找出数列的排列规律

找出数列的排列规律（一）

例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数。

1，2，5，10，17，（ ），（ ），50

分析与解：

这个数列的排列规律是什么？我们逐项分析：

第一项是：1

第二项是：2，211第一项1

第三项是：5，523第二项3

第四项是：10，1055第三项5

„„

可以看出，这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9„„，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：

第一个括号里应填17926；第2个括号里应填261137。

例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：

1，4，7，10„„

问：第100个数是多少？

分析与解：

这个题由于数太多，很难像例1那样递推，我们可以换一种思路：

数列中每相邻两个数的差都是3，我们把这样的数列叫做等差数列。我们把“3”叫做这个等差数列的公差。

观察下面的数列是等差数列吗？如果是，它们的公差是几？

（1）2，3，4，5，6，7„„

（2）5，10，15，20，25，30„„

（3）1，2，4，8，16„„

（4）12，14，16，18，20„„

现在我们结合例2找一找每一项与第一项，公差有什么关系？

第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，„„依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是110013298。 由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：

第一项＋（这项的项数－1）×公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。 试试看：你能求出数列3，5，7，9„„中的第92个数是多少吗？

例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，„„，44，„„，问：44是这列数中的第几个数？ 分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，„„，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。 由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

（这一项－首项）÷公差＋1

这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。 试试看：数列7，11，15，„„195，共有多少个数？

例4. 观察下面的序号和等式，填括号。

序号 等式

1 1236

2 35715

3 581124 4



（ ） 7111533

( )+( )+7983=( )

分析与解：

表中等式的第1个加数是1，3，5，7，9„„，是一个等差数列，公差是2，第二个加数也是一个等差数列，公差是3，第三个加数也是一个等差数列，公差是4，和同样是一个等差数列，公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983，可以根据等差数列的项数公式求出7983是3，7，11，15„„这个等差数列的第几项，也就是序号。79833411996。这样我们就可以分别求出各个等差数列的第1996项是多少了，利用通项公式：

11996123991

21996135987

619961917961

综上所述，括号里应填的数是：

（1996） （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）

例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，„„，问：这个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？

分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律，注意观察这个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为：

单数项：1，3，5，7，„„

双数项：4，8，12，16，„„

显然，它们各自均成等差数列。

为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少，必须先求出它们各自在等差数列中的项数，其中：

第1997个数在等差数列1，3，5，7，„„中是第(19971)2999个数； 第2000个数在等差数列4，8，12，16，„„中是第200021000个数。 所以，第1997个数是1999121997。

第2000个数是41000144000

1. 按规律填数。

（1）1，2，4，（ ），16；

（2）1，4，9，16，（ ），36，49；

（3）0，3，7，12，（ ），25，33；

（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34；

（5）2，7，22，64，193，（ ）。

2. 数列3，6，9，12，15，„„，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），„„，求第100组的三个数之和。

4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，„„；

（2）2，3，5，8，12，16，23，30，„„。

答案：

（1）后一个数是前一个数的2倍：1，2，4，（8），16；

（2）从1开始自然数的平方数：1，4，9，16，（25），36，49；

（3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0，3，7，12，（18），25，33；

（4）前两个数之和等于后面的数：1，1，2，3，5，8，（13），21，34；

（5）后一个数总是前一个数的3倍多1：2，7，22，64，193，（580）。

2. 数列3，6，9，12，15，„„，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

387331129 35013150

答：共有129个数，其中第50个数是150。

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），„„，求第100组的三个数之和。 每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列

每组第2个数是平方数

每组第3个数是立方数

第100组的三个数之和是1001001001010100

4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，„„；

（2）2，3，5，8，12，16，23，30，„„。

答案：

（1）这列数中每一个数都是3的倍数，只有10不是。

（2）这列数中从第2项起，每一项都等于相邻的前一项分别加上1，2，3，4，5，„„，这样第6个数应该是12+5=17，不是16。所以，16是“与众不同”的数。

23

找出数列的排列规律（二）

这一讲我们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方法，解决数学问题。

（一）例题指导

例1. 如果按一定规律排出的加法算式是3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，„„，那么第10个算式是（ ）+（ ）；第80个算式中两个数的和是多少？

分析与解：

第一个加数如下排列：3，5，7，9，11„„，这是一个等差数列，公差是2，第二个加数排列如下：4，9，14，19，24，„„，这也是一个等差数列，公差是5。 根据等差数列的通项公式可以分别求出第10个算式的两个加数。

3101221

4101549

所以第10个算式是2149。

要求第80个算式的和，只要求出第80个算式的两个加数，再相加即可，当然也可以找一找和的规律。

想一想：第几个加法算式中两个数的和是707？

例2. 有一列数：1，2，3，5，8，13，„„，这列数中的第200个数是奇数还是偶数？ 分析与解：要想判断这列数中第200个数是奇还是偶，必须找出这列数中奇、偶数的排列规律。

不难看出，这列数是按照“奇偶奇”的顺序循环重复排列的，即每过3个数循环一次。那么到第200个数一次循环了66次还余2。这说明到第200个数时，已做了66次“奇偶奇”的循环，还余下2个数。也就是说余下的两个数依次为“奇偶”，所以第200个数是偶数。

例3. 下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，„„

问：（1）第1998个算式是（ ）+（ ）；

（2）第（ ）个算式的和是2000。

分析与解：

（1）第1个加数依次为1、2、3、4，1、2、3、4„„每4个数循环一次，重复出现。19984499„„2，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11„„是公差为2的等差数列。根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第2个加数为11998123995，所以第1998个算式是23995。

