人口增长模型综述
一、引言
当前中国的人口正在以一个较快的速度增长，随着人口的增长，环境和社会的压力正在不断的加大，然而，环境的承载能力是有限的，人口不可能无限制的，故人口最后会趋于一个稳定的数字。世界上大多数国家的人口年龄结构，都是随着人口转变以及社会经济发展，逐渐从年轻型、成年型到老年型转变的。西方发达国家的人口转变是伴随着工业化和现代化逐步深化的渐进过程，经历了大约150多年的时间。我国则是在经济不发达的条件下进行的，且明显带有人为的痕迹，经历着更加迅速的人口转变，人口年龄结构也发生了比较快的变化，即从相对年轻型人口结构，直接转变为相对老年化的人口结构。因此，对于人口的未来趋势的预测将变得尤为重要，产业、服务、环境等方面都依赖于人员，只有对未来人口的发展趋势进行准确的把握，才能够及时地对社会各个部门进行调控，以缓解人口对于社会环境的压力！利用数学建模的知识建立人口增长模型，进而才能够得到较为准确的未来的人口数据。
[1] 然而，何为人口增长模型？人口增长模型就是通过人口现状及对影响人口发
展的各种因素的假设，对未来人口的规模、结构、变动和趋势所做的测算。当前人口老龄化，人口出生率以及人口死亡率等问题已经成为人口问题的焦点问题，同时，对于一个城市或国家的人口预测还必须考虑到移民率等。
二、中国人口增长研究的现状[6]
新中国成立60年来，中国人口发展经历了两个不同的时期：一是实行计划生育政策之前，人口发展处于无计划、自发的高增长时期；二是实行计划生育政策之后，人口发展逐步走向有计划、可控制的平稳增长时期。这两个不同发展时期的区别，不仅表现在出生率、死亡率的变化上，而且还表现在人口发展模式的转变，以及人口年龄结构的变化上。 现如今，中国面临着严峻的人口压力，我们的国家虽然地大物博，然而人均资源占有量确实相当的稀少，因此，解决人口增长问题已经变得迫在眉睫。中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。
当前我国对于人口增长预测的模型主要考虑到了环境所能接受的最大数量，人口出生率，人口死亡率，人口老龄化，以及平均寿命等因素对于未来人口的增长所带来的影响。其中人口老龄化是最近几年中国人口发展出现的新问题。
一般来说，当前普遍是通过莱斯利模型，马尔萨斯模型为基础模型，对其中
的一些影响因素进行限定，对原基础模型进行改进，转变为人口指数模型、阻滞增长模型、莱斯利改进模型等对人口增长情况进行预测。在研究全国人口增长状况时我们一般会只考虑出生率模型、死亡率模型、环境最大承受能力、老龄化模型等主要影响人口增长的模型，对于其与一些影响因素我们会假设他在一段时间内是稳定不变的。这样一来，对于模型的建立难度就大大的减小了，同时对于编程的难度也减小了许多。
然而，当前所建立的人口增长模型只能够涵盖到部分的因素，所以对于未来人口数据的预测人存在一个较大的出入。在模型中，我们对于突发性灾难，医疗水平的上升、人口迁移的数目等因素都没有进行考虑，我们主观的认为这些因素是稳定的，但是在社会发展的过程中，这些因素对于人口的影响还是比较大的。当前所建立的模型尚不足以把这些因素都涵盖其中，这样一来就使得预测人口数据不准确，政府部门就不能够及时的针对问题研究出应对的方案。
三、当前常用的几种模型
在人口增长模型中还有两种最基本的模型，人口指数增长模型【3】、组滞增长模型及莱斯利模型，前者不考虑环境对人口的压制作用，后者将其考虑在内，强调人口是不可能无限制增长的。
1、模型假设
（1）、假设中国在未来会保持长期稳定的局面
（2）、不考虑突发事件（如：传染病暴发、战争等）和因不可抗力（地震、海
啸等）对人口数量造成影响。
（3）、将全中国作为一个独立的人口系统，不考虑迁入和迁出，即不考虑中国
人移居海外和外国人定居中国对人口总数的影响。
（4）、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定
（5）、 假设相同年龄段人口性别比基本稳定。
（6）、 假设计划生育等基本国家政策不变。
（7）、 假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。
2、模型的建立
(1)、指数增长模型[7][8]
