指数函数与对数函数的解题策略

指数函数与对数函数的解题策略：

指数的运算性质：

(1)a (2)a

m n

=a m

=a m ⋅a n 转化为抽象函数⇔f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) =a m -n 转化为抽象函数⇔f (m -n ) =

mn

n

m +n

(3）a

m -n

f (m )

f (n )

（4）(a ) =a

m n

转化为抽象函数⇔f (m ) =f (mn )

指数函数的图像与性质：

图像

f (x ) =a x a >1 0

性质：

（1）定义域 R R

++

（2）值域 R R

（3）单调性 增 减 （4）函数图像恒过定点（0，1）

⎧x >0⎧x 0

（5）(I) ⎨ (II)⎨ (III)⎨(IV)

y >10

注意：

（1）指数的定义可以判定指数函数

（2）函数的值f (x ) >0即a >0可以传递范围 （3）单调性由a 确定的

（4）四种情况的作用：单调生的判定，比较大小 （5）抽象函数等价情况在上面

x

⎧x

⎨y >1⎩

对数的运算性质：

（1）log a m b =

n

n

log a b m

（2）log a (mn ) =log a m +log a n 转化为抽象函数⇔f (mn ) =f (m ) +f (n ) （3）log a

m m

=log a m -log a n 转化为抽象函数⇔f () =f (m ) -f (n ) n n

（4）log a m n =n log a m 转化为抽象函数⇔f (m n ) =nf (m )

对数函数的图像与性质：

图像：

f (x ) =log a x a >1 0

性质：

++

（1）定义域： R R

（2）值域： R R （3）单调性： 增 减 （4）函数图像恒过 (1, 0) (1, 0)

（5）(I) ⎨

⎧x >1⎧x >1⎧0

(II)⎨ (III)⎨(IV) y >0y

⎨

y >0⎩

注意：与指数函数注意是一样理解的 函数模型：

（1）f (x ) =a -a (I)奇偶性：奇函数 （II ）单调性：⎨

（2）f (x ) =a +a （I ）奇偶性：偶函数

（II ）单调性：x ∈(0, +∞) ，增 x ∈(-∞, 0) ，减

x

-x

x

-x

⎧a >1, 增函数

⎩0

a x -1a x -a -x

（3）f (x ) =x ，(f (x ) =x ）

a +1a +a -x

（I ）奇偶性：奇函数 （II ）单调性：⎨

⎧a >1, 增函数

⎩0

（III ）值域：(-1, +1) （4）f (x ) =log a

1+x

1-x

（I ）奇偶性：奇函数

⎧a >1, 增函数

（II ）单调性：⎨

0

（III ）定义域(-1, 1)

值得关注的是：（3）与（4）之间是互为反函数的关系，它们关于y =x 对称。

a x

（5）函数f (x ) =x

a +a

（I ）若x 1+x 2=1，则f (x 1) +f (x 2) =1 （II ）求f () +f () + +f (

1n 2n n -1

) 的值 n

这里a 的取值是任意的，（如2，3，4等等）

题组一：指数运算练习

已知x +x

1

1

2

-

12

=3计算下列各式的的值：

2

-2

3

-3

（1）x +x （2）x +x （3）x +x （4）x +x

1

-1

2

-2

3

-3

-1

32

-

32

32

（5）x -x （6）x -x （7）x -x （8）x -x （9）x -x

12

-12

32

-

x 3+x -3-2

（10）1

x +x -1+7

指数函数题组训练:

