松坝九年制学校学校2015-2016学年度（上期）八年级数学复习提纲 1、分式的识别。π不是字母）
11x 2例：在x 、3、+12
、5+y π、a +1
m 中分式的个数有个。
2、分式的基本性质。分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变。
（注意乘以整式时，要限制字母不等于0）
2a 2a 2
例：①把分式a +b 中a 、b 都扩大2倍，则分式的值( )若为a +b
，则应选（ ）
A、扩大4倍 B、扩大2倍
C、缩小2倍 D、不变
②下列计算错误的是（ ）
-2
A 、⎛ 1⎫=9 B、
3a 3a 2
5xy =5axy
C、ab b ⎝-3⎪⎭
a 2=a D、(-1+2)
=1
3、分式的值为0的条件。分子 ，且分母 。
例：使分式x 2-x
x 2-1
的值为零的所有x 的值是 ，当x 时，分式无意义。
4、负指数的科学计数法。
例：1nm=10-9
m ，则250nm 纳米用科学记数法表示为 米；用科学计数法表示的 数－3.6×10－4
写成小数是 。
5、分式方程无解问题。先化为分母相同，再分子相等，分子中的x 值为分母等于0时取值。
x 的分式方程x m 2
例：①若关于x -3-2=x -3
无解，则m 的值为__________。 ②当m= 时，关于x 的方程
2mx x -2+3
x 2-4=
x +2
会产生增根 6、分式的化简。先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先化简括号里面的。不管是通分还是约分，能进行因式分解的要先进行因式分解，所以化简前要先观察。加减时整式要先化为分式。 例：①只有乘除；化简
a -1a ÷a -1
a
2的结果是。 ②只有加减：化简x 2+x x 2-2x +1x 2-1-x 2-x
的结果是 。 ③既有乘除，又有加减。化简
x +32x -4÷⎛ 5⎝x -2-x -2⎫
⎪⎭
的结果是 。
④先化简，再求值：⎛ ⎝1+1⎫x 2
-1
x ⎪⎭
÷x 2
，其中x =2 化简结果是 ，值为 。
7、整体代入求值问题。解这类题的关键是先化简，再想法利用已知。
a -1a 2例：①已知a 2
-a =0，则求a +2∙-41
a 2-2a +1÷a 2-1
的值为 。 ②已知x －3y ＝0，则求
2x +y
x 2-2xy +y
2
²(x －y ) 的值为 。 ③若2x +5y -3=0，则4x
⋅32y
的值为。 8、判断正、负问题。
例：当x 时，分式
x -1
x 2
的值为正数， 已知关x 的方程
x x -3-2=m x -3
的解是正数，求m 的取值范围。则m 。 9、解分式方程。（两边同时乘以最简公分母，从而去分母，注意不要漏乘，最后记得检验） 例：①
1x +1+242x 7x -1=x 2-1 ②x +3+1=2x +6
10、列分式方程解应用题。（此题的关键是先列出不同的两个分式，再找它们之间的等量关系） ①工程问题：（已知工作量，设工作时间（或效率），表示工作效率（或时间） *一件工作，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要 小时。分析：此题已设工作 ，应表示各自的工作 ，分别为 、 ，所以合作的效率为 ，合作的时间=工作总量1÷合作的效率。
*甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务，设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值是__________．
分析：此题已设甲的工作时间为x 天，应表示其工作 为 、由于乙的效率与甲相同，所以
乙的效率也为 ，所以合作的效率为 ，提前2天完成，说明实际只做了 天，又由于甲先做了2天，所以甲、乙合作的天数为 。根据工作量关系：甲先做的+合作的=总量1可列出方程：
*为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？
解：设原计划每天修水渠x 米，则实际每天修 米
设完后此时应在草稿本上列出表示效率的两个分式 、 ，再找它们间的相等关系。 依据题意可列出方程：
解这个方程得：x= 。
检验，当x= 时， ≠0，所以x= 是原方程的解。 答：原计划每天修水渠 米。
*某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度？如果设原计划每天铺设x m 管道，那么根据题意，可得方程：
（方法与上题类似）
*学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？ 解：设规定日期为x 天，则乙要 天完成 依据题意可列出方程：
*在争创全国卫生城市的活动中，我市“青年突击队”决定义务清运一堆重达100吨的垃圾，后因附近居民主动参与到义务劳动中，使任务提前完成. 下面是记者与青年突击队员的一段对话：
通过这段对话，请你求出青年突击队原来每小时清运多少吨垃圾？
解：设青年突击队原来每小时清运x 吨垃圾，则每小时清运 吨垃圾 依据题意可列出方程：
②行程问题：（已知路程，设时间（或速度），表示速度（或时间）
*轮船顺水航行46km 和逆水航行34km 所用的时间恰好相等，水的流速是3km/h，求静水速度？
分析：若设轮船在静水中的速度是xkm/h，则顺水速度为 km/h，逆水速度为 km/h。 分别表示出时间为 、 。 根据题意
可列得方程为： 。 *比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴出发，到相距16米的银杏树下参加探讨环境保护问题的微型动物首脑会议。蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达。已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度。
分析：若设蜗牛的速度是xkm/h，则蚂蚁王的速度为 km/h。 分别表示出时间为 、 。 根据题意
可列得方程为： 。
③其他问题：
*小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ） A ：
120x +6=180120x B：x -6=[**************]
x C：x =x +6 D：x =x -6
*含有同种果蔬但浓度不同的A ，B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__________千克．
分析：设倒出x 千克，原浓度分别a 、b ，则倒出的溶质分别为 、 ；剩余溶质分别为 、 ；现两种溶液的浓度分别表示为 、 。
*小芳带了15元钱去商店买笔记本. 如果买一种软皮本，正好需付15元钱. 但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本. 这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？
11、a +b 、a -b 、ab 、a 2+b 2
四个式子之间的关系。
①已知a +b =5，ab =3则a 2+b 2
=__________．已知a ＋
1a ＝3，则a 2＋1
a
2的值是__________． ②已知(a +b )2
=8，(a -b )2
=2，则ab 。
