高考数学模拟试题 (一)
一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.）
1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（ ）
A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7} B. {x|-4＜x≤-2或 3≤x＜7 } C.{x|x≤-2或x＞3 } D. {x|x＜-2或x≥3}
2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（ ）
A.2-i B.-2+i C.i D.2
3.若，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（ ）
A.向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C.向左平移个单位
D. 向右平移个单位
（ ）
5. 如图，是一程序框图，则输出结果中
A. B.
C. D.
6．平面的一个充分不必要条件是（ ）
A.存在一条直线 B.存在一个平面
C.存在一个平面 D.存在一条直线
7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线长轴长为（ ）
有且仅有一个交点，则椭圆的
A． B． C． D．
8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则p的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A.外心 B. 重心 C.内心 D. 垂心
9.设{an}是等差数列，从{a1,a2,a3,„,a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有 （ ）
A．90个 B．120个 C．180个 D．200个 10．下列说法正确的是 ( )
A．“x=1”是“x=1”的充分不必要条件 B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
2
C．命题“使得”的否定是：“ 均有”
D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题
11.设等比数列的公比q=2， 前n项和为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
12．设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2 B．-2 C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案直接填在题中的横线上.）
13. 已知
最小值 ．
，，则的
14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得几何体的表面积为 ． 15. 已知
(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+„+(1+x)n=a0+a1x+a2x+„+anxn，若a1+a2+„+an-1=29-n,则自然数n等于 ． 16.有以下几个命题：
①曲线x2-(y+1)2=1按a=(-1,2)平移可得曲线(x+1)-(y+3)=1
2
2
②与直线相交，所得弦长为2
③设A、B为两个定点，m为常数，，则动点P的轨迹为椭圆
④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的
对称点M的轨迹是圆
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
求函数y=7-4sinxcosx+4cosx-4cosx的最大值与最小值. 18.（本小题满分12分）
同时抛掷3个正方体骰子，各个面上分别标以数（1，2，3，4，5，6），出现向上的三个数的积被4整除的事件记为A.
（1）求事件A发生的概率P(A)；
（2）这个试验重复做3次，求事件A至少发生2次的概率； （3）这个试验反复做6次，求事件A发生次数ξ的数学期望. 19.（本小题满分12分）
如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点，AO交BD于E. (1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面PAD⊥平面PAB； (3)求二面角P-DC-B. 20. （本小题满分12分）
如图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程. 21.（本小题满分12分）
2
4
已知函数切点的横坐标为1.
的图象与直线相切，
（1）求函数f(x)的表达式和直线的方程；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（
3）若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）
[几何证明选讲]如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，求证：
（1）∽；
（2）EF＝FG.
23.[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）.
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求PQ中点M到直线
（t为参数）距离的最小值.
24.【不等式选讲】
解不等式：
参考答案
1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B 13. 3 14. 12π 15.4 16.④ 17．解：
y=7-4sinxcosx+4cosx-4cosx =7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x) =7-2sin2x+4cos2xsin2x =7-2sin2x+sin22x =(1-sin2x)2+6.
由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为zmax=(-1-1)2+6=10， 最小值为zmin=(1-1)2+6=6,
故当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6. 18.解：（1）解法1
2
4
先考虑事件A的对立事件，共两种情况：①3个都是奇数；②只有一个是2或6，另两个都是奇数，
.
解法2 事件的发生有以下五种情况：
三个整数都是4：；
有两个整数是4，另一个不是4：；
只有一个数是4，另两个不是4：
；
三个数都是2或6：；
有两个数是2或6，另一个数是奇数：
故得.
（2）.
（3）.
19.解法一：（1）证明：∵PB=PC,∴PO⊥BC.又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD. 在梯形ABCD中，可得
Rt△ABO≌Rt△BCD,∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC＋∠DBA=90°,即AO⊥BD.∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD. （2）证明：取PB的中点N，连接CN.∵PC=BC, ∴CN⊥PB.① ∴AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD.∴AB⊥平面PBC.∵AB平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB.②
由①、②知CN⊥平面PAB，连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD，
得四边形MNCD为平行四边形，∴DM⊥平面PAB.
∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，∵PC平面PBC. ∴DC⊥PC.∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角.∵三角形PBC是等边三角形， ∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°. ∵DM
平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
解法二：
取BC的中点O，因为三角形PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥底面ABCD.以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz. （1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2,在等边三角形PBC中，
.
（2）证明：，
（3）
显然所夹角等于所示二面角的平面角.
20. 解：（1）设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k＞0)，则直线MF的斜率为-k，所以直线ME的方程为 y-y0=k(x-y02).
.
.
.
所以直线EF的斜率为定值.
（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1. ∴直线ME的方程为：y-y0=x-y02.
.
.
同理可得.
设重心
消去得
21.解：（1）.
∴f(1)=1.∴节点为(1,1).∴1=-2×1+c.∴c=3.∴直线l的方程为y=-2x+3.
（2）.
（3）令在
上是增函数.
，由
得，在上是减函数，
.
.
22．解： EF//CB，
∽.
FG是圆的切线 故FG=EF.
.
23.解：（Ⅰ）.
为圆心是，半径是1的圆，
为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当时，，故，
为直线.
M到
的距离 .
从而当时，
d取得最小值.
24.解：（1） 时，得，解得 ，所以，；
（2）时，得，解得 ，所以，
（3）时，得，解得 ，所以，无解.
综上，不等式的解集为 .