注意：f (x ±a ) ，f (x ) ±a ，f (x ±a ) ，f (x ±a ) 作图程序切勿混乱

一．基础通关训练：

1. 作函数（1）y =2，（2）y =22. 已知函数f (x ) = ⎪

x x +2

（3）y =2

x +2

，并指出单调区间，值域。

⎛1⎫

⎝2⎭

x 2-2x +3

，求函数的的单调区间及值域

3. 已知x ∈[0, 2]，求f (x ) =22x -3⋅2x +2+1的值域 4. 已知函数f (x ) =2

x +1-x

，求函数的的单调区间及值域

5. 已知函数f (x ) =2x +2-x ，研究函数的单调性，奇偶性，及最值

2x -1

6. 已知函数f (x ) =x ，研究函数的单调性，奇偶性，及最值

2+1

7. 若函数f (x ) =a -

2

为奇函数，求a 2x +1

8. 求函数f (x ) =3x -3-x 在x ∈[1, 2]的值域

9. 对任意的x ∈[1, 2]，m >3-3恒成立，求m 的取值范围

x

-x

二．能力提高：

1. 方程2=2-x 根的个数 2. 已知函数f (x ) =a

x

x

2x

+2a x -1，(0

x +1

3. 若关于x 的方程4-2=a 有两个不同的实数根，求a 的取值范围

2

4. 二次函数f (x ) =x -bx +c ，其中f (0) =3，f (1-x ) =f (1+x )

x

x

求证：当x ≥0时，都有f (b ) ≤f (c ) 5. 已知函数f (x ) =a +

x

x -a

, (a >1) x +1

(1)证明：f (x ) 在(-1, +∞) 上为增函数 (2)证明：f (x ) =0没有负数根

6. 比较a 与b 的大小关系，其中0

7. 已知函数f (x ) =a ，（0

x

b

a

x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)

) ≤ 22

100

x 21

8. 已知函数f (x ) =2，求∑(f (k ) +f ()) 的值

x +1k k =1

9. 求证：方程3+5=7有且只有一个解。 10. 已知a , b , c 均为正实数，且a +b =c 求证：a +b

n

n

n

2

2

2

x x x

对数的运算练习：

1. 已知lg 2=0. 3010，lg 3=0. 4771，计算lg 15 2. 已知log a 2=m ，log a n =3，计算a

2

2m +n

的值

1

⋅lg 4-lg 52

3. 化简：（1）(lg 5)+lg 2⋅lg 50 （2）4. 已知x , y , z 均为正数，3=4=6

x

y

z

（3）log 2+

3

(2-)

（1）求使得2x =py 成立的p 的值，（2）求与（1）所求p 的差的绝对值最小的整数

（3）求证：

111

=- 2y z x

（4）比较：3x ，4y ，6z 的大小关系

对数函数的题组训练： 一．基础通关训练：

1. 作函数的简图:(1)y =log 2(x +2) +1 ,(2)y =lg x ,(3)y =lg x ,(4)y =lg x 2. 求函数f (x ) =lg(x -3x +2) 的单调区间 3. 讨论f (x ) =log a log a x 在区间(1, +∞) 的单调性 4. 已知函数f (x ) =lg(x +ax -a ) （1）定义域为R ，求a 的取值范围 （2）值域为R ，求a 的取值范围

变式：f (x ) =lg(ax +ax +1) 上面情况是什么呢 5. 已知函数f (x ) =log a

2

22

1-x

，（0

（1）求函数的定义域 （2）解f (x ) >0 6. 已知函数f (x ) =

11-x +lg x +21+x

1

2

(1)判断单调性，并证明 (2)解不等式：f (x +1) >

二．能力提高：

1. 已知函数f (x ) =lg x （1）若0f (b ) ，则a ⋅b

1+2x +a ⋅4x

4. 若函数f (x ) =lg 在x ∈(-∞, 1]上都有意义，求a 的取值范围

3

5. 已知函数f (x ) =log 3x ，x ∈[1, 9]，求y =f (x ) +f (x ) 的最大值 6. 已知函数f (loga x ) =

2

2

a -1

(x -x ) ，（0

a -1

（1）求f (x ) （2）判断f (x ) 的单调性

2

（3）规定函数f (x ) 定义域为(-1, 1) ，解不等式：f (1-x ) +f (1-x )

