复合材料层合厚板后屈曲

　第32卷第11期　1998年11月

上海交通大学学报

JOU RNAL O F SHAN GHA I J I AO TON G UN I V ER S IT Y

V o l . 32N o. 11　

N ov . 1998　

复合材料层合厚板后屈曲

沈　惠　申

(上海交通大学建筑工程与力学学院)

摘　要　基于R eddy 高阶剪切变形板理论, 曲分析. , 计及板的初始几何缺陷. , 给出四边简支反对、长宽比、铺层数、面内.

; 屈曲; 后屈曲; 厚板; 高阶剪切板理论中图法分类号　O 343

P os tbuckling of C om pos ite Lam ina te d Thick P la te s

S hen H u ishen

Schoo l of C ivil Engineering &Mechan ics , Shanghai J iao tong U n iversity , Ch ina

A bs tra c t 　Po stbuck ling analysis is p resen ted fo r a si m p ly suppo rted , com po site lam inated th ick p late

sub jected to un iax ial com p ressi on . T he in itial geom etrical i m perfecti on of the p late is taken in to accoun t . T he fo r m u lati on s are based on the R eddy’sh igher o rder shear defo r m ati on p late theo ry and the Kar m an 2typ e non linear large deflecti on equati on s . T he analysis u ses a deflecti on 2typ e p ertu rbati on techn ique to deter m ine buck ling loads and po stbuck ling equ ilib rium path s . N um erical exam p les are p resen ted that relate to the p erfo r m ances of perfect and i m p erfect , an tisymm etrically angle 2p ly and symm etrically cro ss 2p ly lam inated p lates . T he influence is p layed by a num ber of effects , am ong them the tran sverse shear defo r m ati on , the character of the in 2p lane boundary conditi on s , the p late asp ect rati o , the to tal num ber of p lies , fiber o rien tati on and in itial geom etrical i m perfecti on s are studied .

Ke y w o rds 　structu ral stab ility ; buck ling ; po stbuck ling ; th ick p late ; h igher o rder shear defo r m ati on

p late theo ry

　　复合材料板状构件在船舶及海洋工程结构中已得到愈来愈广泛的应用. 此类板状构件在服役期间, 在机械荷载或热荷载的作用下会由于屈曲强度不足而造成破坏. 因此, 对于复合材料层合板的屈曲和后屈曲行为必须有充分的认识.

采用经典薄板理论(CPT ) 讨论复合材料层合板后屈曲行为的论文已有许多, 但Q atu 和L eissa [1]所指出, 对于四边简支反对称正交铺设层合板受单向或双向压缩, 反对称正交铺设层合板受单向压缩、加载边简支或固支、非加载边自由或弹性支承, 反对称角铺设层合板有一个或多个非加载边自由和四边简支反对称角铺设层合板受剪切荷载等几种情况, 板在屈曲时不再保持平直. 换句话说, 前屈曲变形是非线性的. 因而, 对于非对称铺设层合板, 以往的许多分析结果是不可靠的. 当然也有例外的情况, 如四边简支反对称角铺设层合板, 在到达分支点荷载前, 板始终保持平直, 除非有初始几何缺陷存在[2].

基于K irchhoff 假设的经典板理论忽略了横向剪切变形效应的影响, 而这种影响在复合材料厚板

收稿日期:1998204210

沈惠申:男, 1947年生, 教授. 邮编:200030

　第11期

沈惠申:复合材料层合厚板后屈曲

中是明显的. 即便是对于层合薄板, 当面内弹性模量之比, 即E 11 E 22>25时, 横向剪切变形的影响亦不容忽略. 90年代以来研究者纷纷改用一阶剪切变形板理论(FSD PT ) 或高阶剪切变形板理论(H SD PT ) 来讨论复合材料层合板的后屈曲行为, 如文献[3～5]. 一阶剪切变形板理论的计算精度依赖于剪切系数. 对于各向同性厚板, 剪切系数是一个确定的数, 如R eissner 给出剪切系数为5 6, M indlin 给出剪切

2系数为Π 12, 而对于复合材料层合板, 剪切系数变为不确定, 由此造成计算结果的随意性. 高阶剪切变

形板理论不再需要剪切系数, 避免了人为性, 但增加了计算工作量. 广义位移作为基本未知量, 给求解带来更多的困难. 最近, 文献[6]中将R eddy 热后屈曲分析, 导出了广义大挠度Kar m an , 考虑两种面内边界条件, . . 分析中计, .

