初三代数教案
第十三章：函数及其图像
第7课时：一次函数
教学目标：
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念；
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式．
教学重点：
一次函数与正比例函数的概念及根据实际问题中的条件确定一次函数与正比例函数的解析式．因为一次函数与正比例函数是学生接触到的具体函数中最简单的，以后学习其它函数的基本思路都按照研究一次函数的方式，而研究一次函数的性质和图象，都是从其解析式出发的．
教学难点：
根据实际问题中的条件确定一次函数与正比例函数的解析式．因为现在的数学教育中培养学生用数学的意识是很重要的一点，而现在的学生往往缺乏实际经验，对从实际问题中抽象出数学模型的训练又不多． 教学过程：
一、新课引入：
前几节课我们学习了一些与函数有关的知识点，它们都是一些一般性的问题．从这节课开始，我们将来研究几个特殊函数的解析式和图象．首先，我们来研究一次函数．（板书）
提问：1．什么是函数？
2．函数有哪几种表示方法？
3．你能否举出几个函数的例子？
若学生举的例子正是一次函数，就把它写在黑板上，用于讲解；若学生举的例子不适合，可采用书上给出的例子讲解．
二、新课讲解：
提问：（1）这些式子表示的是什么关系？（函数关系）
（2）这些函数中的自变量是什么？函数是什么？
这个问题主要是使学生明确函数就是等号左边的s 和y ；而自变量是x 和t 之后，明确等号右边其实是一个代数式的形式，以便回答下一个问题．
（3）在这些函数式中，含有函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式子？
这个问题是给出一次函数的概念的关键问题，若学生没有想到用“一次式”这种方式表示，教师可直接向学生提出“是关于自变量的几次式”这个问题，再由学生回答．
（4）结合我们学过的一元一次方程的有关知识，你能否说出x 的一次式的一般形式是什么样的？
由学生讨论回答，及时纠正可能出现的错误，最后加以总结：x 的一次式是kx+b（k ≠0）的形式．
由上面的问题结果综合得到：（板书）
一般地，如果y=kx+b（k 、b 是常数，k ≠0），那么，y 叫做x 的一次函数．
提问：（1）k 、b 是常数的含义是什么？
答：对于一个特定的函数式，k 和b 的值是固定的．
（2）对于函数y=2x+3和y=-2x-5，你能否指出其中的k 和b ？
这个问题一方面是为了向学生进一步说明k 和b 是常数的含义，另一方面也是为了培养学生思维的灵活性和深刻性，充分体会一次函数标准形式的表示方法，能正确分清其中的k 和b ，为以后学习一次函数的图象和性质打下良好的基础．强调学生在回答时，注意k 和b 的符号．
（3）k ≠0这个条件能否省略不写？
由学生讨论回答，指出若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b 是关于x 的0次式，因此不是一次函数，不必向学生交待常函数的意义．
（4）上述一次函数的定义中，限制了k ≠0，那么b 能否为0呢？若b=0，上述式子变形为什么样？
这个问题主要是为了引出正比例函数的概念，同时，通过这种引法，也可以使学生体会到正比例函数与一次函数是有关系的．
由问题（4）总结，板书：
特别地，当 b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k 是常数，k ≠0），这时y 叫做x 的正比例函数．
提问：（1）正比例函数与一次函数有怎样的关系？
答：正比例函数是一次函数的特例．
（2）小学时，学过正比例的知识吗？是怎样叙述的？请你回忆一下． 小学叙述时，是强调两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．写成式子是
提问：小学学过的正比例与我们现在说的正比例函数有什么关系？ 先由学生观察，然后总结：把小学学过的正比关系的式子加以变形就成为y=kx（k 一定），也就是我们现在所学习的正比例函数．由于小学定义
时k 为商，所以k 当然不为0，这个细节可由教师提问后学生回答．但小学学习时，x 与y 只能取正数，但现在就不同了，x 和y 可以取任意实数．由这个总结使学生对学过的知识能加以系统的理解．