7. 若函数f (x ) =log a (2-ax ) 在x ∈[0, 1]上为减函数，求a 的取值范围 8. 若x 2-log m x

x

x +1

12

+5=0有两个不同根，求a 的取值范围

x -x

10. 已知函数f (x ) =2-2，解不等式：f (x +1) +f (x ) >0

x

-x

11. 已知函数f (x ) =2+2，求方程f (x ) =f (2x +3) 的所有根之和

1. 已知指数函数f (x ) =(2a -1) x 在R 上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A. (0, 1) B. (0, 2) C. (1, 1) 12 D. (2

, 2) 2. 函数f (x ) =2-x

2

+2x +1

的值域是（ ）

A. [0, 2] B. (0, 2] C. [0, 4] D. (0, 4]

3. 已知指数函数f (x ) =a x ，(a >1) ，对任意x 1, x 2∈R ，下列正确的是（A. (x 1-x 2)(f (x 1) -f (x 2))

1) -f (x 2) >x 1-x 2 D. [f (x 1)]2=f (x 1⋅x 2)

4. 已知函数f (x ) =2x +2-x

，则f (x -1) >f (x ) 的解集为（ ）

A. (0, +∞) B. (1, +∞) C. (-∞, 122

) D. (-∞, 1)

5. 已知函数f (x ) =2x -2-x

，则f (x -1) +f (x ) >0的解集（ ）

A. (-∞, 0) B. (-∞, 1

) C. (122

, +∞) D. (1, +∞)

x ) =4x 2014

6. 已知函数f (k

4x +2，则∑f () =（k =0

2014 ）

A.1006 B.1007 C.2013 D.2014

4⋅2x 7. 已知函数f (x ) =-2

2x +1

的对称中心为（ ）

A. (0, 1) B. (0, 3) C. (1, 3) D. (3, 1) 8. (2+) 6的整数部分是（ ）

A.999 B.979 C.969 D.989

9. 已知2x

=-x +4与log 2x =-x +4的根分别为 ，则x 1+x 2=（） A.1 B.2 C.3 D.4 10. 求证：方程3x

+5x

=7x

有且只有一个解

）

1. 已知函数f (x ) =log 2x -1(x 2-3x +2) 的定义域是（）

A. (, 1) ⋃(2, +∞) B. (-∞, 1) (2, +∞) C. (1, 2) D 。(, 2)

1212

1-x

，则不等式f (x -1) +f (x ) >0的解集是（） 1+x

11

A. (0, ) B. (, 1) C. (1, 2) D. (0, 2)

22ln 2ln 3ln 5

, , 3. 比校的大小，下面正确的是（） 235ln 3ln 2ln 5ln 3ln 2ln 5ln 3ln 5ln 2ln 2ln 5ln 3

>>>>>A. B. C. D. [1**********]3

1x

4. 已知方程lg x -() =0的两根分别为x 1, x 2，下面说法正确的是（）

2

2. 已知函数f (x ) =lg

A. 01 C. x 1⋅x 2>2 D. 1

111

B. 0≤a ≤ C. a =0或a ≥ D. a =0 444

6. 已知函数f (x ) 的定义域为R, 且f (x ) =f (2-x ) ，当x >1时，f (x ) =ln x +x 则下面正确的是（） A. D..

f (1) >f (-2) >f (3)

B..

f (1) >f (-2) >f (3)

C..

f (1) >f (3) >f (-2)

f (3) >f (-2) >f (1)

⎧log a x +2a -1, x ≥1

在定义域R 上为增函数，则a 的取值范围________

⎩(a +2) x +1, x

7. 已知函数f (x ) =⎨

8. 已知函数f (x ) 的定义域为R 的偶函数，当x >0时f (x +1) =-f (x ) ，当

) +f (-2015) =_______________ x ∈(0, 1],f (x ) =l o g 2(x +1) ，则f (2014

9. 已知函数f (x ) =⎨范围____________ 10.

