第七章 参数估计
第一节 基本概念
1、概念网络图
⎧⎧无偏性⎫⎫
⎧矩估计⎫⎪⎪⎪⎪
点估计→估计量的评选标准有效性⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪极大似然估计⎭⎩⎪⎪从样本推断总体⎨⎩一致性⎭⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪}区间估计{单正态总体的区间估计⎩⎭
2、重要公式和结论
例7．1：设总体X ~U (a , b ) ，求对a, b的矩估计量。 例7．2：设x 1, x , 2, , x n 是总体的一个样本，试证
131x 1+x 2+x 3; 5102∧115
x 3; （2）μ2=x 1+x 2+
3412∧131
x 3. （3）μ3=x 1+x 2-
3412
（1）μ=
∧
都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。
例7．3：设x 1, x , 2, , x n 是取自总体X ~N (μ, σ) 的样本，试证
2
1n
S =(x i -x ) 2 ∑n -1i =1
2
是σ的相合估计量。
2
第二节 重点考核点
矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计
第三节 常见题型
1、矩估计和极大似然估计
例7．4：设X ~U (0, θ), θ>0，求θ的最大似然估计量及矩估计量。 例7．5：设总体X 的密度函数为
⎧1-(x -μ) /θ⎪e f (x ) =⎨θ
⎪⎩0,
x ≥μ, 其他.
其中θ>0, θ, μ为未知参数，X 1, X 2, , X n 为取自X 的样本。试求θ, μ的极大似然估计量。
2、估计量的优劣
例7．6：设n 个随机变量x 1, x 2, , x n 独立同分布，
1n 1n 2
D (x 1) =σ, x =∑x i , S =(x i -x ) 2, ∑n i =1n -1i =1
2
则
（A ）S 是σ的无偏估计量；
（C ）S 是σ的相合估计量； 例7．7：设总体X 的密度函数为
（B ）S 是σ的最大似然估计量； （D ）S 与x 相互独立。
2
⎧6x
⎪(θ-x ), f (x ) =⎨θ3
⎪⎩0,
0
X 1, X 2, , X n 是取自X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量θ；
∧
（2） 求θ的方差D （θ）；
（3） 讨论θ的无偏性和一致性（相合性）。
∧
∧∧
3、区间估计
例7．8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）为
2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11
假设钉子的长度X 服从正态分布N (μ, σ2) , 在下列两种情况下分别求总体均值μ的置信度为90%的置信区间。 （1） 已知σ=0.01. （2） σ未知.
例7．9：为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测量10个灯泡，得x =1500小时，S=20小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。
例7．10：设总体X ～N （3.4, 6），从中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值x 位于区
2
间[1.4, 5.4]内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？
第四节 历年真题
数学一：
1（97，5分）
设总体X 的概率密度为
⎧(θ+1) x θ
f (x ) =⎨
⎩0,
0
其他
其中θ>-1是未知参数. X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。 2（99，6分） 设总体X 的概率密度为
⎧6x
⎪(θ-x ) 0
f （x ）=⎨θ3
⎪0, 其他⎩
X 1, X 2, , X n 是取自总体X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量θ；
（2） 求D （θ）。
3（00，6分） 设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
⎧2e -2(x -θ)
f (x ; θ) =⎨
⎩0,
x >θ
x ≤θ
其中θ>0为未知参数。又设x 1, x 2, , x n 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。
4（02，7分）
设总体X 的概率分别为
X 0p θ2
其中θ（0
123
2θ(1-θ) θ21-2θ
1
）是未知参数，利用总体X 的如下样本值 2
3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
5（03，4分）
已知一批零件的长度X （单位：cm ）服从正态分布N (μ, 1) ，从中随
机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm ，则μ的置信度为0.95 的置信区间是
。
, Φ(1. 645) =0. 95） （注：标准正态分布函数值Φ(1. 96) =0. 975
6（03，8分）
设总体X 的概率密度为
⎧2e -2(x -θ)
f (x ) =⎨
⎩0,
x >θ
x ≤θ
^
其中θ>0是未知参数，从总体X 中抽取简单随机样本X 1, X 2, , X n ，记θ=min（X 1, X 2, , X n ）。
（1） 求总体X 的分布函数F （x ）； （2） 求统计量θ的分布函数F ^(x ) ；
θ
^
如果用θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。
7（04，9分） 设总体X 的分布函数为
^
1⎧
⎪1-β, x >1,
F (x , β) =⎨ x
x ≤1, ⎪⎩0,
其中未知参数β>1, X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本，求：
（I ） β的矩估计量；
（II ） β的最大似然估计量.
