第三章㊀ 开放探究与新定义运算
ʌ 题型概述ɔ
ɦ ３．１㊀ 开放探究
使它的解是
开放探究型试题由于其结构的可变性, 能较好地考查学开放性探究型问题是指问题的条件或结论尚不明确, 需
生的发散思维能力和探究能力, 因而倍受关注．
要通过探究去补充条件或完善结论的一类问题．开放性问题的答案通常没有最好, 只有更好．解答开放性试题, 需要对问题进行多方面㊁ 多角度㊁ 多层次的思考㊁ 审视, 能够培养和检y ＝－１．
写出一个比小的正无理数是㊀㊀㊀㊀ ．２．(２０１２ 浙江宁波) 写出一个比大的无理数是㊀㊀㊀㊀ ．４．(２０１２ 浙江丽水) 写一个比－小的整数是㊀㊀㊀㊀ ．５．(２０１２ 四川达州)
{
x ＝２,
写一个比大的整数是．３．(２０１２ 江苏连云港)
查学生的发散思维能力和探索能力, 有利于克服 题海战术 等消极现象．探究性问题的 探究性 是与传统问题 明确性 相对而言的．一般情况下, 传统问题条件完备, 结论明确, 只需计算结果或对结论加以论证．而开放探究性问题则是通过对问题的剖析, 选择并建立恰当的数学模型, 经过观察㊁ 试验㊁ 分析㊁ 比较㊁ 类比㊁ 归纳㊁ 猜想㊁ 推断等探究性活动来探索ʌ 解题思路典题演示．
ɔ 别是ʌ D E ә 例A １B ɔ C (２０１２ 湖南郴州)
如图, D 的边A B ㊁ A C 上的点,
㊁ E 分连接条件, 要使㊀㊀㊀㊀ ә A D ʌ 思路点拨．E (ɔ 只需写一个ʐ ә A C B ,
还由ø A 是公)
需添加一个共角, 利用有
两角对应相等的两三角形相似, 即可添加条件或ø A D E ＝ø C 的两个ø A E 三D ＝ø角形B 相; 又由两组对似, 即可添加应条边件的A 比D 相ʒ 等A 且C ＝夹A 角E 对ʒ 应A B 相等或
D A B ø B 或完全解答＝A E A ɔ A 答C 等ʌ 案不．
唯一, 如:ø A D E ＝ø C 或ø A E D ＝出, 要求探求能够ʌ 归纳交流D ʒ A C ɔ ＝本题是条件开放探究题A E ʒ A B 或A D A B ＝A E ．问题的结论已 A C 等．经给使已知结论成立的条件, 这类问题中使结
论成立的条件通常不唯一, 而题目要求填写的答案往往是有限个．
数ʌ 例２ɔ ㊀ (２０１２ 云南)
写出一个大于２且小于４的无理ʌ 思路点拨．
方得大于ɔ 由于所求无理数大于２且小于４, 将两数平
可, 如４小于等１６．
, 我们选其中间的一个开方开不尽的数即ʌ 完全解答ɔ 答案不唯一, 如等．
同点是它们都ʌ 归纳交流给ɔ 本题是一道结论开放探究题出了已知条件(题设) , 要求寻, 与常规题求结论; 区的别相
是前者的条件一般较弱, 结论通常在两个以上, 解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与．解答开放探究题的一般思路是:从所给的条件(包括图形) 特征出发, 运用发散思维进行大胆猜想和探究, 同时要时刻自问: 可能还有其他结论? 并要对所发现的结论进行必要的反思㊁ 推理和说明
(ʌ 或证明名题选练) ．一㊁ 填空题
ɔ
．(２０１２ 广东湛江)
请写出一个二元一次方程组, ．(２０１２ 山东滨州) 根据你学习的数学知识, 写出一个运算结果为a ６的算式:．(２０１２ 湖南益阳)
写出一个在实㊀㊀㊀㊀ ．
数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:．(２０１２ 天津)
将正比例函数㊀㊀㊀㊀ y ＝．－６x 的图象向上平移, 则平移后所得图象对应的函数解析式可以是出一个即可)
．(写
．(２０１２ 浙江衢州)
试写出图象位于第二㊁ 四象限的一个反比例函数的解析式:．(２０１２ 内蒙古赤峰) ㊀㊀㊀㊀ 存在两个变量．
x 与y , y 是x 的函数,
该函数同时满足两个条件:＞０时, y 随x 的增大而减①图象经过点(小．
个函数１的, １解) ; 析②当x
这式是．(２０１２ 陕西．
()
写出一个即可在同一平面直角坐标系中) , 若一个反比例函数的图象与一次函数y ＝－２x ＋６的图象无公共点,
则这个反比例函数的表达式是的一个即可)
㊀㊀㊀㊀ ．(只写出符合条件
．(２０１２ 福建三明)
如图, 在ø B D E ＝øC D F ә A B C 中, D 是B , 请你添加一个条件．不再添加辅助线和字母, 使C 边上的中点, D E ＝D F 成
立．你添加的条件是()
．((第１２题)
㊀㊀
(第如图, 已知点E ㊁ F １３题)
２０１２ 黑龙江)
是平行四边形A B C B D 对角线上的两点, 请添加一个条件, 使ә A E
．ɸә (２０１２C D 黑龙江F ．
(只填一个即可佳木斯)
如图) , 在平行四边形A B C D 中, 点E ㊁ F 分别在边B C ㊁ A D 上,
请添加一个条件四边形A E C F 是平行四边形．
(只填一个即可㊀㊀㊀㊀ ) , 使．((第１４题)
㊀㊀
(第如图, 在四边形A B C １D ５题)
２０１２ 江苏盐城)
中, 已知A B ʊ D C , A B ＝D C ．
在不添加任何辅助线的前提下, 要想该四边形成为矩形, 只需再加上的一个条件是．(填
６７８９１０１１A １２１４１３１１５
上你认为正确的一个答案即可) 看图说故事．２０．(２０１２ 江苏南京)
二㊁ 解答题
１６．(２０１２ 贵州遵义) 化简分式
(
x －１－x ２x
－１
)
ː x ２
x ２
－x , 并从－１ɤ x ɤ ３中选一个你认为数－x ２合适的整
