甲型H1N1流感传播模型研究
摘要
本文采用了SIR 模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述
近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。
二、问题分析
甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR 模型是比较完整的模型。SIR 模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR 模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：
三、建立模型
（一）、不考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不
考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者) 四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。
（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。
病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈
的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。
（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为λS (t ) ，NI (t ) 个发病者平均每天能使λS (t ) NI (t ) 个易感者成为病毒潜伏者。所以有：
dS (t ) =-λS (t ) I (t ) （1） dt
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
dR (t ) =νI (t ) （2） dt
发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即
dI (t ) =λS (t ) I (t ) -νI (t ) （3） dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别为S 0、R 0（不妨设R 0=0）。
3、模型求解
方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 σ=λ/ν，于是可以求出方程的解为：
i =(s 0+i 0) -s +1
σln s （4） s 0
下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况：
a 、不论初始条件S 0、R 0如何，病人最终将消失，即i ∞=0。
b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程
(s 0+i 0) -s +1ln s =0在(0,1/σ) 内的根。 s 0σ
C 、若s 0>1/σ，则开始有：i (t ) 先增加。当s 0=1/σ时，i (t ) 达到最大值，然后i (t ) 减小且趋于零，s (t ) 则单调减小至s ∞。
d 、若s 0≤1/σ，则i (t ) 单调减小至5，s (t ) 则单调减小至s ∞。
我们发现人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越高，于是σ越
小，所以提高卫生水平和医疗水平有利于传染病的蔓延。
结合美国的具体情况和假设条件进行分析：
根据所得的数据画出美国患病人数变化曲线和治愈人数变化曲线：
根据图形来看，甲型h1n1流感在美国呈现出蔓延的形式，即现在属于s 0>1/σ
λ1.4~1.6之间。现在我们取的情况，即 σ=λ/ν>1/s 0。由假设条件可知的取值范围在
λ=1.6，则表示ν
第一：对每个病人每天有效接触的平均人数估计值偏小。不是简单的成正比关系，应该是成多次方关系，甚至是指数关系。
第二：美国疾病预防与控制中心所得到的数据具有滞后性。
第三：在美国s 0≈0不一定成立。可以把那些身体强壮的、注意自己个人卫生的人排除在外。
（二）、考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，病毒潜伏人群E, 发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治
愈者) 四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s (t )、e (t )、i (t )、r (t )。
（2）、每个病人每天有效接触的平均人数为λ，称为日接触率，当已感染者与易感染者有效接触时，使易感染者变为病毒潜伏人群，病毒潜伏人群过一段时间再转换成发病人群，发病人群被治愈。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为λ(t ) S (t ) ，NI (t ) 个发病者平均每天能使λ(t ) S (t ) NI (t ) 个易感者成为病毒潜伏者。 dS (t ) =-λ(t ) S (t ) NI (t ) 化简得： dt dS (t ) =-λ(t ) S (t ) I (t ) dt
病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入数量减去转化为发病人群的数量，即
dE (t ) =λ(t ) S (t ) I (t ) -α(t ) E (t ) dt 所以有N
其中α(t ) 表示潜伏期日发病率，即每个潜伏者平均有效发病的人数。
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
dR (t ) =ν(t ) I (t ) dt
其中ν(t ) 表示日退出率，即每个病人平均有效病情结束的人数。
发病人群的变化等于潜伏人群转入的数量，即
dI (t ) =α(t ) E (t ) -ν(t ) I (t ) dt
s (t ) +i (t ) +r (t ) =1
初始时刻易感染者，已感染者与病愈免疫者的比例分别是
s 0(s 0>0), i 0(i 0>0), r 0=0
3、模型求解
由于潜伏期的人群数量不能确定，所以可视为是易感人群的一部分，因此求解过程跟忽略潜伏期的一样。
四、模型的改进
就如何确定日接触率λ的值。就如何确定日接触率可以进行改进，根据以前的流感疫
情治愈率，加权平均得到值，而不是简单的是一个正比关系。病毒在人群中的传播刚开始阶段一个有一个爆发阶段，该阶段的日接触率 很大，可设为是一个冲激变量。
参考文献：
[1]姜启源 谢金星 叶俊 数学建模（第四版）高等教育出版社
[2]数据来源：美国疾病预防控制中心
