一元二次方程的解法例析
【要点综述】：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
整式方程的概念：方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为
那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；
3、公式法；4、因式分解法。如下表： 的形式，
【举例解析】
例1 ：用开平方法解下面的一元二次方程。
（1）； （2）
分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，
其解为
法好做； 。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方
解：（1）
∴（注意不要丢解） 由得， 由得
， ∴原方程的解为：，
（2）
由得，
由得 ∴原方程的解为：，
说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式， 像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，
只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。
例3 ：用配方法解下列一元二次方程。
（1）；（2）
分析：
用配方法解方程
次项系数化为1，
，应先将常数移到方程右边，再将二
变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，
即：
即：， ，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，
接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边加上一次项系数的一半的平方。
解：（1）
二次项系数化为1，移常数项得：，
配方得：，即 直接开平方得： ∴， ∴原方程的解为：，
（2）
（3）二次项系数化为1，移常数项得：
方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
即
直接开平方得： ∴，
∴原方程的解为：
，
说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。 配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；
再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。
例4：用公式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：用公式法就是指利用求根公式
程化成一般形式， ，使用时应先把一元二次方
然后计算判别式
根公式即可得到方程的根。 的值，当≥0时，把各项系数的值代入求
但要注意当
判别式的值， ＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出
判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，
可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。
解：（1），
化为一般式： 求出判别式的值：＞0
代入求根公式：， ∴，
（2）
化为一般式： 求出判别式的值：＞0
∴ ∴，
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。
但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。
例5：用分解因式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，
让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，
就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；
第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。
解：（1）
总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。
一元二次方程的解法例析
【要点综述】：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
整式方程的概念：方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为
那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；
3、公式法；4、因式分解法。如下表： 的形式，
【举例解析】
例1 ：用开平方法解下面的一元二次方程。
（1）； （2）
分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，
其解为
法好做； 。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方
解：（1）
∴（注意不要丢解） 由得， 由得
， ∴原方程的解为：，
（2）
由得，
由得 ∴原方程的解为：，
说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式， 像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，
只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。
例3 ：用配方法解下列一元二次方程。
（1）；（2）
分析：
用配方法解方程
次项系数化为1，
，应先将常数移到方程右边，再将二
变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，
即：
即：， ，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，
接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边加上一次项系数的一半的平方。
解：（1）
二次项系数化为1，移常数项得：，
配方得：，即 直接开平方得： ∴， ∴原方程的解为：，
（2）
（3）二次项系数化为1，移常数项得：
方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
即
直接开平方得： ∴，
∴原方程的解为：
，
说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。 配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；
再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。
例4：用公式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：用公式法就是指利用求根公式
程化成一般形式， ，使用时应先把一元二次方
然后计算判别式
根公式即可得到方程的根。 的值，当≥0时，把各项系数的值代入求
但要注意当
判别式的值， ＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出
判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，
可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。
解：（1），
化为一般式： 求出判别式的值：＞0
代入求根公式：， ∴，
（2）
化为一般式： 求出判别式的值：＞0
∴ ∴，
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。
但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。
例5：用分解因式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，
让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，
就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；
第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。
解：（1）
总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。