1考虑长为a 、宽为b 、厚度为t 的矩形层合板, 反对称角铺设或对称正交铺设, 铺层数为N . 板四边简支, 受到边缘压缩荷载作用. 令7x 和7y 分别为板中面法线相对于Y 和X 轴的转角, 以W 表示板的初始和附加的挠度, 以F 表示应力函数. 无量纲化后的广义Kar m an 型方程为[7]

和W 分别

(W ) -L

(7x ) -L

1323

(7y ) +Χ14L

1424

(F ) =ΧW +W 14ΒL (

, F )

(F ) +Χ24L

L L

3141

(7x ) +Χ24L

3242

(7y ) -Χ24L (7y ) +Χ14L (7y ) +Χ14L

(W ) =-(F ) =0(F ) =

ΧW W +224ΒL (

, W )

(W ) +L (W ) -L

(7x ) -L (7x ) +L

(1)

3343

3444

式中:

L L L L L L L L L L L L L

[***********]32334143

42444

()=Χ5x 4) +2Χ5x 25y 2) +Χ5y 4) 110(5 112Β(5 114Β(5 323()=Χ5x 3) +Χ5x 5y 2) 120(5 122Β(5 333()=Χ5x 25y ) +Χ5y 3) 131Β(5 133Β(5 434()=Χ5x 35y ) +Χ5x 5y 3) 141Β(5 143Β(5

2424()=(54 5x 4) +2Χ5x 25y 2) +Χ5y 4) 212Β(5 214Β(5 333()=Χ5x 25y ) +Χ5y 3) 221Β(5 223Β(5 323()=Χ5x 3) +Χ5x 5y 2) 230(5 232Β(5 434()=Χ5x 35y ) +Χ5x 5y 3) 241Β(5 243Β(5 323()=Χ 5x ) +Χ5x 3) +Χ5x 5y 2) 31(5310(5 312Β(5 222()=ΧΧ5x 2) -Χ5y 2) 31-320(5 322Β(5 2()=Χ5x 5y ) , 　L 331Β(5

()=L

()

333()=Χ 5y ) +Χ5x 25y ) +Χ5y 3) , 　L 41Β(5411Β(5 413Β(5 222()=ΧΧ5x 2) -Χ5y 2) , 　L 41-430(5 432Β(5

()=L

()

()=L

()

L ()=(5 5x 2) (52 5y 2) -2(52 5x 5y ) (52 5x 5y ) +(52 5y 2) (52 5x 2)

沿坐标轴板端部轴向缩短量亦可表为无量纲形式:

∆x =-2

4ΠΒ2Χ24

22Χ-24Χ516Β

x y ∆y =-24ΠΒ2Χ24

Π22Χ

ΒΧ+Χ-524Χ223Β+2-2

y 5x 5y 5x

Χ242x

-Χd x d y 24

x 22Χ-24Χ526Β

x y

Π2

22Χ+Χ-5Β24Χ230Β+2-2

5x y y x

(2)

2Χ24Β2y

-Χd x d y 24Β

y y

　　板的四边假定为简支的, 但面内边界考虑为两种:①可移简支, 即简支边界可分别沿x 或y 方向移

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第32卷　

动; ②纵边不可移简支, 即纵向边界沿y 方向不能移动, 但平行于边界的切向运动并不受到约束. 那么, 无量纲边界条件可描述如下:　　沿x =0, Π边界

(3a ) W =7y =0, 　F , x y =M x =P x =0

Β(5

Π20

F 5y 2) d y +4Κx Β=0(3b )

　　沿y =0, Π边界

W =7x =0, 　F , x y y 00

式(1) [7].

