分离变量法在高考导数题中的运用

昆明市、云南师范大学五华实验中学侯书红

[摘要]在高考导数考题中常涉及求参变量的取值范围问题。对于这类问题常可采用分离参变量来求解。所谓分离变量法就是将参变量分离出来如求参变量α取值范围，先分离出参变量a ，再应用a >f (x ) 恒成立则a >f (x ) max ；或a

f (x ) 的最值。

关键词：求导数；求最值；分离变量法

正文：本文从2010年全国Ⅰ、全国Ⅱ卷中选取文科的两道导数题类谈一谈分离变量法的应用。（值得注意的是：（1）此解法与标准答案所用方法不同；（2）采用此方法全国Ⅰ、Ⅱ卷的考题如同一辄）（2010年全国Ⅰ文科）已知函数f (x ) =3ax 4-2(3a +1) x 2+4x （Ⅰ）当a =时，求f (x ) 的极值；

（Ⅱ）若f (x ) 在（-1，1）上是增函数，求a 的取值范围

[解] （Ⅰ）省略请参考高考答案

（Ⅱ）因为f '(x ) =4(x -1)(3ax 2+3ax -1)

所以当x ∈(-1,1) 时，f (x ) 为增函数当且仅当f '(x ) ≥0

即4(x -1)(3ax 2+3ax -1) 恒大于等于0

2 x -1

即∴3ax 2+3ax -1≤0（分离参变量a ）

11 =3(x 2+x ) 3[(x +1) 2-1]24

1211易知x ∈(-1,1) 时，ϕ(x ) =(x +) -的最大值为2，最小值为- 24441f (x ) max ≤a ≤f (x ) min 即-≤a ≤ 36

41亦即a 的取值范围是[-, ] 36得a ≤

[2010年全国Ⅱ文科]已知函数f (x ) =x 3-3ax 2+3x +1 （Ⅰ）设a =2，求f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）若f (x ) 在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）可参见高考标准答案（Ⅱ）因为f '(x ) =3x 2-6ax +3 若f (x ) 在x ∈(2,3)中至少有一个极值点当且仅当方程f '(x ) =0至少有一个实数根所以由3x 2-6ax +3=0分离变量a 得：a =(x +) 由于ϕ(x ) =x +是对钩函数易知x ∈(2,3)时，ϕ(x ) 总是单调递增. ∴ϕ(x ) max

55∴a 的取值范围是（, ） 34121x 1x

分离变量法在高考导数题中的运用

昆明市、云南师范大学五华实验中学侯书红

f (x ) 的最值。

关键词：求导数；求最值；分离变量法

（Ⅱ）若f (x ) 在（-1，1）上是增函数，求a 的取值范围

[解] （Ⅰ）省略请参考高考答案

（Ⅱ）因为f '(x ) =4(x -1)(3ax 2+3ax -1)

所以当x ∈(-1,1) 时，f (x ) 为增函数当且仅当f '(x ) ≥0

即4(x -1)(3ax 2+3ax -1) 恒大于等于0

2 x -1

即∴3ax 2+3ax -1≤0（分离参变量a ）

11 =3(x 2+x ) 3[(x +1) 2-1]24

1211易知x ∈(-1,1) 时，ϕ(x ) =(x +) -的最大值为2，最小值为- 24441f (x ) max ≤a ≤f (x ) min 即-≤a ≤ 36

41亦即a 的取值范围是[-, ] 36得a ≤

55∴a 的取值范围是（, ） 34121x 1x

分离变量法在高考导数题中的运用

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