二次函数与几何综合
【专题思路剖析】
二次函数与几何图形相结合的综合问题, 是近年来全国各地中考的热点题型, 大部分也是全卷的压轴题, 具有较好的区分度和选拔功能. 此类试题不仅可以考查二次函数和平面几何的基础知识, 还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法, 以及阅读理解能力、收集处理信息的能力、运用数学知识对问题的探究能力等. 解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识, 并充分挖掘题目中的隐含条件, 以达到解题目的。
二次函数与几何综合中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．
近年来，二次函数与几何的综合题成为中考的热点。解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，相互渗透。下面就二次函数与三角形、四边形及其之间线段与面积等问题的综合运用分别举例分析，涉及圆的问题近年来相对较少。 【典型例题赏析】
类型1：二次函数与三角形的综合运用：
特殊图形的判定问题，常与点的存在性问题相结合，解决此类问题的关键是要熟练掌握特殊图形的判定方法及性质，如：等腰三角形是直角、等边三角形的三边相等. 解决此类问题最常用的方法是假设法，一般先假设存在满足题意的点，根据特殊图形的性质画出草图，确定点的位置，然后根据题中已知条件和特殊图形的性质及判定方法建立动点与已知点的关系，最后列方程求解. 在画草图时，要做到不重不漏地画出所有可能的情况，以免在求解过程中遗漏答案， 对所求出的结果要进行检验，看是否符合题意，如果不符合题意，应舍去. 例题1：（2015，福建南平，24，分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax+bx的对称轴为x=，且经过点A （2，1），点P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为m （0＜m ＜2），过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，PB 交OA 于点C ，点O 关于直线PB 的对称点为D ，连接CD ，AD ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ． （1）求抛物线的解析式； （2）填空：
①用含m 的式子表示点C ，D 的坐标： C （ m ， m ），D （ 2m ， 0 ）；
2
②当m= 1 时，△ACD 的周长最小；
（3）若△ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a ，b 的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；
（2）①设OA 所在的直线解析式为y=kx，将点A （2，1）代入求得OA 所在的解析式为y=x，因为PC ⊥x 轴，所以C 得横坐标与P 的横坐标相同，为m ，令x=m，则y=m，所以得出点C （m ， m），又点O 、D 关于直线PB 的对称，所以由中点坐标公式可得点D 的横坐标为2m ，则点D 的坐标为（2m ，0）；
②因为O 与D 关于直线PB 的对称，所以PB 垂直平分OD ，则CO=CD，因为，△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO=
=
=
，所以当AD 最小时，△ACD 的周
长最小；根据垂线段最短，可知此时点D 与E 重合，其横坐标为2，故m=1．
（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC 、AC 、AD 用m 表示，然后分情况讨论分别得到关于m 的方程，解得m ，再根据已知条件选取复合体艺的点P 坐标即可． 解答： 解：（1）依题意，得∴y=x﹣x
（2）C （m ， m），D （2m ，0），m=1 （3）依题意，得B （m ，0） 在RT △OBC 中，OC =OB+BC=m+∴OC=
2
2
2
2
2
，解得
=m，
2
m 又∵O ，D 关于直线PC 对称，
∴CD=OC=m
=
=
在RT △AOE 中，OA=∴AC=OA﹣OC=
﹣m
2
2
2
2
在RT △ADE 中，AD =AE+DE=1+（2﹣2m ）=4m﹣8m+5 分三种情况讨论： ①若AC=CD，即
﹣
2
22
m=
2
m ，解得m=1，∴P （1，
2
2
）
②若AC=AD，则有AC =AD，即5﹣5m+m=4m﹣8m+5 解得m 1=0，m 2=
．∵0＜m ＜2，∴m=
2
2
2
，∴P （
2
，）
③若DA=DC，则有DA =DC，即4m ﹣8m+5=m 解得m 1=
，m 2=2，∵，0＜m ＜2，∴m=
，∴P （
，
）
），P 2（
，
），
综上所述，当△ACD 为等腰三角形是，点P 的坐标分别为P 1（1，P 3（
，
）．
点评： 此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．
【变式练习】
（2015•辽宁省朝阳, 第25题12分）如图，已知经过点D （2，﹣
）的抛物线y=（x+1）
（x ﹣3）（m 为常数，且m ＞0）与x 轴交于点A 、B （点A 位于B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）填空：m 的值为
，点A 的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD ，在x 轴上方作射线AE ，使∠BAE=∠BAD ，过点D 作x 轴的垂线交射线AE 于点E ； （3）动点M 、N 分别在射线AB 、AE 上，求ME+MN的最小值；
（4）t 是过点A 平行于y 轴的直线，P 是抛物线上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为点G ，请你探究：是否存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把点D 坐标代入抛物线y=（x+1）（x ﹣3），即可得出m 的值，再令y=0，即可得出点A ，B 坐标；
（2）根据尺规作图的要求，画出图形，如图1所示；
（3）过点D 作射线AE 的垂线，垂足为N ，交AB 于点M ，此时DN 的长度即为ME+MN的最小值；
（4）假设存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似，设点P 坐标，再表示出点G 坐标，计算△ABD 的三边，根据勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，即可得出结论，若△ABD 是直角三角形，即可得出相似，再得出对应边成比例，求得点P 坐标即可． 解答： 解：（1）∵抛物线y=（x+1）（x ﹣3）经过点D （2，﹣∴m=把m=即y=
，
代入y=（x+1）（x ﹣3），得y=x ﹣
2
），
（x+1）（x ﹣3），
x ﹣；
令y=0，得（x+1）（x ﹣3）=0， 解得x=﹣1或3，
∴A （﹣1，0），B （3，0）； （2）如图1所示；
（3）过点D 作射线AE 的垂线，垂足为N ，交AB 于点M ，设DE 与x 轴交于点H ，如图2， 由（1）（2）得点D 与点E 关于x 轴对称， ∴MD=ME， ∵AH=3，DH=
，
∴AD=2，
∴∠BAD=∠BAE=30°， ∴∠DAN=60°， ∴sin ∠DAN=∴sin60°=∴DN=3，
∵此时DN 的长度即为ME+MN的最小值， ∴ME+MN的最小值为3；
（4）假设存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似，如图3， ∵P 是抛物线上一点， ∴设点P 坐标（x ，∴点G 坐标（﹣1，
x ﹣x ﹣
22
， ，
x ﹣x ﹣
）； ）， ）；
∵A （﹣1，0），B （3，0），D （2，﹣∴AB=4，BD=2，AD=2
，
∴△ABD 为直角三角形的形状，
△ABD 与以P 、G 、A 为顶点的三角形相似， 分两种情况： ①△ABD ∽△PAG ， ∴
=
，
（
x ﹣
2
∴2（x+1）=2x ﹣），
解得x 1=4，x 2=﹣1（舍去）， ∴P （4，
）；
②△ABD ∽△APG ， ∴∴2
=
， （x+1）=2（
x ﹣
2
x ﹣），
解得x 1=6，x 2=﹣1（舍去）， ∴P （6，7
）；
∴点P 坐标（4，）或（6，7）．
点评： 本题考查了二次函数的综合题，还考查了用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和逆定理以及轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．
类型2：二次函数与四边形的综合运用：
解决二次函数与四边形综合题的时，关键是建立合适的函数模型，将四边形问题和二次函数的解析式相结合. 此类型题考查方式比较灵活，经常在四边形特别是正方形、菱形等几
何图形中进行变换. 解题时需要在熟练掌握二次函数图象与性质的基础上，运用数形结合和分类讨论思想，将面积问题转化为函数关系问题. 解题技巧一般是过特殊点作x 轴或y 轴的垂线，从而将边之间关系问题转化为线段问题，建立未知量和已知变量之间的联系，勾股定理等有关手段解决相应的问题。
例题2：（2015•贵州省贵阳, 第24题9分）如图，经过点C （0，﹣4）的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x 轴相交于A （﹣2，0），B 两点．
（1）a ＞ 0，b ﹣4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）； （2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
2
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题．
分析： （1）根据抛物线开口向上，且与x 轴有两个交点，即可做出判断；
（2）由抛物线的对称轴及A 的坐标，确定出B 的坐标，将A ，B ，C 三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出抛物线解析式；
（3）存在，理由为：假设存在点E 使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C 作CE ∥x 轴，交抛物线于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交x 轴于点F ，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E′，使得以A ，C ，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC 交x 轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F′，AC ∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x 轴于点G ，分别求出E 坐标即可． 解答： 解：（1）a ＞0，b ﹣4ac ＞0； （2）∵直线x=2是对称轴，A （﹣2，0）， ∴B （6，0），