8．（06，9分）设总体X 的概率密度为
⎧θ
⎪
F (X , 0)=⎨1-θ
⎪0⎩
0
1≤x
其它
X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x 1, x 2, , x n 中小于1的个
数，求θ的最大似然估计。
数学三：
1（91，5分）
设总体X 的概率密度为
⎧λax α-1e -λx , ⎪
f (x , λ) =⎨
⎪0, ⎩
其中
α
x >0
x ≤0
λ>0是未知参数, α>0是已知常数。试根据来自总体X 的简单随机样本
X 1, X 2, X n ，求λ的最大似然估计量λ。
2（92，3分）
2
设n 个随机变量
X 1, X 2, X n 独立同分布，
1n 1n 2
DX 1=σ, X =∑X i , S =(Xi -X ) 2，则 ∑n i =1n -1i =1
（A ）S 是σ的无偏估计量。 （B ）S 是σ的最大似然估计是。
（C ）S 是σ的相合估计量（即一致估计量）。 （D ）S 与X 相互独立。
[ ]
3（93，3分） 设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5。则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。
4（96，3分）
设由来自正态总体X ~N (μ, 0. 9) 容量为9的简单随机样本，得样
。
2
本均值X =5. 则未知参数μ的置信度为0. 95的置信区间是
5（00，8分）
设0.51, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X 的简单随机样本值。已知
Y =lnX 服从正态分布N (μ, 1) 。
（1） 求X 的数学期望EX （记EX 为b ）； （2） 求μ的置信度为0.95的置信区间；
（3） 利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间。 6（02，3分） 设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , 若x ≥θ
f (x ; θ) =⎨
0, 若x
则X 1, X 2, X n 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为
7（04，13分） 设随机变量X 的分布函数为
。
⎧⎛α⎫β
⎪⎪, x >α， F (x , α, β) =⎨1- ⎝x ⎭⎪0，x ≤α，⎩
其中参数α>0, β>1. 设X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本, (Ⅰ) 当α=1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α=1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β=2时, 求未知参数α的最大似然估计量.
8．（05，4分）设一批零件的长度服从正态分布N (μ, σ) ，其中μ, σ均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值=20(cm ) ，样本标准差s =1(cm ) ，则μ的置信度为0.90的置信区间是 （A ） 20-
2
2
⎛
⎝11⎫t 0. 05(16), 20+t 0. 05(16)⎪ 44⎭11⎫t 0. 1(16), 20+t 0. 1(16)⎪ 44⎭11⎫t 0. 05(15), 20+t 0. 05(15)⎪ 44⎭11⎫t 0. 1(15), 20+t 0. 1(15)⎪ 44⎭
2
（B ） 20-
⎛⎝
（C ） 20-
⎛⎝
（D ） 20-
⎛⎝
9．（05，13分）设X 1, X 2, , X n (n >2)为来自总体N (0, σ) 的简单随机样本，其样
本均值为。记Y i =X i -，i =1, 2, , n 。
求：（I ）Y i 的方差DY i ，i =1, 2, , n ；
（II ）Y 1与Y n 的协方差Cov (Y 1, Y n ) 。
（III ）若c (Y 1+Y n ) 2是σ的无偏估计量，求常数c 。 2
⎧θ, 0
⎪0, 其它⎩
数(0
（I ）θ的矩估计；
（II ）θ的最大似然估计。
第七章 参数估计
第一节 基本概念
1、概念网络图
⎧⎧无偏性⎫⎫
⎧矩估计⎫⎪⎪⎪⎪
点估计→估计量的评选标准有效性⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪极大似然估计⎭⎩⎪⎪从样本推断总体⎨⎩一致性⎭⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪}区间估计{单正态总体的区间估计⎩⎭
2、重要公式和结论
例7．1：设总体X ~U (a , b ) ，求对a, b的矩估计量。 例7．2：设x 1, x , 2, , x n 是总体的一个样本，试证
131x 1+x 2+x 3; 5102∧115
x 3; （2）μ2=x 1+x 2+
3412∧131
x 3. （3）μ3=x 1+x 2-
3412
（1）μ=
∧
都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。