（2）由于每个算式的第二个加数都是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有1x2000或3x2000。其中x是1、3、5、7、9„„中的某个数。

若1x2000，则x1999。根据等差数列的项数公式得：19991211000，这说明1999是数列1、3、5、7、9„„中的第1000个数，因为10004250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设1x2000矛盾，所

以x1999；

若3x2000，则x1997。与上同理，1997121999，说明1997是等差数列1、3、5、7、9„„中的第999个数，由于9994249„„3，说明第999个算式的第一个加数是3，所以，第999个算式为319972000。

例4. 将1到200的自然数，分成A、B、C三组：

A组：1 6 7 12 13 18„„

B组：2 5 8 11 14 17„„

C组：3 4 9 10 15 16„„

根据分组的规律，请回答：

（1）B组中一共有（ ）个自然数；

（2）A组中第24个数是（ ）；

（3）178是（ ）组里的第（ ）个数。

分析与解：（1）B组中的数成等差数列，其首项是2，公差是3，从整个数表看，竖着数是每3个数一组，因为200366„„2，所以200是B组中的最后一个数，根据等差数列的项数公式。20023167。所以，B组中一共有67个自然数。

（2）观察A组中数的排列规律，由于24是偶数，所以应特别注意偶数位置上的数的排列规律。第几个数就是3的几倍，第24个数就是3的24倍，所以A组第24个数是32472。

（3）观察A、B、C三组数（竖看），每2列为一组（6个数），178629„„4，说明重复29次，还剩下4个数，这4个数重新排列一下可知，178排在C组。每一组含有C组的2个数。最后余下的4个数，在C组又排了2个，所以178在C组中是第292260个数。

（二）尝试体验

1. 如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（ ）颜色的，这种颜色的珠子共有（ ）个。

○●○○○●○○○●○○○„„

2. 有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（ ）色，第140张是（ ）色。

3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（ ）色灯。

4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4+2，5+8，6+14，7+20„„，那么，第100个算式的得数是（ ）。

5. 找规律，按规律填数。

131422„„第1式

3511644„„第2式

5713666„„第3式

„„

25271(

„„)()()„„第13式

(

()()()1()1()100100„„第50式)()()„„第60式

1

23

456

78910

„„„„„„ 6. 自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？

（二）尝试体验

1. 如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（ ）颜色的，这种颜色的珠子共有（ ）个。

○●○○○●○○○●○○○„„

除去第一个珠子，剩下的1021101棵珠子是按照“一黑三白”的次序循环重复的。

1021425„„1

说明循环了25次后还多出一个黑珠子，所以最后一个珠子是黑色的，黑色的珠子共有26个。

2. 有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（ ）色，第140张是（ ）色。

53412

这是按“5红3白4黑”循环排列的，它的循环周期是12。

1581213„„2

1401211„„8

所以最后一张是红色，第140张是白色。

3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（ ）色灯。

把排列的顺序写出来是：白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、„„是按“白、红、黄、绿”循环排列的。

73418„„1

所以第73盏灯一定是白色的。

4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4+2，5+8，6+14，7+20„„，那么，第100个算

式的得数是（ ）。

第一个加数这样排列：4，5，6，7，„„（公差是1的等差数列）

第二个加数这样排列：2，8，14，20，„„（公差是6的等差数列）

根据等差数列的通项公式得：

410011103

210016596

所以，第100个算式的得数是103596699

5. 找规律，按规律填数。

131422„„第1式

3511644„„第2式

5713666„„第3式

„„

25271(

„„)()()„„第13式

(

()()()1()1()100100„„第50式)()()„„第60式„„

第一个等号前的两个因数是两个相邻的奇数，第二个等号后面的因数介于前面两个奇数之间。如第3式：5和7之间只有一个自然数（6）。除此之外，第一个等式的第一个因数是一个公差为2的等差数列（1，3，5，7„„）

