§1.3.2矩形性质与判定（九年级上数学004）—— 研究课
班级________姓名________
一.学习目标：
1．理解掌握矩形的性质与判定；
2．提高矩形的性质、判定的应用能力．
二．学习重点：矩形的性质、判定的理解和掌握；
学习难点：矩形的性质、判定的综合应用．
三．教学过程
（一）知识梳理1：矩形的定义： ．
矩形的性质： （边）
（角）
（二）反馈练习：
1. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．
2．若矩形的两条对角线的夹角是120°，对角线上为10，则矩形的短边为_____；长边为_____．
3．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是 （ ）
A. 16 B. 22 C. 26 D. 22或26
4．如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A. 98 B. 196 C. 280 D. 284
图1 图2 图3
5. 如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
6. (10 聊城)如图3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（ ）
7121314A． B． C． D．5555
例题精讲
1．矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
§1.3.2矩形的性质和判定
2．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，且EB⊥EC．•若矩形ABCD•的周长为48cm，•则矩形ABCD的面积为_______cm2．
变式一． 若将E点在AD上滑动，始终保持EF⊥EC，一条边始终经过点C
(10 丹东) 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，
DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
D
B
C
思考：若连接BE，你能证明BE是∠ABC的平分线吗？
变式二．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，
结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）当∠CPD＝30°时，求AE的长；
（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；
若不存在，请说明理由．
变式三．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10 cm，宽为4 cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
§1.3.2矩形的性质和判定
知识梳理2：
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；
归纳矩形的判定：1．
2．3．例3.已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．
求证：四边形ABCD是矩形．
例4.在□ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
知识梳理3：
直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6，则它的面积是______________.
思考：①本题需要利用一个结论：___________ __.
②请你写出上面结论的逆命题________ ___ __.
如果是真命题，你能证明吗？如果是假命题，请说明理由.
③请你解决： E 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点. 求证：MN⊥DE.
§1.3.2矩形的性质和判定
课外延伸
1. 四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判断它是矩形的是 （ ）
A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° B.AO=CO，BO=DO，AC=BD
C.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
2．下列说法错误的是 （ ）
A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有两个角是直角的四边形是矩形
3．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是 （ ）
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形
4． (11 鄂州)如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5．如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC．若∠BDF=15°，则∠COF=_______．
6． 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线的交点O作OE⊥BC交AD与E，则AE=_______．
7．请将如图所示的图形面积两等分．
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．
（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．
9.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点，A的坐标为(1，0)，
5对角线的交点P的坐标为，1) 2
⑴ 写出B、C、D三点的坐标；
⑵ 若在线段AB上有一点 E，过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相
等的两部分，求直线的解析式；
⑶ 若过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，并与y轴交
于点M，求M点的坐标．
10.(11 滨州)如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，
过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平
分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：OE＝OF
（2）那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
§1.3.2矩形的性质和判定
§1.3.2矩形性质与判定（九年级上数学004）—— 研究课
班级________姓名________
一.学习目标：
1．理解掌握矩形的性质与判定；
2．提高矩形的性质、判定的应用能力．
二．学习重点：矩形的性质、判定的理解和掌握；
学习难点：矩形的性质、判定的综合应用．
三．教学过程
（一）知识梳理1：矩形的定义： ．
矩形的性质： （边）
（角）
（二）反馈练习：
1. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．
2．若矩形的两条对角线的夹角是120°，对角线上为10，则矩形的短边为_____；长边为_____．
3．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是 （ ）
A. 16 B. 22 C. 26 D. 22或26
4．如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A. 98 B. 196 C. 280 D. 284
图1 图2 图3
5. 如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
6. (10 聊城)如图3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（ ）
7121314A． B． C． D．5555
例题精讲
1．矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
§1.3.2矩形的性质和判定
2．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，且EB⊥EC．•若矩形ABCD•的周长为48cm，•则矩形ABCD的面积为_______cm2．
变式一． 若将E点在AD上滑动，始终保持EF⊥EC，一条边始终经过点C
(10 丹东) 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，
DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
D
B
C
思考：若连接BE，你能证明BE是∠ABC的平分线吗？
变式二．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，
结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）当∠CPD＝30°时，求AE的长；
（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；
若不存在，请说明理由．
变式三．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10 cm，宽为4 cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
§1.3.2矩形的性质和判定
知识梳理2：
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；
归纳矩形的判定：1．
2．3．例3.已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．
求证：四边形ABCD是矩形．
例4.在□ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
知识梳理3：
直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6，则它的面积是______________.
思考：①本题需要利用一个结论：___________ __.
②请你写出上面结论的逆命题________ ___ __.
如果是真命题，你能证明吗？如果是假命题，请说明理由.
③请你解决： E 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点. 求证：MN⊥DE.
§1.3.2矩形的性质和判定
课外延伸
1. 四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判断它是矩形的是 （ ）
A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° B.AO=CO，BO=DO，AC=BD
C.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
2．下列说法错误的是 （ ）
A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有两个角是直角的四边形是矩形
3．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是 （ ）
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形
4． (11 鄂州)如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5．如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC．若∠BDF=15°，则∠COF=_______．
6． 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线的交点O作OE⊥BC交AD与E，则AE=_______．
7．请将如图所示的图形面积两等分．
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．
（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．
9.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点，A的坐标为(1，0)，
5对角线的交点P的坐标为，1) 2
⑴ 写出B、C、D三点的坐标；
⑵ 若在线段AB上有一点 E，过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相
等的两部分，求直线的解析式；
⑶ 若过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，并与y轴交
于点M，求M点的坐标．
10.(11 滨州)如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，
过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平
分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：OE＝OF
（2）那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
§1.3.2矩形的性质和判定