例7．3：设x 1, x , 2, , x n 是取自总体X ~N (μ, σ) 的样本，试证
2
1n
S =(x i -x ) 2 ∑n -1i =1
2
是σ的相合估计量。
2
第二节 重点考核点
矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计
第三节 常见题型
1、矩估计和极大似然估计
例7．4：设X ~U (0, θ), θ>0，求θ的最大似然估计量及矩估计量。 例7．5：设总体X 的密度函数为
⎧1-(x -μ) /θ⎪e f (x ) =⎨θ
⎪⎩0,
x ≥μ, 其他.
其中θ>0, θ, μ为未知参数，X 1, X 2, , X n 为取自X 的样本。试求θ, μ的极大似然估计量。
2、估计量的优劣
例7．6：设n 个随机变量x 1, x 2, , x n 独立同分布，
1n 1n 2
D (x 1) =σ, x =∑x i , S =(x i -x ) 2, ∑n i =1n -1i =1
2
则
（A ）S 是σ的无偏估计量；
（C ）S 是σ的相合估计量； 例7．7：设总体X 的密度函数为
（B ）S 是σ的最大似然估计量； （D ）S 与x 相互独立。
2
⎧6x
⎪(θ-x ), f (x ) =⎨θ3
⎪⎩0,
0
X 1, X 2, , X n 是取自X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量θ；
∧
（2） 求θ的方差D （θ）；
（3） 讨论θ的无偏性和一致性（相合性）。
∧
∧∧
3、区间估计
例7．8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）为
2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11
假设钉子的长度X 服从正态分布N (μ, σ2) , 在下列两种情况下分别求总体均值μ的置信度为90%的置信区间。 （1） 已知σ=0.01. （2） σ未知.
例7．9：为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测量10个灯泡，得x =1500小时，S=20小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。
例7．10：设总体X ～N （3.4, 6），从中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值x 位于区
2
间[1.4, 5.4]内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？
第四节 历年真题
数学一：
1（97，5分）
设总体X 的概率密度为
⎧(θ+1) x θ
f (x ) =⎨
⎩0,
0
其他
其中θ>-1是未知参数. X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。 2（99，6分） 设总体X 的概率密度为
⎧6x
⎪(θ-x ) 0
f （x ）=⎨θ3
⎪0, 其他⎩
X 1, X 2, , X n 是取自总体X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量θ；
（2） 求D （θ）。
3（00，6分） 设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
⎧2e -2(x -θ)
f (x ; θ) =⎨
⎩0,
x >θ
x ≤θ
其中θ>0为未知参数。又设x 1, x 2, , x n 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。
4（02，7分）
设总体X 的概率分别为
X 0p θ2
其中θ（0
123
2θ(1-θ) θ21-2θ
1
）是未知参数，利用总体X 的如下样本值 2
3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
5（03，4分）
已知一批零件的长度X （单位：cm ）服从正态分布N (μ, 1) ，从中随
机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm ，则μ的置信度为0.95 的置信区间是
。
, Φ(1. 645) =0. 95） （注：标准正态分布函数值Φ(1. 96) =0. 975
6（03，8分）
设总体X 的概率密度为
⎧2e -2(x -θ)
f (x ) =⎨
⎩0,
x >θ
x ≤θ
^
其中θ>0是未知参数，从总体X 中抽取简单随机样本X 1, X 2, , X n ，记θ=min（X 1, X 2, , X n ）。
（1） 求总体X 的分布函数F （x ）； （2） 求统计量θ的分布函数F ^(x ) ；
θ
^
如果用θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。
7（04，9分） 设总体X 的分布函数为
^
1⎧
⎪1-β, x >1,
F (x , β) =⎨ x
x ≤1, ⎪⎩0,
其中未知参数β>1, X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本，求：
（I ） β的矩估计量；
（II ） β的最大似然估计量.
