《空间两点的距离公式》教案
教学目标
1、使学生掌握空间两点间的距离公式.
教学重难点
重点：空间两点间的距离公式.
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.
教学过程
一、情景导入
问题：
在平面上任意两点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 之间的距离的公式为|AB |=
，那么对于空间中任意两点A (x 1，y 1，z 1) ，B (x 2，y 2，z 2) 之间的距
离的公式会是怎样呢？你猜猜？
师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要.
二、交流展示
1、在空间中任意一点到原点的距离如何计算？
2、空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1) 到点P 2(x 2，y 2，z 2) 之间的距离公式是怎样呢？
三、合作探究
探究一：空间中任间一点P (x ，y ，z ) 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，用勾股定理来完成.
学生：设A (x , y , z ) 是空间任意一点, 过A 作AB ⊥xOy 平面, 垂足为B , 过B 分别作BD ⊥x 轴, BE ⊥y 轴, 垂足分别为D,E . 根据坐标的含义知, AB =z , BD =x , BE =OD =y , 由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形, 所以BO 2=BD 2+OD 2, AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2, 因此A 到原点的距离是.
探究二：空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1) 到点P 2(x 2，y 2，z 2) 之间的距离公式是怎样呢？
如图，设P 1(x 1, y 1, z 1), P 2(x 2, y 2, z 2) 是空间中任意两点, 我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线, 垂足是M , N , 则M (x 1, y 1, 0), N (x 2, y 2, 0), 于是可以求出
.
再过点P 1作P 1H ⊥P 2N , 垂足为H , 则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|. 在Rt △P 1HP 2中,|P 1H |=|MN |=根据勾股定理得，
因此空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1) 到点P 2(x 2，y 2，z 2) 之间的距离为
于是空间两点间的距离公式是
坐标的差的平方的和的算术平方根.
四、课堂小结
空间两点P 1(x 1, y 1, z 1), P 2(x 2, y 2, z 2)
间的的距离公式为
五、巩固练习
已知A (3, 3, 1), B (1, 0, 5), 求：线段AB 的中点坐标和长度. 它是同名
《空间两点的距离公式》教案
教学目标
1、使学生掌握空间两点间的距离公式.
教学重难点
重点：空间两点间的距离公式.
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.
教学过程
一、情景导入
问题：
在平面上任意两点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 之间的距离的公式为|AB |=
，那么对于空间中任意两点A (x 1，y 1，z 1) ，B (x 2，y 2，z 2) 之间的距
离的公式会是怎样呢？你猜猜？
师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要.
二、交流展示
1、在空间中任意一点到原点的距离如何计算？
2、空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1) 到点P 2(x 2，y 2，z 2) 之间的距离公式是怎样呢？
三、合作探究
探究一：空间中任间一点P (x ，y ，z ) 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，用勾股定理来完成.
学生：设A (x , y , z ) 是空间任意一点, 过A 作AB ⊥xOy 平面, 垂足为B , 过B 分别作BD ⊥x 轴, BE ⊥y 轴, 垂足分别为D,E . 根据坐标的含义知, AB =z , BD =x , BE =OD =y , 由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形, 所以BO 2=BD 2+OD 2, AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2, 因此A 到原点的距离是.
探究二：空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1) 到点P 2(x 2，y 2，z 2) 之间的距离公式是怎样呢？
如图，设P 1(x 1, y 1, z 1), P 2(x 2, y 2, z 2) 是空间中任意两点, 我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线, 垂足是M , N , 则M (x 1, y 1, 0), N (x 2, y 2, 0), 于是可以求出
.
再过点P 1作P 1H ⊥P 2N , 垂足为H , 则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|. 在Rt △P 1HP 2中,|P 1H |=|MN |=根据勾股定理得，
因此空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1) 到点P 2(x 2，y 2，z 2) 之间的距离为
于是空间两点间的距离公式是
坐标的差的平方的和的算术平方根.
四、课堂小结
空间两点P 1(x 1, y 1, z 1), P 2(x 2, y 2, z 2)
间的的距离公式为
五、巩固练习
已知A (3, 3, 1), B (1, 0, 5), 求：线段AB 的中点坐标和长度. 它是同名