CC1的中点，则直线AC1与
(A)
平面BED的距离为
A 2
B
C D 1 5. 设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为
A.30° B.45° C.60° D.75° 6. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
2
5
7. 已知△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是
A．7 B．9 C．11 D．13
8. 二面角α-l-β为60，A,B是棱l上的两点，AC,BD分别在半平面α,β内，AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a，则CD的长为 A．2a B
C．a
D
9. 已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在α内，且∠POB=45．若对于β内异
角和距离（理科） 第1页
于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45 ，则二面角α-AB-β的大小是 A. 45°
B. 90°
C.135°
D. 不确定
10．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列命题正确的个数是 ① 点E到平面ABC1D1的距离为；
② 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45︒；
③ 空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影，其面积的最小值是；
1
2
12
④ AE与DC1所成的角为的余弦值为
3； 10
⑤ 二面角A-BD1-C的大小为A.1 二．填空
B.2
5π． 6
C.3
D.4
11．在正三棱柱
ABC-A1B1C1，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面
ACC1A1所成的角的正弦值是_____
12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距
离是
13. 已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，CPA，PB，PC两两
互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
14．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，过BC作一个截面，截面
与底面ABC成60︒角，则截面的面积是
15．已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°,60°，
则以OC为棱的二面角A—OC—B的正切值等于
16. 如图，P—ABCD是正四棱锥ABCD-A1BC11D1是正
方体，其中AB=2,PA，则B1到平面PAD的距 离为 三．解答题
17. 如图所示，AF、DE分别是⊙O2、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，
BC是⊙O2的直径，AB=AC=6，O2E//AD （1）求二面角B-AD-F的大小； （2）求直线BD与EF所成角的余弦值
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，
且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点. （1）求证：PB⊥DM；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值。
19. 四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=
a，AB=AD=
(1) 求证：平面AOC⊥平面BCD； (2) 求二面角O-AC-D的正切值．
a 2
20.如图，在四棱锥P—ABCD
中，底面是边长为BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA
＝M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
21．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的
中点.
(1) 求证：EF∥ 平面SAD ；
（2) 设SD = 2CD，求二面角A-EF-D的正切值.
22．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，
N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N.
（1）求二面角B1—AM—N的平面角的余弦值； （2）求点B1到平面AMN的距离。
23. 直四棱柱A1B1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为2. (1)
求证：平面A1DC1⊥平面BB1D1D； (2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60 ，
求二面角A1－DB1－C1的余弦值。
A1
24.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点. （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.
1
C1
B
C
25. 如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=
600,
PA=PDPB=2,E,F分别是BC,PC的中点，
（1） 证明：AD⊥平面DEF； （2）求二面角P-AD-B的余弦值。
26. 在直角梯形P1DCB中，P1D//CB,CD⊥P1D，且P1D=6,BC=3,DC=
6，A 是
P1D的中点.沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45︒
角,设E,F分别是线段AB,PD的中点. ⑴ 求证:AF//平面PEC;
⑵ 求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小;
P
⑶ 求点D到平面PEC的距离.
P1
D
F
AE
D
BB
C
27. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足
AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）将△AEF沿EF折起到 A1EF的位置， 使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （3）求二面角B－A1P－F的余弦值
线面角和二面角
一．选择
1. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=
BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（ ）
(A) 60 (B) 90 (C) 105 (D) 75
D是侧面BB1C1C的中心，2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点
则AD与平面BB1C1C所成角的大小是
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
∆ABC是边长为1的正三角形，SC为3. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，
球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（ ）
(B
) (C
) (D)
6632
4. 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1
= E为CC1的中点，则直线AC1与
(A)
平面BED的距离为
A 2
B
C D 1 5. 设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为
A.30° B.45° C.60° D.75° 6. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
2
5
7. 已知△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是
A．7 B．9 C．11 D．13
8. 二面角α-l-β为60，A,B是棱l上的两点，AC,BD分别在半平面α,β内，AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a，则CD的长为 A．2a B
C．a
D
9. 已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在α内，且∠POB=45．若对于β内异
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于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45 ，则二面角α-AB-β的大小是 A. 45°
B. 90°
C.135°
D. 不确定
10．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列命题正确的个数是 ① 点E到平面ABC1D1的距离为；
② 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45︒；
③ 空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影，其面积的最小值是；
1
2
12
④ AE与DC1所成的角为的余弦值为
3； 10
⑤ 二面角A-BD1-C的大小为A.1 二．填空
B.2
5π． 6
C.3
D.4
11．在正三棱柱
ABC-A1B1C1，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面
ACC1A1所成的角的正弦值是_____
12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距
离是
13. 已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，CPA，PB，PC两两
互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
14．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，过BC作一个截面，截面
与底面ABC成60︒角，则截面的面积是
15．已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°,60°，
则以OC为棱的二面角A—OC—B的正切值等于
16. 如图，P—ABCD是正四棱锥ABCD-A1BC11D1是正
方体，其中AB=2,PA，则B1到平面PAD的距 离为 三．解答题
17. 如图所示，AF、DE分别是⊙O2、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，
BC是⊙O2的直径，AB=AC=6，O2E//AD （1）求二面角B-AD-F的大小； （2）求直线BD与EF所成角的余弦值
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，
且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点. （1）求证：PB⊥DM；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值。
19. 四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=
a，AB=AD=
(1) 求证：平面AOC⊥平面BCD； (2) 求二面角O-AC-D的正切值．
a 2
20.如图，在四棱锥P—ABCD
中，底面是边长为BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA
＝M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
21．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的
中点.
(1) 求证：EF∥ 平面SAD ；
（2) 设SD = 2CD，求二面角A-EF-D的正切值.
22．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，
N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N.
（1）求二面角B1—AM—N的平面角的余弦值； （2）求点B1到平面AMN的距离。
23. 直四棱柱A1B1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为2. (1)
求证：平面A1DC1⊥平面BB1D1D； (2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60 ，
求二面角A1－DB1－C1的余弦值。
A1
24.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点. （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.
1
C1
B
C
25. 如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=
600,
PA=PDPB=2,E,F分别是BC,PC的中点，
（1） 证明：AD⊥平面DEF； （2）求二面角P-AD-B的余弦值。
26. 在直角梯形P1DCB中，P1D//CB,CD⊥P1D，且P1D=6,BC=3,DC=
6，A 是
P1D的中点.沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45︒
角,设E,F分别是线段AB,PD的中点. ⑴ 求证:AF//平面PEC;
⑵ 求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小;
P
⑶ 求点D到平面PEC的距离.
P1
D
F
AE
D
BB
C
27. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足
AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）将△AEF沿EF折起到 A1EF的位置， 使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （3）求二面角B－A1P－F的余弦值