12、整式的化简。（熟练掌握几种运算法则）
①a 2
∙a 3
= 。这里运用的乘法法则是 ，法则的内容是 。 (-x 3) 2⋅(-x 2) 3＝。
(-3x 2y 3)
3
，法则的内容是 (－3x 2
y )²(13
xy 2。(x +3)(x -2) (-a )3
÷(-a )。这里运用的乘法法则是法则的内容是。 (6a 3b 2-4a 2b 3)÷2ab 2(x 2
-3x -4)
÷(x +1)
(-23m +n )(-23
m -n ) (x +2y -3)(x -2y +3)
(a +2b -c )2= 。 (-5a 2+4b 2)(______)=25a 4-16b 4
②下面是某同学在一次作业中的计算摘录：
①3x 3·(－2x 2) ＝－6x 5；②4a 3b ÷(－2a 2b ) ＝－2a ；③(-2a 2)
3
=-6a 6；
④(－a ) 3÷(－a ) ＝－a 2. ⑤x 3-x =x (x 2-1)
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ③先化简，再求值．
(a －b)(a －3b) －2(a＋b )(a－b )+(a +2b )2
，其中，a ＝－2，b ＝-
13
. 化简结果是 ，值为 。
13、因式分解。
①先提公因式，再运用公式分解：2a 3－12a 2＋18= ；
9a 2(x －y ) ＋4b 2(y －x
②连续分解：（m 2＋n 2）2－4m 2n 2。
有理数范围内分解：a 4
-16； 实数范围内分解：x 4
-9
③十字相乘法：x 2
-5x +6；（x －1）（x ＋4）－
④分组分解法：a 2-2ab +b 2
-1= 。
14、因式分解的应用。
①若a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，则a 2－b 2
的值为 。 若a -2+b 2-2b +1=0，则a =，b ＝②若△ABC 三边a 、b 、c 满足a 2
＋b 2
＋c 2
＝ab ＋bc ＋ca ．则△ABC 的形状是 三角形。 △ABC的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab＝c+2bc，△ABC是是 三角形。 ③若多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果为(x ＋1)(x －2) ，则a ＋b 的值为__________． ④若代数式2a 2+3a+1的值是6，则代数式6a 2+9a+5的值为 ⑤如果多项式x 3－x 2
＋mx ＋6有一个因式是（x －2），则m=-______ ⑥如(x ＋m ) 与(x ＋3) 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 。 ⑦下面是某同学对多项式（x 2－4x +2）（x 2
－4x +6）+4进行因式分解的过程．
解：设x 2
－4x =y 原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步：将原式中的 代换为y ）
= y 2
+8y +16 （第二步：去括号化简） =(y +4)2
（第三步）
=(x 2-4x +4)
2
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A ．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________ ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2
－2x +2）+1进行因式分解． 15、简便方法计算：(3)
2007
⨯(-11
4
3
) 2008=。
2
20042
-2005³2003= 。 ⎛ ⎝292⎫
3⎪⎭
= 。
16、构成完全平方问题。（记住完全平方由三项构成：第1项的平方±两项乘积的2倍+第2项的平方）已知4x 2
＋mx ＋9是完全平方式，则m ＝_________．已知a 2
-ka +16是完全平方式，则k ＝_________．17、其他问题。
①长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算
阴影部分的面积可以验证公式_____________ ②观察下列各式，探索发现规律： 22－1＝3＝1³3；42－1＝15＝3³5；62－1＝35＝5³7；8
2
－1＝63＝7³9；102
－1＝99＝9³11；„„用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为 ． ③在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4-y 4，因式分解的结果是(x -y )(x +y )(x 2+y 2) ，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2
+y2
)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3-xy 2，取x=10，y=10时，(写出一个即可) 18、构成三角形的条件及应用。（两边之和 第三边，两边之差 第三边） ①已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的第三边的长可能是：( ) A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm
②已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是= ．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c |－|a －b －c |＝__________.等腰三角形的周长为20 cm ，一边长为6 cm ，则底边长为__________．
③已知一个三角形的三边长分别是4，2a – 3 ，5，其中a 是奇数，则a 的值为 。 ④作图：在图1中的直线a 上取一点P ，使它到A 、B 两点的距离之和PA+PB最小； 在图2中的直线b 上取一点Q ，使它到M 、N 两点的距离之差QM-QN 最大。
A
C
⑤如图，已知P 是△ABC 内一点，试说明PA+PB+PC>
1
2
(AB+BC+AC) 19、三角形（内角和）、n 边形的内角和（公式为，外角和为。 ①在下列条件中：①∠A ＋∠B ＝∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，③∠A ＝90°－∠B ，
④∠A ＝∠B －∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有 （填序号）
②如果多边形的内角和是外角和的k 倍，那么这个多边形的边数是( ) ． A ．k B ．2k ＋1 C．2k ＋2 D ．2k －2
③如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) ．
A ．∠A ＝∠1＋∠2 B ．2∠A ＝∠1＋∠2 C ．3∠A ＝2∠1＋∠2 D ．3∠A ＝2(∠1＋∠2)
④如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝__________. ⑤如图，点D ，B ，C 在同一直线上，∠A ＝60°，∠C ＝50°，∠D ＝25°，则∠1＝__________.