2
∵点C （0，﹣4），将A ，B ，C 的坐标分别代入y=ax+bx+c， 解得：a=，b=﹣，c=﹣4，
∴抛物线的函数表达式为y=x﹣x ﹣4； （3）存在，理由为：
（i ）假设存在点E 使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形， 过点C 作CE ∥x 轴，交抛物线于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交x 轴于点F ，如图1所示，
2
2
则四边形ACEF 即为满足条件的平行四边形， ∵抛物线y=x﹣x ﹣4关于直线x=2对称， ∴由抛物线的对称性可知，E 点的横坐标为4， 又∵OC=4，
∴E 的纵坐标为﹣4， ∴存在点E （4，﹣4）；
（ii ）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A ，C ，F′，E′为顶点所组成的四边形是 平行四边形，过点E′作E′F′∥AC 交x 轴于点F′， 则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC=E′F′，AC ∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x 轴于点G ，
2
∵AC ∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO ≌△E′F′G， ∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4， ∴4=x﹣x ﹣4，
2
解得：x 1=2+2，x 2=2﹣2，
，4），同理可得点E″的坐标为（2﹣2
，4）．
∴点E′的坐标为（2+2
点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
【变式练习】
（2015•梧州, 第26题12分）如图，抛物线y=ax+bx+2与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中B （4，0）、C （﹣2，0），连接AB 、AC ，在第一象限内的抛物线上有一动点D ，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，交AB 于点F ． （1）求此抛物线的解析式；
（2）在DE 上作点G ，使G 点与D 点关于F 点对称，以G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求G 点的横坐标；
（3）过D 点作直线DH ∥AC 交AB 于H ，当△DHF 的面积最大时，在抛物线和直线AB 上分别取M 、N 两点，并使D 、H 、M 、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M 、N 两点的横坐标．
2
考点： 二次函数综合题．所有
分析： （1）根据B ，C 两点在抛物线y=ax+bx+2上，代入抛物线得到方程组，求出a ，b 的值，即可解答；
（2）先求出直线AB 的解析式为y=﹣x+2，设F 点的坐标为（x ，为（x ，
x+2），则D 点的坐标
），
2
），根据G 点与D 点关于F 点对称，所以G 点的坐标为（x ，
若以G 为圆心，GD 为半径作圆，使得⊙G 与其中一条坐标轴相切，分两种情况解答：①若⊙G 与x 轴相切则必须由DG=GE；②若⊙G 与y 轴相切则必须由DG=OE；
（3）M 点的横坐标为2±2，N 点的横坐标为±2
2
．
解答： 解：（1）∵B ，C 两点在抛物线y=ax+bx+2上， ∴
，
解得：．
∴所求的抛物线为：y=（2）抛物线y=
．
，则点A 的坐标为（0，2），
设直线AB 的解析式为y=kx+b， ∴
，
解得：．
∴直线AB 的解析式为y=﹣x+2， 设F 点的坐标为（x ，
x+2），则D 点的坐标为（x ，
），
∵G 点与D 点关于F 点对称， ∴G 点的坐标为（x ，
），
若以G 为圆心，GD 为半径作圆，使得⊙G 与其中一条坐标轴相切， ①若⊙G 与x 轴相切则必须由DG=GE， 即
解得：x=，x=4（舍去）；
②若⊙G 与y 轴相切则必须由DG=OE， 即
解得：x=2，x=0（舍去）．
综上，以G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，G 点的横坐标为2或． （3）M 点的横坐标为2±2
，N 点的横坐标为±2
．
+2，
点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，难度较大，注意分类讨论思想的应用．
类型3：二次函数与线段、角等图形的综合运用：
二次函数综合题中的线段问题，常涉及到的类型有：（1）直接求线段的长或用含字母的代数式表示线段的长；（2）根据题中给出的线，段关系求相应字母的值；（3）求三角形或四边形周长的最值；（4）求多边形面积等问题。其中求三角形或四边形周长的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值.
此类问题一般是过抛物线上的一动点作x 轴的垂线（或y 轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题. 解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的坐标特征，设其中一点的坐标，从而得到另一点的坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式，然后求最值.
例题3：（2015•黑龙江省大庆, 第28题9分）已知二次函数y=x+bx﹣4的图象与y 轴的交点为C ，与x 轴正半轴的交点为A ，且tan ∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；
（2）P 为二次函数图象的顶点，Q 为其对称轴上的一点，QC 平分∠PQO ，求Q 点坐标；
（3）是否存在实数x 1、x 2（x 1＜x 2），当x 1≤x≤x2时，y 的取值范围为直接写在x 1，x 2的值；若不存在，说明理由．
≤y≤？若存在，2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先根据tan ∠ACO=，求出OA 的值，即可判断出A 点的坐标；然后把A 点的坐标代入y=x+bx﹣4，求出b 的值，即可判断出二次函数的解析式． 2
（2）首先根据Q 为抛物线对称轴上的一点，设点Q 的坐标为（﹣，n ）；然后根据∠OQC=∠CQP 、∠CQP=∠OCQ ，可得∠OQC=∠OCQ ，所以OQ=OC，据此求出n 的值，进而判断出Q 点坐标即可．
（3）根据题意，分3种情况：①当x 1≤x2≤﹣时；②当x 1≤﹣≤x2时；③当﹣＜x 1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x 1、x 2（x 1＜x 2），使得当x 1≤x≤x2时，y 的取值范围为≤y≤即可．
解答： 解：（1）如图1，连接AC ，
，
∵二次函数y=x+bx﹣4的图象与y 轴的交点为C ，
∴C 点的坐标为（0，﹣4），
∵tan ∠ACO=， ∴， 2
又∵OC=4，
∴OA=1，
∴A 点的坐标为（1，0），
把A （1，0）代入y=x+bx﹣4，
可得0=1+b﹣4，
解得b=3，
∴二次函数的解析式是：y=x+3x﹣4．
（2）如图2， 22
，
∵y=x+3x﹣4，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣，
∵Q 为抛物线对称轴上的一点，
∴设点Q 的坐标为（﹣，n ），
∵抛物线的对称轴平行于y 轴，
∴∠CQP=∠OCQ ，
又∵∠OQC=∠CQP ，
∴∠OQC=∠OCQ ，
∴OQ=OC， ∴， 2
∴
解得n=±， ，
）或（﹣，﹣）． ∴Q 点坐标是（﹣，
（3）①当x 1≤x2≤﹣时，二次函数y=x+3x﹣4单调递减，
∵y 的取值范围为≤y≤， 2
∴
由+3x1﹣4=，
解得x 1=﹣3，﹣2，2， 由+3x2﹣4=，
解得x 2=﹣3，﹣2，2，
∵x 1≤x2≤﹣， ∴
②当x 1≤﹣≤x2时， Ⅰ、当﹣时，
可得x 1+x2≤﹣3，
∵y 的取值范围为≤y≤， ∴
由（1），可得，
由（2），可得x 1=﹣3，﹣2，2，
∵x 1≤﹣＜x 2，，
∴没有满足题意的x 1、x 2． Ⅱ、当﹣时，
可得x 1+x2＞﹣3，
∵y 的取值范围为≤y≤， ∴
解得
∵x 1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，
∴没有满足题意的x 1、x 2．
③当﹣＜x 1≤x2时，
二次函数y=x+3x﹣4单调递增，
∵y 的取值范围为≤y≤， 2
∴
（1）×x2﹣（2）×x1，可得
（x 1﹣x 2）（x 1x 2+4）=0，
∵x 1﹣x 2≠0，
∴x 1x 2+4=0， ∴„（1），
把（3）代入（1），可得
， ∵
∴， ， ∴， ∵，
∴没有满足题意的x 1、x 2．
综上，可得
x 1=﹣3，x 2=﹣2时，当x 1≤x≤x2时，y 的取值范围为≤y≤．
点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．
【变式练习】
（2015•辽宁省盘锦, 第26题14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；
②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据C 的纵坐标求得F 的坐标，然后通过△OCD ≌△HDE ，得出DH=OC=3，即可求得OD 的长；
（3）①先确定C 、D 、E 、F 四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF ，由于tan ∠ECF=即可求得tan ∠FDE ；
，
②连接CE ，得出△CDE 是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D 点作DG 1∥CE ，交直线l 于G 1，过D 点作DG 2⊥CE ，交直线l 于G 2，则∠EDG 1=45°，∠EDG 2=45°，求得直线CE 的解析式为y=﹣x+3，即可设出直线DG 1的解析式为y=﹣x+m，直线DG 2的解析式为y=2x+n，把D 的坐标代入即可求得m 、n ，从而求得解析式，进而求得G 的坐标．
