第一章 集合
（一）集合的含义与表示
1. 集合的概念
（1）集合：指定的某些对象的全体称为集合。可以用大写字母表示。
（2）元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素。可以用小写字母表示。 2. 集合中元素的三个特征
（1）确定性：任意一个元素，都可以确定是否属于给定的集合。 （2）互异性：给定一个集合，集合中的元素是各不相同的。 （3）无序性：集合中的元素没有先后顺序。 3. 常用数集及记法
4. 元素与集合的关系
（∈）（∉） 元素与集合之间有属于和不属于两种关系。
（1）对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 两种情况中必有且仅有一种情况成立。 “∈”“∉”（2）符号与表示元素与集合之间的关系。 “∈”“∉”（3）与的开口方向指向集合。 5. 集合的表示法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法。
注：a 与{a }不同：a 表示一个元素，{a }表示一个集合，集合中只有一个元素a 。
{a }{ 要注意此种集合{, b }{, c }}这个集合中，每一个元素都是一个小集合。
（2）描述法：用确定的条件表示默写对象属于一个集合并写在大括号内的方法。
注：描述法中竖线前面的就是这个集合的研究对象。例：集合x x ≤1中研究对象为x 是数，集合
{}
{(x , y y =x }中研究对象为(x , y )是点。
6. 集合的分类
（1）有限集：含有限个元素的集合叫有限集。 （2）无限集：含无限个元素的集合叫无限集。
（3）空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅。
（二）集合的基本关系
1. 子集的定义
一般地，对于两个集合A 与B ，集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 包含于B ”，或“B 包含A ”，
这时我们说集合A 是集合B 的子集。
注：集合A 中有任意一个元素不属于集合B ，那么我们就说集合A 不包含于集合B ，集合B 不包含集合A ，记作A B （或B ⊇，或“B 不包含A ”。 /A ) ，读作“A 不包含于B ”2. 子集的性质
（1）任何一个集合都是它本身的子集； （2）子集具有传递性；
（3）空集是任何集合的子集。
注：元素与集合之间的关系为属于与不属于，集合与集合之间的关系为包含与不包含。
4. 图示法
（1）Venn 图法
我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为V enn 图。用Venn 图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。
如：
表示A ⊆B 。 （2）数轴法
用数轴或数轴上的部分来表示集合的方法叫作数轴法。 5. 子集的个数，非空子集个数，非空真子集个数
若A 中含有n 个元素，则A 的子集个数为2个，A 的非空子集个数为2-1个，
n
(
n
)
A 的真子集个数
(2
n -1)个，A 的非空真子集个数为(2n -2)个。
（三）集合的基本运算
（1）交集的运算性质：
A B =B A , A A =A , A ∅=∅, A B ⊆A , A B ⊆B , 若A ⊆B , 则A B =A . （2）并集的运算性质：
A B =B A , A A =A , A ∅=A , A ⊆A B , B ⊆A B , 若A ⊆B , 则A B =B . （3）补集的运算性质：
A ððU A =U , A U A =∅, 痧U U =∅, ðU ∅=U , 痧U (U A )=A , ðU A
U
B = B ), U (A
痧U A
U
B = B ). U (A
第二章 函 数
（一）生活中的变量关系 （二）对函数的进一步认识
1. 函数的概念：
给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数f (x )与之对应，那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数，记作f :A →B ; 或
y =f (x )，x ∈A . 此时，x 叫作自变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x x ∈A }叫作函数的值域。
2. 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
注意：定义域与值域只能用区间或者集合表示。 3. 函数的表示法：
便于研究函数的性质。⎧解析法→
⎪
有局限性，只能表示有限个元素间的函数关系。 函数的表示法主要有：⎨列表法→
⎪图像法→直观地表示函数的局部变化规律，可预测整体趋势。⎩
4. 分段函数：
在一个函数的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫作分段函数。 5. 映射：
两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有唯一的一个元素y 与它对应，就称这种对应为从A 到B 的映射，记作f :A →B 。A 中的元素x 称为原像，B 中的对应元素y 称为x 的像，记作f :x →y 。
6. 映射与函数的关系
（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于：集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射。
（2）映射不一定是函数，从A 到B 的映射，若A 、B 不为非空数集，则这个映射不是函数。
（三）函数的单调性：
1. 单调函数
（1）单调增函数：在定义域A 中，对于任意的x 1, x 2∈A ，当x 1
（2）单调减函数：在定义域A 中，对于任意的x 1, x 2∈A ，当x 1f (x 2)，则称f (x )在定义域A 内为单调递减函数。 2. 定义法证明函数单调性：
①取值：设x 1, x 2为给定区间内任意的两个数，且x 1
②作差变形：作差f (x 1)-f (x 2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形；
（尽量化为几个简单因式的乘积或完全平方式的和的形式） ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （根据自变量范围，假定大小关系，及符号运算法则判断） ④判断：若x 1f (x 2)异号，则给定函数是递减的。 3. 复合函数单调性的判断法则：
对于y =f [g (x )]型的复合函数，我们令t =g (x )，则可以把它看成由y =f (t )和t =g (x )复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合函数为减函数。即“同增异减”。
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第一章 集合