最简单的人口增长模型是人们所共知的：记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则xk=x0(1+r)k………………………….(1)
显然这个公式的基本条件是年增长率r保持不变。
模型建立：记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家的人口时x(t)是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻（t=0）的人口为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r乘于x(t)。考虑t到t+△t时间内人口的增量，显然 x(t+△t)-x(t)=rx(t) △t。令△t→0,得到x(t)满足微分方程：dx/dt=rx,x(0)=x0………………………………..(2)
由这个方程容易解出：x(t)=x0ert…………….(3)
r>0时(3)式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。指数增长模型只考虑到了人口的出生率，而不考虑人口的死亡率，同时，认为环境对于人口数量的承载是无限制的，所以此模型的数据与现实数据会差距很大，一般不采用。
(2)、阻滞增长模型[9][10]
模型建立：分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越
来越大，这就是阻滞增长模型。此模型实在指数增长模型的基础上建立的，他考虑了环境对于人口数量的限制，当人口到达一定的数量，环境对于其会产生制约作用，是的人口出现负增长。
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数。于是方程(2)写作：
dx/dt=r(x)x,x(0)=x0………………………………(5)
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即：r(x)=r-sx
(r>0,s>0)………………….(6)
这里称r为固有增长率，表示人口很少时(理论上是x=0)的增长率。为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能最大人口数量xm,称为人口容量。当x=xm时人口不再增长，即增长率r(xm)=0，代入(6)式得s=r/xm,于是(6)式为：
r(x)=r(1-x/xm)……………………………..(7)
(7)式的另一种解释为，增长r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm-x)/xm成正比，比例系数为固有增长率r。
将(7)式代入方程（5）得：dx/dt=rx(1-x/xm),r(0)=x0……………………..(8)
方程(8)右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子(1-x/x0)则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。
（3）、莱斯利模型[5][6][11]
莱斯利模型：科学家Leslie P.H在1945年引进一种数学方法，利用某一初始时刻种群的年龄结构现状，动态的预测种群年龄结构及数量随时间的演变过程。
依种群个体的生理特征，将其最大寿命年龄等距分成m个年龄组，然后讨论不同时间种群按年龄的分布，股时间也离散化为t=0,1,2,…其间隔与年龄组的间隔时间相同。t=0对应于初始时刻
设开始时（t=0）第i个年龄组内的个体数为ni(0)，i=0,1,2,…,m。则向量
N(0)[n1(0),n2(0),...,nm(0)] T
称为初始年龄结构向量。
第i年龄组的生殖率为fi（0）i=1,2,…,m;生存率Si（>0）,i=1,2,…,m-1.则相邻两个时段间，各年龄组个体数ni有如下迭代关系：
m
n1(t1)f1.n1(t)f2.n2(t)...fm.nm(t)
i1ft.nt(t) （1）
ni(t1)Si1.ni1(t) i=2,3,…,m （2）
做矩阵M，记N(t)[n1(t),n2(t),...,nm(t)]T，则（1）、（2）式联合表示为
