直线与平面平行的判定与性质
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行符号语言：
线面平行
线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行
线线平行
符号语言：
证明直线与平面平行的常用方法： (l)反证法，即(2)判定定理法，即(3)面面平行的性质定理，即(4)向量法，平面外的直线行，即
的方向向量n
与平面
的法向量n垂直，则直线
与平面
平
例题1.已知a、b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题： ①a∥α，b∥α，则a∥b ②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β ③a∥α，α∥β，则α∥β ④a∥b，b
α，则a∥α
其中正确命题的个数是（ ） 例题2.以下四个命题：
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线． 其中正确的命题是（ ） A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
例题3.若a∥α，b∥α，则直线a、b的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.异面
D.A、B、C均有可能
例题4.若m，n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题中正确是（ ） A．若m∥n，n
α，则m∥α
B．若m∥n，n∥α，则m∥α C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α 答案： 例题1. 0 例题2. D 例题3. D 例题4. C
例题5.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD．
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴FG∥CD，FG=CD， ∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG， CG?平面ABC，DF?平面ABC， ∴DF∥平面ABC．
（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a， F为BE中点，∴AF⊥BE， ∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB， ∴DF⊥AB， 又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF， ∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD
例题6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2． （I）求证：BD1∥平面ACM； （Ⅱ）求证：B1O⊥平面ACM； （Ⅲ）求三棱锥O-AB1M的体积．
（
I）证明：
连结BD，设BD与AC的交点为O，
∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点； 连结MO，
∵O，M分别为DB，DD1的中点， ∴OM∥BD1
∵OM⊂平面ACM，BD1⊄平面ACM ∴BD1∥平面ACM
（II）∵AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥DD1；且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1 OB1⊂平面BDD1B1，∴B1O⊥AC
例题8*.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点。
（I）证明：DE∥底面ABC；
（II）设二面角A-BC-D为60°，求BD与平面BCC1B1所成的角的正弦值。
（Ⅰ）证明：设BC的中点为F，连结AF、EF，则EF∥CC1，且EF=CC1，
又AD∥CC1，且AD=∴EF∥AD，且EF=AD，
CC1，
∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DE∥AF， 又∵DE
平面ABC，AF
平面ABC，
∴DE∥底面ABC。 （Ⅱ）解：连结DF， ∵AB=AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC，
又∵AA1⊥底面ABC， ∴AA1⊥BC， 又∵AA1∩AF=A，
∴BC⊥平面ADF，∴BC⊥DF，
∴∠AFD就是A-BC-D的平面角，即∠AFD=60°， ∵BB1⊥底面ABC， ∴BB1⊥AF，
又∵AF⊥BC，BC∩BB1= B，
∴AF⊥平面BCE， ∵DE∥AF，
∴DE⊥平面BCE，
∴∠DBE就是BD与平面BCC1B1所成的角， 设AF=a，则DE=a，AD=
，AB=
，∴BD=
，
∴sin∠DBE=
=。
平面与平面平行的判定与性质
面面平行的定义：
如果两个平面无公共点，则称这两个平面平行。 图形表示：
面面平行的判定定理：
（1）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行； （线面平行
面面平行），
（2）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，那么这两个平面平行。（线线平行
面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 （4）平行于同一个平面的两个平面平行 符号语言：
（1）
面面平行的性质定理
；（3） ；（4）
（1）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线平行）
（2）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行面平行）
