整式中求阴影图形面积的数学思想
在整式一章中，经常遇到求图形阴影部分的面积问题。现在特将求图形阴影部分面积的数学思想归纳如下，供同学们学习时参考。
1、运用整体的思想
1．1把分散的图形重新组合成整体
例1、如图1，某正方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆的半径为r 米，正方形的边长为a 米。
（1）请用代数式表示空地的面积。
（2）若正方形的边长为300米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留π）。 分析：正方形的四个角上的四个扇形，因为它们的半径是相同的，所以，这四个分散的扇形就可以拼成一个半径为r 米的整圆。这样，阴影部分的面积就等于正方形的面积减去两个圆的面积。
解：
1、空地的面积为a 2－πr 2（平方米）
2、当a=300，r=10时，广场空地的面积为：90000－100π（平方米）
例2、如图2，四个直角三角形的直角边的长都是a ，正方形的边长为a ，试用整式表示阴影部分的面积。
分析：图中的四个直角三角形，通过平移、旋转等手段，就可以将四个直角三角形拼成两个边长为a 的正方形，这样阴影部分的面积就等于长方形的面积减去三个正方形的面积。
解：阴影部分的面积为：xy-3a 。
1．2 把不完整的图形补成整体
例3、如图3，根据图中的信息，求阴影部分的面积。
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分析：这是一个不规则的图形，要想求出阴影部分的面积是不容易计算的。
但是，我们发现这个图形可以通过线段延长的方法，把原来不完整的图形补成一个完整的长方形。这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积减去右上角空白长方形的面积。问题解决。 解：如图4，延长线段，把图形补成一个长方形，则空白长方形的长为b-t ，宽为a-t ， 所以，阴影部分的面积为：ab-（b-t ）（a-t ）=at+bt-t。
例4、一家住房的结构如图5，所示，房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地板砖，至少需要多少平方米的地板砖？如果这种地板砖的价格为a 元/平方米，那么购买地板砖至少需要多少元？
分析：这是一个不规则的图形，阴影部分的面积有三个不同的长方形的面积组成，如果一个一个的去求就会显得很繁琐，但是，我们发现这个图形可以通过线段延长的方法，把原来不完整的图形补成一个完整的长方形。这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积减去右上角空白长方形的面积和左上角空白长方形的面积。问题就容易解决。
解：如图6，延长线段，把图形补成一个长方形，则右上角空白长方形的长为2y ，宽为2x ， 左上角空白长方形的长为y ，宽为x ，所以，阴影部分的面积为：4x ×4y-x ×y-2x ×2y=11xy平方米，
又因为这种地板砖的价格为a 元/平方米，所以购买地板砖至少需要11xya 元。
2、运用分割的思想：把不规则的图形分割成几个不同或相同的规则图形。
例5如图7，阴影部分的面积是（ ）
A ．27xy 2B ．9xy 2C ．4xy D．2xy
分析：这是一个不规则的图形，
但是，我们发现这个图形可以通
过线段延长的方法，把原来不完
整的图形分割成两个个完整的长
方形。这样阴影部分的面积就等
于大长方形的面积加上小长方形的面积。问题就容易解决。
解：如图8，延长线段，把图形分割成两个长方形，大长方形的面积为：2y ×1.5x=3xy，
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整式中求阴影图形面积的数学思想
在整式一章中，经常遇到求图形阴影部分的面积问题。现在特将求图形阴影部分面积的数学思想归纳如下，供同学们学习时参考。
1、运用整体的思想
1．1把分散的图形重新组合成整体
例1、如图1，某正方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆的半径为r 米，正方形的边长为a 米。
（1）请用代数式表示空地的面积。
（2）若正方形的边长为300米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留π）。 分析：正方形的四个角上的四个扇形，因为它们的半径是相同的，所以，这四个分散的扇形就可以拼成一个半径为r 米的整圆。这样，阴影部分的面积就等于正方形的面积减去两个圆的面积。
解：
1、空地的面积为a 2－πr 2（平方米）
2、当a=300，r=10时，广场空地的面积为：90000－100π（平方米）
例2、如图2，四个直角三角形的直角边的长都是a ，正方形的边长为a ，试用整式表示阴影部分的面积。
分析：图中的四个直角三角形，通过平移、旋转等手段，就可以将四个直角三角形拼成两个边长为a 的正方形，这样阴影部分的面积就等于长方形的面积减去三个正方形的面积。
解：阴影部分的面积为：xy-3a 。
1．2 把不完整的图形补成整体
例3、如图3，根据图中的信息，求阴影部分的面积。
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分析：这是一个不规则的图形，要想求出阴影部分的面积是不容易计算的。
但是，我们发现这个图形可以通过线段延长的方法，把原来不完整的图形补成一个完整的长方形。这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积减去右上角空白长方形的面积。问题解决。 解：如图4，延长线段，把图形补成一个长方形，则空白长方形的长为b-t ，宽为a-t ， 所以，阴影部分的面积为：ab-（b-t ）（a-t ）=at+bt-t。
例4、一家住房的结构如图5，所示，房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地板砖，至少需要多少平方米的地板砖？如果这种地板砖的价格为a 元/平方米，那么购买地板砖至少需要多少元？
分析：这是一个不规则的图形，阴影部分的面积有三个不同的长方形的面积组成，如果一个一个的去求就会显得很繁琐，但是，我们发现这个图形可以通过线段延长的方法，把原来不完整的图形补成一个完整的长方形。这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积减去右上角空白长方形的面积和左上角空白长方形的面积。问题就容易解决。
解：如图6，延长线段，把图形补成一个长方形，则右上角空白长方形的长为2y ，宽为2x ， 左上角空白长方形的长为y ，宽为x ，所以，阴影部分的面积为：4x ×4y-x ×y-2x ×2y=11xy平方米，
又因为这种地板砖的价格为a 元/平方米，所以购买地板砖至少需要11xya 元。
2、运用分割的思想：把不规则的图形分割成几个不同或相同的规则图形。
例5如图7，阴影部分的面积是（ ）
A ．27xy 2B ．9xy 2C ．4xy D．2xy
分析：这是一个不规则的图形，
但是，我们发现这个图形可以通
过线段延长的方法，把原来不完
整的图形分割成两个个完整的长
方形。这样阴影部分的面积就等
于大长方形的面积加上小长方形的面积。问题就容易解决。
解：如图8，延长线段，把图形分割成两个长方形，大长方形的面积为：2y ×1.5x=3xy，
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