代入求值x ＋１
．
１７．(２０１２ 湖南张家界) 先化简a ２
－４ː ２a ＋１, 再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果－．
４a ＋２
１８．已知三个一元一次不等式:x (２０１２ 福建莆田)
＋１, x －４＜０一个不等式组, ,
求请出从这中个选不择等你式喜组欢的的解两集个, 不２x 并等＞把式６, 解, ２组x ȡ 集成在
数轴上表示出来．
１９．(２０１２ 湖南衡阳)
如图, A F ＝D C 条件, 使得ә A B C ɸә D E F ,
并说明理由, B C ʊ E F ．, 请只补充一个(第１９题)
请你编写一个故事, 使故事情境中出现的一对变量x , 要求:, y
满足图示的函数关系①指出变量x 和y 的含义;
②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义, 其中须涉及 速度 这个量．
(第２０题)
１．(２０１２ 福建漳州)
在数学课上, 林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点E B 四个条件:, ㊁ F ②㊁ B C F ㊁ E 在同一直线上)
, 并写出＝ø２．
①A B ＝D ＝E C , ③ø B ＝ø E , ④ø １
请你从这四个条件中选出三个作为题设, 另一个作为结论, 组成一个真命题, 并给予证明．
题设:; 结论:㊀㊀㊀㊀ ．(均填写序号) (第２１题)
２．(２０１２ 四川广元)
如图, 在ә A E C 和ә D F B 中, A ø (１
E F ) ʊ , 点A ㊁ B 有如下三个关系式ø E :＝请用其中两个关D F , ②A ㊁ C B ㊁ D 在同一直线上, ＝C D ①
出你认为正确的所系, ③式C 有作E 命为＝B 题条F ; (件．用, 序另号一写个出作命为题结书论写, 写形
式: 如果(２) 选择(１
) 中你写出的一个命题 ㊁ ,
那么 ) , 说明它正确的理由．(第２２题)
２２
２
如图, 抛物线y ＝x ２３．(－２x ＋c 的顶点A ２０１２ 四川宜宾)
在直线l :y ＝x －５上．
第三章㊀ 开放探究与新定义运算
江苏苏州) 如图, 已知抛物线y ＝２５．(２０１２
１２１()
x －b ＋１x ＋
４４
((１２) ) 求抛物线顶点设抛物线与A 的坐标; y 轴交于点B 在点D 的左侧) , 试判断ә , A 与B D x 轴交于点C 的形状;
㊁ D (点C (３) 在直线l 上是否存在一点P , 使以在点P , 求㊁ A 点㊁ B P ㊁ D 为顶
点的四边形是平行四边形? 若存的坐标;
若不存在, 请说明理由．
(第２３题)
２４．(２０１２ 江苏扬州)
已知抛物线y ＝a x ２
A ＋b x ＋c 经过轴(．
－１, ０) ㊁ B (３, ０) ㊁ C (０, ３
) 三点, 直线l 是抛物线的对称((１
２) ) 求抛物线的函数关系式设点P 是直线l 上的一; 个动点, 当小时, 求点P 的坐标;
ә P A C 的周长最(３) 在直线l 上是否存在点M , 使ә M A C 为等腰三角形?
若存在, 直接写出所有符合条件的点M 的坐标; 若不
存在, 请说明理由．(第２４题)
b (４(b 是实数且b ＞２点) 与x 轴的正半轴分别交于点A ㊁ B
(１
) 点A 位于点B 的左侧) , 与y 轴的正半轴交于点C ．B 的坐标为含(２
) P 请你探b 的代数式表示㊀㊀㊀㊀ )
; , 点C 的坐标为(用C O B 的面积等于索在第一象２限b , 内且是ә 否P B 存C 在是点P 以点, P 使得为四直边角形顶
点的等腰直角三角形? 如果存在, 求出点P 的坐标;
(如果不存在, 请说明理由．
３
) 请你进ә 似Q (C 全等可看作相似的特殊情况O 一㊁ ә 步Q O 探A 索和在ә 第Q 一A B 象中的任意两个三角形均相限内是否存在点Q , 使得) ? 如果存在, 求出点
Q 的坐标;
如果不存在, 请说明理由．(第２５题)
６．(２０１２ 山东日照)
如图, 二次函数y ＝x ２
x 轴交于A 直线交抛物线于点㊁ B 两点, 且点A 坐标为(－３＋, b ０
x ) ＋, 经过点c 的图象与B 的((２１) ) 过求抛物线的解析式和直线D (－２, －３) ．B D 的解析式;
x 轴上点E () (点E 在点B 的右侧) 作直线B ʊ D B F D E , 交抛物行线a , 四于０边点E F
F 形? , 如是果否存存在在, 实数a 使四边形是平求出满足条件的a ;
如果不存在, 请说明理由．(第２６题)
２
x ＋y ＝１,
比如:等．１．答案不唯一,
x －y ＝３
ɦ ３．１㊀ 开放探究
下列解法供参考．２０．本题答案不唯一,
) 用的时间x (的关系．m i n
) ʑ㊀ә A B C ɸә D E F (S A S ．
{
该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y (与他所k m )
比如, π２．答案不唯一,
比如:３．答案不唯一, ２, ３, ４ 比如:４．答案不唯一, －－５６, ２ ４６, ８２６, 比如:６．答案不唯一, a a ＝a a a ＝a a ː a ＝a
２) ３６ (a ＝a
如:题设:结论:２１．答案不唯一, ①②③; ④．
ȵ㊀ B F ＝E C , 即㊀ B C ＝E F ．