解答： 解：（1）如图1，∵抛物线y=ax+bx+3交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点， ∴， 2
解得．
∴抛物线解析式为y=﹣x +2x+3；
（2）如图2，∵点F 恰好在抛物线上，C （0，3），
∴F 的纵坐标为3，
把y=3代入y=﹣x +
解得x=0或x=4，
∴F （4，3），
∴OH=4，
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠EDH=90°，
∴∠OCD=∠EDH ，
在△OCD 和△HDE 中，
，
∴△OCD ≌△HDE （AAS ），
∴DH=OC=3，
∴OD=4﹣3=1；
（3）①如图3，连接CE ，
∵△OCD ≌△HDE ，
∴HE=OD=1，
∵BF=OC=3，
2x+3得，3=﹣x +2x+3；
∴EF=3﹣1=2，
∵∠CDE=∠CFE=90°，
∴C 、D 、E 、F 四点共圆，
∴∠ECF=∠EDF ，
在RT △CEF 中，∵CF=OH=4，
∴tan ∠ECF=∴tan ∠FDE==1， 21； 2
②如图4，连接CE ，
∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CED=45°，
过D 点作DG 1∥CE ，交直线l 于G 1，过D 点作DG 2⊥CE ，交直线l 于G 2，则∠EDG 1=45°，∠EDG 2=45°
∵EH=1，OH=4，
∴E （4，1），
∵C （0，3），
1x+3， 2
1设直线DG 1的解析式为y=﹣x+m， 2∴直线CE 的解析式为y=﹣
∵D （1，0），
11×1+m，解得m=， 22
11∴直线DG 1的解析式为y=﹣x+， 22
13当x=4时，y=﹣+=﹣， 22
3∴G 1（4，﹣）； 2∴0=﹣
设直线DG 2的解析式为y=2x+n，
∵D （1，0），
∴0=2×1+n，解得n=﹣2，
∴直线DG 2的解析式为y=2x﹣2，
当x=4时，y=2×4﹣2=6，
∴G 2（4，6）；
综上，在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG=45°，点G 的坐标为（4，﹣3）或（4，6）．
2
点评： 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．
类型4：二次函数与圆的综合运用：
例题4
（2015，广西柳州，26，12分）如图，已知抛物线y=﹣12（x ﹣7x+6）的顶点坐标为M ，2
2与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ． （1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x ﹣h ）+k（a≠0），并指出顶点M 的坐
标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标；
（3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；
（2）连接BC ，则BC 与对称轴的交点为R ，此时CR+AR的值最小；先求出点A 、B 、C 的坐标，再利用待定系数法求出直线BC 的解析式，进而求出其最小值和点R 的坐标；
（3）设点P 坐标为（x ，﹣
22121212 x+x﹣3）．根据NP=AB=列出方程（x ﹣）+（﹣x +x﹣3）222222=（），解方程得到点P 坐标，再计算得出PM +PN=MN，根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP 是⊙N 的切线．
解答： （1）解：∵y=﹣1117222（x ﹣7x+6）=﹣（x ﹣7x ）﹣3=﹣（x ﹣）+2222
，
∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣172（x ﹣）+22，
7，）； 212（2）解：∵y=﹣（x ﹣7x+6）， 2
12∴当y=0时，﹣（x ﹣7x+6）=0， 2顶点M 的坐标是（
解得x=1或6，
∴A （1，0），B （6，0），
∵x=0时，y=﹣3，
∴C （0，﹣3）．
连接BC ，则BC 与对称轴x=的交点为R ，连接AR ，
则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，
最小值为BC==3．
设直线BC 的解析式为y=kx+b，
∵B （6，0），C （0，﹣3）， ∴， 解得，
1x ﹣3， 2
11111令x=，得y=×﹣3=﹣， 2224
111∴R 点坐标为（，﹣）； 24
12（3）证明：设点P 坐标为（x ，﹣ x+x﹣3）． 2∴直线BC 的解析式为：y=
∵A （1，0），B （6，0），
∴N （1，0）， 2
1， 2∴以AB 为直径的⊙N 的半径为AB=
∴NP=1， 2
121222即（x ﹣）+（﹣x +x﹣3）=（）， 22
化简整理得，x ﹣14x +65x﹣112x+60=0，
（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣5）（x ﹣6）=0，
解得x 1=1（与A 重合，舍去），x 2=2，x 3=5（在对称轴的右侧，舍去），x 4=6（与B 重合，舍去），
∴点P 坐标为（2，2）．
∵M （
24321，2），N （1，0）， 2）=
， 2∴PM =（2﹣PN =（2﹣
MN =（
222212）+（2﹣2=， 122）+2=22）=2， ∴PM +PN=MN，
∴∠MPN=90°，
∵点P 在⊙N 上，
∴直线MP 是⊙N 的切线．
点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称﹣最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中．第
（3）问求出点P 的坐标是解题的关键．
【变式练习】
（2015•广东茂名25,8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与x 轴相交于C （﹣2，0），D （﹣8，0）两点，与y 轴相切于点B （0，4）．
（1）求经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E ，证明：直线CE 与⊙A 相切；
（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F ，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把B （0，4），C （﹣2，0），D （﹣8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；
（2）由y=x+x+4=（x+5）﹣，得到顶点坐标E （﹣5，﹣），求得直线CE 的函数解析式y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，得到G （0，），如图1，连接AB ，AC ，AG ，得BG=OB﹣OG=4﹣=，CG=，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG ≌△ACG ，得到∠ACG=∠ABG ，由于⊙A 与y 轴相切于点B （0，
4），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；
（3）如图2，连接BD ，BF ，DF ，设F （t ， t+t+4），过F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，求得直线BD 的解析式为y=x+4，得到点N 的坐标为（t ， t+4），于是得到FN=t+4﹣（t +t+4）=﹣t ﹣2t ，推出S △DBF =S△DNF +S△BNF =OD•FN=
得到结论．
解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c， 222222（﹣t ﹣2t ）=﹣t ﹣8t=﹣（t+4）+16，即可222
把B （0，4），C （﹣2，0），D （﹣8，0）代入得：， 解得．
∴经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式为：y=x+x+4；
2
（2）∵y=x+x+4=（x+5）﹣，
∴E （﹣5，﹣），
设直线CE 的函数解析式为y=mx+n，
直线CE 与y 轴交于点G ，则， 22
解得．
∴y=x+，
在y=x+中，令x=0，y=，
∴G （0，），
如图1，连接AB ，AC ，AG ，
则BG=OB﹣OG=4﹣=， CG=
==，
∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG 与△ACG 中，
，
∴△ABG ≌△ACG ，
∴∠ACG=∠ABG ，
∵⊙A 与y 轴相切于点B （0，4），
∴∠ABG=90°，
∴∠ACG=∠ABG=90°
∵点C 在⊙A 上，
∴直线CE 与⊙A 相切；
（3）存在点F ，使△BDF 面积最大，
如图2连接BD ，BF ，DF ，设F （t ，
过F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，
12 t+t+4）， 2
设直线BD 的解析式为y=kx+d，则， 解得．
∴直线BD 的解析式为y=1x+4， 2
∴点N 的坐标为（t ， t+4），
∴FN=t+4﹣122（t +t+4）=﹣t ﹣2t ， 2
（﹣t ﹣2t ）=﹣2∴S △DBF =S△DNF +S△BNF =OD•FN=1212t ﹣8t=﹣（t+4）+16， 22
∴当t=﹣4时，S △BDF 最大，最大值是16，
当t=﹣4时，12 t+t+4=﹣2， 2
∴F （﹣4，﹣2）．
点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．
【归纳总结】
对于二次函数的综合应用可能融合多个知识点，直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题；利用数形结合的思路，借助
函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题；利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x 轴交点的问题；5. 通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性；建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合；综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.