根据以上规律可得：

252716762626„„第13式

(99)(101)1(10000)100100„„第50式

第60式中未知数较多，只要求出第一个等号前的第一个因数就好填了。

根据等差数列的通项公式可得：16012119

所以第60式为：119121114400120120

6. 自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？

1

23

456

78910

„„„„

第一行1个数，第二行2个数，第3行有3个数„„，第几行就有几个数，我们先求出到第九行结束一共有多少个数，然后再继续数出5个就可以了。

1234„„89550

所以，第10行的第5个数是50。

减法中的巧算

（一）阅读思考，学会方法

1. 为了掌握减法的性质，必须掌握减法的性质：

（1）一个数减去几个数的和，等于从这个数里依次减去和中的每个加数。 一般的有：abcdabcd

如：2053420534

反之：一个数连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个数的和。 一般的有：abcdabcd

如：2053420534

（2）一个数减去两个数的差，等于从这个数中减去差里的被减数，（不能减的情况下）

再加上差里的减数，或者先加上差里的减数，再减去差里的被减数。

一般的有：abcabc

或：abcacb

例：20532053

20532035

（3）几个数的和减去一个数，等于从任何一个加数里减去这个数（在能减的情况下）再同其余的加数相加。

一般的有：abcdadbc

abdc

abcd

如：206542046527

2064527

2065427

为了帮助同学们记忆，我们可以简要地概括如下：

第一，在连减或加，减混合运算中，如果算式中没有（ ）计算时，可以带着符号“搬家”。

一般情况有：abcacb

abcacb

如：20652056

20652056

第二，在加减混合运算中，如果（ ）的前面是“－”号，那么，去掉括号时，括号内的减号变加号，加号变减号；如果括号的前面是“＋”号，那么，去掉括号时，括号内的

一般有：abcabc

abcabc

如：20652065

20652065

又如：abcabc

abcabc

可以这样想：2065206531

2065206521

根据以上定律，我们要根据题目的特点，运用公式。

例1. 巧算下面各题。

（1）52831396283

（2）43251347325

分析：观察发现两题都可以交换，交换时可利用“带着符号搬家”的性质，使运算简便。

52831396283

52832831996 50001396

6396 4325134732543253251347 400013472653

（5）1825175348

（6）576432176 （3）4328328497 （4）8495495287

分析：发现这四道题都可以利用“去括号”的性质，其中（6）题去括号后，再带着符号“搬家”，这样可使运算简便。

（3）4328328497 （4）8495495287

4328328497

4000497

3503

（5）1825175348 84954952878000287 8287（6）576432176

1825175348

2000348

2348 576432176576176432 400432

832

（7）1242396

（8）1243998

分析：（7）（8）题可先把减数或加数“转化”成整十、整百、整千„„的数，再利用“去括号”的性质进行运算。

（7）1242396 （8）1243998

12424004

124310002 12424004

8424

846124310002224322241

这里应注意：同级运算有“去括号”的性质。反之，同级运算也可以“添括号”，这样有时可使计算简便。总之，通过改变运算顺序和利用运算性质，可使运算简便。

例4. 灵活运用所学知识进行巧算。

400051015„„95100

分析：通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。

400051015„„95100

400051015„„95100

40005100公差202

4000105202

40001050

2950

公差＝（末－首）÷公差＋1

＝（100－5）÷5＋1

＝20

当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。

例5. 计算：83827879808178797784

分析：当许多大小不同而又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千„„的数作为计数的基础，这个数叫做基准数，再把大于基准线的加数写成基准数与某数的和，把小于基准数的加数写成基准数与某数的差的形式，最后再利用加、减混合运算的性质进行简便计算。本题的基准数为80。

解：83827879808178797784

803802802(801)80801

802801803804

8010324

800321421213

800109

800109

801

当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千„„的数做为计数的基础，再找出每个加数与这个数（基准数）的差。大于基准数的作为加数，小于基准数的作为减数，把这些差累计起来。再用基准数乘以加数的个数，加上累计差就是答案。

例6. 130751269106420691002720361798

分析：这道题数字较大，可以用“去括号”的方法解答，然后再用结合律、交换律解答。 原式130751269106420691002720361798

1307520691269106420361002718002

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

13075100252800310018002

231002800310018002

231003100180080022

2000010004

19004

这样的题（1）式中的数要带着前面的运算符号一起移动。第一个数前面作乘号处理。

（2）添（去）括号时乘不变、除变（括号前是除号，括号内的乘号都变除号，而除号则变乘号）。

［答题时间：20分钟］

（二）独立完成

（1）354349357348

（2）608592604593605

（3）437428432425433

（4）434039423841

【试题答案】

（二）独立完成

（1）354349357348

解：原式3504350135073502

35044172

14008

1408

（2）608592604593605

解：原式60086008600460076005

6005475

30002

3002

（3）437428432425433

解：原式43074302430243054303

4305753

21505

2155

（4）434039423841

解：原式40340401402402401

40632403

243

乘法中的巧算

同学们好！我们学习了加、减、连加、连减的混合运算律，可利用加法的运算定律或连减及加减的混合运算的性质进行简便运算。而乘、除法更有着一些巧妙的简便算法，下面共同学习。

（一）学习指导

首先认识乘法交换律：abba

乘法结合律：abcabc

abc

如：5665

567567

或 567

利用这些定律，可以使式题简便，同时可以推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的（整十、整百、整千„„）积，再将这个积与其它因数相乘，有时也可以把某个因数再分解成两个因数，使其中一个因数与其它的乘数的积成为较简单的数，然后再与其它的因数相乘，这样就可以进行巧算。

例1. 用简便方法计算。

（1）16425 （3）12528

（2）125178 （4）2532125

分析：（1）可以将4和25结合起来先乘。这样：

原式16425

16100 1600

（2）可以将125和8相结合起来乘，这样：

原式125817

100017 17000

（3）可以把28变成4×7，再将125和4结合起来先乘：

原式12547

5007 3500

（4）我们先把32变为4×8，再把25和4，125和8结合起来乘：

原式2548125

2548125

1001000

100000

利用乘法分配律，可以使一些题简便：

abcacbc，这个定律可以推广，一般的有abcacbc，如9539353，当两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘，也可以把一个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样计算简便。

例2. 用简便方法计算下面各题。

（1）125108

（2）20425 （3）400425 （4）125798

分析：（1）、（2）题可以直接用乘法分配律去计算。

（1）125108 （2）20425

125101258

12501000

22502025425500100 400

（3）题可以先把4004变为（40004），然后再用分配律计算。

400425

4000425

400025425

100000100

100100

（4）小题可以先把798变为（8002），再运用分配律计算。

125798

1258002

1258001252 100000250

99750

例3. 巧算一个数乘以10，100，1000„„

分析：一个数乘以10，就是在这个数后添0，如：4310430

520105200

当一个数乘以100时，就是在这个数后添00，如：431004300

52010052000

当一个数乘以1000时，就是在这个数后添000，如43100043000

5201000520000 „„

例4. 巧算一个数与99相乘。

分析：先填空，再观察一个数与99相乘的规律。

991991001

9921982002

995495500

 998792

99138

130013

观察发现：“一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数”即可。如果是一个数与999相乘，是否也具有这样的规律呢？请你先填空，再总结规律。