线
线
（3）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。 符号语言：
（1） ；（2
） ；（3）
线线平行、线面平行、面面平行间的关系
由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往一题多解（证）。
证明面面平行的常用方法： (1)反证法，即(2)判定定理或推论，即
(3)“垂直于同一直线的两个平面平行”这一性质，即(4)向量法，两个平面的法向量平行，则这两个平面平行。 例题1.已知a、b是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α∥β，a⊂α，则a∥β；
②若a、b与α所成角相等，则a∥b； ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ； ④若a⊥α，a⊥β，则α∥β． 其中正确的命题的序号是______．
解析：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；这是显然正确的．
②若a、b与α所成角相等，则a∥b；如果a、b是圆锥的母线，显然不正确． ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；如教室的墙角的三个平面关系，不正确． ④若a⊥α，a⊥β，则α∥β；这是显然正确的． 故答案为：①④ 例题2.下列四个命题：
①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行； ③平行于两条相交直线的两个平面平行；
④与无数条直线都平行的两个平面平行．则其中正确命题的序号是 ______
解析：①平行于同一直线的两个平面平行，不正确，如两相交平面，使直线与交线平行； ②平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质可知正确； ③平行于两条相交直线的两个平面平行，根据面面平行的判定定理可知正确； ④与无数条直线都平行的两个平面平行，不正确，如无数直线是平行线就不正确了； 故答案为：②③
例题3.Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是______三角形． ∵直角边AB∥α，
∴过AB的平面与α相交于一条直线，AB与这条直线平行， ∵AB是一条直角边，与另一条直角边垂直，
∴α内的交线也与AB 垂直，也与AB在平面上的射影垂直， ∴△A1B1C的形状仍是Rt△． 故答案为直角。
例题4.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）
A．α、β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线点到β的距离相等 C．b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
例题5.如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD，AD丄平面ABD．M为线段
（I）求证：平面BCE丄平面CDE；
（II）若N为线段DE的中点，求证：平面
AMN∥
平面BEC．
（I）∵AB=AD=2，AB丄AD，M
为线段BD的中点，
∵AE丄平面ABD，MC∥AE，
∴MC⊥平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD，∴AM⊥平面CDB．
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CDB．∴BC⊥EC，∵EC∩CD=C 又∵BC⊥平面CDE， ∴平面BCE⊥平面CDE．
（II）∵BD中点M，ED的中点N，∴MN∥BE， 又∵MN?平面BCE，BE?平面BCE， ∴MN∥平面BEC
由（I）知EC∥AM，又∵AM?平面BCE，EC?平面BCE， ∴AM∥平面BEC，且AM∩MN=M． ∴平面AMN∥平面BEC．
例题6.如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点． （1）若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD． （2）求异面直线EF与AD′所成的角．
解：（1）∵△ABB'中，E、M分别是AB'、BB'的中点，
∴EM∥AB ∵EM平面ABCD且AB?平面ABCD
∴EM∥平面ABCD，
同理可得FM∥平面ABCD，
∵EM、FM是平面EMF内的相交直线
∴平面EMF∥平面ABCD．
（2）连接AC、CD'、B'C
∵△B'AC中，EF是中位线
∴EF∥AC，
可得∠D'AC或其补角即为EF与AD'所成的角
∵正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AD'、AC、CD'都是面上的对角线
∴设正方体棱长为a，则 AD'=AC=CD'= a
所以等边三角形ACD'中，∠D'AC=60°
∴异面直线EF与AD′所成的角60°
例题7.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1．求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
证明：在正方体中，连结AD1，AB1，B1D1，BC1，DC1，BD，
则根据正方体的性质可知BD∥B1D1，BC1∥AD1，
所以B1D1∥平面BDC1．
同理可证AD1∥平面BDC1．
又因为AD1∩D1B1=D1，
所以AB1D1∥平面BDC1．
例题8.如图，A，B，C为不在同一条直线上的三点，AA′∥BB′∥CC′，且AA′=BB′=CC′，求证：平面ABC∥平面A′B′C′．
证明：∵AA′=BB′，AA′∥BB′，
∴A′B′AB是平行四边形，∴A′B′∥AB，
同理B′C′∥BC
∵A′B′∥AB，AB?面ABC∴A′B′∥面ABC，
同理B′C′∥面ABC，
∵A′B′∩B′C′=B′，∴面ABC∥面A′B′C′．