【拓展演练】
1. （2015•北海, 第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x +4x+5的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上．
（1）直接写出D 点和E 点的坐标；
（2）点F 为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C′E交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，S △HGF ：S △BGF =5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x +4x+5向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
22
2. （2015•河北, 第25题11分）如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l ：y=﹣（x ﹣h ）+1（h 为常数）与y 轴的交点为C ．
（1）l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；
2
（2）设点C 的纵坐标为y c ，求y c 的最大值，此时l 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；
（3）当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h 的值．
3. （2015•齐齐哈尔, 第23题7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x +bx+c经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
2
4. （2015•青海，第28题13分）如图，二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．该抛物线的顶点为M ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM 的形状，并说明理由； 2
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. （2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D 在双曲线y=（x ＞0）的图象上，以D 为
2圆心的⊙D 与y 轴相切于点C （0，4），与x 轴交于A ，B 两点，抛物线y=ax+bx+c经过A ，B ，
C 三点，点P 是抛物线上的动点，且线段AP 与BC 所在直线有交点Q ．
（1）写出点D 的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC ；
（3）探究是否存在点P ，使点Q 为线段AP 的四等分点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【拓展演练】参考答案
1. （2015•北海, 第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x +4x+5的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上．
（1）直接写出D 点和E 点的坐标；
（2）点F 为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C′E交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，S △HGF ：S △BGF =5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x +4x+5向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
22
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先根据抛物线y=﹣x +4x+5的顶点为D ，求出点D 的坐标是多少即可；然后设点E 的坐标是（2，m ），点C′的坐标是（0，n ），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E 点的坐标是多少即可．
（2）令抛物线y=﹣x +4x+5的y=0得：x ﹣4x ﹣5=0可求得A 、B 的坐标，然后再根据S △HGF ：S △BGF =5：6，得到：
2222，然后再证明△HGM ∽△ABN ，，从而可证得，所以HG=5，设点H （m ，﹣m +4m+5），G （m ，m+1），最后根据HG=5，列出关于m 的方程求解即可；
（3）分别根据∠P 、∠Q 、∠T 为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q 的坐标即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x +4x+5=﹣（x ﹣2）+9
∴D 点的坐标是（2，9）；
∵E 为对称轴上的一点， 22
∴点E 的横坐标是：﹣=2，
设点E 的坐标是（2，m ），点C′的坐标是（0，n ），
∵将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上， ∴△CEC′是等腰直角三角形， ∴ 解得或（舍去），
∴点E 的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．
综上，可得D 点的坐标是（2，9），点E 的坐标是（2，3）．
（2）如图1所示：
令抛物线y=﹣x +4x+5的y=0得：x ﹣4x ﹣5=0，
解得：x 1=﹣1，x 2=5，
所以点A （﹣1，0），B （5，0）．
设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E （2，3），C′（0，1），代入得
解得：， ， 22
∴直线C′E的解析式为y=x+1，
将y=x+1与y=﹣x +4x+5，联立得：2， 解得：，，
∴点F 得坐标为（4，5），点A （﹣1，0）在直线C′E上．
∵直线C′E的解析式为y=x+1，
∴∠FAB=45°．
过点B 、H 分别作BN ⊥AF 、HM ⊥AF ，垂足分别为N 、M ．
∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．
又∵∠NAD=∠HNM=45°．
∴△HGM ∽△ABN ∴，
∵S △HGF ：S △BGF =5：6， ∴
∴． ，即，
∴HG=5．
设点H 的横坐标为m ，则点H 的纵坐标为﹣m +4m+5，则点G 的坐标为（m ，m+1）， ∴﹣m +4m+5﹣（m+1）=5．
解得：m 1=，m 2=．
2222（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）+4（x ﹣1）+5=﹣x +6x．
将x=5代入y=﹣x +6x得：y=5，
∴点T 的坐标为（5，5）．
设直线OT 的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，
∴直线OT 的解析式为y=x，
①如图2所示：当PT ∥x 轴时，△PTQ 为等腰直角三角形，
2
将y=5代入抛物线y=﹣x +6x得：x ﹣6x+5=0，
解得：x 1=1，x 2=5．
∴点P 的坐标为（1，5）．
将x=1代入y=x得：y=1，
∴点Q 的坐标为（1，1）．
22
②如图3所示：
由①可知：点P 的坐标为（1，5）．
∵△PTQ 为等腰直角三角形，
∴点Q 的横坐标为3，
将x=3代入y=x得；y=3，
∴点Q 得坐标为（3，3）．
③如图4所示：
设直线PT 解析式为y=kx+b，
∵直线PT ⊥QT ，
∴k=﹣1．
将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，
∴直线PT 的解析式为y=﹣x+10．
将y=﹣x+10与y=﹣x +6x联立得：x 1=2，x 2=5
∴点P 的横坐标为2．
将x=2代入y=x得，y=2，
∴点Q 的坐标为（2，2）．
综上所述：点Q 的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）． 2
点评： 本题主要考查的是二次函数的综合应用，明确△HGF 和△BGF 的面积比等于HG 和AB 的边长比是解题的关键，同时解答本题主要应用了分类讨论的思想需要同学们分别根据∠P 、∠Q 、∠T 为直角进行分类计算．
2. （2015•河北, 第25题11分）如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l ：y=﹣（x ﹣h ）+1（h 为常数）与y 轴的交点为C ．
（1）l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C 的纵坐标为y c ，求y c 的最大值，此时l 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；
（3）当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h 的值．
2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把点B 的坐标代入函数解析式，列出关于h 的方程，借助于方程可以求得h 的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；
（2）把点C 的坐标代入函数解析式得到：y C =﹣h +1，则由二次函数的最值的求法易得y c 的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y 1与y 2的大小；
（3）根据已知条件“O（0，0），A （﹣5，0），线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4”可以推知把线段OA 被l 只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h 的值．
解答： 解：（1）把点B 的坐标B （2，1）代入y=﹣（x ﹣h ）+1，得
1=﹣（2﹣h ）+1．
解得h=2．
则该函数解析式为y=﹣（x ﹣2）+1（或y=﹣x +4x﹣3）．
故抛物线l 的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；
22222
（2）点C 的横坐标为0，则y C =﹣h +1．
当h=0时，y C =有最大值1，
此时，抛物线l 为：y=﹣x +1，对称轴为y 轴，开口方向向下，
所以，当x≥0时，y 随x 的增大而减小，
所以，x 1＞x 2≥0，y 1＜y 2；
（3）∵线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O （0，0），A （﹣5，0）， ∴把线段OA 被l 只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．
把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x ﹣h ）+1，得
0=﹣（﹣1﹣h ）+1，
解得h 1=0，h 2=﹣2．
但是当h=﹣2时，线段OA 被抛物线l 分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x ﹣h ）+1，得
h=﹣5或h=﹣3（舍去）．
综上所述，h 的值是0或﹣5．
点评： 本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h 的值根据实际意义进行取舍．
3. （2015•齐齐哈尔, 第23题7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x +bx+c经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
222222
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： （1）根据题意确定出B 与C 的坐标，代入抛物线解析式求出b 与c 的值，即可确定出解析式；
（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC 面积=三角形ABC 面积+三角形BCD 面积，求出即可．
解答： 解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），
把B 与C 坐标代入y=﹣x +bx+c得：
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x +2x+4；