甲型H1N1流感传播模型研究
摘要
本文采用了SIR 模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述
近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。
二、问题分析
甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR 模型是比较完整的模型。SIR 模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR 模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：
三、建立模型
（一）、不考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不
考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者) 四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。
（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。
病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈
的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。
（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为λS (t ) ，NI (t ) 个发病者平均每天能使λS (t ) NI (t ) 个易感者成为病毒潜伏者。所以有：
dS (t ) =-λS (t ) I (t ) （1） dt
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
dR (t ) =νI (t ) （2） dt
发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即
dI (t ) =λS (t ) I (t ) -νI (t ) （3） dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别为S 0、R 0（不妨设R 0=0）。
3、模型求解
方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 σ=λ/ν，于是可以求出方程的解为：
i =(s 0+i 0) -s +1
σln s （4） s 0
下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况：
a 、不论初始条件S 0、R 0如何，病人最终将消失，即i ∞=0。
b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程
(s 0+i 0) -s +1ln s =0在(0,1/σ) 内的根。 s 0σ
C 、若s 0>1/σ，则开始有：i (t ) 先增加。当s 0=1/σ时，i (t ) 达到最大值，然后i (t ) 减小且趋于零，s (t ) 则单调减小至s ∞。
d 、若s 0≤1/σ，则i (t ) 单调减小至5，s (t ) 则单调减小至s ∞。
我们发现人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越高，于是σ越
小，所以提高卫生水平和医疗水平有利于传染病的蔓延。
结合美国的具体情况和假设条件进行分析：
根据所得的数据画出美国患病人数变化曲线和治愈人数变化曲线：
根据图形来看，甲型h1n1流感在美国呈现出蔓延的形式，即现在属于s 0>1/σ
λ1.4~1.6之间。现在我们取的情况，即 σ=λ/ν>1/s 0。由假设条件可知的取值范围在
λ=1.6，则表示ν
第一：对每个病人每天有效接触的平均人数估计值偏小。不是简单的成正比关系，应该是成多次方关系，甚至是指数关系。
第二：美国疾病预防与控制中心所得到的数据具有滞后性。
第三：在美国s 0≈0不一定成立。可以把那些身体强壮的、注意自己个人卫生的人排除在外。
（二）、考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，病毒潜伏人群E, 发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治
愈者) 四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s (t )、e (t )、i (t )、r (t )。
（2）、每个病人每天有效接触的平均人数为λ，称为日接触率，当已感染者与易感染者有效接触时，使易感染者变为病毒潜伏人群，病毒潜伏人群过一段时间再转换成发病人群，发病人群被治愈。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为λ(t ) S (t ) ，NI (t ) 个发病者平均每天能使λ(t ) S (t ) NI (t ) 个易感者成为病毒潜伏者。 dS (t ) =-λ(t ) S (t ) NI (t ) 化简得： dt dS (t ) =-λ(t ) S (t ) I (t ) dt
病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入数量减去转化为发病人群的数量，即
dE (t ) =λ(t ) S (t ) I (t ) -α(t ) E (t ) dt 所以有N
其中α(t ) 表示潜伏期日发病率，即每个潜伏者平均有效发病的人数。
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
dR (t ) =ν(t ) I (t ) dt
其中ν(t ) 表示日退出率，即每个病人平均有效病情结束的人数。
发病人群的变化等于潜伏人群转入的数量，即
dI (t ) =α(t ) E (t ) -ν(t ) I (t ) dt
s (t ) +i (t ) +r (t ) =1
初始时刻易感染者，已感染者与病愈免疫者的比例分别是
s 0(s 0>0), i 0(i 0>0), r 0=0
3、模型求解
由于潜伏期的人群数量不能确定，所以可视为是易感人群的一部分，因此求解过程跟忽略潜伏期的一样。
四、模型的改进
就如何确定日接触率λ的值。就如何确定日接触率可以进行改进，根据以前的流感疫
情治愈率，加权平均得到值，而不是简单的是一个正比关系。病毒在人群中的传播刚开始阶段一个有一个爆发阶段，该阶段的日接触率 很大，可设为是一个冲激变量。
参考文献：
[1]姜启源 谢金星 叶俊 数学建模（第四版）高等教育出版社
[2]数据来源：美国疾病预防控制中心