（一）集合的含义与表示
1. 集合的概念
（1）集合：指定的某些对象的全体称为集合。可以用大写字母表示。
（2）元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素。可以用小写字母表示。 2. 集合中元素的三个特征
（1）确定性：任意一个元素，都可以确定是否属于给定的集合。 （2）互异性：给定一个集合，集合中的元素是各不相同的。 （3）无序性：集合中的元素没有先后顺序。 3. 常用数集及记法
4. 元素与集合的关系
（∈）（∉） 元素与集合之间有属于和不属于两种关系。
（1）对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 两种情况中必有且仅有一种情况成立。 “∈”“∉”（2）符号与表示元素与集合之间的关系。 “∈”“∉”（3）与的开口方向指向集合。 5. 集合的表示法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法。
注：a 与{a }不同：a 表示一个元素，{a }表示一个集合，集合中只有一个元素a 。
{a }{ 要注意此种集合{, b }{, c }}这个集合中，每一个元素都是一个小集合。
（2）描述法：用确定的条件表示默写对象属于一个集合并写在大括号内的方法。
注：描述法中竖线前面的就是这个集合的研究对象。例：集合x x ≤1中研究对象为x 是数，集合
{}
{(x , y y =x }中研究对象为(x , y )是点。
6. 集合的分类
（1）有限集：含有限个元素的集合叫有限集。 （2）无限集：含无限个元素的集合叫无限集。
（3）空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅。
（二）集合的基本关系
1. 子集的定义
一般地，对于两个集合A 与B ，集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 包含于B ”，或“B 包含A ”，
这时我们说集合A 是集合B 的子集。
注：集合A 中有任意一个元素不属于集合B ，那么我们就说集合A 不包含于集合B ，集合B 不包含集合A ，记作A B （或B ⊇，或“B 不包含A ”。 /A ) ，读作“A 不包含于B ”2. 子集的性质
（1）任何一个集合都是它本身的子集； （2）子集具有传递性；
（3）空集是任何集合的子集。
注：元素与集合之间的关系为属于与不属于，集合与集合之间的关系为包含与不包含。
4. 图示法
（1）Venn 图法
我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为V enn 图。用Venn 图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。
如：
表示A ⊆B 。 （2）数轴法
用数轴或数轴上的部分来表示集合的方法叫作数轴法。 5. 子集的个数，非空子集个数，非空真子集个数
若A 中含有n 个元素，则A 的子集个数为2个，A 的非空子集个数为2-1个，
n
(
n
)
A 的真子集个数
(2
n -1)个，A 的非空真子集个数为(2n -2)个。
（三）集合的基本运算
（1）交集的运算性质：
A B =B A , A A =A , A ∅=∅, A B ⊆A , A B ⊆B , 若A ⊆B , 则A B =A . （2）并集的运算性质：
A B =B A , A A =A , A ∅=A , A ⊆A B , B ⊆A B , 若A ⊆B , 则A B =B . （3）补集的运算性质：
A ððU A =U , A U A =∅, 痧U U =∅, ðU ∅=U , 痧U (U A )=A , ðU A
U
B = B ), U (A
痧U A
U
B = B ). U (A
第二章 函 数
（一）生活中的变量关系 （二）对函数的进一步认识
1. 函数的概念：
给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数f (x )与之对应，那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数，记作f :A →B ; 或
y =f (x )，x ∈A . 此时，x 叫作自变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x x ∈A }叫作函数的值域。
2. 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
注意：定义域与值域只能用区间或者集合表示。 3. 函数的表示法：
便于研究函数的性质。⎧解析法→
⎪
有局限性，只能表示有限个元素间的函数关系。 函数的表示法主要有：⎨列表法→
⎪图像法→直观地表示函数的局部变化规律，可预测整体趋势。⎩
4. 分段函数：
在一个函数的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫作分段函数。 5. 映射：
两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有唯一的一个元素y 与它对应，就称这种对应为从A 到B 的映射，记作f :A →B 。A 中的元素x 称为原像，B 中的对应元素y 称为x 的像，记作f :x →y 。
6. 映射与函数的关系
（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于：集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射。
（2）映射不一定是函数，从A 到B 的映射，若A 、B 不为非空数集，则这个映射不是函数。
（三）函数的单调性：
1. 单调函数
（1）单调增函数：在定义域A 中，对于任意的x 1, x 2∈A ，当x 1
（2）单调减函数：在定义域A 中，对于任意的x 1, x 2∈A ，当x 1f (x 2)，则称f (x )在定义域A 内为单调递减函数。 2. 定义法证明函数单调性：
①取值：设x 1, x 2为给定区间内任意的两个数，且x 1
②作差变形：作差f (x 1)-f (x 2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形；
（尽量化为几个简单因式的乘积或完全平方式的和的形式） ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （根据自变量范围，假定大小关系，及符号运算法则判断） ④判断：若x 1f (x 2)异号，则给定函数是递减的。 3. 复合函数单调性的判断法则：
对于y =f [g (x )]型的复合函数，我们令t =g (x )，则可以把它看成由y =f (t )和t =g (x )复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合函数为减函数。即“同增异减”。
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