（2）∵y=﹣x +2x+4=﹣（x ﹣2）+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S 四边形ABDC =S△ABC +S△BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4. （2015•青海，第28题13分）如图，二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．该抛物线的顶点为M ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM 的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22222，
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据B 、C 、M 的坐标，可求得△BCM 三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；
（3）假设存在符合条件的P 点；首先连接AC ，根据A 、C 的坐标及（2）题所得△BDC 三边的比例关系，即可判断出点O 符合P 点的要求，因此以P 、A 、C 为顶点的三角形也必与△COA 相似，那么分别过A 、C 作线段AC 的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P 点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP 的长，也就得到了点P 的坐标．
解答： 解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点， ∴， 2
解得：，
2则抛物线解析式为y=x﹣2x ﹣3；
（2）△BCM 为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式y=x﹣2x ﹣3=（x ﹣1）﹣4，即顶点M 坐标为（1，﹣4），
令x=0，得到y=﹣3，即C （0，﹣3），
根据勾股定理得：BC=3
∵BM =BC+CM，
∴△BCM 为直角三角形；
（3）如图1，
22222，BM=2，CM=，
连接AC ，
∵△COA ∽△CAP ，△PCA ∽△BCD ，
∴Rt △COA ∽Rt △BCD ，P 点与O 点重合，
∴点P （0，0）．
如图2，过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，
∵Rt △CAP 1∽Rt △COA ∽Rt △BCD ， ∴即==， ，
∴点P 1（0，）．
如图3，过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，
∵Rt △P 2CA ∽Rt △COA ∽Rt △BCD ， ∴=， 即=，AP 2=10，
∴点P 2（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O （0，0），P 1（0，），P 2（9，0）．
点评： 此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O 是符合要求的P 点，是解决此题的突破口．
5. （2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D 在双曲线y=（x ＞0）的图象上，以D 为
2圆心的⊙D 与y 轴相切于点C （0，4），与x 轴交于A ，B 两点，抛物线y=ax+bx+c经过A ，B ，
C 三点，点P 是抛物线上的动点，且线段AP 与BC 所在直线有交点Q ．
（1）写出点D 的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC ；
（3）探究是否存在点P ，使点Q 为线段AP 的四等分点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据切线的性质得到点D 的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D 的坐标；过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接AD ，BD ，易得出A ，B 的坐标，即可求出抛物线的解析式；
（2）连接AC ，tan ∠ACO==，tan ∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO ．
2（3）分别过点Q ，P 作QF ⊥x 轴，PG ⊥x 轴，垂足分别为F ，G ，设P （t ， t﹣t+4），分三
种情况①AQ ：AP=1：4，②AQ ：AP=2：4，③AQ ：AP=3：4，分别求解即可．
解答： 解：（1）∵以D 为圆心的⊙D 与y 轴相切于点C （0，4），
∴点D 的纵坐标是4，
又∵点D 在双曲线y=
∴4=， （x ＞0）的图象上，
解得x=5，
故点D 的坐标是（5，4）．
如图1，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接AD ，BD ，
在RT △DAE 中，DA=5，DE=4，
∴AE==3，
∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A （2，0），B （8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x ﹣2）（x ﹣8），由于它过点C （0，4）， ∴a （0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=
∴抛物线的解析式为y=1， 412x ﹣x+4． 4
（2）如图2，连接AC ，
在RT △AOC 中，OA=2，CO=4，
∴tan ∠ACO==1， 2
1， 2在RT △BOC 中，OB=8，CO=4， ∴tan ∠CBO==
∴∠ACO=∠CBO ．
（3）∵B （8，0），C （0，4），
∴直线BC 的解析式为y=﹣x+4，
如图3，分别过点Q ，P 作QF ⊥x 轴，PG ⊥x 轴，垂足分别为F ，G ，
设P （t ，12t ﹣t+4）， 2
，）， ①AQ ：AP=1：4，则易得Q （∵点Q 在直线y=﹣1x+4上， 2
，整理得t ﹣8t ﹣36=0， 2∴﹣+4=
，t 2=4﹣2
，11﹣解得t 1=4+2∴P 1（4+2， ，11+），
）， ），P 2（4﹣2，②AQ ：AP=2：4，则易得Q （∵点Q 在直线y=﹣1x+4上， 2
，
，P 4=4﹣2
，5+）；
）， ， ∴﹣1•2
2+4=整理得t ﹣8t ﹣12=0，解得P 3=4+2∴P 3（4+2，5﹣），P 4（4﹣2，③AQ ：AP=3：4，则易得Q （∵点Q 在直线y=﹣x+4上， ∴﹣•∴P 5（4+2+4=，3﹣，整理得t ﹣8t ﹣4=0，解得t 5=4+2），P 6（4﹣2，3+）， 2，t 6=4﹣2，
综上所述，抛物线上存在六个点P ，使Q 为线段AP 的三等分点，其坐标分别为P 1（4+211﹣
3﹣），P （24﹣2），P 6（4﹣2，11+，3+），P （34+2）． ，5﹣），P （44﹣2，5+）；P （54+2，，
点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．
41
二次函数与几何综合
【专题思路剖析】
二次函数与几何图形相结合的综合问题, 是近年来全国各地中考的热点题型, 大部分也是全卷的压轴题, 具有较好的区分度和选拔功能. 此类试题不仅可以考查二次函数和平面几何的基础知识, 还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法, 以及阅读理解能力、收集处理信息的能力、运用数学知识对问题的探究能力等. 解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识, 并充分挖掘题目中的隐含条件, 以达到解题目的。
二次函数与几何综合中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．
近年来，二次函数与几何的综合题成为中考的热点。解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，相互渗透。下面就二次函数与三角形、四边形及其之间线段与面积等问题的综合运用分别举例分析，涉及圆的问题近年来相对较少。 【典型例题赏析】
类型1：二次函数与三角形的综合运用：
特殊图形的判定问题，常与点的存在性问题相结合，解决此类问题的关键是要熟练掌握特殊图形的判定方法及性质，如：等腰三角形是直角、等边三角形的三边相等. 解决此类问题最常用的方法是假设法，一般先假设存在满足题意的点，根据特殊图形的性质画出草图，确定点的位置，然后根据题中已知条件和特殊图形的性质及判定方法建立动点与已知点的关系，最后列方程求解. 在画草图时，要做到不重不漏地画出所有可能的情况，以免在求解过程中遗漏答案， 对所求出的结果要进行检验，看是否符合题意，如果不符合题意，应舍去. 例题1：（2015，福建南平，24，分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax+bx的对称轴为x=，且经过点A （2，1），点P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为m （0＜m ＜2），过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，PB 交OA 于点C ，点O 关于直线PB 的对称点为D ，连接CD ，AD ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ． （1）求抛物线的解析式； （2）填空：
①用含m 的式子表示点C ，D 的坐标： C （ m ， m ），D （ 2m ， 0 ）；
2
②当m= 1 时，△ACD 的周长最小；
（3）若△ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a ，b 的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；
（2）①设OA 所在的直线解析式为y=kx，将点A （2，1）代入求得OA 所在的解析式为y=x，因为PC ⊥x 轴，所以C 得横坐标与P 的横坐标相同，为m ，令x=m，则y=m，所以得出点C （m ， m），又点O 、D 关于直线PB 的对称，所以由中点坐标公式可得点D 的横坐标为2m ，则点D 的坐标为（2m ，0）；
②因为O 与D 关于直线PB 的对称，所以PB 垂直平分OD ，则CO=CD，因为，△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO=
=
=
，所以当AD 最小时，△ACD 的周
长最小；根据垂线段最短，可知此时点D 与E 重合，其横坐标为2，故m=1．
（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC 、AC 、AD 用m 表示，然后分情况讨论分别得到关于m 的方程，解得m ，再根据已知条件选取复合体艺的点P 坐标即可． 解答： 解：（1）依题意，得∴y=x﹣x
（2）C （m ， m），D （2m ，0），m=1 （3）依题意，得B （m ，0） 在RT △OBC 中，OC =OB+BC=m+∴OC=
2
2
2
2
2
，解得
=m，
2
m 又∵O ，D 关于直线PC 对称，
∴CD=OC=m
=
=
在RT △AOE 中，OA=∴AC=OA﹣OC=
﹣m
2
2
2
2
在RT △ADE 中，AD =AE+DE=1+（2﹣2m ）=4m﹣8m+5 分三种情况讨论： ①若AC=CD，即
﹣
2
22
m=
2
m ，解得m=1，∴P （1，
2
2
）
②若AC=AD，则有AC =AD，即5﹣5m+m=4m﹣8m+5 解得m 1=0，m 2=
．∵0＜m ＜2，∴m=
2
2
2
，∴P （
2
，）
③若DA=DC，则有DA =DC，即4m ﹣8m+5=m 解得m 1=
，m 2=2，∵，0＜m ＜2，∴m=
，∴P （
，
）
），P 2（
，
），
综上所述，当△ACD 为等腰三角形是，点P 的坐标分别为P 1（1，P 3（
，
）．
点评： 此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．
【变式练习】
（2015•辽宁省朝阳, 第25题12分）如图，已知经过点D （2，﹣
）的抛物线y=（x+1）
（x ﹣3）（m 为常数，且m ＞0）与x 轴交于点A 、B （点A 位于B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）填空：m 的值为
，点A 的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD ，在x 轴上方作射线AE ，使∠BAE=∠BAD ，过点D 作x 轴的垂线交射线AE 于点E ； （3）动点M 、N 分别在射线AB 、AE 上，求ME+MN的最小值；
（4）t 是过点A 平行于y 轴的直线，P 是抛物线上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为点G ，请你探究：是否存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把点D 坐标代入抛物线y=（x+1）（x ﹣3），即可得出m 的值，再令y=0，即可得出点A ，B 坐标；