(的摄动解, 假定:

) =W (x , y , Ε) =7x (x , y , Ε

(3c ) (3d ) (3e )

52 5x ) d x ∑Εw

j =1

(x , y ) , 　F (x , y , Ε) =(x , y ) , 　7y (x , y , Ε) =

∑Εf

j =0

j =1

(x , y )

(4)

(x ,

y )

y j

∑ΕΩ

j =1

x j

∑ΕΩ

式中Ε为摄动小参数. w j (x , y ) 中的第一项取作和小挠度经典解一致, 即

(1)

w 1(x , y ) =A 11sin m x sin ny 初始几何缺陷假定具有相同的形式, 即

) =ΕW (x , y , Εa 11sin m x sin ny =ΕΛA

(1)

(5) (6)

sin m x sin ny

(1)

式中Λ=a 3. 11 A 11为缺陷参数

将式(3) 代入方程(1) , 可得各级摄动方程, 利用式(5) 和(6) 逐级求解这些摄动方程, 可得到大挠度渐近解:

(1) (3) (3) 3

　W =Ε[A 11sin m x sin ny ]+Ε[A 13sin m x sin 3ny +A 31sin 3m x sin ny ]+

(4) (4) (4) 45

) (7) Ε[A 22sin 2m x sin 2ny +A 24sin 2m x sin 4ny +A 42sin 4m x sin 2ny ]+O (Ε

　F =-B

B B B

(2)

02(4) 20(4) 24

(0) 00

-b

(0) 00

+Ε[B

(3) 13

(1) 11

co s m x co s ny ]+Ε-B

(3) 31

(2) 00

-b

(2) 00

(2) 20

co s 2m x +

co s 2ny +Ε[B

(4) 02

co s m x co s 3ny +B

(4) 22

co s 3m x co s ny ]+Ε-B

(4) 40

(4) 00

-b

(4) 00

co s 2m x +B co s 2ny +B

(4) 42

co s 2m x co s 2ny +B

5) +O (Ε()

co s 4m x +B

(4)

co s 4ny +

(8)

co s 2m x co s 4ny +B

() ()

()

co s 4m x co s 2ny

()

122333

　7x =Ε[C 11co s m x sin ny ]+Ε[C 02sin 2ny ]+Ε[C 13co s m x sin 3ny +C 31co s 3m x sin ny ]+

44444

Ε[C 02sin 2ny +C 22co s 2m x sin 2ny +C 04sin 4ny +C 24co s 2m x sin 4ny +(4) 5C 42co s 4m x sin 2ny ]+O (Ε)

()

(9)

(1) (2) (3) (3) 23

　7y =Ε[D 11sin m x co s ny ]+Ε[D 20sin 2m x ]+Ε[D 13sin m x co s 3ny +D 31sin 3m x co s ny ]+

(4) (4) (4) (4) 4

Ε[D 20sin 2m y +D 22sin 2m x co s 2ny +D 40sin 4m x +D 24sin 2m x co s 4ny +(4) 5C 42sin 4m x co s 2ny ]+O (Ε)

(10)

　　进一步, 将式(7) ～(10) 代入边界条件式(3b ) 和(3d ) 或(3e ) , 并经过摄动参数转换, 可导得后屈曲平衡路径为

(0) (2) (4) 24

(11) Κ+Κx =Κx x W m +Κx W m +…

() 24

∆x =∆x (0) +∆x (2) W m +∆x 4W m +…

式中W m 为板的最大无量纲挠度, 假定取在(x , y ) =(Π 2m , Π 2n ) 点, 且

(0) (2) (4) (0) (2) (Κ(S 0, S 2, S 4) =Κ=(C 11 Β2) (1+2Λ) 4Β2Χ32x , Κx , Κx ) =14C 11, 　∆x x C 00, 　∆x

444

) 2(1+2Λ) 2 ∆x (4) =(C 2Β2) ΧΧΧ25611 14Χ24(m 7J 13+n Β 6J 31) (1+Λ

(12)

(13)

　第11期

沈惠申:复合材料层合厚板后屈曲

其中:

S 0=(

(1+Λ) , 　S 2=

14Χ24(16Χ

(1+2Λ) , 　S 2=

14Χ24C 11(C 24256Χ

-C 44)

(11=g 08(13=g 138

+Χ, 　(14Χ24m n Β

g 06

Χ7

Χ6

+C 22

+Χm n Β(g 315g 317 g 316) 14Χ249

+n 88J

+Χm n Β(g 135g 137 g 136) , 　(14Χ249

=g 318

(14)