练习一：P ．105中1 口答．
注意：一定要让学生说清原因．
刚才我们学习了一次函数和正比例函数的概念，下面我们来看一下，能否根据实际问题自己列出一次函数和正比例函数的关系式呢？（出示幻灯）
例1 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米/秒．
（1）求小球速度v （米/秒）与时间t （秒）之间的函数关系式；
（2）求3.5秒时小球的速度；
（3）求经过几秒小球的速度可变化为10米/秒．
分析：v 与t 是正比例关系，若学生有困难，可出示下表帮助学生理解：
例2 拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q （升）与工作时间t （时）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
这道题学生会感到有困难，以提问的方式分析：
（1）油箱中的油为什么会减少？（耗油）
（2）余油量与什么有关？（原油量与耗油量）
（3）耗油量与什么有关，怎样表示？
（4）你能否确定这个函数关系式？
（5）这道题是实际问题，拖拉机能否一直工作？什么时候拖拉机不能工作了呢？
练习二：P ．105中2 填在书上，口答，注意单位（万元）． 本节课的第一个重点是一次函数与正比例函数的概念，为了便于学生的理解，教师不是上来就给出概念让学生背，而是通过一些函数的解析式让学生归纳总结一次函数概念，然后通过一次函数概念中的一些条件的分析得出正比例函数，使学生很清楚地看到一次函数与正比例函数的关系．
关于本节课的第二个重点和难点，教师更是要给学生充分的思考时间，并把问题层层剖析，使学生能理解实际问题的含义，由此自然而然地达到把实际问题抽象成数学模型的目的．
三、课堂小结：
教师提问，学生思考回答：
1．这节课我们学习了几个特殊的函数？
2．你能分别说出它们的一般形式吗？
3．正比例函数与一次函数有怎样的关系？
4．确定实际问题的自变量取值范围应注意什么？
四、布置作业
1．教材P ．106中 1、2、3、4、5；
2．选做：教材P ．106中B1、2
初三代数教案
第十三章：函数及其图像
第7课时：一次函数
教学目标：
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念；
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式．
教学重点：
一次函数与正比例函数的概念及根据实际问题中的条件确定一次函数与正比例函数的解析式．因为一次函数与正比例函数是学生接触到的具体函数中最简单的，以后学习其它函数的基本思路都按照研究一次函数的方式，而研究一次函数的性质和图象，都是从其解析式出发的．
教学难点：
根据实际问题中的条件确定一次函数与正比例函数的解析式．因为现在的数学教育中培养学生用数学的意识是很重要的一点，而现在的学生往往缺乏实际经验，对从实际问题中抽象出数学模型的训练又不多． 教学过程：
一、新课引入：
前几节课我们学习了一些与函数有关的知识点，它们都是一些一般性的问题．从这节课开始，我们将来研究几个特殊函数的解析式和图象．首先，我们来研究一次函数．（板书）
提问：1．什么是函数？
2．函数有哪几种表示方法？
3．你能否举出几个函数的例子？
若学生举的例子正是一次函数，就把它写在黑板上，用于讲解；若学生举的例子不适合，可采用书上给出的例子讲解．
二、新课讲解：
提问：（1）这些式子表示的是什么关系？（函数关系）
（2）这些函数中的自变量是什么？函数是什么？
这个问题主要是使学生明确函数就是等号左边的s 和y ；而自变量是x 和t 之后，明确等号右边其实是一个代数式的形式，以便回答下一个问题．
（3）在这些函数式中，含有函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式子？
这个问题是给出一次函数的概念的关键问题，若学生没有想到用“一次式”这种方式表示，教师可直接向学生提出“是关于自变量的几次式”这个问题，再由学生回答．
（4）结合我们学过的一元一次方程的有关知识，你能否说出x 的一次式的一般形式是什么样的？
由学生讨论回答，及时纠正可能出现的错误，最后加以总结：x 的一次式是kx+b（k ≠0）的形式．
