1.2.4 平面与平面的夹角------二面角
【课时目标】 1．掌握二面角和二面角的平面角的概念．2．会求简单的二面角的大小．
【知识疏理】
1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面
角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．
2．二面角的平面角
如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内
分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．
注: （1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。
（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定为（0, π）。
3．二面角的画法
（1）平卧式 （2）直立式
4．二面角的记法
（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：___________________; α, β为半平面的二面角记为：___________________ 。 （2）以直线AB 为棱，以
5．二面角的平面角的作法：
注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。 l α, β
【例题学习】
例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 求①二面角A 1－AB －D 的大小；②二面角D 1－AB －D 的大小．
归纳小结:求二面角大小的步骤。
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
例2．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值．
例3．如图所示AF ，DE 、分别是圆O 、圆O1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC 是圆O 的直径，AB=AC=6，OE // AD。求二面角B —AD —F 的大小。
【课堂总结】
1、二面角与二面角的平面角． 2、二面角的求解步骤．“一作二证三求”．
【巩固练习】
1．二面角指的是（ ）
A 、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
B 、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C 、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D 、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
2．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①② 3，到 l 的距离3．已知二面角α－ l － β ，A 为面α内一点，A 到β 的距离为
为 4。求二面角 α－ l － β 的大小。
1.2.4 平面与平面的夹角------二面角
【课时目标】 1．掌握二面角和二面角的平面角的概念．2．会求简单的二面角的大小．
【知识疏理】
1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面
角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．
2．二面角的平面角
如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内
分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．
注: （1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。
（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定为（0, π）。
3．二面角的画法
（1）平卧式 （2）直立式
4．二面角的记法
（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：___________________; α, β为半平面的二面角记为：___________________ 。 （2）以直线AB 为棱，以
5．二面角的平面角的作法：
注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。 l α, β
【例题学习】
例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 求①二面角A 1－AB －D 的大小；②二面角D 1－AB －D 的大小．
归纳小结:求二面角大小的步骤。
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
例2．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值．
例3．如图所示AF ，DE 、分别是圆O 、圆O1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC 是圆O 的直径，AB=AC=6，OE // AD。求二面角B —AD —F 的大小。
【课堂总结】
1、二面角与二面角的平面角． 2、二面角的求解步骤．“一作二证三求”．
【巩固练习】
1．二面角指的是（ ）
A 、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
B 、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C 、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D 、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
2．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①② 3，到 l 的距离3．已知二面角α－ l － β ，A 为面α内一点，A 到β 的距离为
为 4。求二面角 α－ l － β 的大小。