⑥如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，„„照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了__________米．
⑦一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是( ) ． A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．无法确定
⑧如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草 坪(图中阴影部分) ．图中草坪的面积为__________；如果多边形的边数为n ，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________． 20、三角形的“三线”（都是线段）
①*三角形的重心是三角形的三条______________的交点
*如图，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有 对．
②*如图，BD 、CE 是⊿ABC 的两条高，则∠1与∠2的大小关系是【 】 A. ∠1 > ∠2 B. ∠1 = ∠2 C. ∠1
A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C.三角形的边上 D.三角形的内部、外部或边上
③（1）如图：点P 为△ABC 的内角平分线BP 与CP 的交点，请写出∠BPC与∠A的关系 . （2）如图：点P 是△ABC 内角平分线BP 与外角平分线CP 的交点，请写出∠BPC与∠A的关系 . （3）如图：点P 是△ABC 的外角平分线BP 与CP 的交点，请写出∠BPC与∠A的关系
.
21、其他考题
①一个四边形截去一个内角后变为：( )
A. 三角形 B.四边形 C.五边形 D.以上均有可能 ②八边形的对角线共有：( )
A.8条 B.16条 C.18条 D.20条
③造房子时，屋顶常用三角形结构，从数学角度来看，是应用了__________，而活动挂架则用了四边形的__________．当四边形形状改变时，发生变化的是( ) ． A ．四边形的边长 B ．四边形的周长 C ．四边形的某些角的大小 D ．四边形的内角和 22、全等三角形的定理
①某同学把一块三角形的的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是：（ ）
A ．带①去 Ｂ．带②去 Ｃ．带③去 Ｄ．①②③都带去 ②下列方法中，不能判定三角形全等的是： ( ) A ．SSA B．SSS C．ASA D．SAS
③使两个直角三角形全等的条件是：（ ）
A ．一锐角对应相等 Ｂ．两锐角对应相等 Ｃ．一条边对应相等 Ｄ．两条边对应相等
④如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加一个条件是： （填上你认为适当的一个条件即可）．
⑤如图所示，错误！未找到引用源。分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是
（ ）
23、数全等三角形的对数
①如图所示，AB=CD，AD=BC，则图中的全等三角形共有：（ ）
A.1对 B. 2对 C. 3对 D.4对
②如图，AC ⊥BD 于O ，BO=DO，图中共有全等三角形 对．
③如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BE=CF． 图中有 对全等的三角形
④如图，在 ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形_______对．
24、全等三角形的应用
①如图，△ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，则∠DFE= ． ②如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝50°，∠D ＝35°，则∠AEC 等于：（ ） A. 60° B. 50° C. 45° D. 30°
B
③如图所示，DE ⊥AB
，DF
⊥AC ，AE ＝AF 第，则下列结论成立的是：9题
（ ） 24④题A. BD＝CD B. DE＝DF C. ∠B ＝∠C D. AB＝AC
④如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立
的是（ ）
A. △ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA ⑤下列命题中：⑪形状相同的两个三角形是全等形；⑫在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的
边是对应边；⑬全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )
A 、3个 B、2个 C、1个 D、0个
25、角平分线、垂直平分线
①如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离是：（ ）
A ．1 B．2 C．3 D．4 C D
B ②、如右图，直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：（ ）
A.1处 B. 2处 C. 3处 D.4处
③、到三角形三边距离相等的点是：( )
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
④、如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB ：AC=3：2，则S △ABD ：S △ACD = ．
⑤、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD的面积是 ．
B
D
⑥如图，∠BAC ＝110°，若MP 和
C
NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 的度数是__________． ⑦如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C ＝35°，且AB ＋BH ＝HC ，求∠B 的度数． ⑧如图，△ABC 的∠B ，∠C 的外角的平分线交于点P ． （1）若∠ABC=50°，∠A=70°，则∠P= °． （2）若∠ABC=48°，∠A=70°，则∠P= °． （3）若∠A=68°，则∠P= °．
（4）根据以上计算，试写出∠P 与∠A 的数量关系： ．
⑨如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是. ⑩如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠BAD=120°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，当△AMN 周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数是 _________ ．