ʑ㊀ B F ＋C F ＝E C ＋C F ．在ә A B C 和ә D E F 中,
, /然后以５６m i n ００m m i n 的速度匀速骑车回出发地．
/, 小明以４在原地休息了００m m i n 的速度匀速骑了５m i n
比如:５．答案不唯一, －２, －３
２２比如:７．答案不唯一, x －４, x －３
A B ＝D E , ø B ＝øE , B C ＝E F ,
．答案不唯一, 比如:y ＝－６x ＋１．．答案不唯一, 比如:y ＝－１x ．
．答案不唯一, 比如:y ＝１x ．．答案不唯一, 比如:y ＝１x
８．．答案不唯一, 如:A B ＝A C 或ø C F D 或ø A E D ＝øA F D ．
ø B ＝ø C 或ø B E D ＝．答案不唯一, 比如:A E ＝C F ．．答案不唯一, 如:A F ＝C E ．．答案不唯一, 如:．原式＝
x x ø ＋１
, 由于A ＝９０ʎ ．
当x ＝－１或x ＝１时, 分式的分母为０,
故取x 的值时, 不可取x ＝－１或x ＝１, 不妨取x ＝２, 此时原式＝．原式＝＋２＋１＝２３
．
a
１．因为a ʂ ０, a ʂ ʃ ２,
所以a 可以等于１, 当a ＝１时,
原式＝２．．答案不唯一,
如由题意可得不等式组:{
x ２x －＞４６＜,
０．
此不等
式组的解集为在数轴上表示为３＜:
x ＜４．．(第１８题)
补充条件:E F ＝B C , 可使得理由如下:ә A B C ɸә D E F ．
ȵ㊀ ʑ㊀ A 即A F F ＝＋D C ,
ȵ㊀ ㊀ A F C ＝D C ＋F C ．B C C ＝ʊ D E F F ,
．在ʑ㊀ø D F ә ＝E A F E C D F D 和＝ø, ø E ә F B D C B ＝øA C A 中．
,
B C A , E F ＝B C ,
．ʑ㊀ø ʑ㊀ә (１A ＝øB C ɸә ２．
D E F (S A S ) ．
(１
ȵ㊀ ２
) ) 如果若选择如果①②, 那么A E ʊ D F ,
①②③, ; 那么如果③①③．, 那么②．ʑ㊀ø ȵ㊀ A B A ＝＝øC D D , ．
ʑ㊀ 即在㊀ A ә A B A C ＋C E ＝B D C 和B ＝ә ．
B C ＋C D ．D B F 中, ʑ㊀ә ø E ＝øA F , ø A ＝øD , A C ＝D B ,
若选择如果ʑ㊀ C E ＝C B E F ɸә ;
D B F (A A S ) ．
ȵ㊀ A E ʊ D ①③F , 那么②, ʑ㊀ø 在ø E ә ＝øA C A E ＝ø和ә D ,
D ．B F 中,
F B ,
ʑ㊀ ʑ㊀ә A C A ＝C F D E , ø B ɸә A ＝ø．
D B F D (, E C ＝A A S ) ．
即ʑ㊀ ㊀ A A B C ＝－C B D C ＝．
D B －B C ．
．(１) ȵ㊀ 顶点A 的横坐标为x ＝－
－＝２
２＝１,
且顶点A 在y ʑ㊀ x －当５上,
x ＝１时, y ＝１－５＝－４．(ʑ㊀ 将２) A ә A (１A (B １, －D , －４) ．
是直角三角形．ʑ㊀ c ＝－３４．) 代入y ＝x ２－２x ＋c , 得１－２＋c ＝－４, ʑ㊀ ʑ㊀ y B ＝(０x
２, －－３２) x ．
－３．当y ＝０时, x ２ʑ㊀ C (－１, ０) －, D ２x (３－, ０３) ＝．
０, 得x １＝－１, x ２＝
３．８９１０１１２２１２１３１４１５１６１７１８１９２３
２２) A D ２＝(３－１＋４＝２０, ２
ʑ㊀ B D ２＋A B ＝A D ２．
２２２２) ȵ㊀ B D ２＝O B ＋O D ２＝１８, A B ＝(４－３＋１＝２, 得m ＝１; m ２＋４＝m ２－６m ＋１０, 得m ＝ʃm ２＋４＝１０,
２, 则MA ２＝A 得②若MA ＝A C , C ２２, 则M C 得③若M C ＝A C , ＝A C
() 存在．３
即㊀ә A B D 是直角三角形．由题意知, 直线y ＝x －
ʑ㊀ø A B D ＝９０ʎ ．
得m １＝０, m ２－６m ＋１０＝１０, m ２＝６．故舍去．
当m ＝６时, 构不成三角形, 不合题意, M ㊁ A ㊁ C 三点共线, , 综上可知, 符合条件的点M 存在, 且坐标为M (１)
) , 交x 轴于点F (５５, ) ０．
ʑ㊀ O E ＝O F ＝５．
５交y 轴于点E (０, －
b ) ) , 点B 的坐标为(点C 的坐标为０２５．(１b , ０
４
, () , () (１, １１, ０．１, －()．
又ʑ ㊀ 都是等腰直角三角形㊀ O ә B O ＝E O F D ＝与３ә ,
O B ．D B ʑ㊀ D ．
B D ʊ l , 即㊀ P A ʊ
则构成平行四边形只能A D B (第或P A B D ．２３题)
是P 如图, 过点P 作y 轴的垂线, 过点A 作x 轴的垂线并交
于点G ．
设P (x １, x １－５) , 则G () , 则P G ＝|１－x １|, A G ＝１|, x １－
５－４－(x １－５) P A ＝B D ＝|＝|１－x １
|, 由勾股定理, 得
(１－x １) ２＋(１－x １) ２＝１８, x １＝－
２或ʑ㊀ P (－２－, －２７, －) 或P ７(４, ) ４．存在点P (或P (－４１．) , －１) 使以点A ㊁ B ㊁ D ㊁ P 为顶
点的四边形是平行四边形．
．(１) 将A (,