8．（06，9分）设总体X 的概率密度为
⎧θ
⎪
F (X , 0)=⎨1-θ
⎪0⎩
0
1≤x
其它
X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x 1, x 2, , x n 中小于1的个
数，求θ的最大似然估计。
数学三：
1（91，5分）
设总体X 的概率密度为
⎧λax α-1e -λx , ⎪
f (x , λ) =⎨
⎪0, ⎩
其中
α
x >0
x ≤0
λ>0是未知参数, α>0是已知常数。试根据来自总体X 的简单随机样本
X 1, X 2, X n ，求λ的最大似然估计量λ。
2（92，3分）
2
设n 个随机变量
X 1, X 2, X n 独立同分布，
1n 1n 2
DX 1=σ, X =∑X i , S =(Xi -X ) 2，则 ∑n i =1n -1i =1
（A ）S 是σ的无偏估计量。 （B ）S 是σ的最大似然估计是。
（C ）S 是σ的相合估计量（即一致估计量）。 （D ）S 与X 相互独立。
[ ]
3（93，3分） 设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5。则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。
4（96，3分）
设由来自正态总体X ~N (μ, 0. 9) 容量为9的简单随机样本，得样
。
2
本均值X =5. 则未知参数μ的置信度为0. 95的置信区间是
5（00，8分）
设0.51, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X 的简单随机样本值。已知
Y =lnX 服从正态分布N (μ, 1) 。
（1） 求X 的数学期望EX （记EX 为b ）； （2） 求μ的置信度为0.95的置信区间；
（3） 利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间。 6（02，3分） 设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , 若x ≥θ
f (x ; θ) =⎨
0, 若x
则X 1, X 2, X n 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为
7（04，13分） 设随机变量X 的分布函数为
。
⎧⎛α⎫β
⎪⎪, x >α， F (x , α, β) =⎨1- ⎝x ⎭⎪0，x ≤α，⎩
其中参数α>0, β>1. 设X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本, (Ⅰ) 当α=1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α=1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β=2时, 求未知参数α的最大似然估计量.
8．（05，4分）设一批零件的长度服从正态分布N (μ, σ) ，其中μ, σ均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值=20(cm ) ，样本标准差s =1(cm ) ，则μ的置信度为0.90的置信区间是 （A ） 20-
2
2
⎛
⎝11⎫t 0. 05(16), 20+t 0. 05(16)⎪ 44⎭11⎫t 0. 1(16), 20+t 0. 1(16)⎪ 44⎭11⎫t 0. 05(15), 20+t 0. 05(15)⎪ 44⎭11⎫t 0. 1(15), 20+t 0. 1(15)⎪ 44⎭
2
（B ） 20-
⎛⎝
（C ） 20-
⎛⎝
（D ） 20-
⎛⎝
9．（05，13分）设X 1, X 2, , X n (n >2)为来自总体N (0, σ) 的简单随机样本，其样
本均值为。记Y i =X i -，i =1, 2, , n 。
求：（I ）Y i 的方差DY i ，i =1, 2, , n ；
（II ）Y 1与Y n 的协方差Cov (Y 1, Y n ) 。
（III ）若c (Y 1+Y n ) 2是σ的无偏估计量，求常数c 。 2
⎧θ, 0
⎪0, 其它⎩
数(0
（I ）θ的矩估计；
（II ）θ的最大似然估计。