第⑨题图
26、解答证明题（务必想一想已知条件的作用） ①容易题：
如图，BE ⊥AC 、CF ⊥AB 于点E 、F ，BE 与CF 交于点D ，DE ＝DF ，连结AD ． 求证：（1）∠FAD ＝∠EAD （2）BD ＝CD ．
已知：如图，AD ＝BC ，BD ＝AC ．求证：∠D ＝∠C
已知：△ABC 中，∠B、∠C的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：BE+CF=EF．
②中等难度题：已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，DF ⊥BC ．
求证：BC ＝DA
如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证: ∠5=∠6．
A
C
已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.
求证：AM 平分∠DAB.
如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F . 求证：AF 平分∠BAC .
如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC .
求证：EC ⊥BF.
③难度较大的题：已知：∠AOB=90°，OM 是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．则PC 和PD 有怎样的数量关系，证明你的结论．
已知如图13， ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为BC 上任意一点，CF ⊥AD ，BE ⊥AD 。则线段BE 、EF 、CF 存在怎样的数量关系，说明理由？
如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， AD 是 ∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于E ，F 在AC 上，BD =DF . 证明： AB=AF +2EB ．
如图，E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，BD ＝CE .
求证：△ABC 是等腰三角形．
如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点D 是直线AB 上的一动点（不和A ，B 重合），BE ⊥CD 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 于E ，交直线AC 于F ．
（1）点D 在边AB 上时，试探究线段BD ，AB 和AF 的数量关系，并证明你的结论； （2）点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论．
如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上任意一点（与A 、C 两点不重合）．Q 是CB 延长线上一点，且始终满足条件BQ=AP，过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ． （1）如图（1）当∠CQP=30°时．求AP 的长． （2）如图（2），当P 在任意位置时，求证：DE=AB ．
相交于点P
(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上 ① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数？ (2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°， 求证：BD ＝
CE
27、轴对称图形的识别
①下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是( ) ．
②下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ） A ： B ： C ： D ： ③下列图形中对称轴最多的是( ) ．
A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 28、轴对称的运用
①点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）．关于y 轴对称的点的坐标为（ ） ②如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是( ) ．
③如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射) ，那么该球最后将落入的球袋是( ) ．
A ．1号袋 B ．2号袋 C ．3号袋 D ．4号袋
29、30°的直角三角形
①若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ）． A ．75°或15° B ．75° C ．15° D ．75°和30° ②已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，
A
AD=4cm ，则BC 的长为 。
③如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，
B
D
C
BD 是∠ABC 的平分线，若AC ＝15，则CD ＝__________. 30、等腰三角形
①若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）．
A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对
②等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________． 31、作图题
①△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC 关于y 轴对称的三角形△A 1B 1C 1；
(2)将△ABC 向下平移3个单位长度，画出平移后的△A 2B 2C 2. ，并写出它们的坐标。
②在∠AoB 内有一点P ，它到两边OA 、OB 的距离相等，且到M 、N 两点的距离也相等，试确定P 点的位置。
③如图，平面直角坐标系中两点A （2，3），B （1，0），点P 是y 轴上一动点． （1）画图的出点P 的位置，使△APB 的周长最短；（不用证明） （2）当△ABP 的周长最短时，求点P 的坐标． ④如图，正三角形网格中，已有两个小正方形被涂黑．
（1）再将图中1中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）
（2）再将图中2中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）．
（3）再将图中3中其余小三角形涂黑三个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）．