－１, ０) ㊁ B (３, ０) ㊁ C (０, ３) 代入抛物线y ＝a x ２b x ＋c 中得＋
{
a －b ＋c ＝０,
＝－１９a ＋３b ＋c ＝０,
解得{
a b ＝２c ＝３, ,
c ＝３．
(ʑ㊀ ,
抛物线的解析式y ＝－x ２
设直线２) 连接B C B C , 直线B C 与直线l ＋的交点为点２x ＋３．
P ．的解析式为y ＝k x ＋b , 将B (入上式, 得
３, ０) ㊁ C (０, ３) 代{
３k ＋b , ＝０, {
k ＝－１b ＝３解得
b ＝３．
,
ʑ㊀ 直线B C 的函数关系式为y ＝－x ＋３．
当x ＝１时, y ＝２,
即点P 的坐标(１, ２) ．(３) 抛物线的对称轴为x ＝－A b a ＝１, 设M (１, m )
, 已知MA (－２１①若＝, MA m ０) ２㊁ C ＝＋M ４(０C , M , ３
C ) ２, 则２
,
则MA ＝m ２２＝－M ６m C ２＋, １得０, A C ＝１０; ２(２) 假设存在这样的点P , 使得四边形P C O B 的面积等于
设点b , 且P ә P 坐标为B C 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．(x , y )
, 连接O P , 则S 四边形P C O B ＝S ә P C O ＋S ә P O B ＝
１２ b ４ x ＋１２
b y ＝２
b ʑ㊀ , 过点x P ＋作４y P ＝D １
６ʅ ．x 轴, P E ʅ y 轴, 垂足分别为D ʑ㊀ø ㊁ E , ʑ㊀ 四边形P E O P ＝øE O E D O 是矩形D ＝øO ．
D P ＝９０ʎ ．
ȵ㊀ә ʑ㊀ø E P D ＝９０ʎ ．
ʑ㊀ P C P ＝C B 是等腰直角三角形, ʑ㊀ø E P C P B ＝ø, ø D C P P B B ．＝９０ʎ ．
ʑ㊀ ʑ㊀ә P E P ＝E P C D ɸә , 即P x D ＝B y ．
．由
{
x ＝y ,
ìïïx ＝１６, x ＋４y ＝１６．解得í
５
ïîy ＝５６．
由ә P E C ɸә P D B 得E C ＝D B , 即５６－b ４＝b －６,
解得b ＝２５８５＞２符合题意．
ʑ㊀ 点P 坐标为
((３) 假设存在这样的５６,
１点Q ５６)
．, 使得中的任意两个三角形均相似．ә Q C O ㊁ ә Q O A 和ә Q A B ȵ㊀ø ʑ㊀ø Q ʑ㊀ 要Q A B ＝øA O Q ＋øA Q O ,
使A B ә Q ＞øO A A O 和Q , ø A Q B A B 相＞ø似, A Q O ．＝９０ʎ , 即Q A ʅ x 轴．ә Q 只能ø O A Q ＝ø Q A B
ȵ㊀ ʑ㊀ b A ＞B ２＞, O A ．
由ʑ㊀ ʑ㊀ø 只能Q O Q A ʅ x ø A 轴知Q ＞øO A Q Q A ＝øB A ʊ y A ．
Q 轴B , ,
此时ø O Q B ＝９０ʎ ．
２４
只能ø O ʑ㊀ 要使ә Q O A 和ә O Q C 相似, C Q ＝９０ʎ 或(当ø O 时, Ⅰ) C Q ＝９０ʎ ә Q O A ɸә O Q C , ʑ㊀ A Q ＝C O ＝ø O Q C ＝９０ʎ ．
ʑ㊀ø C O Q ＝øO Q A ．
) , 当a ＝１时, 点E 的坐标为(这与点B 重合, 舍去; １, ０) , 当a ＝３时, 点E 的坐标(符合题意．３, ０
使四边形B ʑ㊀ 存在实数a ＝３, D F E 是平行四边形．
由A 得Q ２＝O A A B , 解得b ＝８ʃ ４．ȵ㊀ b ＞２,
b
．４
()
b ４
２
＝b －１,
b
ʑ㊀ b ＝８＋＝２＋．
４
(当ø O 时, Ⅱ) Q C ＝９０ʎ ә Q O A ʐә O C Q ,
ʑ㊀ 点Q 的坐标是(１, ２＋．
Q , O Q A 即O ＝Q ２＝O C A Q ．ʑ㊀
O C O Q
又㊀ O Q ２＝O A A B ,
即b A ʑ㊀ O C A Q ＝O A A B , Q ＝１ˑ b ．
４) ʑ㊀ 点Q 的坐标是(１, ４．
解得A 此时b ＝１Q ＝４, ７＞２符合题意．
, 存在点Q (或Q (使得ʑ㊀ 综上可知, １, ２＋) １, ４) ә Q C O ㊁ ә Q O A 和ә Q A B 中的任意两个三角形均相似．
２) ) , ) 将A (的坐标代入y ＝x ２６．(１－３, ０D (－２, －３＋b x ＋c
得,
{
２故抛物线的解析式为y ＝x ＋２x －３．２由x ＋２x －３＝０,
b ＝２, 解得
４－２b ＋c ＝－３．c ＝－３．
９－３b ＋c ＝０,
{
) ʑ㊀ 点B 的坐标是(１, ０．
设直线B 则D 的解析式为y ＝k x ＋b , 解得
得x ３, x １, １＝－２＝
{
k ＋b ＝０,
{
b ＝－１．
k ＝１,
－２k ＋b ＝－３．
() 且E ２ȵ㊀ 直线B D 的解析式是y ＝x －１, F ʊ B D , ʑ㊀ 直线E F 的解析式为y ＝x －a ．
若四边形B 则D D F E 是平行四边形, F ʊ x 轴．即点F 的纵坐标为－３．ʑ㊀ D ㊁ F 两点的纵坐标相等, 由
故直线B D 的解析式为y ＝x －１．
{
() a ＋１ʃ ３－４a 解得y ＝－２．
２() a ＋１ʃ 令２＝－３,
２
２
＋２x －３, y ＝x ２２) 得y ＋(２a ＋１a ＋２a －３＝０, y ＋, a y ＝x －
解得a １, a ３．１＝２＝
