数列
一：数列
1. 定义：按照一定的顺序排列的数叫数列
例如： （1）1,2,3,4,5；
（2）1,4,9,16,25；
（3）3,5,7,9,11,13
数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项， 数列中数的个数称为项数.
2. 数列的一般形式可以写成
a 1，a 2，a 3，⋯，a n ⋯，
思考：下标的作用。
3. 通项公式
（1）填空，找规律
项： 2， 5， 10， 17， 26, ( ) , 50 , ... （ ） 序号 1 2 3 4 5 6 7 ... n 总结：如果数列中的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式
【巩固】（一）填空，写出通项公式
（1）1, 3, 5, 7……
。 (2) 2, 4, ( ), 16, 32, ( ), 128⋯⋯ (3)( ), 4, 9, 16, 25, ( ), 49⋯⋯ 1111(4) 1, , ( ), , , ( ) ⋯⋯ 2456
（二）按规律填数
（1）2,6,10,14，（ ）22,26
（2）33,28,23，（ ）13，（ ），3
（3）3,6,12，（ ），48，（ ）192
（4）1,2,4,7，（ ），16,22
（5）23,4,20,6,17,8，（ ），（ ），11,12
（6）1,1,2,3,5,8,13，（ ），34,35
（7）34,21,13,8,5，（ ），2，（ ）
（8）（100,96），（97,98），（91,75），（79，（ ））
（三）根据通项公式写出第1项，第5项
(1) a n =2n +3
。
(2) a n =1 n ＋1
。 思考：数列（1）1,2,3,4,5；（3）3,5,7,9,11,13
数列（1），（3）是按照什么顺序排列起来的
。 二：等差数列：
1. 定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
注意：一定是相邻两项后一项减前一项的差
【巩固】数列：1，2，3，4，5，6，7，8
这是一个（ ）数列，首项是（ ），末项是（ ），项数是（ ）公差是（ ）
2. 等差数列的通项公式：
a 2=a 1+d
a 3=a 2+d =（a 1+d ）+d =a 1+2d
a 4=a 3+d =（a 1+2d ）+d =a 1+3d
-----------
a n = 。
【 巩固】
（1）求等差数列2，5，8，…的第20项。
（2）求等差数列3,8,13,18，---的第38相和第69项
（3）508是等差数列 4，12，20，…的第几项？
(4)已知等差数列第5项是15，第20项式35，求第1项和通项公式
2. 等差数列求和
高斯求和：1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 100 = ？
和=（1+100）×100÷2=
等差数列求和的公式为 ：
和=（首项+末项）×项数÷2
例1 求数列 3,5,7,9,11,13,15,17的和
解：3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×8÷2
=80
【巩固】1. 计算：7+7×2+7×3+……+7×500
2.1＋2＋3＋4＋……＋1000＝
3. 求等差数列5,15,25,……95各项的和。
4. 一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
5、一个等差数列的第一项是5.6, 第六项是20.6, 求它的第四项.
三：兔子数列（斐波那契数列）
数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
你看出是什么规律：【巩固】
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34….. 这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有 个偶数？ 个奇数？第2004个数是 数（奇或偶）？
【解析】 120÷3=40 2004÷3=668
【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？
四：周期数列
周期问题的解决方法
（1）找出排列规律，确定排列周期。
（2）确定排列周期后，用总数除以周期。
①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个
② 如果有余数，即比整数个周期多n 个，那么结果为下一个周期的第n 个。
例1：
（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？
这个数列的周期是2，18÷2=9，所以第18个数是2．
（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列的周期是3，16÷3=5⋅⋅⋅1，所以第16个数是1．
巩固
1.1998个7相乘，积的末位数字是几？
2. 如下表，从左往右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则2015个格子中的数
补充：数列找规律总结
1、顺等差数列，前一个数减去后一个数的差相等。例1,3,5,7,9,…逆等差数列，后一个数减去前一个数的差相等。例如：10,8,6,4, 2…;
2、顺等比数列，即前一个数除以后一个数的商相等。例如：
2,4,8,16,32…;逆等比数列，即后一个数除以前一个数的商相等。例如：1024,512,256,128,…;
3、兔子数列，即单数序号的数字与双数序号的数分别形成规律。例如8，15，10，13，12，11,(14),(9)这里8,10,12,14成规律，15,13,12,11,9成规律；
4、质数数列规律，例如：2,3,5,7,11,(13),(17)....这些数学都为质数；注意：一般考试只有以下一种情况，而且容易出现到小升初考试，要特别注意。
5、“平方数列”、“立方数列”等，例如：平方数列：1、4、9、16、27、64、125、…立方数列：1、8、27、64、81、256、625、…
6、相邻数字差呈现规律。数字之间差呈现等差数列，例如：1、3、7、13、21、31、43、…数字之间差呈现等比数列，例如：1、3、7、15、31、63、…
7、多个数字间呈现规律，裴波那契数列，即任意连续两个数字之和等于第三个数字，例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…任意连续三个数字之和等于第四个数字，例如：1、1、1、3、5、9、17、31、57、105、…
数列
一：数列
1. 定义：按照一定的顺序排列的数叫数列
例如： （1）1,2,3,4,5；
（2）1,4,9,16,25；
（3）3,5,7,9,11,13
数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项， 数列中数的个数称为项数.