松坝九年制学校学校2015-2016学年度（上期）八年级数学复习提纲 1、分式的识别。π不是字母）
11x 2例：在x 、3、+12
、5+y π、a +1
m 中分式的个数有个。
2、分式的基本性质。分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变。
（注意乘以整式时，要限制字母不等于0）
2a 2a 2
例：①把分式a +b 中a 、b 都扩大2倍，则分式的值( )若为a +b
，则应选（ ）
A、扩大4倍 B、扩大2倍
C、缩小2倍 D、不变
②下列计算错误的是（ ）
-2
A 、⎛ 1⎫=9 B、
3a 3a 2
5xy =5axy
C、ab b ⎝-3⎪⎭
a 2=a D、(-1+2)
=1
3、分式的值为0的条件。分子 ，且分母 。
例：使分式x 2-x
x 2-1
的值为零的所有x 的值是 ，当x 时，分式无意义。
4、负指数的科学计数法。
例：1nm=10-9
m ，则250nm 纳米用科学记数法表示为 米；用科学计数法表示的 数－3.6×10－4
写成小数是 。
5、分式方程无解问题。先化为分母相同，再分子相等，分子中的x 值为分母等于0时取值。
x 的分式方程x m 2
例：①若关于x -3-2=x -3
无解，则m 的值为__________。 ②当m= 时，关于x 的方程
2mx x -2+3
x 2-4=
x +2
会产生增根 6、分式的化简。先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先化简括号里面的。不管是通分还是约分，能进行因式分解的要先进行因式分解，所以化简前要先观察。加减时整式要先化为分式。 例：①只有乘除；化简
a -1a ÷a -1
a
2的结果是。 ②只有加减：化简x 2+x x 2-2x +1x 2-1-x 2-x
的结果是 。 ③既有乘除，又有加减。化简
x +32x -4÷⎛ 5⎝x -2-x -2⎫
⎪⎭
的结果是 。
④先化简，再求值：⎛ ⎝1+1⎫x 2
-1
x ⎪⎭
÷x 2
，其中x =2 化简结果是 ，值为 。
7、整体代入求值问题。解这类题的关键是先化简，再想法利用已知。
a -1a 2例：①已知a 2
-a =0，则求a +2∙-41
a 2-2a +1÷a 2-1
的值为 。 ②已知x －3y ＝0，则求
2x +y
x 2-2xy +y
2
²(x －y ) 的值为 。 ③若2x +5y -3=0，则4x
⋅32y
的值为。 8、判断正、负问题。
例：当x 时，分式
x -1
x 2
的值为正数， 已知关x 的方程
x x -3-2=m x -3
的解是正数，求m 的取值范围。则m 。 9、解分式方程。（两边同时乘以最简公分母，从而去分母，注意不要漏乘，最后记得检验） 例：①
1x +1+242x 7x -1=x 2-1 ②x +3+1=2x +6
10、列分式方程解应用题。（此题的关键是先列出不同的两个分式，再找它们之间的等量关系） ①工程问题：（已知工作量，设工作时间（或效率），表示工作效率（或时间） *一件工作，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要 小时。分析：此题已设工作 ，应表示各自的工作 ，分别为 、 ，所以合作的效率为 ，合作的时间=工作总量1÷合作的效率。
*甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务，设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值是__________．
分析：此题已设甲的工作时间为x 天，应表示其工作 为 、由于乙的效率与甲相同，所以
乙的效率也为 ，所以合作的效率为 ，提前2天完成，说明实际只做了 天，又由于甲先做了2天，所以甲、乙合作的天数为 。根据工作量关系：甲先做的+合作的=总量1可列出方程：
*为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？
解：设原计划每天修水渠x 米，则实际每天修 米
设完后此时应在草稿本上列出表示效率的两个分式 、 ，再找它们间的相等关系。 依据题意可列出方程：
解这个方程得：x= 。
检验，当x= 时， ≠0，所以x= 是原方程的解。 答：原计划每天修水渠 米。
*某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度？如果设原计划每天铺设x m 管道，那么根据题意，可得方程：
（方法与上题类似）
*学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？ 解：设规定日期为x 天，则乙要 天完成 依据题意可列出方程：
*在争创全国卫生城市的活动中，我市“青年突击队”决定义务清运一堆重达100吨的垃圾，后因附近居民主动参与到义务劳动中，使任务提前完成. 下面是记者与青年突击队员的一段对话：
通过这段对话，请你求出青年突击队原来每小时清运多少吨垃圾？
解：设青年突击队原来每小时清运x 吨垃圾，则每小时清运 吨垃圾 依据题意可列出方程：
②行程问题：（已知路程，设时间（或速度），表示速度（或时间）
*轮船顺水航行46km 和逆水航行34km 所用的时间恰好相等，水的流速是3km/h，求静水速度？
分析：若设轮船在静水中的速度是xkm/h，则顺水速度为 km/h，逆水速度为 km/h。 分别表示出时间为 、 。 根据题意
可列得方程为： 。 *比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴出发，到相距16米的银杏树下参加探讨环境保护问题的微型动物首脑会议。蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达。已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度。
分析：若设蜗牛的速度是xkm/h，则蚂蚁王的速度为 km/h。 分别表示出时间为 、 。 根据题意
可列得方程为： 。
③其他问题：
*小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ） A ：
120x +6=180120x B：x -6=[**************]
x C：x =x +6 D：x =x -6
*含有同种果蔬但浓度不同的A ，B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__________千克．
分析：设倒出x 千克，原浓度分别a 、b ，则倒出的溶质分别为 、 ；剩余溶质分别为 、 ；现两种溶液的浓度分别表示为 、 。
*小芳带了15元钱去商店买笔记本. 如果买一种软皮本，正好需付15元钱. 但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本. 这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？
11、a +b 、a -b 、ab 、a 2+b 2
四个式子之间的关系。
①已知a +b =5，ab =3则a 2+b 2
=__________．已知a ＋
1a ＝3，则a 2＋1
a
2的值是__________． ②已知(a +b )2
=8，(a -b )2
=2，则ab 。