224

C 24=2(1+Λ) (1+2Λ) (2(m Χ7J +n 4Β4 Χ6J 31)

28C 44=(1+Λ) (1+2Λ) [2(1+Λ) +(1+2Λ) ](m 7J

222

对于可移简支情况:C 00=Χ24, C 11=C 13=m , C 31=9m , C 00=(Χ24-222222244Χ5) Χ24, C 11=m +Χ5n Β, C 13=m +5n Β, n (14) [7]. 式(13) 、

　　式(11{3 . . 对于完善板取Λ=0(或W t =0) , 并取

t 0) , 容易求得屈曲载荷, 其相应的屈曲模态为(m , n ) , 分别对应X —和Y —方向的半波W m =0(或数.

2　算例和讨论

作为算例, 计算了完善和非完善反对称角铺设和对称正交铺设层合板, 对应两种面内边界条件的多

种情况. 计算结果以无量纲图示给出, 其中Κ. 板x =Ρx (b t ) E 22. 对于所有算例取各层板有相同的厚度的材料常数取(除表1外) :E 11 E 22=40, G 12 E 22=G 13 E 22=0. 6, G 23 E 22=0. 5, Λ12=0. 25.

表1　(0 90) S 完善方板屈曲载荷比较

90) S lam i nated square plates Tab . 1　Co m par ison s of i n iti al buckli ng load Ρx (b t ) E 22for perfect (0

with differen t values of E 11 E 22(G 12 E 22=G 13 E 22=0. 5, G 23 E 22=0. 6, Λ12=0. 25and b t =10. 0)

E 11 E 22

本　文

　　5. 3933

9. 940615. 298419. 674423. 3400

文献[8]

文献[9]

　5. 3959. 94515. 30119. 67123. 329

文献[10]

　5. 40269. 959015. 320119. 687223. 3330

文献[11]

　5. 32549. 827015. 139419. 481023. 1170

文献[12]

　5. 29449. 762115. 019119. 304022. 8807

CPT 5. 753811. 492019. 712027. 936036. 1600

310203040

　　5. 3933

9. 940615. 298019. 674023. 3400

　　5. 3991

9. 965215. 351019. 756023. 4530

　　作为比较, 首先计算了(0 90) S 对称正交铺设完善方板, 对应不同模数比E 11 E 22时的屈曲载荷和(±45) T 反对称角铺设完善方板, 对应不同宽厚比b . 计算结果列在表1和表2中, 并与t 时的屈曲载荷已有文献[8～13]结果作了比较. 计算结果表明, 本文结果与R eddy 的计算结果一致, 且与其他高阶理论结果及三维弹性力学结果有相当好的符合, 而经典板理论对于中厚板或厚板给出过高的屈曲载荷. 表2显示, 对于(±45) T 层合厚板(b t =5) , 当计及屈曲模态变化时可得到更低的屈曲载荷.

　　图1和图2分别给出可移简支和纵边不可移简支两种情况下, (±452) T 和(0 90) S 层合方板, 对应不同宽厚比b t (=10. 0, 5. 0) 后屈曲载荷—挠度曲线, 并与经典板理论结果作了比较. 计算结果表明, 对于b t =10. 0, (±452) T 层合板其屈曲荷载在可移简支情况下为经典解的45%, 在纵边不可移简支情况　　　　3

表2　(±45) T 完善方板屈曲载荷比较

. 2　Co m par ison s of i n iti al buckli ng load Ρx (b Tab t ) E 22

for perfect (±45) T lam i nated square plates with differen t

values of b t (E 11 E 22=40, G 12 E 22=G 13 E 22=0. 6, G 23 E 22=0. 5and Λ=0. 25)

b t

本　文

H SD PT 21. 666(1, 1) 321. 539(1, 1)

21. 046(1, 1) 20. 6915(1, 1) 19. 2868(1, 1) 18. 154(1, 1) 12. 270(1, 1) 10. 8807(2, 1)

文献[13]

H SD PT 21. 66621. 53921. 04620. 69119. 28619. 15412. 270

CPT

[1**********]. 5105

21. 7086

括号内的值对应屈曲模态(m , n )