2. 数列的一般形式可以写成
a 1，a 2，a 3，⋯，a n ⋯，
思考：下标的作用。
3. 通项公式
（1）填空，找规律
项： 2， 5， 10， 17， 26, ( ) , 50 , ... （ ） 序号 1 2 3 4 5 6 7 ... n 总结：如果数列中的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式
【巩固】（一）填空，写出通项公式
（1）1, 3, 5, 7……
。 (2) 2, 4, ( ), 16, 32, ( ), 128⋯⋯ (3)( ), 4, 9, 16, 25, ( ), 49⋯⋯ 1111(4) 1, , ( ), , , ( ) ⋯⋯ 2456
（二）按规律填数
（1）2,6,10,14，（ ）22,26
（2）33,28,23，（ ）13，（ ），3
（3）3,6,12，（ ），48，（ ）192
（4）1,2,4,7，（ ），16,22
（5）23,4,20,6,17,8，（ ），（ ），11,12
（6）1,1,2,3,5,8,13，（ ），34,35
（7）34,21,13,8,5，（ ），2，（ ）
（8）（100,96），（97,98），（91,75），（79，（ ））
（三）根据通项公式写出第1项，第5项
(1) a n =2n +3
。
(2) a n =1 n ＋1
。 思考：数列（1）1,2,3,4,5；（3）3,5,7,9,11,13
数列（1），（3）是按照什么顺序排列起来的
。 二：等差数列：
1. 定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
注意：一定是相邻两项后一项减前一项的差
【巩固】数列：1，2，3，4，5，6，7，8
这是一个（ ）数列，首项是（ ），末项是（ ），项数是（ ）公差是（ ）
2. 等差数列的通项公式：
a 2=a 1+d
a 3=a 2+d =（a 1+d ）+d =a 1+2d
a 4=a 3+d =（a 1+2d ）+d =a 1+3d
-----------
a n = 。
【 巩固】
（1）求等差数列2，5，8，…的第20项。
（2）求等差数列3,8,13,18，---的第38相和第69项
（3）508是等差数列 4，12，20，…的第几项？
(4)已知等差数列第5项是15，第20项式35，求第1项和通项公式
2. 等差数列求和
高斯求和：1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 100 = ？
和=（1+100）×100÷2=
等差数列求和的公式为 ：
和=（首项+末项）×项数÷2
例1 求数列 3,5,7,9,11,13,15,17的和
解：3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×8÷2
=80
【巩固】1. 计算：7+7×2+7×3+……+7×500
2.1＋2＋3＋4＋……＋1000＝
3. 求等差数列5,15,25,……95各项的和。
4. 一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
5、一个等差数列的第一项是5.6, 第六项是20.6, 求它的第四项.
三：兔子数列（斐波那契数列）
数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
你看出是什么规律：【巩固】
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34….. 这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有 个偶数？ 个奇数？第2004个数是 数（奇或偶）？
【解析】 120÷3=40 2004÷3=668
【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？
四：周期数列
周期问题的解决方法
（1）找出排列规律，确定排列周期。
（2）确定排列周期后，用总数除以周期。
①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个
② 如果有余数，即比整数个周期多n 个，那么结果为下一个周期的第n 个。
例1：
（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？
这个数列的周期是2，18÷2=9，所以第18个数是2．
（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列的周期是3，16÷3=5⋅⋅⋅1，所以第16个数是1．
巩固
1.1998个7相乘，积的末位数字是几？
2. 如下表，从左往右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则2015个格子中的数
补充：数列找规律总结
1、顺等差数列，前一个数减去后一个数的差相等。例1,3,5,7,9,…逆等差数列，后一个数减去前一个数的差相等。例如：10,8,6,4, 2…;
2、顺等比数列，即前一个数除以后一个数的商相等。例如：
2,4,8,16,32…;逆等比数列，即后一个数除以前一个数的商相等。例如：1024,512,256,128,…;
3、兔子数列，即单数序号的数字与双数序号的数分别形成规律。例如8，15，10，13，12，11,(14),(9)这里8,10,12,14成规律，15,13,12,11,9成规律；
4、质数数列规律，例如：2,3,5,7,11,(13),(17)....这些数学都为质数；注意：一般考试只有以下一种情况，而且容易出现到小升初考试，要特别注意。
5、“平方数列”、“立方数列”等，例如：平方数列：1、4、9、16、27、64、125、…立方数列：1、8、27、64、81、256、625、…
6、相邻数字差呈现规律。数字之间差呈现等差数列，例如：1、3、7、13、21、31、43、…数字之间差呈现等比数列，例如：1、3、7、15、31、63、…
7、多个数字间呈现规律，裴波那契数列，即任意连续两个数字之和等于第三个数字，例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…任意连续三个数字之和等于第四个数字，例如：1、1、1、3、5、9、17、31、57、105、…