12、整式的化简。（熟练掌握几种运算法则）
①a 2
∙a 3
= 。这里运用的乘法法则是 ，法则的内容是 。 (-x 3) 2⋅(-x 2) 3＝。
(-3x 2y 3)
3
，法则的内容是 (－3x 2
y )²(13
xy 2。(x +3)(x -2) (-a )3
÷(-a )。这里运用的乘法法则是法则的内容是。 (6a 3b 2-4a 2b 3)÷2ab 2(x 2
-3x -4)
÷(x +1)
(-23m +n )(-23
m -n ) (x +2y -3)(x -2y +3)
(a +2b -c )2= 。 (-5a 2+4b 2)(______)=25a 4-16b 4
②下面是某同学在一次作业中的计算摘录：
①3x 3·(－2x 2) ＝－6x 5；②4a 3b ÷(－2a 2b ) ＝－2a ；③(-2a 2)
3
=-6a 6；
④(－a ) 3÷(－a ) ＝－a 2. ⑤x 3-x =x (x 2-1)
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ③先化简，再求值．
(a －b)(a －3b) －2(a＋b )(a－b )+(a +2b )2
，其中，a ＝－2，b ＝-
13
. 化简结果是 ，值为 。
13、因式分解。
①先提公因式，再运用公式分解：2a 3－12a 2＋18= ；
9a 2(x －y ) ＋4b 2(y －x
②连续分解：（m 2＋n 2）2－4m 2n 2。
有理数范围内分解：a 4
-16； 实数范围内分解：x 4
-9
③十字相乘法：x 2
-5x +6；（x －1）（x ＋4）－
④分组分解法：a 2-2ab +b 2
-1= 。
14、因式分解的应用。
①若a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，则a 2－b 2
的值为 。 若a -2+b 2-2b +1=0，则a =，b ＝②若△ABC 三边a 、b 、c 满足a 2
＋b 2
＋c 2
＝ab ＋bc ＋ca ．则△ABC 的形状是 三角形。 △ABC的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab＝c+2bc，△ABC是是 三角形。 ③若多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果为(x ＋1)(x －2) ，则a ＋b 的值为__________． ④若代数式2a 2+3a+1的值是6，则代数式6a 2+9a+5的值为 ⑤如果多项式x 3－x 2
＋mx ＋6有一个因式是（x －2），则m=-______ ⑥如(x ＋m ) 与(x ＋3) 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 。 ⑦下面是某同学对多项式（x 2－4x +2）（x 2
－4x +6）+4进行因式分解的过程．
解：设x 2
－4x =y 原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步：将原式中的 代换为y ）
= y 2
+8y +16 （第二步：去括号化简） =(y +4)2
（第三步）
=(x 2-4x +4)
2
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A ．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________ ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2
－2x +2）+1进行因式分解． 15、简便方法计算：(3)
2007
⨯(-11
4
3
) 2008=。
2
20042
-2005³2003= 。 ⎛ ⎝292⎫
3⎪⎭
= 。
16、构成完全平方问题。（记住完全平方由三项构成：第1项的平方±两项乘积的2倍+第2项的平方）已知4x 2
＋mx ＋9是完全平方式，则m ＝_________．已知a 2
-ka +16是完全平方式，则k ＝_________．17、其他问题。
①长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算
阴影部分的面积可以验证公式_____________ ②观察下列各式，探索发现规律： 22－1＝3＝1³3；42－1＝15＝3³5；62－1＝35＝5³7；8
2
－1＝63＝7³9；102
－1＝99＝9³11；„„用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为 ． ③在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4-y 4，因式分解的结果是(x -y )(x +y )(x 2+y 2) ，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2
+y2
)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3-xy 2，取x=10，y=10时，(写出一个即可) 18、构成三角形的条件及应用。（两边之和 第三边，两边之差 第三边） ①已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的第三边的长可能是：( ) A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm
②已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是= ．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c |－|a －b －c |＝__________.等腰三角形的周长为20 cm ，一边长为6 cm ，则底边长为__________．
③已知一个三角形的三边长分别是4，2a – 3 ，5，其中a 是奇数，则a 的值为 。 ④作图：在图1中的直线a 上取一点P ，使它到A 、B 两点的距离之和PA+PB最小； 在图2中的直线b 上取一点Q ，使它到M 、N 两点的距离之差QM-QN 最大。
A
C
⑤如图，已知P 是△ABC 内一点，试说明PA+PB+PC>
1
2
(AB+BC+AC) 19、三角形（内角和）、n 边形的内角和（公式为，外角和为。 ①在下列条件中：①∠A ＋∠B ＝∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，③∠A ＝90°－∠B ，
④∠A ＝∠B －∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有 （填序号）
②如果多边形的内角和是外角和的k 倍，那么这个多边形的边数是( ) ． A ．k B ．2k ＋1 C．2k ＋2 D ．2k －2
③如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) ．
A ．∠A ＝∠1＋∠2 B ．2∠A ＝∠1＋∠2 C ．3∠A ＝2∠1＋∠2 D ．3∠A ＝2(∠1＋∠2)
④如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝__________. ⑤如图，点D ，B ，C 在同一直线上，∠A ＝60°，∠C ＝50°，∠D ＝25°，则∠1＝__________.