已

知

函

数

⎧-ln(x +1), x >0

，存在x 1, x 2∈R ，使得f (x 1) =f (x 2) ，则a 的取值

⎩-x +a +2, x ≤0

f (x ) =ln x

，

∀x 1, x 2, x 3∈(1, 2],∃x 4∈(1, 2]

使得

f (x 1) +f (x 2) +f (x 3)

指数函数与对数函数的解题策略：

指数的运算性质：

(1)a (2)a

m n

=a m

=a m ⋅a n 转化为抽象函数⇔f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) =a m -n 转化为抽象函数⇔f (m -n ) =

mn

n

m +n

(3）a

m -n

f (m )

f (n )

（4）(a ) =a

m n

转化为抽象函数⇔f (m ) =f (mn )

指数函数的图像与性质：

图像

f (x ) =a x a >1 0

性质：

（1）定义域 R R

++

（2）值域 R R

（3）单调性 增 减 （4）函数图像恒过定点（0，1）

⎧x >0⎧x 0

（5）(I) ⎨ (II)⎨ (III)⎨(IV)

y >10

注意：

（1）指数的定义可以判定指数函数

（2）函数的值f (x ) >0即a >0可以传递范围 （3）单调性由a 确定的

（4）四种情况的作用：单调生的判定，比较大小 （5）抽象函数等价情况在上面

x

⎧x

⎨y >1⎩

对数的运算性质：

（1）log a m b =

n

n

log a b m

（2）log a (mn ) =log a m +log a n 转化为抽象函数⇔f (mn ) =f (m ) +f (n ) （3）log a

m m

=log a m -log a n 转化为抽象函数⇔f () =f (m ) -f (n ) n n

（4）log a m n =n log a m 转化为抽象函数⇔f (m n ) =nf (m )

对数函数的图像与性质：

图像：

f (x ) =log a x a >1 0

性质：

++

（1）定义域： R R

（2）值域： R R （3）单调性： 增 减 （4）函数图像恒过 (1, 0) (1, 0)

（5）(I) ⎨

⎧x >1⎧x >1⎧0

(II)⎨ (III)⎨(IV) y >0y

⎨

y >0⎩

注意：与指数函数注意是一样理解的 函数模型：

（1）f (x ) =a -a (I)奇偶性：奇函数 （II ）单调性：⎨

（2）f (x ) =a +a （I ）奇偶性：偶函数

（II ）单调性：x ∈(0, +∞) ，增 x ∈(-∞, 0) ，减

x

-x

x

-x

⎧a >1, 增函数

⎩0

a x -1a x -a -x

（3）f (x ) =x ，(f (x ) =x ）

a +1a +a -x

（I ）奇偶性：奇函数 （II ）单调性：⎨

⎧a >1, 增函数

⎩0

（III ）值域：(-1, +1) （4）f (x ) =log a

1+x

1-x

（I ）奇偶性：奇函数

⎧a >1, 增函数

（II ）单调性：⎨

0

（III ）定义域(-1, 1)

值得关注的是：（3）与（4）之间是互为反函数的关系，它们关于y =x 对称。

a x

（5）函数f (x ) =x

a +a

（I ）若x 1+x 2=1，则f (x 1) +f (x 2) =1 （II ）求f () +f () + +f (

1n 2n n -1

) 的值 n

这里a 的取值是任意的，（如2，3，4等等）

题组一：指数运算练习

已知x +x

1

1

2

-

12

=3计算下列各式的的值：

2

-2

3

-3

（1）x +x （2）x +x （3）x +x （4）x +x

1

-1

2

-2

3

-3

-1

32

-

32

32

（5）x -x （6）x -x （7）x -x （8）x -x （9）x -x

12

-12

32

-

x 3+x -3-2

（10）1

x +x -1+7

指数函数题组训练:

注意：f (x ±a ) ，f (x ) ±a ，f (x ±a ) ，f (x ±a ) 作图程序切勿混乱

一．基础通关训练：

1. 作函数（1）y =2，（2）y =22. 已知函数f (x ) = ⎪

x x +2

（3）y =2

x +2

，并指出单调区间，值域。

⎛1⎫

⎝2⎭

x 2-2x +3

，求函数的的单调区间及值域

3. 已知x ∈[0, 2]，求f (x ) =22x -3⋅2x +2+1的值域 4. 已知函数f (x ) =2

x +1-x

，求函数的的单调区间及值域

5. 已知函数f (x ) =2x +2-x ，研究函数的单调性，奇偶性，及最值

2x -1

6. 已知函数f (x ) =x ，研究函数的单调性，奇偶性，及最值

2+1

7. 若函数f (x ) =a -

2

为奇函数，求a 2x +1

8. 求函数f (x ) =3x -3-x 在x ∈[1, 2]的值域

9. 对任意的x ∈[1, 2]，m >3-3恒成立，求m 的取值范围

x

-x

二．能力提高：

1. 方程2=2-x 根的个数 2. 已知函数f (x ) =a

x

x

2x

+2a x -1，(0

x +1

3. 若关于x 的方程4-2=a 有两个不同的实数根，求a 的取值范围

2

4. 二次函数f (x ) =x -bx +c ，其中f (0) =3，f (1-x ) =f (1+x )

x

x

求证：当x ≥0时，都有f (b ) ≤f (c ) 5. 已知函数f (x ) =a +

x

x -a

, (a >1) x +1

(1)证明：f (x ) 在(-1, +∞) 上为增函数 (2)证明：f (x ) =0没有负数根

6. 比较a 与b 的大小关系，其中0

7. 已知函数f (x ) =a ，（0

x

b

a

x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)

) ≤ 22

100

x 21

8. 已知函数f (x ) =2，求∑(f (k ) +f ()) 的值

x +1k k =1

9. 求证：方程3+5=7有且只有一个解。 10. 已知a , b , c 均为正实数，且a +b =c 求证：a +b

n

n

n

2

2

2

x x x

对数的运算练习：

1. 已知lg 2=0. 3010，lg 3=0. 4771，计算lg 15 2. 已知log a 2=m ，log a n =3，计算a

2

2m +n

的值

1

⋅lg 4-lg 52

3. 化简：（1）(lg 5)+lg 2⋅lg 50 （2）4. 已知x , y , z 均为正数，3=4=6

x

y

z

（3）log 2+

3

(2-)

（1）求使得2x =py 成立的p 的值，（2）求与（1）所求p 的差的绝对值最小的整数

（3）求证：

111

=- 2y z x

（4）比较：3x ，4y ，6z 的大小关系

对数函数的题组训练： 一．基础通关训练：

1. 作函数的简图:(1)y =log 2(x +2) +1 ,(2)y =lg x ,(3)y =lg x ,(4)y =lg x 2. 求函数f (x ) =lg(x -3x +2) 的单调区间 3. 讨论f (x ) =log a log a x 在区间(1, +∞) 的单调性 4. 已知函数f (x ) =lg(x +ax -a ) （1）定义域为R ，求a 的取值范围 （2）值域为R ，求a 的取值范围

变式：f (x ) =lg(ax +ax +1) 上面情况是什么呢 5. 已知函数f (x ) =log a

2

22

1-x

，（0

（1）求函数的定义域 （2）解f (x ) >0 6. 已知函数f (x ) =

11-x +lg x +21+x

1

2

(1)判断单调性，并证明 (2)解不等式：f (x +1) >

二．能力提高：

1. 已知函数f (x ) =lg x （1）若0f (b ) ，则a ⋅b

1+2x +a ⋅4x

4. 若函数f (x ) =lg 在x ∈(-∞, 1]上都有意义，求a 的取值范围

3

5. 已知函数f (x ) =log 3x ，x ∈[1, 9]，求y =f (x ) +f (x ) 的最大值 6. 已知函数f (loga x ) =

2

2

a -1

(x -x ) ，（0

a -1

（1）求f (x ) （2）判断f (x ) 的单调性

2

（3）规定函数f (x ) 定义域为(-1, 1) ，解不等式：f (1-x ) +f (1-x )