直线与平面平行的判定与性质
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行符号语言：
线面平行
线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行
线线平行
符号语言：
证明直线与平面平行的常用方法： (l)反证法，即(2)判定定理法，即(3)面面平行的性质定理，即(4)向量法，平面外的直线行，即
的方向向量n
与平面
的法向量n垂直，则直线
与平面
平
例题1.已知a、b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题： ①a∥α，b∥α，则a∥b ②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β ③a∥α，α∥β，则α∥β ④a∥b，b
α，则a∥α
其中正确命题的个数是（ ） 例题2.以下四个命题：
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线． 其中正确的命题是（ ） A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
例题3.若a∥α，b∥α，则直线a、b的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.异面
D.A、B、C均有可能
例题4.若m，n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题中正确是（ ） A．若m∥n，n
α，则m∥α
B．若m∥n，n∥α，则m∥α C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α 答案： 例题1. 0 例题2. D 例题3. D 例题4. C
例题5.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD．
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴FG∥CD，FG=CD， ∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG， CG?平面ABC，DF?平面ABC， ∴DF∥平面ABC．
（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a， F为BE中点，∴AF⊥BE， ∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB， ∴DF⊥AB， 又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF， ∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD
例题6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2． （I）求证：BD1∥平面ACM； （Ⅱ）求证：B1O⊥平面ACM； （Ⅲ）求三棱锥O-AB1M的体积．
（
I）证明：
连结BD，设BD与AC的交点为O，
∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点； 连结MO，
∵O，M分别为DB，DD1的中点， ∴OM∥BD1
∵OM⊂平面ACM，BD1⊄平面ACM ∴BD1∥平面ACM
（II）∵AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥DD1；且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1 OB1⊂平面BDD1B1，∴B1O⊥AC
例题8*.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点。
（I）证明：DE∥底面ABC；
（II）设二面角A-BC-D为60°，求BD与平面BCC1B1所成的角的正弦值。
（Ⅰ）证明：设BC的中点为F，连结AF、EF，则EF∥CC1，且EF=CC1，
又AD∥CC1，且AD=∴EF∥AD，且EF=AD，
CC1，
∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DE∥AF， 又∵DE
平面ABC，AF
平面ABC，
∴DE∥底面ABC。 （Ⅱ）解：连结DF， ∵AB=AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC，
又∵AA1⊥底面ABC， ∴AA1⊥BC， 又∵AA1∩AF=A，
∴BC⊥平面ADF，∴BC⊥DF，
∴∠AFD就是A-BC-D的平面角，即∠AFD=60°， ∵BB1⊥底面ABC， ∴BB1⊥AF，
又∵AF⊥BC，BC∩BB1= B，
∴AF⊥平面BCE， ∵DE∥AF，
∴DE⊥平面BCE，
∴∠DBE就是BD与平面BCC1B1所成的角， 设AF=a，则DE=a，AD=
，AB=
，∴BD=
，
∴sin∠DBE=
=。
平面与平面平行的判定与性质
面面平行的定义：
如果两个平面无公共点，则称这两个平面平行。 图形表示：
面面平行的判定定理：
（1）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行； （线面平行
面面平行），
（2）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，那么这两个平面平行。（线线平行
面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 （4）平行于同一个平面的两个平面平行 符号语言：
（1）
面面平行的性质定理
；（3） ；（4）
（1）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线平行）
（2）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行面平行）