⑥如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，„„照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了__________米．
⑦一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是( ) ． A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．无法确定
⑧如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草 坪(图中阴影部分) ．图中草坪的面积为__________；如果多边形的边数为n ，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________． 20、三角形的“三线”（都是线段）
①*三角形的重心是三角形的三条______________的交点
*如图，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有 对．
②*如图，BD 、CE 是⊿ABC 的两条高，则∠1与∠2的大小关系是【 】 A. ∠1 > ∠2 B. ∠1 = ∠2 C. ∠1
A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C.三角形的边上 D.三角形的内部、外部或边上
③（1）如图：点P 为△ABC 的内角平分线BP 与CP 的交点，请写出∠BPC与∠A的关系 . （2）如图：点P 是△ABC 内角平分线BP 与外角平分线CP 的交点，请写出∠BPC与∠A的关系 . （3）如图：点P 是△ABC 的外角平分线BP 与CP 的交点，请写出∠BPC与∠A的关系
.
21、其他考题
①一个四边形截去一个内角后变为：( )
A. 三角形 B.四边形 C.五边形 D.以上均有可能 ②八边形的对角线共有：( )
A.8条 B.16条 C.18条 D.20条
③造房子时，屋顶常用三角形结构，从数学角度来看，是应用了__________，而活动挂架则用了四边形的__________．当四边形形状改变时，发生变化的是( ) ． A ．四边形的边长 B ．四边形的周长 C ．四边形的某些角的大小 D ．四边形的内角和 22、全等三角形的定理
①某同学把一块三角形的的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是：（ ）
A ．带①去 Ｂ．带②去 Ｃ．带③去 Ｄ．①②③都带去 ②下列方法中，不能判定三角形全等的是： ( ) A ．SSA B．SSS C．ASA D．SAS
③使两个直角三角形全等的条件是：（ ）
A ．一锐角对应相等 Ｂ．两锐角对应相等 Ｃ．一条边对应相等 Ｄ．两条边对应相等
④如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加一个条件是： （填上你认为适当的一个条件即可）．
⑤如图所示，错误！未找到引用源。分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是
（ ）
23、数全等三角形的对数
①如图所示，AB=CD，AD=BC，则图中的全等三角形共有：（ ）
A.1对 B. 2对 C. 3对 D.4对
②如图，AC ⊥BD 于O ，BO=DO，图中共有全等三角形 对．
③如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BE=CF． 图中有 对全等的三角形
④如图，在 ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形_______对．
24、全等三角形的应用
①如图，△ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，则∠DFE= ． ②如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝50°，∠D ＝35°，则∠AEC 等于：（ ） A. 60° B. 50° C. 45° D. 30°
B
③如图所示，DE ⊥AB
，DF
⊥AC ，AE ＝AF 第，则下列结论成立的是：9题
（ ） 24④题A. BD＝CD B. DE＝DF C. ∠B ＝∠C D. AB＝AC
④如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立
的是（ ）
A. △ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA ⑤下列命题中：⑪形状相同的两个三角形是全等形；⑫在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的
边是对应边；⑬全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )
A 、3个 B、2个 C、1个 D、0个
25、角平分线、垂直平分线
①如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离是：（ ）
A ．1 B．2 C．3 D．4 C D
B ②、如右图，直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：（ ）
A.1处 B. 2处 C. 3处 D.4处
③、到三角形三边距离相等的点是：( )
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
④、如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB ：AC=3：2，则S △ABD ：S △ACD = ．
⑤、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD的面积是 ．
B
D
⑥如图，∠BAC ＝110°，若MP 和
C
NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 的度数是__________． ⑦如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C ＝35°，且AB ＋BH ＝HC ，求∠B 的度数． ⑧如图，△ABC 的∠B ，∠C 的外角的平分线交于点P ． （1）若∠ABC=50°，∠A=70°，则∠P= °． （2）若∠ABC=48°，∠A=70°，则∠P= °． （3）若∠A=68°，则∠P= °．
（4）根据以上计算，试写出∠P 与∠A 的数量关系： ．
⑨如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是. ⑩如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠BAD=120°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，当△AMN 周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数是 _________ ．