N(t1)MN( t ) （3）
进而，当M、N(0)已知时，对任意的t=1,2,,…有
N(t)MN(0 )
在莱斯利模型的基础上，考虑人口死亡率、出生率、老龄化、平均寿命、环境影响等因素对于人口增长的影响，进而对莱斯利模型进行改进，是当前对未来人口预测最有效的一种方法，其预测结果较之指数增长模型，阻滞增长模型都要准确的多。
三、评价
1、优点
模型自身是一个离散型模型，容易使用计算机对模型进行相关的处理和分析，一般数据会按照年龄和年份等离散型形式给出，采用离散型模型，简化了计算机模型的难度。
中短期模型是依据莱斯利模型建立起来的，采用莱斯利模型能够更好的利用按年份的特点，同时，预测结果能够更好的体现年龄的特点，故此，能够更好的分析老龄化的问题。同时，对于人口预测比其他模型更注意人口本身的结构，而非只是一味的数学公式的推导和演算，便于解释一些人口由于受到某些因素的影响而出现畸形金字塔后的人口发展状况，较为密切的配合人口发展曲线。
2、缺点
但是模型中还是从在一定的缺陷，我们在建立模型的过程中，忽略了生育率和死亡率随时间的变化，而是认为它在短期内保持相对稳定。当实际上死亡率在逐渐下降，而生育率则可能受到多种因素的影响。
参考文献：
[1]、赵静，但琦. 数学建模与数学实验（第2版） 北京：高等教育出版社,2005。
[2]、谭永基，蔡志杰. 数学模型，上海：复旦大学出版社，2005。 [3]、洪毅，林毅良，陶志穗. 数学模型 北京：高等教育出版社。
[4] 陈强，人口系统模型及人口状况分析，中国优秀硕士学位论文，2004.9。
[5] 虞丽萍，人口年龄结构模型建模和预测，中国优秀硕士学位论文，2007。
[6]、于学军，王宁，王广州，我国人口发展战略的研究、问题和现状。
[7]、刘红，人口增长模型的对比分析及应用，2010.8。
[8]、郑瑶，改进的逻辑斯蒂模型与我国人口增长规律的实证，2008.6。
[9]、李秋红、何先平，数学模型在人口增长中的应用。
[10]、李辉，张从军，最优人口规模模型及实证分析。
[11]、高成昌、李怡然，王移，中国人口增长的评价预测模型。
人口增长模型综述
一、引言
当前中国的人口正在以一个较快的速度增长，随着人口的增长，环境和社会的压力正在不断的加大，然而，环境的承载能力是有限的，人口不可能无限制的，故人口最后会趋于一个稳定的数字。世界上大多数国家的人口年龄结构，都是随着人口转变以及社会经济发展，逐渐从年轻型、成年型到老年型转变的。西方发达国家的人口转变是伴随着工业化和现代化逐步深化的渐进过程，经历了大约150多年的时间。我国则是在经济不发达的条件下进行的，且明显带有人为的痕迹，经历着更加迅速的人口转变，人口年龄结构也发生了比较快的变化，即从相对年轻型人口结构，直接转变为相对老年化的人口结构。因此，对于人口的未来趋势的预测将变得尤为重要，产业、服务、环境等方面都依赖于人员，只有对未来人口的发展趋势进行准确的把握，才能够及时地对社会各个部门进行调控，以缓解人口对于社会环境的压力！利用数学建模的知识建立人口增长模型，进而才能够得到较为准确的未来的人口数据。
[1] 然而，何为人口增长模型？人口增长模型就是通过人口现状及对影响人口发
展的各种因素的假设，对未来人口的规模、结构、变动和趋势所做的测算。当前人口老龄化，人口出生率以及人口死亡率等问题已经成为人口问题的焦点问题，同时，对于一个城市或国家的人口预测还必须考虑到移民率等。
二、中国人口增长研究的现状[6]
新中国成立60年来，中国人口发展经历了两个不同的时期：一是实行计划生育政策之前，人口发展处于无计划、自发的高增长时期；二是实行计划生育政策之后，人口发展逐步走向有计划、可控制的平稳增长时期。这两个不同发展时期的区别，不仅表现在出生率、死亡率的变化上，而且还表现在人口发展模式的转变，以及人口年龄结构的变化上。 现如今，中国面临着严峻的人口压力，我们的国家虽然地大物博，然而人均资源占有量确实相当的稀少，因此，解决人口增长问题已经变得迫在眉睫。中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。
当前我国对于人口增长预测的模型主要考虑到了环境所能接受的最大数量，人口出生率，人口死亡率，人口老龄化，以及平均寿命等因素对于未来人口的增长所带来的影响。其中人口老龄化是最近几年中国人口发展出现的新问题。