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第32卷　

下为经典解的39%, 而对于b 90) S 层合板其屈曲载荷在两种面内边界条件情况下皆为经t =10. 0, (0 典解的41%.图示表明, 面内边界条件不仅对屈曲载荷有影响, 对后屈曲平衡路径亦有显著影响. 通常随着b . 同时可以看出(0 90) S 层合板的后屈曲平衡路径t 的减小, 屈曲载荷和后屈曲平衡路径都下降

要比(±452) T 层合板的后屈曲平衡路径陡得多, 在挠度较大的后屈曲范围(0 90) S 厚板比薄板有更高的后屈曲强度

图1　(±452) T 层合板后屈曲载荷-挠度曲线, 高阶理论和经典理论比较

F ig . 1　Po stbuck ling load 2deflecti on curves of (±452) T p lates by using H SD PT and

CPT

图2　(0 90) S 层合板后屈曲载荷-挠度曲线, 高阶理论和经典理论比较

90) S p lates by using H SD PT and

CPT F ig . 2　Po stbuck ling load 2deflecti on curves of (0

图3　长宽比Β对(±452) T 层合板后屈曲影响

F ig . 3　Effect of p late aspect rati o Βon po stbuck ling of (±452) T p lates

　　图3和图4分别给出不同长宽比Β(=1. 0, 3. 0) 和不同铺层数N (=4, 10) 对反对称角铺设层合板后屈曲性态的影响. 由图3可见, 对于可移简支情况, 长宽比的影响很小, 而对于纵边不可移简支情况,

　第11期

沈惠申:复合材料层合厚板后屈曲

长宽比有较大影响. 由图4可见, 屈曲载荷和后屈曲强度随着铺层数的增加而增加, 但铺层数的影响相对较小. 在图3和图4中, 宽厚比皆取为b ～4中示出

. t =10. 0. 初始几何缺陷的影响也同时在图1

图4　铺层数N 对反对称角铺设层合板后屈曲影响

F ig . 4　Effect of to tal num ber of p lies N on po stbuck ling of lam inated p lates

3　结　论

本文在R eddy 高阶剪切变形板理论框架下, 采用广义的Kar m an 型方程讨论复合材料层合厚板后屈曲行为. 给出完善和非完善反对称角铺设和对称正交铺设层合板在可移简支和纵边不可移简支两种面内边界条件下的后屈曲平衡路径. 计算结果表明, 本文方法具有直观、可操作性强、精度较高和易于作参数分析等多项优点.

参

考

文

献

1　Q atu M S , L eissa A W . Buck ling o r transverse defo r m ati on of unsymm etrically lam inated p lates subjected to inp lane

. A I ～194loads AA J , 1993, 31:189

2　沈惠申. 反对称角铺设层合板的屈曲和后屈曲. 应用数学和力学, 1990, 11:1083～1092

3　L ibrescu L , Stein M . A geom etrically nonlinear theo ry of transversely iso trop ic lam inated compo site p lates and its

. T h in 2～201use in the po stbuck ling analysis W alled Structures , 1991, 11:177

4　Bh i m araddi A . Buck ling and po stbuck ling behavi o r of lam inated p lates using the generalized nonlinear fo r m ulati on .

～715Int J M ech Sci , 1992, 34:703

5　Sundaresan P , Singh G , R ao G V . Buck ling and po stbuck ling analysis of moderately th ick lam inated rectangular

. Computers and Structures , 1996, 61:79～86p lates

6　沈惠申. 高阶剪切变形板理论Kar m an 型方程及在热后屈曲分析中的应用. 应用数学和力学, 1997, 18:1059～10737　Shen H S . T her mom echanical po stbuck ling analysis of i m perfect lam inated p lates using a h igher 2o rder shear defo r 2

～86m ati on theo ry . Computers and Structures , 1996, 61:79

8　Putcha N S , R eddy J N . Stability and natural vibrati on analysis of lam inated p lates by using a m ixed elem ent based

～300on a refined p late theo ry . J Sound V ibrati on , 1986, 104:285

9　Khdeir A A , L ibrescu L . A nalysis of symm etric cro ss 2p ly lam inated elastic p lates using a h igher 2o rder theo ry :Part

2～277Buck ling and free vibrati on . Compo site Structures , 1988, 9:259

10　Ow en D R J , L i Z H . A refined analysis of lam inated p lates by finite elem ent disp lacem ent m ethods 2 :vibrati on