（2）根据尺规作图的要求，画出图形，如图1所示；
（3）过点D 作射线AE 的垂线，垂足为N ，交AB 于点M ，此时DN 的长度即为ME+MN的最小值；
（4）假设存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似，设点P 坐标，再表示出点G 坐标，计算△ABD 的三边，根据勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，即可得出结论，若△ABD 是直角三角形，即可得出相似，再得出对应边成比例，求得点P 坐标即可． 解答： 解：（1）∵抛物线y=（x+1）（x ﹣3）经过点D （2，﹣∴m=把m=即y=
，
代入y=（x+1）（x ﹣3），得y=x ﹣
2
），
（x+1）（x ﹣3），
x ﹣；
令y=0，得（x+1）（x ﹣3）=0， 解得x=﹣1或3，
∴A （﹣1，0），B （3，0）； （2）如图1所示；
（3）过点D 作射线AE 的垂线，垂足为N ，交AB 于点M ，设DE 与x 轴交于点H ，如图2， 由（1）（2）得点D 与点E 关于x 轴对称， ∴MD=ME， ∵AH=3，DH=
，
∴AD=2，
∴∠BAD=∠BAE=30°， ∴∠DAN=60°， ∴sin ∠DAN=∴sin60°=∴DN=3，
∵此时DN 的长度即为ME+MN的最小值， ∴ME+MN的最小值为3；
（4）假设存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似，如图3， ∵P 是抛物线上一点， ∴设点P 坐标（x ，∴点G 坐标（﹣1，
x ﹣x ﹣
22
， ，
x ﹣x ﹣
）； ）， ）；
∵A （﹣1，0），B （3，0），D （2，﹣∴AB=4，BD=2，AD=2
，
∴△ABD 为直角三角形的形状，
△ABD 与以P 、G 、A 为顶点的三角形相似， 分两种情况： ①△ABD ∽△PAG ， ∴
=
，
（
x ﹣
2
∴2（x+1）=2x ﹣），
解得x 1=4，x 2=﹣1（舍去）， ∴P （4，
）；
②△ABD ∽△APG ， ∴∴2
=
， （x+1）=2（
x ﹣
2
x ﹣），
解得x 1=6，x 2=﹣1（舍去）， ∴P （6，7
）；
∴点P 坐标（4，）或（6，7）．
点评： 本题考查了二次函数的综合题，还考查了用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和逆定理以及轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．
类型2：二次函数与四边形的综合运用：
解决二次函数与四边形综合题的时，关键是建立合适的函数模型，将四边形问题和二次函数的解析式相结合. 此类型题考查方式比较灵活，经常在四边形特别是正方形、菱形等几
何图形中进行变换. 解题时需要在熟练掌握二次函数图象与性质的基础上，运用数形结合和分类讨论思想，将面积问题转化为函数关系问题. 解题技巧一般是过特殊点作x 轴或y 轴的垂线，从而将边之间关系问题转化为线段问题，建立未知量和已知变量之间的联系，勾股定理等有关手段解决相应的问题。
例题2：（2015•贵州省贵阳, 第24题9分）如图，经过点C （0，﹣4）的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x 轴相交于A （﹣2，0），B 两点．
（1）a ＞ 0，b ﹣4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）； （2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
2
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题．
分析： （1）根据抛物线开口向上，且与x 轴有两个交点，即可做出判断；
（2）由抛物线的对称轴及A 的坐标，确定出B 的坐标，将A ，B ，C 三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出抛物线解析式；
（3）存在，理由为：假设存在点E 使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C 作CE ∥x 轴，交抛物线于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交x 轴于点F ，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E′，使得以A ，C ，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC 交x 轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F′，AC ∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x 轴于点G ，分别求出E 坐标即可． 解答： 解：（1）a ＞0，b ﹣4ac ＞0； （2）∵直线x=2是对称轴，A （﹣2，0）， ∴B （6，0），
2
∵点C （0，﹣4），将A ，B ，C 的坐标分别代入y=ax+bx+c， 解得：a=，b=﹣，c=﹣4，
∴抛物线的函数表达式为y=x﹣x ﹣4； （3）存在，理由为：
（i ）假设存在点E 使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形， 过点C 作CE ∥x 轴，交抛物线于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交x 轴于点F ，如图1所示，
2
2
则四边形ACEF 即为满足条件的平行四边形， ∵抛物线y=x﹣x ﹣4关于直线x=2对称， ∴由抛物线的对称性可知，E 点的横坐标为4， 又∵OC=4，
∴E 的纵坐标为﹣4， ∴存在点E （4，﹣4）；
（ii ）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A ，C ，F′，E′为顶点所组成的四边形是 平行四边形，过点E′作E′F′∥AC 交x 轴于点F′， 则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC=E′F′，AC ∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x 轴于点G ，
2
∵AC ∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO ≌△E′F′G， ∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4， ∴4=x﹣x ﹣4，
2
解得：x 1=2+2，x 2=2﹣2，
，4），同理可得点E″的坐标为（2﹣2
，4）．
∴点E′的坐标为（2+2
点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
【变式练习】
（2015•梧州, 第26题12分）如图，抛物线y=ax+bx+2与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中B （4，0）、C （﹣2，0），连接AB 、AC ，在第一象限内的抛物线上有一动点D ，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，交AB 于点F ． （1）求此抛物线的解析式；
（2）在DE 上作点G ，使G 点与D 点关于F 点对称，以G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求G 点的横坐标；
（3）过D 点作直线DH ∥AC 交AB 于H ，当△DHF 的面积最大时，在抛物线和直线AB 上分别取M 、N 两点，并使D 、H 、M 、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M 、N 两点的横坐标．
2
考点： 二次函数综合题．所有
分析： （1）根据B ，C 两点在抛物线y=ax+bx+2上，代入抛物线得到方程组，求出a ，b 的值，即可解答；
（2）先求出直线AB 的解析式为y=﹣x+2，设F 点的坐标为（x ，为（x ，
x+2），则D 点的坐标
），
2
），根据G 点与D 点关于F 点对称，所以G 点的坐标为（x ，
若以G 为圆心，GD 为半径作圆，使得⊙G 与其中一条坐标轴相切，分两种情况解答：①若⊙G 与x 轴相切则必须由DG=GE；②若⊙G 与y 轴相切则必须由DG=OE；
（3）M 点的横坐标为2±2，N 点的横坐标为±2
2
．
解答： 解：（1）∵B ，C 两点在抛物线y=ax+bx+2上， ∴
，
解得：．
∴所求的抛物线为：y=（2）抛物线y=
．
，则点A 的坐标为（0，2），
设直线AB 的解析式为y=kx+b， ∴
，
解得：．
∴直线AB 的解析式为y=﹣x+2， 设F 点的坐标为（x ，
x+2），则D 点的坐标为（x ，
），
∵G 点与D 点关于F 点对称， ∴G 点的坐标为（x ，
），
若以G 为圆心，GD 为半径作圆，使得⊙G 与其中一条坐标轴相切， ①若⊙G 与x 轴相切则必须由DG=GE， 即
解得：x=，x=4（舍去）；
②若⊙G 与y 轴相切则必须由DG=OE， 即
解得：x=2，x=0（舍去）．
综上，以G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，G 点的横坐标为2或． （3）M 点的横坐标为2±2
，N 点的横坐标为±2
．
+2，
点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，难度较大，注意分类讨论思想的应用．
类型3：二次函数与线段、角等图形的综合运用：
二次函数综合题中的线段问题，常涉及到的类型有：（1）直接求线段的长或用含字母的代数式表示线段的长；（2）根据题中给出的线，段关系求相应字母的值；（3）求三角形或四边形周长的最值；（4）求多边形面积等问题。其中求三角形或四边形周长的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值.
此类问题一般是过抛物线上的一动点作x 轴的垂线（或y 轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题. 解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的坐标特征，设其中一点的坐标，从而得到另一点的坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式，然后求最值.
例题3：（2015•黑龙江省大庆, 第28题9分）已知二次函数y=x+bx﹣4的图象与y 轴的交点为C ，与x 轴正半轴的交点为A ，且tan ∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；
（2）P 为二次函数图象的顶点，Q 为其对称轴上的一点，QC 平分∠PQO ，求Q 点坐标；
（3）是否存在实数x 1、x 2（x 1＜x 2），当x 1≤x≤x2时，y 的取值范围为直接写在x 1，x 2的值；若不存在，说明理由．
≤y≤？若存在，2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先根据tan ∠ACO=，求出OA 的值，即可判断出A 点的坐标；然后把A 点的坐标代入y=x+bx﹣4，求出b 的值，即可判断出二次函数的解析式． 2
（2）首先根据Q 为抛物线对称轴上的一点，设点Q 的坐标为（﹣，n ）；然后根据∠OQC=∠CQP 、∠CQP=∠OCQ ，可得∠OQC=∠OCQ ，所以OQ=OC，据此求出n 的值，进而判断出Q 点坐标即可．
（3）根据题意，分3种情况：①当x 1≤x2≤﹣时；②当x 1≤﹣≤x2时；③当﹣＜x 1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x 1、x 2（x 1＜x 2），使得当x 1≤x≤x2时，y 的取值范围为≤y≤即可．
解答： 解：（1）如图1，连接AC ，
，
∵二次函数y=x+bx﹣4的图象与y 轴的交点为C ，
∴C 点的坐标为（0，﹣4），
∵tan ∠ACO=， ∴， 2
又∵OC=4，
∴OA=1，
∴A 点的坐标为（1，0），
把A （1，0）代入y=x+bx﹣4，
可得0=1+b﹣4，
解得b=3，
∴二次函数的解析式是：y=x+3x﹣4．
（2）如图2， 22
，
∵y=x+3x﹣4，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣，
∵Q 为抛物线对称轴上的一点，
∴设点Q 的坐标为（﹣，n ），
∵抛物线的对称轴平行于y 轴，
∴∠CQP=∠OCQ ，
又∵∠OQC=∠CQP ，
∴∠OQC=∠OCQ ，
∴OQ=OC， ∴， 2
∴
解得n=±， ，
）或（﹣，﹣）． ∴Q 点坐标是（﹣，
（3）①当x 1≤x2≤﹣时，二次函数y=x+3x﹣4单调递减，
∵y 的取值范围为≤y≤， 2
∴