第三章㊀ 开放探究与新定义运算
ʌ 题型概述ɔ
ɦ ３．１㊀ 开放探究
使它的解是
开放探究型试题由于其结构的可变性, 能较好地考查学开放性探究型问题是指问题的条件或结论尚不明确, 需
生的发散思维能力和探究能力, 因而倍受关注．
要通过探究去补充条件或完善结论的一类问题．开放性问题的答案通常没有最好, 只有更好．解答开放性试题, 需要对问题进行多方面㊁ 多角度㊁ 多层次的思考㊁ 审视, 能够培养和检y ＝－１．
写出一个比小的正无理数是㊀㊀㊀㊀ ．２．(２０１２ 浙江宁波) 写出一个比大的无理数是㊀㊀㊀㊀ ．４．(２０１２ 浙江丽水) 写一个比－小的整数是㊀㊀㊀㊀ ．５．(２０１２ 四川达州)
{
x ＝２,
写一个比大的整数是．３．(２０１２ 江苏连云港)
查学生的发散思维能力和探索能力, 有利于克服 题海战术 等消极现象．探究性问题的 探究性 是与传统问题 明确性 相对而言的．一般情况下, 传统问题条件完备, 结论明确, 只需计算结果或对结论加以论证．而开放探究性问题则是通过对问题的剖析, 选择并建立恰当的数学模型, 经过观察㊁ 试验㊁ 分析㊁ 比较㊁ 类比㊁ 归纳㊁ 猜想㊁ 推断等探究性活动来探索ʌ 解题思路典题演示．
ɔ 别是ʌ D E ә 例A １B ɔ C (２０１２ 湖南郴州)
如图, D 的边A B ㊁ A C 上的点,
㊁ E 分连接条件, 要使㊀㊀㊀㊀ ә A D ʌ 思路点拨．E (ɔ 只需写一个ʐ ә A C B ,
还由ø A 是公)
需添加一个共角, 利用有
两角对应相等的两三角形相似, 即可添加条件或ø A D E ＝ø C 的两个ø A E 三D ＝ø角形B 相; 又由两组对似, 即可添加应条边件的A 比D 相ʒ 等A 且C ＝夹A 角E 对ʒ 应A B 相等或
D A B ø B 或完全解答＝A E A ɔ A 答C 等ʌ 案不．
唯一, 如:ø A D E ＝ø C 或ø A E D ＝出, 要求探求能够ʌ 归纳交流D ʒ A C ɔ ＝本题是条件开放探究题A E ʒ A B 或A D A B ＝A E ．问题的结论已 A C 等．经给使已知结论成立的条件, 这类问题中使结
论成立的条件通常不唯一, 而题目要求填写的答案往往是有限个．
数ʌ 例２ɔ ㊀ (２０１２ 云南)
写出一个大于２且小于４的无理ʌ 思路点拨．
方得大于ɔ 由于所求无理数大于２且小于４, 将两数平
可, 如４小于等１６．
, 我们选其中间的一个开方开不尽的数即ʌ 完全解答ɔ 答案不唯一, 如等．
同点是它们都ʌ 归纳交流给ɔ 本题是一道结论开放探究题出了已知条件(题设) , 要求寻, 与常规题求结论; 区的别相
是前者的条件一般较弱, 结论通常在两个以上, 解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与．解答开放探究题的一般思路是:从所给的条件(包括图形) 特征出发, 运用发散思维进行大胆猜想和探究, 同时要时刻自问: 可能还有其他结论? 并要对所发现的结论进行必要的反思㊁ 推理和说明
(ʌ 或证明名题选练) ．一㊁ 填空题
ɔ
．(２０１２ 广东湛江)
请写出一个二元一次方程组, ．(２０１２ 山东滨州) 根据你学习的数学知识, 写出一个运算结果为a ６的算式:．(２０１２ 湖南益阳)
写出一个在实㊀㊀㊀㊀ ．
数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:．(２０１２ 天津)
将正比例函数㊀㊀㊀㊀ y ＝．－６x 的图象向上平移, 则平移后所得图象对应的函数解析式可以是出一个即可)
．(写
．(２０１２ 浙江衢州)
试写出图象位于第二㊁ 四象限的一个反比例函数的解析式:．(２０１２ 内蒙古赤峰) ㊀㊀㊀㊀ 存在两个变量．
x 与y , y 是x 的函数,
该函数同时满足两个条件:＞０时, y 随x 的增大而减①图象经过点(小．
个函数１的, １解) ; 析②当x
这式是．(２０１２ 陕西．
()
写出一个即可在同一平面直角坐标系中) , 若一个反比例函数的图象与一次函数y ＝－２x ＋６的图象无公共点,
则这个反比例函数的表达式是的一个即可)
㊀㊀㊀㊀ ．(只写出符合条件
．(２０１２ 福建三明)
如图, 在ø B D E ＝øC D F ә A B C 中, D 是B , 请你添加一个条件．不再添加辅助线和字母, 使C 边上的中点, D E ＝D F 成
立．你添加的条件是()
．((第１２题)
㊀㊀
(第如图, 已知点E ㊁ F １３题)
２０１２ 黑龙江)
是平行四边形A B C B D 对角线上的两点, 请添加一个条件, 使ә A E
．ɸә (２０１２C D 黑龙江F ．
(只填一个即可佳木斯)
如图) , 在平行四边形A B C D 中, 点E ㊁ F 分别在边B C ㊁ A D 上,
请添加一个条件四边形A E C F 是平行四边形．
(只填一个即可㊀㊀㊀㊀ ) , 使．((第１４题)
㊀㊀
(第如图, 在四边形A B C １D ５题)
２０１２ 江苏盐城)
中, 已知A B ʊ D C , A B ＝D C ．
在不添加任何辅助线的前提下, 要想该四边形成为矩形, 只需再加上的一个条件是．(填
６７８９１０１１A １２１４１３１１５
上你认为正确的一个答案即可) 看图说故事．２０．(２０１２ 江苏南京)
二㊁ 解答题
１６．(２０１２ 贵州遵义) 化简分式
(
x －１－x ２x
－１
)
ː x ２
x ２
－x , 并从－１ɤ x ɤ ３中选一个你认为数－x ２合适的整