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11　W ang W J , T seng Y P , L in K J . Stability of lam inated p lates using finite stri p m ethod based on a h igher 2o rder

～76p late theo ry . Compo site Structures , 1996, 34:65

12　N oo r A K . Stability of m ultilayered compo site p lates . F ibre Sci T ech , 1975, 8:81～89

13　Senth ilnathan N R , L i . A I ～1271m S P , L ee K H . Buck ling of shear 2defo r m able p lates AA J , 1987, 25:1268

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复合材料层合厚板后屈曲

沈　惠　申

(上海交通大学建筑工程与力学学院)

摘　要　基于R eddy 高阶剪切变形板理论, 曲分析. , 计及板的初始几何缺陷. , 给出四边简支反对、长宽比、铺层数、面内.

; 屈曲; 后屈曲; 厚板; 高阶剪切板理论中图法分类号　O 343

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p late theo ry

基于K irchhoff 假设的经典板理论忽略了横向剪切变形效应的影响, 而这种影响在复合材料厚板

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　第11期

沈惠申:复合材料层合厚板后屈曲

2系数为Π 12, 而对于复合材料层合板, 剪切系数变为不确定, 由此造成计算结果的随意性. 高阶剪切变

和W 分别

(W ) -L

(7x ) -L

1323

(7y ) +Χ14L

1424

(F ) =ΧW +W 14ΒL (

, F )

(F ) +Χ24L

L L

3141

(7x ) +Χ24L

3242

(7y ) -Χ24L (7y ) +Χ14L (7y ) +Χ14L

(W ) =-(F ) =0(F ) =

ΧW W +224ΒL (

, W )

(W ) +L (W ) -L

(7x ) -L (7x ) +L

(1)

3343

3444

式中:

L L L L L L L L L L L L L

[***********]32334143

42444

()=Χ5x 4) +2Χ5x 25y 2) +Χ5y 4) 110(5 112Β(5 114Β(5 323()=Χ5x 3) +Χ5x 5y 2) 120(5 122Β(5 333()=Χ5x 25y ) +Χ5y 3) 131Β(5 133Β(5 434()=Χ5x 35y ) +Χ5x 5y 3) 141Β(5 143Β(5

()=L

()

333()=Χ 5y ) +Χ5x 25y ) +Χ5y 3) , 　L 41Β(5411Β(5 413Β(5 222()=ΧΧ5x 2) -Χ5y 2) , 　L 41-430(5 432Β(5

()=L

()

()=L

()

L ()=(5 5x 2) (52 5y 2) -2(52 5x 5y ) (52 5x 5y ) +(52 5y 2) (52 5x 2)

沿坐标轴板端部轴向缩短量亦可表为无量纲形式:

∆x =-2

4ΠΒ2Χ24

22Χ-24Χ516Β

x y ∆y =-24ΠΒ2Χ24

Π22Χ

ΒΧ+Χ-524Χ223Β+2-2

y 5x 5y 5x

Χ242x

-Χd x d y 24

x 22Χ-24Χ526Β

x y

Π2

22Χ+Χ-5Β24Χ230Β+2-2

5x y y x

(2)

2Χ24Β2y

-Χd x d y 24Β

y y

　　板的四边假定为简支的, 但面内边界考虑为两种:①可移简支, 即简支边界可分别沿x 或y 方向移

上　海　交　通　大　学　学　报

第32卷　

动; ②纵边不可移简支, 即纵向边界沿y 方向不能移动, 但平行于边界的切向运动并不受到约束. 那么, 无量纲边界条件可描述如下:　　沿x =0, Π边界

(3a ) W =7y =0, 　F , x y =M x =P x =0

Β(5

Π20

F 5y 2) d y +4Κx Β=0(3b )

　　沿y =0, Π边界

W =7x =0, 　F , x y y 00

式(1) [7].