由+3x1﹣4=，
解得x 1=﹣3，﹣2，2， 由+3x2﹣4=，
解得x 2=﹣3，﹣2，2，
∵x 1≤x2≤﹣， ∴
②当x 1≤﹣≤x2时， Ⅰ、当﹣时，
可得x 1+x2≤﹣3，
∵y 的取值范围为≤y≤， ∴
由（1），可得，
由（2），可得x 1=﹣3，﹣2，2，
∵x 1≤﹣＜x 2，，
∴没有满足题意的x 1、x 2． Ⅱ、当﹣时，
可得x 1+x2＞﹣3，
∵y 的取值范围为≤y≤， ∴
解得
∵x 1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，
∴没有满足题意的x 1、x 2．
③当﹣＜x 1≤x2时，
二次函数y=x+3x﹣4单调递增，
∵y 的取值范围为≤y≤， 2
∴
（1）×x2﹣（2）×x1，可得
（x 1﹣x 2）（x 1x 2+4）=0，
∵x 1﹣x 2≠0，
∴x 1x 2+4=0， ∴„（1），
把（3）代入（1），可得
， ∵
∴， ， ∴， ∵，
∴没有满足题意的x 1、x 2．
综上，可得
x 1=﹣3，x 2=﹣2时，当x 1≤x≤x2时，y 的取值范围为≤y≤．
点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．
【变式练习】
（2015•辽宁省盘锦, 第26题14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；
②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据C 的纵坐标求得F 的坐标，然后通过△OCD ≌△HDE ，得出DH=OC=3，即可求得OD 的长；
（3）①先确定C 、D 、E 、F 四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF ，由于tan ∠ECF=即可求得tan ∠FDE ；
，
②连接CE ，得出△CDE 是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D 点作DG 1∥CE ，交直线l 于G 1，过D 点作DG 2⊥CE ，交直线l 于G 2，则∠EDG 1=45°，∠EDG 2=45°，求得直线CE 的解析式为y=﹣x+3，即可设出直线DG 1的解析式为y=﹣x+m，直线DG 2的解析式为y=2x+n，把D 的坐标代入即可求得m 、n ，从而求得解析式，进而求得G 的坐标．
解答： 解：（1）如图1，∵抛物线y=ax+bx+3交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点， ∴， 2
解得．
∴抛物线解析式为y=﹣x +2x+3；
（2）如图2，∵点F 恰好在抛物线上，C （0，3），
∴F 的纵坐标为3，
把y=3代入y=﹣x +
解得x=0或x=4，
∴F （4，3），
∴OH=4，
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠EDH=90°，
∴∠OCD=∠EDH ，
在△OCD 和△HDE 中，
，
∴△OCD ≌△HDE （AAS ），
∴DH=OC=3，
∴OD=4﹣3=1；
（3）①如图3，连接CE ，
∵△OCD ≌△HDE ，
∴HE=OD=1，
∵BF=OC=3，
2x+3得，3=﹣x +2x+3；
∴EF=3﹣1=2，
∵∠CDE=∠CFE=90°，
∴C 、D 、E 、F 四点共圆，
∴∠ECF=∠EDF ，
在RT △CEF 中，∵CF=OH=4，
∴tan ∠ECF=∴tan ∠FDE==1， 21； 2
②如图4，连接CE ，
∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CED=45°，
过D 点作DG 1∥CE ，交直线l 于G 1，过D 点作DG 2⊥CE ，交直线l 于G 2，则∠EDG 1=45°，∠EDG 2=45°
∵EH=1，OH=4，
∴E （4，1），
∵C （0，3），
1x+3， 2
1设直线DG 1的解析式为y=﹣x+m， 2∴直线CE 的解析式为y=﹣
∵D （1，0），
11×1+m，解得m=， 22
11∴直线DG 1的解析式为y=﹣x+， 22
13当x=4时，y=﹣+=﹣， 22
3∴G 1（4，﹣）； 2∴0=﹣
设直线DG 2的解析式为y=2x+n，
∵D （1，0），
∴0=2×1+n，解得n=﹣2，
∴直线DG 2的解析式为y=2x﹣2，
当x=4时，y=2×4﹣2=6，
∴G 2（4，6）；
综上，在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG=45°，点G 的坐标为（4，﹣3）或（4，6）．
2
点评： 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．
类型4：二次函数与圆的综合运用：
例题4
（2015，广西柳州，26，12分）如图，已知抛物线y=﹣12（x ﹣7x+6）的顶点坐标为M ，2
2与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ． （1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x ﹣h ）+k（a≠0），并指出顶点M 的坐
标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标；
（3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；
（2）连接BC ，则BC 与对称轴的交点为R ，此时CR+AR的值最小；先求出点A 、B 、C 的坐标，再利用待定系数法求出直线BC 的解析式，进而求出其最小值和点R 的坐标；
（3）设点P 坐标为（x ，﹣
22121212 x+x﹣3）．根据NP=AB=列出方程（x ﹣）+（﹣x +x﹣3）222222=（），解方程得到点P 坐标，再计算得出PM +PN=MN，根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP 是⊙N 的切线．
解答： （1）解：∵y=﹣1117222（x ﹣7x+6）=﹣（x ﹣7x ）﹣3=﹣（x ﹣）+2222
，
∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣172（x ﹣）+22，
7，）； 212（2）解：∵y=﹣（x ﹣7x+6）， 2
12∴当y=0时，﹣（x ﹣7x+6）=0， 2顶点M 的坐标是（
解得x=1或6，
∴A （1，0），B （6，0），
∵x=0时，y=﹣3，
∴C （0，﹣3）．
连接BC ，则BC 与对称轴x=的交点为R ，连接AR ，
则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，
最小值为BC==3．
设直线BC 的解析式为y=kx+b，
∵B （6，0），C （0，﹣3）， ∴， 解得，
1x ﹣3， 2
11111令x=，得y=×﹣3=﹣， 2224
111∴R 点坐标为（，﹣）； 24
12（3）证明：设点P 坐标为（x ，﹣ x+x﹣3）． 2∴直线BC 的解析式为：y=
∵A （1，0），B （6，0），
∴N （1，0）， 2
1， 2∴以AB 为直径的⊙N 的半径为AB=
∴NP=1， 2
121222即（x ﹣）+（﹣x +x﹣3）=（）， 22
化简整理得，x ﹣14x +65x﹣112x+60=0，
（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣5）（x ﹣6）=0，
解得x 1=1（与A 重合，舍去），x 2=2，x 3=5（在对称轴的右侧，舍去），x 4=6（与B 重合，舍去），
∴点P 坐标为（2，2）．
∵M （
24321，2），N （1，0）， 2）=
， 2∴PM =（2﹣PN =（2﹣
MN =（
222212）+（2﹣2=， 122）+2=22）=2， ∴PM +PN=MN，
∴∠MPN=90°，
∵点P 在⊙N 上，
∴直线MP 是⊙N 的切线．
点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称﹣最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中．第
（3）问求出点P 的坐标是解题的关键．
【变式练习】
（2015•广东茂名25,8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与x 轴相交于C （﹣2，0），D （﹣8，0）两点，与y 轴相切于点B （0，4）．
（1）求经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E ，证明：直线CE 与⊙A 相切；
（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F ，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把B （0，4），C （﹣2，0），D （﹣8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；
（2）由y=x+x+4=（x+5）﹣，得到顶点坐标E （﹣5，﹣），求得直线CE 的函数解析式y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，得到G （0，），如图1，连接AB ，AC ，AG ，得BG=OB﹣OG=4﹣=，CG=，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG ≌△ACG ，得到∠ACG=∠ABG ，由于⊙A 与y 轴相切于点B （0，
4），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；
（3）如图2，连接BD ，BF ，DF ，设F （t ， t+t+4），过F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，求得直线BD 的解析式为y=x+4，得到点N 的坐标为（t ， t+4），于是得到FN=t+4﹣（t +t+4）=﹣t ﹣2t ，推出S △DBF =S△DNF +S△BNF =OD•FN=
得到结论．
解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c， 222222（﹣t ﹣2t ）=﹣t ﹣8t=﹣（t+4）+16，即可222
把B （0，4），C （﹣2，0），D （﹣8，0）代入得：， 解得．
∴经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式为：y=x+x+4；
2
（2）∵y=x+x+4=（x+5）﹣，
∴E （﹣5，﹣），
设直线CE 的函数解析式为y=mx+n，
直线CE 与y 轴交于点G ，则， 22
解得．
∴y=x+，
在y=x+中，令x=0，y=，
∴G （0，），
如图1，连接AB ，AC ，AG ，
则BG=OB﹣OG=4﹣=， CG=
==，
∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG 与△ACG 中，
，
∴△ABG ≌△ACG ，
∴∠ACG=∠ABG ，
∵⊙A 与y 轴相切于点B （0，4），
∴∠ABG=90°，
∴∠ACG=∠ABG=90°
∵点C 在⊙A 上，
∴直线CE 与⊙A 相切；
（3）存在点F ，使△BDF 面积最大，
如图2连接BD ，BF ，DF ，设F （t ，
过F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，
12 t+t+4）， 2
设直线BD 的解析式为y=kx+d，则， 解得．
∴直线BD 的解析式为y=1x+4， 2
∴点N 的坐标为（t ， t+4），
∴FN=t+4﹣122（t +t+4）=﹣t ﹣2t ， 2
（﹣t ﹣2t ）=﹣2∴S △DBF =S△DNF +S△BNF =OD•FN=1212t ﹣8t=﹣（t+4）+16， 22
∴当t=﹣4时，S △BDF 最大，最大值是16，
当t=﹣4时，12 t+t+4=﹣2， 2
∴F （﹣4，﹣2）．
点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．
【归纳总结】
对于二次函数的综合应用可能融合多个知识点，直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题；利用数形结合的思路，借助
函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题；利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x 轴交点的问题；5. 通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性；建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合；综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.