7. 若函数f (x ) =log a (2-ax ) 在x ∈[0, 1]上为减函数，求a 的取值范围 8. 若x 2-log m x

x

x +1

12

+5=0有两个不同根，求a 的取值范围

x -x

10. 已知函数f (x ) =2-2，解不等式：f (x +1) +f (x ) >0

x

-x

11. 已知函数f (x ) =2+2，求方程f (x ) =f (2x +3) 的所有根之和

1. 已知指数函数f (x ) =(2a -1) x 在R 上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A. (0, 1) B. (0, 2) C. (1, 1) 12 D. (2

, 2) 2. 函数f (x ) =2-x

2

+2x +1

的值域是（ ）

A. [0, 2] B. (0, 2] C. [0, 4] D. (0, 4]

3. 已知指数函数f (x ) =a x ，(a >1) ，对任意x 1, x 2∈R ，下列正确的是（A. (x 1-x 2)(f (x 1) -f (x 2))

1) -f (x 2) >x 1-x 2 D. [f (x 1)]2=f (x 1⋅x 2)

4. 已知函数f (x ) =2x +2-x

，则f (x -1) >f (x ) 的解集为（ ）

A. (0, +∞) B. (1, +∞) C. (-∞, 122

) D. (-∞, 1)

5. 已知函数f (x ) =2x -2-x

，则f (x -1) +f (x ) >0的解集（ ）

A. (-∞, 0) B. (-∞, 1

) C. (122

, +∞) D. (1, +∞)

x ) =4x 2014

6. 已知函数f (k

4x +2，则∑f () =（k =0

2014 ）

A.1006 B.1007 C.2013 D.2014

4⋅2x 7. 已知函数f (x ) =-2

2x +1

的对称中心为（ ）

A. (0, 1) B. (0, 3) C. (1, 3) D. (3, 1) 8. (2+) 6的整数部分是（ ）

A.999 B.979 C.969 D.989

9. 已知2x

=-x +4与log 2x =-x +4的根分别为 ，则x 1+x 2=（） A.1 B.2 C.3 D.4 10. 求证：方程3x

+5x

=7x

有且只有一个解

）

1. 已知函数f (x ) =log 2x -1(x 2-3x +2) 的定义域是（）

A. (, 1) ⋃(2, +∞) B. (-∞, 1) (2, +∞) C. (1, 2) D 。(, 2)

1212

1-x

，则不等式f (x -1) +f (x ) >0的解集是（） 1+x

11

A. (0, ) B. (, 1) C. (1, 2) D. (0, 2)

22ln 2ln 3ln 5

, , 3. 比校的大小，下面正确的是（） 235ln 3ln 2ln 5ln 3ln 2ln 5ln 3ln 5ln 2ln 2ln 5ln 3

>>>>>A. B. C. D. [1**********]3

1x

4. 已知方程lg x -() =0的两根分别为x 1, x 2，下面说法正确的是（）

2

2. 已知函数f (x ) =lg

A. 01 C. x 1⋅x 2>2 D. 1

111

B. 0≤a ≤ C. a =0或a ≥ D. a =0 444

6. 已知函数f (x ) 的定义域为R, 且f (x ) =f (2-x ) ，当x >1时，f (x ) =ln x +x 则下面正确的是（） A. D..

f (1) >f (-2) >f (3)

B..

f (1) >f (-2) >f (3)

C..

f (1) >f (3) >f (-2)

f (3) >f (-2) >f (1)

⎧log a x +2a -1, x ≥1

在定义域R 上为增函数，则a 的取值范围________

⎩(a +2) x +1, x

7. 已知函数f (x ) =⎨

8. 已知函数f (x ) 的定义域为R 的偶函数，当x >0时f (x +1) =-f (x ) ，当

) +f (-2015) =_______________ x ∈(0, 1],f (x ) =l o g 2(x +1) ，则f (2014

9. 已知函数f (x ) =⎨范围____________ 10.

已

知

函

数

⎧-ln(x +1), x >0

，存在x 1, x 2∈R ，使得f (x 1) =f (x 2) ，则a 的取值

⎩-x +a +2, x ≤0

f (x ) =ln x

，

∀x 1, x 2, x 3∈(1, 2],∃x 4∈(1, 2]

使得

f (x 1) +f (x 2) +f (x 3)