第⑨题图
26、解答证明题（务必想一想已知条件的作用） ①容易题：
如图，BE ⊥AC 、CF ⊥AB 于点E 、F ，BE 与CF 交于点D ，DE ＝DF ，连结AD ． 求证：（1）∠FAD ＝∠EAD （2）BD ＝CD ．
已知：如图，AD ＝BC ，BD ＝AC ．求证：∠D ＝∠C
已知：△ABC 中，∠B、∠C的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：BE+CF=EF．
②中等难度题：已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，DF ⊥BC ．
求证：BC ＝DA
如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证: ∠5=∠6．
A
C
已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.
求证：AM 平分∠DAB.
如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F . 求证：AF 平分∠BAC .
如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC .
求证：EC ⊥BF.
③难度较大的题：已知：∠AOB=90°，OM 是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．则PC 和PD 有怎样的数量关系，证明你的结论．
已知如图13， ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为BC 上任意一点，CF ⊥AD ，BE ⊥AD 。则线段BE 、EF 、CF 存在怎样的数量关系，说明理由？
如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， AD 是 ∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于E ，F 在AC 上，BD =DF . 证明： AB=AF +2EB ．
如图，E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，BD ＝CE .
求证：△ABC 是等腰三角形．
如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点D 是直线AB 上的一动点（不和A ，B 重合），BE ⊥CD 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 于E ，交直线AC 于F ．
（1）点D 在边AB 上时，试探究线段BD ，AB 和AF 的数量关系，并证明你的结论； （2）点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论．
如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上任意一点（与A 、C 两点不重合）．Q 是CB 延长线上一点，且始终满足条件BQ=AP，过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ． （1）如图（1）当∠CQP=30°时．求AP 的长． （2）如图（2），当P 在任意位置时，求证：DE=AB ．
相交于点P
(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上 ① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数？ (2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°， 求证：BD ＝
CE
27、轴对称图形的识别
①下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是( ) ．
②下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ） A ： B ： C ： D ： ③下列图形中对称轴最多的是( ) ．
A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 28、轴对称的运用
①点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）．关于y 轴对称的点的坐标为（ ） ②如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是( ) ．
③如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射) ，那么该球最后将落入的球袋是( ) ．
A ．1号袋 B ．2号袋 C ．3号袋 D ．4号袋
29、30°的直角三角形
①若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ）． A ．75°或15° B ．75° C ．15° D ．75°和30° ②已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，
A
AD=4cm ，则BC 的长为 。
③如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，
B
D
C
BD 是∠ABC 的平分线，若AC ＝15，则CD ＝__________. 30、等腰三角形
①若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）．
A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对
②等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________． 31、作图题
①△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC 关于y 轴对称的三角形△A 1B 1C 1；
(2)将△ABC 向下平移3个单位长度，画出平移后的△A 2B 2C 2. ，并写出它们的坐标。
②在∠AoB 内有一点P ，它到两边OA 、OB 的距离相等，且到M 、N 两点的距离也相等，试确定P 点的位置。
③如图，平面直角坐标系中两点A （2，3），B （1，0），点P 是y 轴上一动点． （1）画图的出点P 的位置，使△APB 的周长最短；（不用证明） （2）当△ABP 的周长最短时，求点P 的坐标． ④如图，正三角形网格中，已有两个小正方形被涂黑．
（1）再将图中1中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）
（2）再将图中2中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）．
（3）再将图中3中其余小三角形涂黑三个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）．