最新2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A ={-2，-101，，，2}，B ={x |(x -1)(x +2)
（A ）{-1，0} （B ）{0，1} （C ）{-1，0，1} （D ）{0，1，2} （2）若a 为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a= （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放量显现成效 （C ）2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势
（D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
（4）已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7= （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
⎧1+log 2(2-x ), x
（5）设函数f (x ) =⎨x -1则f (-2) +f (log212) =
2, x ≥1⎩
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
（6）一个正方体被一个平面截去一部分之后，剩余
部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
1111
（A ）（B ）（C ）（D ）
8657
（7）过三点A （1，3），B （4，2），C （1，-7） 的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|=
（A
） （B ）8 （C
）
（8著《九章算法》中的“更相减损术”若输入的a ，b ，分别为14，18
，则输出的
a=
（A ）0 （B ）2
（C ）4
（D ）14
（9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90，C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为
（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π
P （10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是
D
AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记 ∠BOP =x 。将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数f(x)，则y=f(x)的图像大致为
y
y
y
C
B
y
2O
2O
π
x
2O
π
x
2O
π
x
42(A)
4
42(B)
4
42(C)
4
42(D)
4
π
x
（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为
（A ） （B ）2 （C （D （12）设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R ) 的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf’(x)-f(x)0成立的x 的取值范围是
-1) (0，1) （B ）(-1，0) (1，+∞) （A ）(-∞，
（C ）(-∞，-1) (-1，0) （D ）(0，1) (1，+∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和旋考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、 填空题：本大题共4小题。每小题5分
（13）设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.
⎧x -y +1≥0, ⎪
（14）若x ，y 满足约束条件⎨x -2y ≤0, 则z=x+y的最大值为_________.
⎪x +2y -2≤0, ⎩
（15）(a +x )(1+x ) 4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=_______. （16）设S n 的数列{a n }的前n 项和，a 1=-1且a n +1=S n S n +1，则S n =_________. 三、解答题：解答应写出文字部分解题过程和演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍，
sin ∠B
（Ⅰ）求；
sin ∠C （Ⅱ）若AD=1，
DC=
，求BD 和AC 的长。 2
（18）（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散成度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
区用户的评价结果相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率。 （19）（本小题满分12分） 如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，
D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一
个正方形。 1 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值。
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴, l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值。
m
（2）若l 过点（, m ），延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行
3
四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由。 （21）（本小题满分12分） 设函数f (x ) =e mx +x 2-mx
0) 单调递减，在(0，+∞) 单调递增； （Ⅰ）证明：f(x)在(-∞，
，，都有|f (x 1)-f (x 2) |≤e -1，求m 的取值范围。 （Ⅱ）若对于任意x
1，x 2∈[-11]
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与∆
ABC BC 交与点M ，N 两点，与底边上的高AD 交与点G 与AB ，AC 分别相切于点E ，F 两点。 （Ⅰ）证明：EF//BC；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且AE =MN =EBCF 的面积。 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =t cos α，在直角坐标系x0y 中，曲线C 1：⎨（t 为参数，t ≠0），其中0≤α
y =t sin α，⎩在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，设曲线C 2:ρ=2sin θ，
C 3:ρ=θ。
（Ⅰ）求C 2与C 1交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值。 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d，证明： （Ⅰ）若ab>cd
>是|a-b|
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理科数学
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A ={-2，-101，，，2}，B ={x |(x -1)(x +2)
（A ）{-1，0} （B ）{0，1} （C ）{-1，0，1} （D ）{0，1，2} （2）若a 为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a= （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放量显现成效 （C ）2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势
（D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
（4）已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7= （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
⎧1+log 2(2-x ), x
（5）设函数f (x ) =⎨x -1则f (-2) +f (log212) =
2, x ≥1⎩
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
（6）一个正方体被一个平面截去一部分之后，剩余
部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
1111
（A ）（B ）（C ）（D ）
8657
（7）过三点A （1，3），B （4，2），C （1，-7） 的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|=
（A
） （B ）8 （C
）
（8著《九章算法》中的“更相减损术”若输入的a ，b ，分别为14，18
，则输出的
a=
（A ）0 （B ）2
（C ）4
（D ）14
（9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90，C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为
（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π
P （10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是
D
AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记 ∠BOP =x 。将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数f(x)，则y=f(x)的图像大致为
y
y
y
C
B
y
2O
2O
π
x
2O
π
x
2O
π
x
42(A)
4
42(B)
4
42(C)
4
42(D)
4
π
x
（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为
（A ） （B ）2 （C （D （12）设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R ) 的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf’(x)-f(x)0成立的x 的取值范围是
-1) (0，1) （B ）(-1，0) (1，+∞) （A ）(-∞，
（C ）(-∞，-1) (-1，0) （D ）(0，1) (1，+∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和旋考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、 填空题：本大题共4小题。每小题5分
（13）设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.
⎧x -y +1≥0, ⎪
（14）若x ，y 满足约束条件⎨x -2y ≤0, 则z=x+y的最大值为_________.
⎪x +2y -2≤0, ⎩
（15）(a +x )(1+x ) 4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=_______. （16）设S n 的数列{a n }的前n 项和，a 1=-1且a n +1=S n S n +1，则S n =_________. 三、解答题：解答应写出文字部分解题过程和演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍，
sin ∠B
（Ⅰ）求；
sin ∠C （Ⅱ）若AD=1，
DC=
，求BD 和AC 的长。 2
（18）（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散成度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
区用户的评价结果相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率。 （19）（本小题满分12分） 如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，
D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一
个正方形。 1 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值。
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴, l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值。
m
（2）若l 过点（, m ），延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行
3
四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由。 （21）（本小题满分12分） 设函数f (x ) =e mx +x 2-mx
0) 单调递减，在(0，+∞) 单调递增； （Ⅰ）证明：f(x)在(-∞，
，，都有|f (x 1)-f (x 2) |≤e -1，求m 的取值范围。 （Ⅱ）若对于任意x
1，x 2∈[-11]
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与∆
ABC BC 交与点M ，N 两点，与底边上的高AD 交与点G 与AB ，AC 分别相切于点E ，F 两点。 （Ⅰ）证明：EF//BC；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且AE =MN =EBCF 的面积。 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =t cos α，在直角坐标系x0y 中，曲线C 1：⎨（t 为参数，t ≠0），其中0≤α
y =t sin α，⎩在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，设曲线C 2:ρ=2sin θ，
C 3:ρ=θ。
（Ⅰ）求C 2与C 1交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值。 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d，证明： （Ⅰ）若ab>cd
>是|a-b|