999199910001

9992199820002

99933000

99944

9995

由此得到：几与999相乘，就用几千减去几？

例5. 巧算两位数与11相乘。

分析：1211132

3411374

5311583

4911539

观察上面一组数，发现两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进1。 如：1211132

１２ 12×１１ /\/\ １２ 132１２

１３２

4911539

49

\/

539

方法是：两边一拉，中间相加，满十进1。

例5. 巧算三位数与11相乘。

432114752

７ ５

867119537

５ ３

308113388

３ ８

分析：三位数与11相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”。注意中间是相邻位相加。

练一练：

13411

52911 234511

6811

例6. 巧算两位数与101相乘。

10189 10143

竖式：

１０１ × ４３ ３０３ ４０４ ４３４３ １０１ × ８９ ９０９ ８０８ ８９８９

观察发现“4343、8989”，两位数与101相乘，积是把这个两位数连续写两遍。 练一练：

36101

101391015842101

例7. 巧算三位数与1001相乘。

1001436 1001132

竖式：

１００１

× １３２

２００２

３００３

１００１

１３２１３ ２ １００１ × ４３６ ６００６ ３００３ ４００４ ４３６４３ ６

发现：三位数与1001相乘，积是把这个三位数连续写两遍。

练一练：

4561001 1001782

例8. 根据373111，简算下面各题。

（1）37×6 （5）37×30

（2）37×9 （6）37×24

（3）37×12 （7）37×33

（4）37×15 （8）37×27

分析：我们根据373111，计算下面各题。想37×6中的因数6可以分解为2×3。所以（1）37×6＝37×3×2

＝111×2

＝222

以此类推：

（2）37×9＝37×3×3

＝111×3

＝333

（3）37×12＝37×3×4

＝111×4

＝444

（4）37×15＝37×3×5

＝111×5

＝555

除法中的巧算

（一）学习方法指导

我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。

一般有这样的公式：abanbn

或 anbn

如：123122322464

或 12612262632

例1. 用简便方法计算下列各题。

（1）82525 （2）47700900

分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。

（1）82525 n0

8254254

3300100

33

想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。

（2）47700900

47700100900100

4779

53

看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。

一般公式：abcacbc

abcacbc

如：126212262639

126212262633

这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

例2. 用简便方法计算。

（1）2501655

（2）7022134143

分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。

（1）2501655 （2）7022134143

25051655

5033

83 70232133414323471138 25

除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：

（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。

一般有：abcacb

如：12321223

（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。

一般有：abcacb

或bca

如：1262122636

或：1262621236

例3. 计算下面各题。

（1）52575

（2）12858

分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。

（1）52575 （2）12858

52557

1057

1512885 16580

在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质：

1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

一般公式：abcabc

如：126212621

例5. 简便计算下面各题。

（1）75679

（2）126079

分析：利用以上公式计算，发现（1）被除数÷两个数的积，可以用下面公式计算：

（1）75679 （2）126079

75679

1089 126079126063

20 12

2. 一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。 一般的有：abcabc

如：12621262

例6. 简便计算。

（1）720124

（2）12582

分析：以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。

（1）720124 （2）12582

720124

7203

21601258210002 500

3. 一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。 一般有：abcabc

如：126212624

例7. 简便计算下面各题。

（1）216246

（2）87500010008

分析：这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。

（1）216246 （2）87500010008

216246

2164

54875000100088758 7000

以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。但要注意：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。如：

32497

32497 32463

5„„932497 367

5„„1

例8. 巧算下面各题。

（1）132639 （3）248681724824848

（2）520125 （4）999999

分析：以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。

（1）132639

1326133

1326133

1023

34

这题我们将39分解为39133，然后按性质去做。

（2）520125

52010008

52010008

52081000

651000

65000

此题将125转化为10008125

（3）248681724824848

248681748

24899„„„„„„这一步将99转化为(1001)

2481001

248100248

24552

此题直接利用乘法分配律计算就可以。

（4）999999

10001999

99000999„„„„„„再次转化为101

98901101

98901098901

890109

对接近100的两位数相乘的速算。

接近100的两位数，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。或用乘数减去，100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用100减去被乘数的差与100减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。我们用这种方法计算。

例9. 计算：9891

分析：因为100982„„差对98而言

100919„„差对91而言

所以98989 或91289

2918 2918

所以98918918 98918918

用这种方法，有两种特例需要注意：

特例1. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添0，否则积变成三位数就错了。

如：9698速算为：

100964„„1差

100982„„2差

96294 428

96989408

（注意8前添0）

发现：差、差，用第一个因数－差，再用差×差，最后结果是第一个因数×差的结果做为前两位数，差×差的结果做为后两位数。如果结果为一位数，前面要添0。

特例2. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于10时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。

如：9384速算为：

100937„„1差 1008416„„2差

931677 167112

93847812（注意百位上的1要向前进位）

［答题时间：30分钟］

练习：

（1）9796 （2）9593 （3）9897

（4）9992 （5）8889 （6）9585

【试题答案】

（1）9796

100973„„1差 100964„„2差

97493

3412

97969312

（2）9593

100955„„1差 100937„„2差

95788

5735

95938835

（3）9897

100982„„1差 100973„„2差98395

236

98979506

（4）9992

100991„„1差 100928„„2差

99891

188

99929108

（5）8889

1008812„„1差

1008911„„2差 881177

1112132

88897832

（6）9585 100955„„1差

1008515„„2差 951580

15575

98858075

找出数列的排列规律（一）

例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数。

1，2，5，10，17，（ ），（ ），50

分析与解：

这个数列的排列规律是什么？我们逐项分析：

第一项是：1

第二项是：2，211第一项1

第三项是：5，523第二项3

第四项是：10，1055第三项5

„„

可以看出，这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9„„，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：