线
线
（3）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。 符号语言：
（1） ；（2
） ；（3）
线线平行、线面平行、面面平行间的关系
由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往一题多解（证）。
证明面面平行的常用方法： (1)反证法，即(2)判定定理或推论，即
(3)“垂直于同一直线的两个平面平行”这一性质，即(4)向量法，两个平面的法向量平行，则这两个平面平行。 例题1.已知a、b是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α∥β，a⊂α，则a∥β；
②若a、b与α所成角相等，则a∥b； ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ； ④若a⊥α，a⊥β，则α∥β． 其中正确的命题的序号是______．
解析：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；这是显然正确的．
②若a、b与α所成角相等，则a∥b；如果a、b是圆锥的母线，显然不正确． ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；如教室的墙角的三个平面关系，不正确． ④若a⊥α，a⊥β，则α∥β；这是显然正确的． 故答案为：①④ 例题2.下列四个命题：
①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行； ③平行于两条相交直线的两个平面平行；
④与无数条直线都平行的两个平面平行．则其中正确命题的序号是 ______
解析：①平行于同一直线的两个平面平行，不正确，如两相交平面，使直线与交线平行； ②平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质可知正确； ③平行于两条相交直线的两个平面平行，根据面面平行的判定定理可知正确； ④与无数条直线都平行的两个平面平行，不正确，如无数直线是平行线就不正确了； 故答案为：②③
例题3.Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是______三角形． ∵直角边AB∥α，
∴过AB的平面与α相交于一条直线，AB与这条直线平行， ∵AB是一条直角边，与另一条直角边垂直，
∴α内的交线也与AB 垂直，也与AB在平面上的射影垂直， ∴△A1B1C的形状仍是Rt△． 故答案为直角。
例题4.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）
A．α、β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线点到β的距离相等 C．b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
例题5.如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD，AD丄平面ABD．M为线段
（I）求证：平面BCE丄平面CDE；
（II）若N为线段DE的中点，求证：平面
AMN∥
平面BEC．
（I）∵AB=AD=2，AB丄AD，M
为线段BD的中点，
∵AE丄平面ABD，MC∥AE，
∴MC⊥平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD，∴AM⊥平面CDB．
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CDB．∴BC⊥EC，∵EC∩CD=C 又∵BC⊥平面CDE， ∴平面BCE⊥平面CDE．
（II）∵BD中点M，ED的中点N，∴MN∥BE， 又∵MN?平面BCE，BE?平面BCE， ∴MN∥平面BEC
由（I）知EC∥AM，又∵AM?平面BCE，EC?平面BCE， ∴AM∥平面BEC，且AM∩MN=M． ∴平面AMN∥平面BEC．
例题6.如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点． （1）若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD． （2）求异面直线EF与AD′所成的角．
解：（1）∵△ABB'中，E、M分别是AB'、BB'的中点，
∴EM∥AB ∵EM平面ABCD且AB?平面ABCD
∴EM∥平面ABCD，
同理可得FM∥平面ABCD，
∵EM、FM是平面EMF内的相交直线
∴平面EMF∥平面ABCD．
（2）连接AC、CD'、B'C
∵△B'AC中，EF是中位线
∴EF∥AC，
可得∠D'AC或其补角即为EF与AD'所成的角
∵正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AD'、AC、CD'都是面上的对角线
∴设正方体棱长为a，则 AD'=AC=CD'= a
所以等边三角形ACD'中，∠D'AC=60°
∴异面直线EF与AD′所成的角60°
例题7.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1．求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
证明：在正方体中，连结AD1，AB1，B1D1，BC1，DC1，BD，
则根据正方体的性质可知BD∥B1D1，BC1∥AD1，
所以B1D1∥平面BDC1．
同理可证AD1∥平面BDC1．
又因为AD1∩D1B1=D1，
所以AB1D1∥平面BDC1．
例题8.如图，A，B，C为不在同一条直线上的三点，AA′∥BB′∥CC′，且AA′=BB′=CC′，求证：平面ABC∥平面A′B′C′．
证明：∵AA′=BB′，AA′∥BB′，
∴A′B′AB是平行四边形，∴A′B′∥AB，
同理B′C′∥BC
∵A′B′∥AB，AB?面ABC∴A′B′∥面ABC，
同理B′C′∥面ABC，
∵A′B′∩B′C′=B′，∴面ABC∥面A′B′C′．