代入求值x ＋１
．
１７．(２０１２ 湖南张家界) 先化简a ２
－４ː ２a ＋１, 再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果－．
４a ＋２
１８．已知三个一元一次不等式:x (２０１２ 福建莆田)
＋１, x －４＜０一个不等式组, ,
求请出从这中个选不择等你式喜组欢的的解两集个, 不２x 并等＞把式６, 解, ２组x ȡ 集成在
数轴上表示出来．
１９．(２０１２ 湖南衡阳)
如图, A F ＝D C 条件, 使得ә A B C ɸә D E F ,
并说明理由, B C ʊ E F ．, 请只补充一个(第１９题)
请你编写一个故事, 使故事情境中出现的一对变量x , 要求:, y
满足图示的函数关系①指出变量x 和y 的含义;
②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义, 其中须涉及 速度 这个量．
(第２０题)
１．(２０１２ 福建漳州)
在数学课上, 林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点E B 四个条件:, ㊁ F ②㊁ B C F ㊁ E 在同一直线上)
, 并写出＝ø２．
①A B ＝D ＝E C , ③ø B ＝ø E , ④ø １
请你从这四个条件中选出三个作为题设, 另一个作为结论, 组成一个真命题, 并给予证明．
题设:; 结论:㊀㊀㊀㊀ ．(均填写序号) (第２１题)
２．(２０１２ 四川广元)
如图, 在ә A E C 和ә D F B 中, A ø (１
E F ) ʊ , 点A ㊁ B 有如下三个关系式ø E :＝请用其中两个关D F , ②A ㊁ C B ㊁ D 在同一直线上, ＝C D ①
出你认为正确的所系, ③式C 有作E 命为＝B 题条F ; (件．用, 序另号一写个出作命为题结书论写, 写形
式: 如果(２) 选择(１
) 中你写出的一个命题 ㊁ ,
那么 ) , 说明它正确的理由．(第２２题)
２２
２
如图, 抛物线y ＝x ２３．(－２x ＋c 的顶点A ２０１２ 四川宜宾)
在直线l :y ＝x －５上．
第三章㊀ 开放探究与新定义运算
江苏苏州) 如图, 已知抛物线y ＝２５．(２０１２
１２１()
x －b ＋１x ＋
４４
((１２) ) 求抛物线顶点设抛物线与A 的坐标; y 轴交于点B 在点D 的左侧) , 试判断ә , A 与B D x 轴交于点C 的形状;
㊁ D (点C (３) 在直线l 上是否存在一点P , 使以在点P , 求㊁ A 点㊁ B P ㊁ D 为顶
点的四边形是平行四边形? 若存的坐标;
若不存在, 请说明理由．
(第２３题)
２４．(２０１２ 江苏扬州)
已知抛物线y ＝a x ２
A ＋b x ＋c 经过轴(．
－１, ０) ㊁ B (３, ０) ㊁ C (０, ３
) 三点, 直线l 是抛物线的对称((１
２) ) 求抛物线的函数关系式设点P 是直线l 上的一; 个动点, 当小时, 求点P 的坐标;
ә P A C 的周长最(３) 在直线l 上是否存在点M , 使ә M A C 为等腰三角形?
若存在, 直接写出所有符合条件的点M 的坐标; 若不
存在, 请说明理由．(第２４题)
b (４(b 是实数且b ＞２点) 与x 轴的正半轴分别交于点A ㊁ B
(１
) 点A 位于点B 的左侧) , 与y 轴的正半轴交于点C ．B 的坐标为含(２
) P 请你探b 的代数式表示㊀㊀㊀㊀ )
; , 点C 的坐标为(用C O B 的面积等于索在第一象２限b , 内且是ә 否P B 存C 在是点P 以点, P 使得为四直边角形顶
点的等腰直角三角形? 如果存在, 求出点P 的坐标;
(如果不存在, 请说明理由．
３
) 请你进ә 似Q (C 全等可看作相似的特殊情况O 一㊁ ә 步Q O 探A 索和在ә 第Q 一A B 象中的任意两个三角形均相限内是否存在点Q , 使得) ? 如果存在, 求出点
Q 的坐标;
如果不存在, 请说明理由．(第２５题)
６．(２０１２ 山东日照)
如图, 二次函数y ＝x ２
x 轴交于A 直线交抛物线于点㊁ B 两点, 且点A 坐标为(－３＋, b ０
x ) ＋, 经过点c 的图象与B 的((２１) ) 过求抛物线的解析式和直线D (－２, －３) ．B D 的解析式;
x 轴上点E () (点E 在点B 的右侧) 作直线B ʊ D B F D E , 交抛物行线a , 四于０边点E F
F 形? , 如是果否存存在在, 实数a 使四边形是平求出满足条件的a ;
如果不存在, 请说明理由．(第２６题)
２
x ＋y ＝１,
比如:等．１．答案不唯一,
x －y ＝３
ɦ ３．１㊀ 开放探究
下列解法供参考．２０．本题答案不唯一,
) 用的时间x (的关系．m i n
) ʑ㊀ә A B C ɸә D E F (S A S ．
{
该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y (与他所k m )
比如, π２．答案不唯一,
比如:３．答案不唯一, ２, ３, ４ 比如:４．答案不唯一, －－５６, ２ ４６, ８２６, 比如:６．答案不唯一, a a ＝a a a ＝a a ː a ＝a
２) ３６ (a ＝a
如:题设:结论:２１．答案不唯一, ①②③; ④．
ȵ㊀ B F ＝E C , 即㊀ B C ＝E F ．