一般来说，当前普遍是通过莱斯利模型，马尔萨斯模型为基础模型，对其中
的一些影响因素进行限定，对原基础模型进行改进，转变为人口指数模型、阻滞增长模型、莱斯利改进模型等对人口增长情况进行预测。在研究全国人口增长状况时我们一般会只考虑出生率模型、死亡率模型、环境最大承受能力、老龄化模型等主要影响人口增长的模型，对于其与一些影响因素我们会假设他在一段时间内是稳定不变的。这样一来，对于模型的建立难度就大大的减小了，同时对于编程的难度也减小了许多。
然而，当前所建立的人口增长模型只能够涵盖到部分的因素，所以对于未来人口数据的预测人存在一个较大的出入。在模型中，我们对于突发性灾难，医疗水平的上升、人口迁移的数目等因素都没有进行考虑，我们主观的认为这些因素是稳定的，但是在社会发展的过程中，这些因素对于人口的影响还是比较大的。当前所建立的模型尚不足以把这些因素都涵盖其中，这样一来就使得预测人口数据不准确，政府部门就不能够及时的针对问题研究出应对的方案。
三、当前常用的几种模型
在人口增长模型中还有两种最基本的模型，人口指数增长模型【3】、组滞增长模型及莱斯利模型，前者不考虑环境对人口的压制作用，后者将其考虑在内，强调人口是不可能无限制增长的。
1、模型假设
（1）、假设中国在未来会保持长期稳定的局面
（2）、不考虑突发事件（如：传染病暴发、战争等）和因不可抗力（地震、海
啸等）对人口数量造成影响。
（3）、将全中国作为一个独立的人口系统，不考虑迁入和迁出，即不考虑中国
人移居海外和外国人定居中国对人口总数的影响。
（4）、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定
（5）、 假设相同年龄段人口性别比基本稳定。
（6）、 假设计划生育等基本国家政策不变。
（7）、 假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。
2、模型的建立
(1)、指数增长模型[7][8]
最简单的人口增长模型是人们所共知的：记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则xk=x0(1+r)k………………………….(1)
显然这个公式的基本条件是年增长率r保持不变。
模型建立：记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家的人口时x(t)是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻（t=0）的人口为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r乘于x(t)。考虑t到t+△t时间内人口的增量，显然 x(t+△t)-x(t)=rx(t) △t。令△t→0,得到x(t)满足微分方程：dx/dt=rx,x(0)=x0………………………………..(2)
由这个方程容易解出：x(t)=x0ert…………….(3)
r>0时(3)式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。指数增长模型只考虑到了人口的出生率，而不考虑人口的死亡率，同时，认为环境对于人口数量的承载是无限制的，所以此模型的数据与现实数据会差距很大，一般不采用。
(2)、阻滞增长模型[9][10]
模型建立：分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越
来越大，这就是阻滞增长模型。此模型实在指数增长模型的基础上建立的，他考虑了环境对于人口数量的限制，当人口到达一定的数量，环境对于其会产生制约作用，是的人口出现负增长。
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数。于是方程(2)写作：
dx/dt=r(x)x,x(0)=x0………………………………(5)
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即：r(x)=r-sx
(r>0,s>0)………………….(6)