第一个括号里应填17926；第2个括号里应填261137。

例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：

1，4，7，10„„

问：第100个数是多少？

分析与解：

这个题由于数太多，很难像例1那样递推，我们可以换一种思路：

数列中每相邻两个数的差都是3，我们把这样的数列叫做等差数列。我们把“3”叫做这个等差数列的公差。

观察下面的数列是等差数列吗？如果是，它们的公差是几？

（1）2，3，4，5，6，7„„

（2）5，10，15，20，25，30„„

（3）1，2，4，8，16„„

（4）12，14，16，18，20„„

现在我们结合例2找一找每一项与第一项，公差有什么关系？

第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，„„依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是110013298。 由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：

第一项＋（这项的项数－1）×公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。 试试看：你能求出数列3，5，7，9„„中的第92个数是多少吗？

例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，„„，44，„„，问：44是这列数中的第几个数？ 分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，„„，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。 由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

（这一项－首项）÷公差＋1

这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。 试试看：数列7，11，15，„„195，共有多少个数？

例4. 观察下面的序号和等式，填括号。

序号 等式

1 1236

2 35715

3 581124 4



（ ） 7111533

( )+( )+7983=( )

分析与解：

表中等式的第1个加数是1，3，5，7，9„„，是一个等差数列，公差是2，第二个加数也是一个等差数列，公差是3，第三个加数也是一个等差数列，公差是4，和同样是一个等差数列，公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983，可以根据等差数列的项数公式求出7983是3，7，11，15„„这个等差数列的第几项，也就是序号。79833411996。这样我们就可以分别求出各个等差数列的第1996项是多少了，利用通项公式：

11996123991

21996135987

619961917961

综上所述，括号里应填的数是：

（1996） （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）

例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，„„，问：这个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？

分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律，注意观察这个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为：

单数项：1，3，5，7，„„

双数项：4，8，12，16，„„

显然，它们各自均成等差数列。

为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少，必须先求出它们各自在等差数列中的项数，其中：

第1997个数在等差数列1，3，5，7，„„中是第(19971)2999个数； 第2000个数在等差数列4，8，12，16，„„中是第200021000个数。 所以，第1997个数是1999121997。

第2000个数是41000144000

1. 按规律填数。

（1）1，2，4，（ ），16；

（2）1，4，9，16，（ ），36，49；

（3）0，3，7，12，（ ），25，33；

（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34；

（5）2，7，22，64，193，（ ）。

2. 数列3，6，9，12，15，„„，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），„„，求第100组的三个数之和。

4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，„„；

（2）2，3，5，8，12，16，23，30，„„。

答案：

（1）后一个数是前一个数的2倍：1，2，4，（8），16；

（2）从1开始自然数的平方数：1，4，9，16，（25），36，49；

（3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0，3，7，12，（18），25，33；

（4）前两个数之和等于后面的数：1，1，2，3，5，8，（13），21，34；

（5）后一个数总是前一个数的3倍多1：2，7，22，64，193，（580）。

2. 数列3，6，9，12，15，„„，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

387331129 35013150

答：共有129个数，其中第50个数是150。

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），„„，求第100组的三个数之和。 每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列

每组第2个数是平方数

每组第3个数是立方数

第100组的三个数之和是1001001001010100

4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，„„；

（2）2，3，5，8，12，16，23，30，„„。

答案：

（1）这列数中每一个数都是3的倍数，只有10不是。

（2）这列数中从第2项起，每一项都等于相邻的前一项分别加上1，2，3，4，5，„„，这样第6个数应该是12+5=17，不是16。所以，16是“与众不同”的数。

23

找出数列的排列规律（二）

这一讲我们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方法，解决数学问题。

（一）例题指导

例1. 如果按一定规律排出的加法算式是3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，„„，那么第10个算式是（ ）+（ ）；第80个算式中两个数的和是多少？

分析与解：

第一个加数如下排列：3，5，7，9，11„„，这是一个等差数列，公差是2，第二个加数排列如下：4，9，14，19，24，„„，这也是一个等差数列，公差是5。 根据等差数列的通项公式可以分别求出第10个算式的两个加数。

3101221

4101549

所以第10个算式是2149。

要求第80个算式的和，只要求出第80个算式的两个加数，再相加即可，当然也可以找一找和的规律。

想一想：第几个加法算式中两个数的和是707？

例2. 有一列数：1，2，3，5，8，13，„„，这列数中的第200个数是奇数还是偶数？ 分析与解：要想判断这列数中第200个数是奇还是偶，必须找出这列数中奇、偶数的排列规律。

不难看出，这列数是按照“奇偶奇”的顺序循环重复排列的，即每过3个数循环一次。那么到第200个数一次循环了66次还余2。这说明到第200个数时，已做了66次“奇偶奇”的循环，还余下2个数。也就是说余下的两个数依次为“奇偶”，所以第200个数是偶数。

例3. 下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，„„

问：（1）第1998个算式是（ ）+（ ）；

（2）第（ ）个算式的和是2000。

分析与解：

（1）第1个加数依次为1、2、3、4，1、2、3、4„„每4个数循环一次，重复出现。19984499„„2，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11„„是公差为2的等差数列。根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第2个加数为11998123995，所以第1998个算式是23995。