ʑ㊀ B F ＋C F ＝E C ＋C F ．在ә A B C 和ә D E F 中,
, /然后以５６m i n ００m m i n 的速度匀速骑车回出发地．
/, 小明以４在原地休息了００m m i n 的速度匀速骑了５m i n
比如:５．答案不唯一, －２, －３
２２比如:７．答案不唯一, x －４, x －３
A B ＝D E , ø B ＝øE , B C ＝E F ,
．答案不唯一, 比如:y ＝－６x ＋１．．答案不唯一, 比如:y ＝－１x ．
．答案不唯一, 比如:y ＝１x ．．答案不唯一, 比如:y ＝１x
８．．答案不唯一, 如:A B ＝A C 或ø C F D 或ø A E D ＝øA F D ．
ø B ＝ø C 或ø B E D ＝．答案不唯一, 比如:A E ＝C F ．．答案不唯一, 如:A F ＝C E ．．答案不唯一, 如:．原式＝
x x ø ＋１
, 由于A ＝９０ʎ ．
当x ＝－１或x ＝１时, 分式的分母为０,
故取x 的值时, 不可取x ＝－１或x ＝１, 不妨取x ＝２, 此时原式＝．原式＝＋２＋１＝２３
．
a
１．因为a ʂ ０, a ʂ ʃ ２,
所以a 可以等于１, 当a ＝１时,
原式＝２．．答案不唯一,
如由题意可得不等式组:{
x ２x －＞４６＜,
０．
此不等
式组的解集为在数轴上表示为３＜:
x ＜４．．(第１８题)
补充条件:E F ＝B C , 可使得理由如下:ә A B C ɸә D E F ．
ȵ㊀ ʑ㊀ A 即A F F ＝＋D C ,
ȵ㊀ ㊀ A F C ＝D C ＋F C ．B C C ＝ʊ D E F F ,
．在ʑ㊀ø D F ә ＝E A F E C D F D 和＝ø, ø E ә F B D C B ＝øA C A 中．
,
B C A , E F ＝B C ,
．ʑ㊀ø ʑ㊀ә (１A ＝øB C ɸә ２．
D E F (S A S ) ．
(１
ȵ㊀ ２
) ) 如果若选择如果①②, 那么A E ʊ D F ,
①②③, ; 那么如果③①③．, 那么②．ʑ㊀ø ȵ㊀ A B A ＝＝øC D D , ．
ʑ㊀ 即在㊀ A ә A B A C ＋C E ＝B D C 和B ＝ә ．
B C ＋C D ．D B F 中, ʑ㊀ә ø E ＝øA F , ø A ＝øD , A C ＝D B ,
若选择如果ʑ㊀ C E ＝C B E F ɸә ;
D B F (A A S ) ．
ȵ㊀ A E ʊ D ①③F , 那么②, ʑ㊀ø 在ø E ә ＝øA C A E ＝ø和ә D ,
D ．B F 中,
F B ,
ʑ㊀ ʑ㊀ә A C A ＝C F D E , ø B ɸә A ＝ø．
D B F D (, E C ＝A A S ) ．
即ʑ㊀ ㊀ A A B C ＝－C B D C ＝．
D B －B C ．
．(１) ȵ㊀ 顶点A 的横坐标为x ＝－
－＝２
２＝１,
且顶点A 在y ʑ㊀ x －当５上,
x ＝１时, y ＝１－５＝－４．(ʑ㊀ 将２) A ә A (１A (B １, －D , －４) ．
是直角三角形．ʑ㊀ c ＝－３４．) 代入y ＝x ２－２x ＋c , 得１－２＋c ＝－４, ʑ㊀ ʑ㊀ y B ＝(０x
２, －－３２) x ．
－３．当y ＝０时, x ２ʑ㊀ C (－１, ０) －, D ２x (３－, ０３) ＝．
０, 得x １＝－１, x ２＝
３．８９１０１１２２１２１３１４１５１６１７１８１９２３
２２) A D ２＝(３－１＋４＝２０, ２
ʑ㊀ B D ２＋A B ＝A D ２．
２２２２) ȵ㊀ B D ２＝O B ＋O D ２＝１８, A B ＝(４－３＋１＝２, 得m ＝１; m ２＋４＝m ２－６m ＋１０, 得m ＝ʃm ２＋４＝１０,
２, 则MA ２＝A 得②若MA ＝A C , C ２２, 则M C 得③若M C ＝A C , ＝A C
() 存在．３
即㊀ә A B D 是直角三角形．由题意知, 直线y ＝x －
ʑ㊀ø A B D ＝９０ʎ ．
得m １＝０, m ２－６m ＋１０＝１０, m ２＝６．故舍去．
当m ＝６时, 构不成三角形, 不合题意, M ㊁ A ㊁ C 三点共线, , 综上可知, 符合条件的点M 存在, 且坐标为M (１)
) , 交x 轴于点F (５５, ) ０．
ʑ㊀ O E ＝O F ＝５．
５交y 轴于点E (０, －
b ) ) , 点B 的坐标为(点C 的坐标为０２５．(１b , ０
４
, () , () (１, １１, ０．１, －()．
又ʑ ㊀ 都是等腰直角三角形㊀ O ә B O ＝E O F D ＝与３ә ,
O B ．D B ʑ㊀ D ．
B D ʊ l , 即㊀ P A ʊ
则构成平行四边形只能A D B (第或P A B D ．２３题)
是P 如图, 过点P 作y 轴的垂线, 过点A 作x 轴的垂线并交
于点G ．
设P (x １, x １－５) , 则G () , 则P G ＝|１－x １|, A G ＝１|, x １－
５－４－(x １－５) P A ＝B D ＝|＝|１－x １
|, 由勾股定理, 得
(１－x １) ２＋(１－x １) ２＝１８, x １＝－
２或ʑ㊀ P (－２－, －２７, －) 或P ７(４, ) ４．存在点P (或P (－４１．) , －１) 使以点A ㊁ B ㊁ D ㊁ P 为顶
点的四边形是平行四边形．
．(１) 将A (,
