分段函数的几个问题
分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下:
1、 分段函数的含义
所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识:
(1) 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。
2、 求分段函数的函数值
x2(x0)
例1
已知函数f(x)x1),求f{f[f(a)]}(a
logx(x1)13
分析 求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值。f(x)是分段函数,要求f{f[f(a)]},需要确定f[f(a)]的取值范围,为此又需确定f(a)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。
解 ∵a
∴f(a)2a,
∵0
∴f[f(a)]=f(2a)=, ∵>1,
∴f{f[f(a
)]}=f
=log1-
31, 2
3、 求分段函数的解析式
例2 已知奇函数f(x)(xR),当x>0时,f(x)=x(5-x)+1.求f(x)在R上的表达式。 解 ∵f(x)是定义域在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
又当x<0时,-x>0,
故有f(x)=-x[5-(-x)]+1=-x(5+x)+1。
再由f(x)是奇函数,
x(5x)1(x0)f(x)=-f(x)=x(5+x)-1.∴f(x)0(x0)
x(5x)1(x0)
例3 求函数f(x)=x2+(2-6a)x+3a2(0≤x≤1)的最小值。
解 f(x)=[x-(3a-1)]2-6a2+6a-1
∵0≤x≤1,
当3a-11时,f(x)的最小值为f(1)=3a2-6a+3。 因此函数f(x)的最小值可表示成关系于a的分段函数.
123a(a)312g(a)6a26a1(a)
33223a6a3(a)3
4、 求分段函数的最值
2x3(x0)例4 求函数yx3(0x1)的最小值
x5(x1)
方法1 先求每个分段区间上的最值,后比较求值。 当x≤0时,y=f(x)=2x+3,此时显然有y
当0
max当x>1时,y=f(x)=-x+5,此时y无最大值.比较可得当x=1时,y
方法2 利用函数的单调性 =4.
由函数解析式可知,f(x)在x∈(∞,0)上是单调递增的,在x∈(0,1)上也是递增的,而在x∈(1,+∞)上是递减的,
由f(x)的连续性可知f(x)当x=1时有最大值4 方法3 利用图像,数形结合求得
作函数y=f(x)的图像(图1),
显然当x=1时ymax =4.
说明:分段函数的最值常用以上三种方法求得.
分段函数的几个问题
分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下:
1、 分段函数的含义
所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识:
(1) 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。
2、 求分段函数的函数值
x2(x0)
例1
已知函数f(x)x1),求f{f[f(a)]}(a
logx(x1)13
分析 求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值。f(x)是分段函数,要求f{f[f(a)]},需要确定f[f(a)]的取值范围,为此又需确定f(a)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。
解 ∵a
∴f(a)2a,
∵0
∴f[f(a)]=f(2a)=, ∵>1,
∴f{f[f(a
)]}=f
=log1-
31, 2
3、 求分段函数的解析式
例2 已知奇函数f(x)(xR),当x>0时,f(x)=x(5-x)+1.求f(x)在R上的表达式。 解 ∵f(x)是定义域在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
又当x<0时,-x>0,
故有f(x)=-x[5-(-x)]+1=-x(5+x)+1。
再由f(x)是奇函数,
x(5x)1(x0)f(x)=-f(x)=x(5+x)-1.∴f(x)0(x0)
x(5x)1(x0)
例3 求函数f(x)=x2+(2-6a)x+3a2(0≤x≤1)的最小值。
解 f(x)=[x-(3a-1)]2-6a2+6a-1
∵0≤x≤1,
当3a-11时,f(x)的最小值为f(1)=3a2-6a+3。 因此函数f(x)的最小值可表示成关系于a的分段函数.
123a(a)312g(a)6a26a1(a)
33223a6a3(a)3
4、 求分段函数的最值
2x3(x0)例4 求函数yx3(0x1)的最小值
x5(x1)
方法1 先求每个分段区间上的最值,后比较求值。 当x≤0时,y=f(x)=2x+3,此时显然有y
当0
max当x>1时,y=f(x)=-x+5,此时y无最大值.比较可得当x=1时,y
方法2 利用函数的单调性 =4.
由函数解析式可知,f(x)在x∈(∞,0)上是单调递增的,在x∈(0,1)上也是递增的,而在x∈(1,+∞)上是递减的,
由f(x)的连续性可知f(x)当x=1时有最大值4 方法3 利用图像,数形结合求得
作函数y=f(x)的图像(图1),
显然当x=1时ymax =4.
说明:分段函数的最值常用以上三种方法求得.