；
高考数学模拟试题 (一)
一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.）
1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（ ）
A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7} B. {x|-4＜x≤-2或 3≤x＜7 } C.{x|x≤-2或x＞3 } D. {x|x＜-2或x≥3}
2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（ ）
A.2-i B.-2+i C.i D.2
3.若，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（ ）
A.向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C.向左平移个单位
D. 向右平移个单位
（ ）
5. 如图，是一程序框图，则输出结果中
A. B.
C. D.
6．平面的一个充分不必要条件是（ ）
A.存在一条直线 B.存在一个平面
C.存在一个平面 D.存在一条直线
7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线长轴长为（ ）
有且仅有一个交点，则椭圆的
A． B． C． D．
8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则p的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A.外心 B. 重心 C.内心 D. 垂心
9.设{an}是等差数列，从{a1,a2,a3,„,a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有 （ ）
A．90个 B．120个 C．180个 D．200个 10．下列说法正确的是 ( )
A．“x=1”是“x=1”的充分不必要条件 B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
2
C．命题“使得”的否定是：“ 均有”
D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题
11.设等比数列的公比q=2， 前n项和为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
12．设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2 B．-2 C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案直接填在题中的横线上.）
13. 已知
最小值 ．
，，则的
14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得几何体的表面积为 ． 15. 已知
(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+„+(1+x)n=a0+a1x+a2x+„+anxn，若a1+a2+„+an-1=29-n,则自然数n等于 ． 16.有以下几个命题：
①曲线x2-(y+1)2=1按a=(-1,2)平移可得曲线(x+1)-(y+3)=1
2
2
②与直线相交，所得弦长为2
③设A、B为两个定点，m为常数，，则动点P的轨迹为椭圆
④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的
对称点M的轨迹是圆
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
求函数y=7-4sinxcosx+4cosx-4cosx的最大值与最小值. 18.（本小题满分12分）
同时抛掷3个正方体骰子，各个面上分别标以数（1，2，3，4，5，6），出现向上的三个数的积被4整除的事件记为A.
（1）求事件A发生的概率P(A)；
（2）这个试验重复做3次，求事件A至少发生2次的概率； （3）这个试验反复做6次，求事件A发生次数ξ的数学期望. 19.（本小题满分12分）
如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点，AO交BD于E. (1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面PAD⊥平面PAB； (3)求二面角P-DC-B. 20. （本小题满分12分）
如图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程. 21.（本小题满分12分）
2
4
已知函数切点的横坐标为1.
的图象与直线相切，
（1）求函数f(x)的表达式和直线的方程；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（
3）若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）
[几何证明选讲]如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，求证：
（1）∽；
（2）EF＝FG.
23.[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）.
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求PQ中点M到直线
（t为参数）距离的最小值.
24.【不等式选讲】
解不等式：
参考答案
1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B 13. 3 14. 12π 15.4 16.④ 17．解：
y=7-4sinxcosx+4cosx-4cosx =7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x) =7-2sin2x+4cos2xsin2x =7-2sin2x+sin22x =(1-sin2x)2+6.
由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为zmax=(-1-1)2+6=10， 最小值为zmin=(1-1)2+6=6,
故当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6. 18.解：（1）解法1
2
4
先考虑事件A的对立事件，共两种情况：①3个都是奇数；②只有一个是2或6，另两个都是奇数，
.
解法2 事件的发生有以下五种情况：
三个整数都是4：；
有两个整数是4，另一个不是4：；
只有一个数是4，另两个不是4：
；
三个数都是2或6：；
有两个数是2或6，另一个数是奇数：
故得.
（2）.
（3）.
19.解法一：（1）证明：∵PB=PC,∴PO⊥BC.又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD. 在梯形ABCD中，可得
Rt△ABO≌Rt△BCD,∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC＋∠DBA=90°,即AO⊥BD.∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD. （2）证明：取PB的中点N，连接CN.∵PC=BC, ∴CN⊥PB.① ∴AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD.∴AB⊥平面PBC.∵AB平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB.②
由①、②知CN⊥平面PAB，连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD，
得四边形MNCD为平行四边形，∴DM⊥平面PAB.
∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，∵PC平面PBC. ∴DC⊥PC.∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角.∵三角形PBC是等边三角形， ∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°. ∵DM
平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
解法二：
取BC的中点O，因为三角形PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥底面ABCD.以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz. （1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2,在等边三角形PBC中，
.
（2）证明：，
（3）
显然所夹角等于所示二面角的平面角.
20. 解：（1）设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k＞0)，则直线MF的斜率为-k，所以直线ME的方程为 y-y0=k(x-y02).
.
.
.
所以直线EF的斜率为定值.
（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1. ∴直线ME的方程为：y-y0=x-y02.
.
.
同理可得.
设重心
消去得
21.解：（1）.
∴f(1)=1.∴节点为(1,1).∴1=-2×1+c.∴c=3.∴直线l的方程为y=-2x+3.
（2）.
（3）令在
上是增函数.
，由
得，在上是减函数，
.
.
22．解： EF//CB，
∽.
FG是圆的切线 故FG=EF.
.
23.解：（Ⅰ）.
为圆心是，半径是1的圆，
为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当时，，故，
为直线.
M到
的距离 .
从而当时，
d取得最小值.
24.解：（1） 时，得，解得 ，所以，；
（2）时，得，解得 ，所以，
（3）时，得，解得 ，所以，无解.
综上，不等式的解集为 .
；