这里称r为固有增长率，表示人口很少时(理论上是x=0)的增长率。为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能最大人口数量xm,称为人口容量。当x=xm时人口不再增长，即增长率r(xm)=0，代入(6)式得s=r/xm,于是(6)式为：
r(x)=r(1-x/xm)……………………………..(7)
(7)式的另一种解释为，增长r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm-x)/xm成正比，比例系数为固有增长率r。
将(7)式代入方程（5）得：dx/dt=rx(1-x/xm),r(0)=x0……………………..(8)
方程(8)右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子(1-x/x0)则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。
（3）、莱斯利模型[5][6][11]
莱斯利模型：科学家Leslie P.H在1945年引进一种数学方法，利用某一初始时刻种群的年龄结构现状，动态的预测种群年龄结构及数量随时间的演变过程。
依种群个体的生理特征，将其最大寿命年龄等距分成m个年龄组，然后讨论不同时间种群按年龄的分布，股时间也离散化为t=0,1,2,…其间隔与年龄组的间隔时间相同。t=0对应于初始时刻
设开始时（t=0）第i个年龄组内的个体数为ni(0)，i=0,1,2,…,m。则向量
N(0)[n1(0),n2(0),...,nm(0)] T
称为初始年龄结构向量。
第i年龄组的生殖率为fi（0）i=1,2,…,m;生存率Si（>0）,i=1,2,…,m-1.则相邻两个时段间，各年龄组个体数ni有如下迭代关系：
m
n1(t1)f1.n1(t)f2.n2(t)...fm.nm(t)
i1ft.nt(t) （1）
ni(t1)Si1.ni1(t) i=2,3,…,m （2）
做矩阵M，记N(t)[n1(t),n2(t),...,nm(t)]T，则（1）、（2）式联合表示为
N(t1)MN( t ) （3）
进而，当M、N(0)已知时，对任意的t=1,2,,…有
N(t)MN(0 )
在莱斯利模型的基础上，考虑人口死亡率、出生率、老龄化、平均寿命、环境影响等因素对于人口增长的影响，进而对莱斯利模型进行改进，是当前对未来人口预测最有效的一种方法，其预测结果较之指数增长模型，阻滞增长模型都要准确的多。
三、评价
1、优点
模型自身是一个离散型模型，容易使用计算机对模型进行相关的处理和分析，一般数据会按照年龄和年份等离散型形式给出，采用离散型模型，简化了计算机模型的难度。
中短期模型是依据莱斯利模型建立起来的，采用莱斯利模型能够更好的利用按年份的特点，同时，预测结果能够更好的体现年龄的特点，故此，能够更好的分析老龄化的问题。同时，对于人口预测比其他模型更注意人口本身的结构，而非只是一味的数学公式的推导和演算，便于解释一些人口由于受到某些因素的影响而出现畸形金字塔后的人口发展状况，较为密切的配合人口发展曲线。
2、缺点
但是模型中还是从在一定的缺陷，我们在建立模型的过程中，忽略了生育率和死亡率随时间的变化，而是认为它在短期内保持相对稳定。当实际上死亡率在逐渐下降，而生育率则可能受到多种因素的影响。
参考文献：
[1]、赵静，但琦. 数学建模与数学实验（第2版） 北京：高等教育出版社,2005。
[2]、谭永基，蔡志杰. 数学模型，上海：复旦大学出版社，2005。 [3]、洪毅，林毅良，陶志穗. 数学模型 北京：高等教育出版社。
[4] 陈强，人口系统模型及人口状况分析，中国优秀硕士学位论文，2004.9。
[5] 虞丽萍，人口年龄结构模型建模和预测，中国优秀硕士学位论文，2007。
[6]、于学军，王宁，王广州，我国人口发展战略的研究、问题和现状。
[7]、刘红，人口增长模型的对比分析及应用，2010.8。
[8]、郑瑶，改进的逻辑斯蒂模型与我国人口增长规律的实证，2008.6。
[9]、李秋红、何先平，数学模型在人口增长中的应用。
[10]、李辉，张从军，最优人口规模模型及实证分析。
[11]、高成昌、李怡然，王移，中国人口增长的评价预测模型。