（2）由于每个算式的第二个加数都是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有1x2000或3x2000。其中x是1、3、5、7、9„„中的某个数。

若1x2000，则x1999。根据等差数列的项数公式得：19991211000，这说明1999是数列1、3、5、7、9„„中的第1000个数，因为10004250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设1x2000矛盾，所

以x1999；

若3x2000，则x1997。与上同理，1997121999，说明1997是等差数列1、3、5、7、9„„中的第999个数，由于9994249„„3，说明第999个算式的第一个加数是3，所以，第999个算式为319972000。

例4. 将1到200的自然数，分成A、B、C三组：

A组：1 6 7 12 13 18„„

B组：2 5 8 11 14 17„„

C组：3 4 9 10 15 16„„

根据分组的规律，请回答：

（1）B组中一共有（ ）个自然数；

（2）A组中第24个数是（ ）；

（3）178是（ ）组里的第（ ）个数。

分析与解：（1）B组中的数成等差数列，其首项是2，公差是3，从整个数表看，竖着数是每3个数一组，因为200366„„2，所以200是B组中的最后一个数，根据等差数列的项数公式。20023167。所以，B组中一共有67个自然数。

（2）观察A组中数的排列规律，由于24是偶数，所以应特别注意偶数位置上的数的排列规律。第几个数就是3的几倍，第24个数就是3的24倍，所以A组第24个数是32472。

（3）观察A、B、C三组数（竖看），每2列为一组（6个数），178629„„4，说明重复29次，还剩下4个数，这4个数重新排列一下可知，178排在C组。每一组含有C组的2个数。最后余下的4个数，在C组又排了2个，所以178在C组中是第292260个数。

（二）尝试体验

1. 如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（ ）颜色的，这种颜色的珠子共有（ ）个。

○●○○○●○○○●○○○„„

2. 有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（ ）色，第140张是（ ）色。

3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（ ）色灯。

4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4+2，5+8，6+14，7+20„„，那么，第100个算式的得数是（ ）。

5. 找规律，按规律填数。

131422„„第1式

3511644„„第2式

5713666„„第3式

„„

25271(

„„)()()„„第13式

(

()()()1()1()100100„„第50式)()()„„第60式

1

23

456

78910

„„„„„„ 6. 自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？

（二）尝试体验

1. 如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（ ）颜色的，这种颜色的珠子共有（ ）个。

○●○○○●○○○●○○○„„

除去第一个珠子，剩下的1021101棵珠子是按照“一黑三白”的次序循环重复的。

1021425„„1

说明循环了25次后还多出一个黑珠子，所以最后一个珠子是黑色的，黑色的珠子共有26个。

2. 有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（ ）色，第140张是（ ）色。

53412

这是按“5红3白4黑”循环排列的，它的循环周期是12。

1581213„„2

1401211„„8

所以最后一张是红色，第140张是白色。

3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（ ）色灯。

把排列的顺序写出来是：白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、„„是按“白、红、黄、绿”循环排列的。

73418„„1

所以第73盏灯一定是白色的。

4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4+2，5+8，6+14，7+20„„，那么，第100个算

式的得数是（ ）。

第一个加数这样排列：4，5，6，7，„„（公差是1的等差数列）

第二个加数这样排列：2，8，14，20，„„（公差是6的等差数列）

根据等差数列的通项公式得：

410011103

210016596

所以，第100个算式的得数是103596699

5. 找规律，按规律填数。

131422„„第1式

3511644„„第2式

5713666„„第3式

„„

25271(

„„)()()„„第13式

(

()()()1()1()100100„„第50式)()()„„第60式„„

第一个等号前的两个因数是两个相邻的奇数，第二个等号后面的因数介于前面两个奇数之间。如第3式：5和7之间只有一个自然数（6）。除此之外，第一个等式的第一个因数是一个公差为2的等差数列（1，3，5，7„„）