(的摄动解, 假定:

) =W (x , y , Ε) =7x (x , y , Ε

(3c ) (3d ) (3e )

52 5x ) d x ∑Εw

j =1

(x , y ) , 　F (x , y , Ε) =(x , y ) , 　7y (x , y , Ε) =

∑Εf

j =0

j =1

(x , y )

(4)

(x ,

y )

y j

∑ΕΩ

j =1

x j

∑ΕΩ

式中Ε为摄动小参数. w j (x , y ) 中的第一项取作和小挠度经典解一致, 即

(1)

w 1(x , y ) =A 11sin m x sin ny 初始几何缺陷假定具有相同的形式, 即

) =ΕW (x , y , Εa 11sin m x sin ny =ΕΛA

(1)

(5) (6)

sin m x sin ny

(1)

式中Λ=a 3. 11 A 11为缺陷参数

将式(3) 代入方程(1) , 可得各级摄动方程, 利用式(5) 和(6) 逐级求解这些摄动方程, 可得到大挠度渐近解:

(1) (3) (3) 3

　W =Ε[A 11sin m x sin ny ]+Ε[A 13sin m x sin 3ny +A 31sin 3m x sin ny ]+

(4) (4) (4) 45

) (7) Ε[A 22sin 2m x sin 2ny +A 24sin 2m x sin 4ny +A 42sin 4m x sin 2ny ]+O (Ε

　F =-B

B B B

(2)

02(4) 20(4) 24

(0) 00

-b

(0) 00

+Ε[B

(3) 13

(1) 11

co s m x co s ny ]+Ε-B

(3) 31

(2) 00

-b

(2) 00

(2) 20

co s 2m x +

co s 2ny +Ε[B

(4) 02

co s m x co s 3ny +B

(4) 22

co s 3m x co s ny ]+Ε-B

(4) 40

(4) 00

-b

(4) 00

co s 2m x +B co s 2ny +B

(4) 42

co s 2m x co s 2ny +B

5) +O (Ε()

co s 4m x +B

(4)

co s 4ny +

(8)

co s 2m x co s 4ny +B

() ()

()

co s 4m x co s 2ny

()

122333

　7x =Ε[C 11co s m x sin ny ]+Ε[C 02sin 2ny ]+Ε[C 13co s m x sin 3ny +C 31co s 3m x sin ny ]+

44444

Ε[C 02sin 2ny +C 22co s 2m x sin 2ny +C 04sin 4ny +C 24co s 2m x sin 4ny +(4) 5C 42co s 4m x sin 2ny ]+O (Ε)

()

(9)

(1) (2) (3) (3) 23

　7y =Ε[D 11sin m x co s ny ]+Ε[D 20sin 2m x ]+Ε[D 13sin m x co s 3ny +D 31sin 3m x co s ny ]+

(4) (4) (4) (4) 4

Ε[D 20sin 2m y +D 22sin 2m x co s 2ny +D 40sin 4m x +D 24sin 2m x co s 4ny +(4) 5C 42sin 4m x co s 2ny ]+O (Ε)

(10)

　　进一步, 将式(7) ～(10) 代入边界条件式(3b ) 和(3d ) 或(3e ) , 并经过摄动参数转换, 可导得后屈曲平衡路径为

(0) (2) (4) 24

(11) Κ+Κx =Κx x W m +Κx W m +…

() 24

∆x =∆x (0) +∆x (2) W m +∆x 4W m +…

式中W m 为板的最大无量纲挠度, 假定取在(x , y ) =(Π 2m , Π 2n ) 点, 且

(0) (2) (4) (0) (2) (Κ(S 0, S 2, S 4) =Κ=(C 11 Β2) (1+2Λ) 4Β2Χ32x , Κx , Κx ) =14C 11, 　∆x x C 00, 　∆x

444

) 2(1+2Λ) 2 ∆x (4) =(C 2Β2) ΧΧΧ25611 14Χ24(m 7J 13+n Β 6J 31) (1+Λ

(12)

(13)

　第11期

沈惠申:复合材料层合厚板后屈曲

其中:

S 0=(

(1+Λ) , 　S 2=

14Χ24(16Χ

(1+2Λ) , 　S 2=

14Χ24C 11(C 24256Χ

-C 44)

(11=g 08(13=g 138

+Χ, 　(14Χ24m n Β

g 06

Χ7

Χ6

+C 22

+Χm n Β(g 315g 317 g 316) 14Χ249

+n 88J

+Χm n Β(g 135g 137 g 136) , 　(14Χ249

=g 318

(14)

