求二次函数解析式的基本方法及练习题
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 。
2、顶点式：y=a(x－h) 2+k (a≠0) ，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2) (a≠0) ，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点(-1, -5), (0, -4) 和(1, 1) ．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c (a≠0) 。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)
⎧a -b +c =-5⎧a =2⎪⎪依题意得：⎨c =-4 解这个方程组得：⎨b =3
⎪a +b +c =1⎪c =-4⎩⎩
∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。
例2、已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(4, -1) ，与y 轴交于点(0, 3) ，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(4, -1) ，最好抛开题目给出的y =ax 2+bx +c ，重新设顶点式y=a(x－h) 2+k (a≠0) ，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4) 2－1 (a≠0)
又抛物线与y 轴交于点(0, 3) 。
1 4
11∴这个二次函数的解析式为y=(x－4) 2－1，即y=x 2－2x+3。 44
∴a(0－4) 2－1=3 ∴a=
例3、如图，已知两点A （－8，0），（2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C 。求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式。
分析：A 、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x 1)(x－x 2) (a≠0) ，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－又连结AC 、BC OC 2=AC·BC=8×2 ∴OC=4
即C(0,4)。
∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=-
∴这个二次函数的解析式为y=-
变式练习，创新发现
1、在图的方格纸上有A 、B 、C 三点（每个小方格的边长为1个单位长度）． （l ）在给出的直角坐标系中分别写出点A 、B 、C 的坐标；
（2）根据你得出的A 、B 、C 三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数 的解析式．
2、已知抛物线的顶点坐标为(2, 1) ，与y 轴交于点(0, 5) ，求这条抛物线的解析式。
3、已知抛物线过A （－2，0）、B （1，0）、C （0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）
4. 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且
a∶b∶c=1∶2∶(-3) ．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0) 、B(3，0) ．(3)若函数当x ＞-2时y 随x 增大而增大(x＜-2时，y 随x 增大而减小) ，且图象过点(2，4) 在y 轴上截距为-2．
1 4113(x+8)(x－2) ，即y=-x 2－x+4。 244
参考答案：
1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y=
2、y=(x－2) 2+1，即y=x2－4x+5。
3、y=－(x+2)(x－1) ，即y=－x 2－x+2。
4. 分析： (1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3) 可将三个待定系数转化为求一个k ．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：
(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)
∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8 12x －4x+9。 2
∴解析式y=2x2+4x-6
(2)∵图象过点A(-1，0) 、B(3，0) ，A 、B 两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2) ，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．
(3)∵函数当x ＞-2时y 随x 增大而增大，当x ＜-2时y 随x 增大而减小 ∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n
∵过点(2，4) 在y 轴上截距为-2，即过点(0，-2)
说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx ＋c ，得：
题(2)充分利用对称性可简化计算．
求二次函数解析式的基本方法及练习题
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 。
2、顶点式：y=a(x－h) 2+k (a≠0) ，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2) (a≠0) ，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点(-1, -5), (0, -4) 和(1, 1) ．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c (a≠0) 。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)
⎧a -b +c =-5⎧a =2⎪⎪依题意得：⎨c =-4 解这个方程组得：⎨b =3
⎪a +b +c =1⎪c =-4⎩⎩
∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。
例2、已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(4, -1) ，与y 轴交于点(0, 3) ，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(4, -1) ，最好抛开题目给出的y =ax 2+bx +c ，重新设顶点式y=a(x－h) 2+k (a≠0) ，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4) 2－1 (a≠0)
又抛物线与y 轴交于点(0, 3) 。
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11∴这个二次函数的解析式为y=(x－4) 2－1，即y=x 2－2x+3。 44
∴a(0－4) 2－1=3 ∴a=
例3、如图，已知两点A （－8，0），（2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C 。求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式。
分析：A 、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x 1)(x－x 2) (a≠0) ，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－又连结AC 、BC OC 2=AC·BC=8×2 ∴OC=4
即C(0,4)。
∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=-
∴这个二次函数的解析式为y=-
变式练习，创新发现
1、在图的方格纸上有A 、B 、C 三点（每个小方格的边长为1个单位长度）． （l ）在给出的直角坐标系中分别写出点A 、B 、C 的坐标；
（2）根据你得出的A 、B 、C 三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数 的解析式．
2、已知抛物线的顶点坐标为(2, 1) ，与y 轴交于点(0, 5) ，求这条抛物线的解析式。
3、已知抛物线过A （－2，0）、B （1，0）、C （0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）
4. 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且
a∶b∶c=1∶2∶(-3) ．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0) 、B(3，0) ．(3)若函数当x ＞-2时y 随x 增大而增大(x＜-2时，y 随x 增大而减小) ，且图象过点(2，4) 在y 轴上截距为-2．
1 4113(x+8)(x－2) ，即y=-x 2－x+4。 244
参考答案：
1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y=
2、y=(x－2) 2+1，即y=x2－4x+5。
3、y=－(x+2)(x－1) ，即y=－x 2－x+2。
4. 分析： (1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3) 可将三个待定系数转化为求一个k ．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：
(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)
∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8 12x －4x+9。 2
∴解析式y=2x2+4x-6
(2)∵图象过点A(-1，0) 、B(3，0) ，A 、B 两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2) ，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．
(3)∵函数当x ＞-2时y 随x 增大而增大，当x ＜-2时y 随x 增大而减小 ∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n
∵过点(2，4) 在y 轴上截距为-2，即过点(0，-2)
说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx ＋c ，得：
题(2)充分利用对称性可简化计算．