根据以上规律可得：

252716762626„„第13式

(99)(101)1(10000)100100„„第50式

第60式中未知数较多，只要求出第一个等号前的第一个因数就好填了。

根据等差数列的通项公式可得：16012119

所以第60式为：119121114400120120

6. 自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？

1

23

456

78910

„„„„

第一行1个数，第二行2个数，第3行有3个数„„，第几行就有几个数，我们先求出到第九行结束一共有多少个数，然后再继续数出5个就可以了。

1234„„89550

所以，第10行的第5个数是50。

减法中的巧算

（一）阅读思考，学会方法

1. 为了掌握减法的性质，必须掌握减法的性质：

（1）一个数减去几个数的和，等于从这个数里依次减去和中的每个加数。 一般的有：abcdabcd

如：2053420534

反之：一个数连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个数的和。 一般的有：abcdabcd

如：2053420534

（2）一个数减去两个数的差，等于从这个数中减去差里的被减数，（不能减的情况下）

再加上差里的减数，或者先加上差里的减数，再减去差里的被减数。

一般的有：abcabc

或：abcacb

例：20532053

20532035

（3）几个数的和减去一个数，等于从任何一个加数里减去这个数（在能减的情况下）再同其余的加数相加。

一般的有：abcdadbc

abdc

abcd

如：206542046527

2064527

2065427

为了帮助同学们记忆，我们可以简要地概括如下：

第一，在连减或加，减混合运算中，如果算式中没有（ ）计算时，可以带着符号“搬家”。

一般情况有：abcacb

abcacb

如：20652056

20652056

第二，在加减混合运算中，如果（ ）的前面是“－”号，那么，去掉括号时，括号内的减号变加号，加号变减号；如果括号的前面是“＋”号，那么，去掉括号时，括号内的

一般有：abcabc

abcabc

如：20652065

20652065

又如：abcabc

abcabc

可以这样想：2065206531

2065206521

根据以上定律，我们要根据题目的特点，运用公式。

例1. 巧算下面各题。

（1）52831396283

（2）43251347325

分析：观察发现两题都可以交换，交换时可利用“带着符号搬家”的性质，使运算简便。

52831396283

52832831996 50001396

6396 4325134732543253251347 400013472653

（5）1825175348

（6）576432176 （3）4328328497 （4）8495495287

分析：发现这四道题都可以利用“去括号”的性质，其中（6）题去括号后，再带着符号“搬家”，这样可使运算简便。

（3）4328328497 （4）8495495287

4328328497

4000497

3503

（5）1825175348 84954952878000287 8287（6）576432176

1825175348

2000348

2348 576432176576176432 400432

832

（7）1242396

（8）1243998

分析：（7）（8）题可先把减数或加数“转化”成整十、整百、整千„„的数，再利用“去括号”的性质进行运算。

（7）1242396 （8）1243998

12424004

124310002 12424004

8424

846124310002224322241

这里应注意：同级运算有“去括号”的性质。反之，同级运算也可以“添括号”，这样有时可使计算简便。总之，通过改变运算顺序和利用运算性质，可使运算简便。

例4. 灵活运用所学知识进行巧算。

400051015„„95100

分析：通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。

400051015„„95100

400051015„„95100

40005100公差202

4000105202

40001050

2950

公差＝（末－首）÷公差＋1

＝（100－5）÷5＋1

＝20

当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。

例5. 计算：83827879808178797784

分析：当许多大小不同而又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千„„的数作为计数的基础，这个数叫做基准数，再把大于基准线的加数写成基准数与某数的和，把小于基准数的加数写成基准数与某数的差的形式，最后再利用加、减混合运算的性质进行简便计算。本题的基准数为80。

解：83827879808178797784

803802802(801)80801

802801803804

8010324

800321421213

800109

800109

801

当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千„„的数做为计数的基础，再找出每个加数与这个数（基准数）的差。大于基准数的作为加数，小于基准数的作为减数，把这些差累计起来。再用基准数乘以加数的个数，加上累计差就是答案。

例6. 130751269106420691002720361798

分析：这道题数字较大，可以用“去括号”的方法解答，然后再用结合律、交换律解答。 原式130751269106420691002720361798

1307520691269106420361002718002

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

13075100252800310018002

231002800310018002

231003100180080022

2000010004

19004

这样的题（1）式中的数要带着前面的运算符号一起移动。第一个数前面作乘号处理。

（2）添（去）括号时乘不变、除变（括号前是除号，括号内的乘号都变除号，而除号则变乘号）。

［答题时间：20分钟］

（二）独立完成

（1）354349357348

（2）608592604593605

（3）437428432425433

（4）434039423841

【试题答案】

（二）独立完成

（1）354349357348

解：原式3504350135073502

35044172

14008

1408

（2）608592604593605

解：原式60086008600460076005

6005475

30002

3002

（3）437428432425433

解：原式43074302430243054303

4305753

21505

2155

（4）434039423841

解：原式40340401402402401

40632403

243

乘法中的巧算

同学们好！我们学习了加、减、连加、连减的混合运算律，可利用加法的运算定律或连减及加减的混合运算的性质进行简便运算。而乘、除法更有着一些巧妙的简便算法，下面共同学习。

（一）学习指导

首先认识乘法交换律：abba

乘法结合律：abcabc

abc

如：5665

567567

或 567

利用这些定律，可以使式题简便，同时可以推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的（整十、整百、整千„„）积，再将这个积与其它因数相乘，有时也可以把某个因数再分解成两个因数，使其中一个因数与其它的乘数的积成为较简单的数，然后再与其它的因数相乘，这样就可以进行巧算。

例1. 用简便方法计算。

（1）16425 （3）12528

（2）125178 （4）2532125

分析：（1）可以将4和25结合起来先乘。这样：

原式16425

16100 1600

（2）可以将125和8相结合起来乘，这样：

原式125817

100017 17000

（3）可以把28变成4×7，再将125和4结合起来先乘：

原式12547

5007 3500

（4）我们先把32变为4×8，再把25和4，125和8结合起来乘：

原式2548125

2548125

1001000

100000

利用乘法分配律，可以使一些题简便：

abcacbc，这个定律可以推广，一般的有abcacbc，如9539353，当两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘，也可以把一个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样计算简便。

例2. 用简便方法计算下面各题。

（1）125108

（2）20425 （3）400425 （4）125798

分析：（1）、（2）题可以直接用乘法分配律去计算。

（1）125108 （2）20425

125101258

12501000

22502025425500100 400

（3）题可以先把4004变为（40004），然后再用分配律计算。

400425

4000425

400025425

100000100

100100

（4）小题可以先把798变为（8002），再运用分配律计算。

125798

1258002

1258001252 100000250

99750

例3. 巧算一个数乘以10，100，1000„„

分析：一个数乘以10，就是在这个数后添0，如：4310430

520105200

当一个数乘以100时，就是在这个数后添00，如：431004300

52010052000

当一个数乘以1000时，就是在这个数后添000，如43100043000

5201000520000 „„

例4. 巧算一个数与99相乘。

分析：先填空，再观察一个数与99相乘的规律。

991991001

9921982002

995495500

 998792

99138

130013

观察发现：“一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数”即可。如果是一个数与999相乘，是否也具有这样的规律呢？请你先填空，再总结规律。