224

C 24=2(1+Λ) (1+2Λ) (2(m Χ7J +n 4Β4 Χ6J 31)

28C 44=(1+Λ) (1+2Λ) [2(1+Λ) +(1+2Λ) ](m 7J

222

对于可移简支情况:C 00=Χ24, C 11=C 13=m , C 31=9m , C 00=(Χ24-222222244Χ5) Χ24, C 11=m +Χ5n Β, C 13=m +5n Β, n (14) [7]. 式(13) 、

　　式(11{3 . . 对于完善板取Λ=0(或W t =0) , 并取

t 0) , 容易求得屈曲载荷, 其相应的屈曲模态为(m , n ) , 分别对应X —和Y —方向的半波W m =0(或数.

2　算例和讨论

作为算例, 计算了完善和非完善反对称角铺设和对称正交铺设层合板, 对应两种面内边界条件的多

表1　(0 90) S 完善方板屈曲载荷比较

90) S lam i nated square plates Tab . 1　Co m par ison s of i n iti al buckli ng load Ρx (b t ) E 22for perfect (0

with differen t values of E 11 E 22(G 12 E 22=G 13 E 22=0. 5, G 23 E 22=0. 6, Λ12=0. 25and b t =10. 0)

E 11 E 22

本　文

　　5. 3933

9. 940615. 298419. 674423. 3400

文献[8]

文献[9]

　5. 3959. 94515. 30119. 67123. 329

文献[10]

　5. 40269. 959015. 320119. 687223. 3330

文献[11]

　5. 32549. 827015. 139419. 481023. 1170

文献[12]

　5. 29449. 762115. 019119. 304022. 8807

CPT 5. 753811. 492019. 712027. 936036. 1600

310203040

　　5. 3933

9. 940615. 298019. 674023. 3400

　　5. 3991

9. 965215. 351019. 756023. 4530

表2　(±45) T 完善方板屈曲载荷比较

. 2　Co m par ison s of i n iti al buckli ng load Ρx (b Tab t ) E 22

for perfect (±45) T lam i nated square plates with differen t

values of b t (E 11 E 22=40, G 12 E 22=G 13 E 22=0. 6, G 23 E 22=0. 5and Λ=0. 25)

b t

本　文

H SD PT 21. 666(1, 1) 321. 539(1, 1)

21. 046(1, 1) 20. 6915(1, 1) 19. 2868(1, 1) 18. 154(1, 1) 12. 270(1, 1) 10. 8807(2, 1)

文献[13]

H SD PT 21. 66621. 53921. 04620. 69119. 28619. 15412. 270

CPT

[1**********]. 5105

21. 7086

括号内的值对应屈曲模态(m , n )

上　海　交　通　大　学　学　报

第32卷　

要比(±452) T 层合板的后屈曲平衡路径陡得多, 在挠度较大的后屈曲范围(0 90) S 厚板比薄板有更高的后屈曲强度

图1　(±452) T 层合板后屈曲载荷-挠度曲线, 高阶理论和经典理论比较

F ig . 1　Po stbuck ling load 2deflecti on curves of (±452) T p lates by using H SD PT and

CPT

图2　(0 90) S 层合板后屈曲载荷-挠度曲线, 高阶理论和经典理论比较

90) S p lates by using H SD PT and

CPT F ig . 2　Po stbuck ling load 2deflecti on curves of (0

图3　长宽比Β对(±452) T 层合板后屈曲影响

F ig . 3　Effect of p late aspect rati o Βon po stbuck ling of (±452) T p lates

　第11期

沈惠申:复合材料层合厚板后屈曲

长宽比有较大影响. 由图4可见, 屈曲载荷和后屈曲强度随着铺层数的增加而增加, 但铺层数的影响相对较小. 在图3和图4中, 宽厚比皆取为b ～4中示出

. t =10. 0. 初始几何缺陷的影响也同时在图1

图4　铺层数N 对反对称角铺设层合板后屈曲影响

F ig . 4　Effect of to tal num ber of p lies N on po stbuck ling of lam inated p lates

3　结　论

参

考

文

献

1　Q atu M S , L eissa A W . Buck ling o r transverse defo r m ati on of unsymm etrically lam inated p lates subjected to inp lane

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复合材料层合厚板后屈曲

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