－１, ０) ㊁ B (３, ０) ㊁ C (０, ３) 代入抛物线y ＝a x ２b x ＋c 中得＋
{
a －b ＋c ＝０,
＝－１９a ＋３b ＋c ＝０,
解得{
a b ＝２c ＝３, ,
c ＝３．
(ʑ㊀ ,
抛物线的解析式y ＝－x ２
设直线２) 连接B C B C , 直线B C 与直线l ＋的交点为点２x ＋３．
P ．的解析式为y ＝k x ＋b , 将B (入上式, 得
３, ０) ㊁ C (０, ３) 代{
３k ＋b , ＝０, {
k ＝－１b ＝３解得
b ＝３．
,
ʑ㊀ 直线B C 的函数关系式为y ＝－x ＋３．
当x ＝１时, y ＝２,
即点P 的坐标(１, ２) ．(３) 抛物线的对称轴为x ＝－A b a ＝１, 设M (１, m )
, 已知MA (－２１①若＝, MA m ０) ２㊁ C ＝＋M ４(０C , M , ３
C ) ２, 则２
,
则MA ＝m ２２＝－M ６m C ２＋, １得０, A C ＝１０; ２(２) 假设存在这样的点P , 使得四边形P C O B 的面积等于
设点b , 且P ә P 坐标为B C 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．(x , y )
, 连接O P , 则S 四边形P C O B ＝S ә P C O ＋S ә P O B ＝
１２ b ４ x ＋１２
b y ＝２
b ʑ㊀ , 过点x P ＋作４y P ＝D １
６ʅ ．x 轴, P E ʅ y 轴, 垂足分别为D ʑ㊀ø ㊁ E , ʑ㊀ 四边形P E O P ＝øE O E D O 是矩形D ＝øO ．
D P ＝９０ʎ ．
ȵ㊀ә ʑ㊀ø E P D ＝９０ʎ ．
ʑ㊀ P C P ＝C B 是等腰直角三角形, ʑ㊀ø E P C P B ＝ø, ø D C P P B B ．＝９０ʎ ．
ʑ㊀ ʑ㊀ә P E P ＝E P C D ɸә , 即P x D ＝B y ．
．由
{
x ＝y ,
ìïïx ＝１６, x ＋４y ＝１６．解得í
５
ïîy ＝５６．
由ә P E C ɸә P D B 得E C ＝D B , 即５６－b ４＝b －６,
解得b ＝２５８５＞２符合题意．
ʑ㊀ 点P 坐标为
((３) 假设存在这样的５６,
１点Q ５６)
．, 使得中的任意两个三角形均相似．ә Q C O ㊁ ә Q O A 和ә Q A B ȵ㊀ø ʑ㊀ø Q ʑ㊀ 要Q A B ＝øA O Q ＋øA Q O ,
使A B ә Q ＞øO A A O 和Q , ø A Q B A B 相＞ø似, A Q O ．＝９０ʎ , 即Q A ʅ x 轴．ә Q 只能ø O A Q ＝ø Q A B
ȵ㊀ ʑ㊀ b A ＞B ２＞, O A ．
由ʑ㊀ ʑ㊀ø 只能Q O Q A ʅ x ø A 轴知Q ＞øO A Q Q A ＝øB A ʊ y A ．
Q 轴B , ,
此时ø O Q B ＝９０ʎ ．
２４
只能ø O ʑ㊀ 要使ә Q O A 和ә O Q C 相似, C Q ＝９０ʎ 或(当ø O 时, Ⅰ) C Q ＝９０ʎ ә Q O A ɸә O Q C , ʑ㊀ A Q ＝C O ＝ø O Q C ＝９０ʎ ．
ʑ㊀ø C O Q ＝øO Q A ．
) , 当a ＝１时, 点E 的坐标为(这与点B 重合, 舍去; １, ０) , 当a ＝３时, 点E 的坐标(符合题意．３, ０
使四边形B ʑ㊀ 存在实数a ＝３, D F E 是平行四边形．
由A 得Q ２＝O A A B , 解得b ＝８ʃ ４．ȵ㊀ b ＞２,
b
．４
()
b ４
２
＝b －１,
b
ʑ㊀ b ＝８＋＝２＋．
４
(当ø O 时, Ⅱ) Q C ＝９０ʎ ә Q O A ʐә O C Q ,
ʑ㊀ 点Q 的坐标是(１, ２＋．
Q , O Q A 即O ＝Q ２＝O C A Q ．ʑ㊀
O C O Q
又㊀ O Q ２＝O A A B ,
即b A ʑ㊀ O C A Q ＝O A A B , Q ＝１ˑ b ．
４) ʑ㊀ 点Q 的坐标是(１, ４．
解得A 此时b ＝１Q ＝４, ７＞２符合题意．
, 存在点Q (或Q (使得ʑ㊀ 综上可知, １, ２＋) １, ４) ә Q C O ㊁ ә Q O A 和ә Q A B 中的任意两个三角形均相似．
２) ) , ) 将A (的坐标代入y ＝x ２６．(１－３, ０D (－２, －３＋b x ＋c
得,
{
２故抛物线的解析式为y ＝x ＋２x －３．２由x ＋２x －３＝０,
b ＝２, 解得
４－２b ＋c ＝－３．c ＝－３．
９－３b ＋c ＝０,
{
) ʑ㊀ 点B 的坐标是(１, ０．
设直线B 则D 的解析式为y ＝k x ＋b , 解得
得x ３, x １, １＝－２＝
{
k ＋b ＝０,
{
b ＝－１．
k ＝１,
－２k ＋b ＝－３．
() 且E ２ȵ㊀ 直线B D 的解析式是y ＝x －１, F ʊ B D , ʑ㊀ 直线E F 的解析式为y ＝x －a ．
若四边形B 则D D F E 是平行四边形, F ʊ x 轴．即点F 的纵坐标为－３．ʑ㊀ D ㊁ F 两点的纵坐标相等, 由
故直线B D 的解析式为y ＝x －１．
{
() a ＋１ʃ ３－４a 解得y ＝－２．
２() a ＋１ʃ 令２＝－３,
２
２
＋２x －３, y ＝x ２２) 得y ＋(２a ＋１a ＋２a －３＝０, y ＋, a y ＝x －
解得a １, a ３．１＝２＝