999199910001

9992199820002

99933000

99944

9995

由此得到：几与999相乘，就用几千减去几？

例5. 巧算两位数与11相乘。

分析：1211132

3411374

5311583

4911539

观察上面一组数，发现两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进1。 如：1211132

１２ 12×１１ /\/\ １２ 132１２

１３２

4911539

49

\/

539

方法是：两边一拉，中间相加，满十进1。

例5. 巧算三位数与11相乘。

432114752

７ ５

867119537

５ ３

308113388

３ ８

分析：三位数与11相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”。注意中间是相邻位相加。

练一练：

13411

52911 234511

6811

例6. 巧算两位数与101相乘。

10189 10143

竖式：

１０１ × ４３ ３０３ ４０４ ４３４３ １０１ × ８９ ９０９ ８０８ ８９８９

观察发现“4343、8989”，两位数与101相乘，积是把这个两位数连续写两遍。 练一练：

36101

101391015842101

例7. 巧算三位数与1001相乘。

1001436 1001132

竖式：

１００１

× １３２

２００２

３００３

１００１

１３２１３ ２ １００１ × ４３６ ６００６ ３００３ ４００４ ４３６４３ ６

发现：三位数与1001相乘，积是把这个三位数连续写两遍。

练一练：

4561001 1001782

例8. 根据373111，简算下面各题。

（1）37×6 （5）37×30

（2）37×9 （6）37×24

（3）37×12 （7）37×33

（4）37×15 （8）37×27

分析：我们根据373111，计算下面各题。想37×6中的因数6可以分解为2×3。所以（1）37×6＝37×3×2

＝111×2

＝222

以此类推：

（2）37×9＝37×3×3

＝111×3

＝333

（3）37×12＝37×3×4

＝111×4

＝444

（4）37×15＝37×3×5

＝111×5

＝555

除法中的巧算

（一）学习方法指导

我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。

一般有这样的公式：abanbn

或 anbn

如：123122322464

或 12612262632

例1. 用简便方法计算下列各题。

（1）82525 （2）47700900

分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。

（1）82525 n0

8254254

3300100

33

想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。

（2）47700900

47700100900100

4779

53

看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。

一般公式：abcacbc

abcacbc

如：126212262639

126212262633

这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

例2. 用简便方法计算。

（1）2501655

（2）7022134143

分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。

（1）2501655 （2）7022134143

25051655

5033

83 70232133414323471138 25

除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：

（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。

一般有：abcacb

如：12321223

（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。

一般有：abcacb

或bca

如：1262122636

或：1262621236

例3. 计算下面各题。

（1）52575

（2）12858

分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。

（1）52575 （2）12858

52557

1057

1512885 16580

在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质：

1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

一般公式：abcabc

如：126212621

例5. 简便计算下面各题。

（1）75679

（2）126079

分析：利用以上公式计算，发现（1）被除数÷两个数的积，可以用下面公式计算：

（1）75679 （2）126079

75679

1089 126079126063

20 12

2. 一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。 一般的有：abcabc

如：12621262

例6. 简便计算。

（1）720124

（2）12582

分析：以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。

（1）720124 （2）12582

720124

7203

21601258210002 500

3. 一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。 一般有：abcabc

如：126212624

例7. 简便计算下面各题。

（1）216246

（2）87500010008

分析：这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。

（1）216246 （2）87500010008

216246

2164

54875000100088758 7000

以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。但要注意：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。如：

32497

32497 32463

5„„932497 367

5„„1

例8. 巧算下面各题。

（1）132639 （3）248681724824848

（2）520125 （4）999999

分析：以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。

（1）132639

1326133

1326133

1023

34

这题我们将39分解为39133，然后按性质去做。

（2）520125

52010008

52010008

52081000

651000

65000

此题将125转化为10008125

（3）248681724824848

248681748

24899„„„„„„这一步将99转化为(1001)

2481001

248100248

24552

此题直接利用乘法分配律计算就可以。

（4）999999

10001999

99000999„„„„„„再次转化为101

98901101

98901098901

890109

对接近100的两位数相乘的速算。

接近100的两位数，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。或用乘数减去，100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用100减去被乘数的差与100减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。我们用这种方法计算。

例9. 计算：9891

分析：因为100982„„差对98而言

100919„„差对91而言

所以98989 或91289

2918 2918

所以98918918 98918918

用这种方法，有两种特例需要注意：

特例1. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添0，否则积变成三位数就错了。

如：9698速算为：

100964„„1差

100982„„2差

96294 428

96989408

（注意8前添0）

发现：差、差，用第一个因数－差，再用差×差，最后结果是第一个因数×差的结果做为前两位数，差×差的结果做为后两位数。如果结果为一位数，前面要添0。

特例2. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于10时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。

如：9384速算为：

100937„„1差 1008416„„2差

931677 167112

93847812（注意百位上的1要向前进位）

［答题时间：30分钟］

练习：

（1）9796 （2）9593 （3）9897

（4）9992 （5）8889 （6）9585

【试题答案】

（1）9796

100973„„1差 100964„„2差

97493

3412

97969312

（2）9593

100955„„1差 100937„„2差

95788

5735

95938835

（3）9897

100982„„1差 100973„„2差98395

236

98979506

（4）9992

100991„„1差 100928„„2差

99891

188

99929108

（5）8889

1008812„„1差

1008911„„2差 881177

1112132

88897832

（6）9585 100955„„1差

1008515„„2差 951580

15575

98858075