由上面的问题结果综合得到：（板书）
一般地，如果y=kx+b（k 、b 是常数，k ≠0），那么，y 叫做x 的一次函数．
提问：（1）k 、b 是常数的含义是什么？
答：对于一个特定的函数式，k 和b 的值是固定的．
（2）对于函数y=2x+3和y=-2x-5，你能否指出其中的k 和b ？
这个问题一方面是为了向学生进一步说明k 和b 是常数的含义，另一方面也是为了培养学生思维的灵活性和深刻性，充分体会一次函数标准形式的表示方法，能正确分清其中的k 和b ，为以后学习一次函数的图象和性质打下良好的基础．强调学生在回答时，注意k 和b 的符号．
（3）k ≠0这个条件能否省略不写？
由学生讨论回答，指出若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b 是关于x 的0次式，因此不是一次函数，不必向学生交待常函数的意义．
（4）上述一次函数的定义中，限制了k ≠0，那么b 能否为0呢？若b=0，上述式子变形为什么样？
这个问题主要是为了引出正比例函数的概念，同时，通过这种引法，也可以使学生体会到正比例函数与一次函数是有关系的．
由问题（4）总结，板书：
特别地，当 b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k 是常数，k ≠0），这时y 叫做x 的正比例函数．
提问：（1）正比例函数与一次函数有怎样的关系？
答：正比例函数是一次函数的特例．
（2）小学时，学过正比例的知识吗？是怎样叙述的？请你回忆一下． 小学叙述时，是强调两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．写成式子是
提问：小学学过的正比例与我们现在说的正比例函数有什么关系？ 先由学生观察，然后总结：把小学学过的正比关系的式子加以变形就成为y=kx（k 一定），也就是我们现在所学习的正比例函数．由于小学定义
时k 为商，所以k 当然不为0，这个细节可由教师提问后学生回答．但小学学习时，x 与y 只能取正数，但现在就不同了，x 和y 可以取任意实数．由这个总结使学生对学过的知识能加以系统的理解．
练习一：P ．105中1 口答．
注意：一定要让学生说清原因．
刚才我们学习了一次函数和正比例函数的概念，下面我们来看一下，能否根据实际问题自己列出一次函数和正比例函数的关系式呢？（出示幻灯）
例1 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米/秒．
（1）求小球速度v （米/秒）与时间t （秒）之间的函数关系式；
（2）求3.5秒时小球的速度；
（3）求经过几秒小球的速度可变化为10米/秒．
分析：v 与t 是正比例关系，若学生有困难，可出示下表帮助学生理解：
例2 拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q （升）与工作时间t （时）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
这道题学生会感到有困难，以提问的方式分析：
（1）油箱中的油为什么会减少？（耗油）
（2）余油量与什么有关？（原油量与耗油量）
（3）耗油量与什么有关，怎样表示？
（4）你能否确定这个函数关系式？
（5）这道题是实际问题，拖拉机能否一直工作？什么时候拖拉机不能工作了呢？
练习二：P ．105中2 填在书上，口答，注意单位（万元）． 本节课的第一个重点是一次函数与正比例函数的概念，为了便于学生的理解，教师不是上来就给出概念让学生背，而是通过一些函数的解析式让学生归纳总结一次函数概念，然后通过一次函数概念中的一些条件的分析得出正比例函数，使学生很清楚地看到一次函数与正比例函数的关系．
关于本节课的第二个重点和难点，教师更是要给学生充分的思考时间，并把问题层层剖析，使学生能理解实际问题的含义，由此自然而然地达到把实际问题抽象成数学模型的目的．
三、课堂小结：
教师提问，学生思考回答：
1．这节课我们学习了几个特殊的函数？
2．你能分别说出它们的一般形式吗？
3．正比例函数与一次函数有怎样的关系？
4．确定实际问题的自变量取值范围应注意什么？
四、布置作业
1．教材P ．106中 1、2、3、4、5；
2．选做：教材P ．106中B1、2