【拓展演练】
1. （2015•北海, 第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x +4x+5的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上．
（1）直接写出D 点和E 点的坐标；
（2）点F 为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C′E交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，S △HGF ：S △BGF =5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x +4x+5向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
22
2. （2015•河北, 第25题11分）如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l ：y=﹣（x ﹣h ）+1（h 为常数）与y 轴的交点为C ．
（1）l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；
2
（2）设点C 的纵坐标为y c ，求y c 的最大值，此时l 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；
（3）当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h 的值．
3. （2015•齐齐哈尔, 第23题7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x +bx+c经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
2
4. （2015•青海，第28题13分）如图，二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．该抛物线的顶点为M ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM 的形状，并说明理由； 2
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. （2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D 在双曲线y=（x ＞0）的图象上，以D 为
2圆心的⊙D 与y 轴相切于点C （0，4），与x 轴交于A ，B 两点，抛物线y=ax+bx+c经过A ，B ，
C 三点，点P 是抛物线上的动点，且线段AP 与BC 所在直线有交点Q ．
（1）写出点D 的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC ；
（3）探究是否存在点P ，使点Q 为线段AP 的四等分点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【拓展演练】参考答案
1. （2015•北海, 第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x +4x+5的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上．
（1）直接写出D 点和E 点的坐标；
（2）点F 为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C′E交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，S △HGF ：S △BGF =5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x +4x+5向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
22
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先根据抛物线y=﹣x +4x+5的顶点为D ，求出点D 的坐标是多少即可；然后设点E 的坐标是（2，m ），点C′的坐标是（0，n ），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E 点的坐标是多少即可．
（2）令抛物线y=﹣x +4x+5的y=0得：x ﹣4x ﹣5=0可求得A 、B 的坐标，然后再根据S △HGF ：S △BGF =5：6，得到：
2222，然后再证明△HGM ∽△ABN ，，从而可证得，所以HG=5，设点H （m ，﹣m +4m+5），G （m ，m+1），最后根据HG=5，列出关于m 的方程求解即可；
（3）分别根据∠P 、∠Q 、∠T 为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q 的坐标即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x +4x+5=﹣（x ﹣2）+9
∴D 点的坐标是（2，9）；
∵E 为对称轴上的一点， 22
∴点E 的横坐标是：﹣=2，
设点E 的坐标是（2，m ），点C′的坐标是（0，n ），
∵将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上， ∴△CEC′是等腰直角三角形， ∴ 解得或（舍去），
∴点E 的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．
综上，可得D 点的坐标是（2，9），点E 的坐标是（2，3）．
（2）如图1所示：
令抛物线y=﹣x +4x+5的y=0得：x ﹣4x ﹣5=0，
解得：x 1=﹣1，x 2=5，
所以点A （﹣1，0），B （5，0）．
设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E （2，3），C′（0，1），代入得
解得：， ， 22
∴直线C′E的解析式为y=x+1，
将y=x+1与y=﹣x +4x+5，联立得：2， 解得：，，
∴点F 得坐标为（4，5），点A （﹣1，0）在直线C′E上．
∵直线C′E的解析式为y=x+1，
∴∠FAB=45°．
过点B 、H 分别作BN ⊥AF 、HM ⊥AF ，垂足分别为N 、M ．
∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．
又∵∠NAD=∠HNM=45°．
∴△HGM ∽△ABN ∴，
∵S △HGF ：S △BGF =5：6， ∴
∴． ，即，
∴HG=5．
设点H 的横坐标为m ，则点H 的纵坐标为﹣m +4m+5，则点G 的坐标为（m ，m+1）， ∴﹣m +4m+5﹣（m+1）=5．
解得：m 1=，m 2=．
2222（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）+4（x ﹣1）+5=﹣x +6x．
将x=5代入y=﹣x +6x得：y=5，
∴点T 的坐标为（5，5）．
设直线OT 的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，
∴直线OT 的解析式为y=x，
①如图2所示：当PT ∥x 轴时，△PTQ 为等腰直角三角形，
2
将y=5代入抛物线y=﹣x +6x得：x ﹣6x+5=0，
解得：x 1=1，x 2=5．
∴点P 的坐标为（1，5）．
将x=1代入y=x得：y=1，
∴点Q 的坐标为（1，1）．
22
②如图3所示：
由①可知：点P 的坐标为（1，5）．
∵△PTQ 为等腰直角三角形，
∴点Q 的横坐标为3，
将x=3代入y=x得；y=3，
∴点Q 得坐标为（3，3）．
③如图4所示：
设直线PT 解析式为y=kx+b，
∵直线PT ⊥QT ，
∴k=﹣1．
将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，
∴直线PT 的解析式为y=﹣x+10．
将y=﹣x+10与y=﹣x +6x联立得：x 1=2，x 2=5
∴点P 的横坐标为2．
将x=2代入y=x得，y=2，
∴点Q 的坐标为（2，2）．
综上所述：点Q 的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）． 2
点评： 本题主要考查的是二次函数的综合应用，明确△HGF 和△BGF 的面积比等于HG 和AB 的边长比是解题的关键，同时解答本题主要应用了分类讨论的思想需要同学们分别根据∠P 、∠Q 、∠T 为直角进行分类计算．
2. （2015•河北, 第25题11分）如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l ：y=﹣（x ﹣h ）+1（h 为常数）与y 轴的交点为C ．
（1）l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C 的纵坐标为y c ，求y c 的最大值，此时l 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；
（3）当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h 的值．
2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把点B 的坐标代入函数解析式，列出关于h 的方程，借助于方程可以求得h 的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；
（2）把点C 的坐标代入函数解析式得到：y C =﹣h +1，则由二次函数的最值的求法易得y c 的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y 1与y 2的大小；
（3）根据已知条件“O（0，0），A （﹣5，0），线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4”可以推知把线段OA 被l 只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h 的值．
解答： 解：（1）把点B 的坐标B （2，1）代入y=﹣（x ﹣h ）+1，得
1=﹣（2﹣h ）+1．
解得h=2．
则该函数解析式为y=﹣（x ﹣2）+1（或y=﹣x +4x﹣3）．
故抛物线l 的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；
22222
（2）点C 的横坐标为0，则y C =﹣h +1．
当h=0时，y C =有最大值1，
此时，抛物线l 为：y=﹣x +1，对称轴为y 轴，开口方向向下，
所以，当x≥0时，y 随x 的增大而减小，
所以，x 1＞x 2≥0，y 1＜y 2；
（3）∵线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O （0，0），A （﹣5，0）， ∴把线段OA 被l 只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．
把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x ﹣h ）+1，得
0=﹣（﹣1﹣h ）+1，
解得h 1=0，h 2=﹣2．
但是当h=﹣2时，线段OA 被抛物线l 分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x ﹣h ）+1，得
h=﹣5或h=﹣3（舍去）．
综上所述，h 的值是0或﹣5．
点评： 本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h 的值根据实际意义进行取舍．
3. （2015•齐齐哈尔, 第23题7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x +bx+c经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
222222
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： （1）根据题意确定出B 与C 的坐标，代入抛物线解析式求出b 与c 的值，即可确定出解析式；
（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC 面积=三角形ABC 面积+三角形BCD 面积，求出即可．
解答： 解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），
把B 与C 坐标代入y=﹣x +bx+c得：
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x +2x+4；
（2）∵y=﹣x +2x+4=﹣（x ﹣2）+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S 四边形ABDC =S△ABC +S△BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4. （2015•青海，第28题13分）如图，二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．该抛物线的顶点为M ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM 的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22222，
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据B 、C 、M 的坐标，可求得△BCM 三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；
（3）假设存在符合条件的P 点；首先连接AC ，根据A 、C 的坐标及（2）题所得△BDC 三边的比例关系，即可判断出点O 符合P 点的要求，因此以P 、A 、C 为顶点的三角形也必与△COA 相似，那么分别过A 、C 作线段AC 的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P 点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP 的长，也就得到了点P 的坐标．
解答： 解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点， ∴， 2
解得：，
2则抛物线解析式为y=x﹣2x ﹣3；
（2）△BCM 为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式y=x﹣2x ﹣3=（x ﹣1）﹣4，即顶点M 坐标为（1，﹣4），
令x=0，得到y=﹣3，即C （0，﹣3），
根据勾股定理得：BC=3
∵BM =BC+CM，
∴△BCM 为直角三角形；
（3）如图1，
22222，BM=2，CM=，
连接AC ，
∵△COA ∽△CAP ，△PCA ∽△BCD ，
∴Rt △COA ∽Rt △BCD ，P 点与O 点重合，
∴点P （0，0）．
如图2，过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，
∵Rt △CAP 1∽Rt △COA ∽Rt △BCD ， ∴即==， ，
∴点P 1（0，）．
如图3，过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，
∵Rt △P 2CA ∽Rt △COA ∽Rt △BCD ， ∴=， 即=，AP 2=10，
∴点P 2（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O （0，0），P 1（0，），P 2（9，0）．
点评： 此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O 是符合要求的P 点，是解决此题的突破口．
5. （2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D 在双曲线y=（x ＞0）的图象上，以D 为
2圆心的⊙D 与y 轴相切于点C （0，4），与x 轴交于A ，B 两点，抛物线y=ax+bx+c经过A ，B ，
C 三点，点P 是抛物线上的动点，且线段AP 与BC 所在直线有交点Q ．
（1）写出点D 的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC ；
（3）探究是否存在点P ，使点Q 为线段AP 的四等分点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据切线的性质得到点D 的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D 的坐标；过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接AD ，BD ，易得出A ，B 的坐标，即可求出抛物线的解析式；
（2）连接AC ，tan ∠ACO==，tan ∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO ．
2（3）分别过点Q ，P 作QF ⊥x 轴，PG ⊥x 轴，垂足分别为F ，G ，设P （t ， t﹣t+4），分三
种情况①AQ ：AP=1：4，②AQ ：AP=2：4，③AQ ：AP=3：4，分别求解即可．
解答： 解：（1）∵以D 为圆心的⊙D 与y 轴相切于点C （0，4），
∴点D 的纵坐标是4，
又∵点D 在双曲线y=
∴4=， （x ＞0）的图象上，
解得x=5，
故点D 的坐标是（5，4）．
如图1，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接AD ，BD ，
在RT △DAE 中，DA=5，DE=4，
∴AE==3，
∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A （2，0），B （8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x ﹣2）（x ﹣8），由于它过点C （0，4）， ∴a （0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=
∴抛物线的解析式为y=1， 412x ﹣x+4． 4
（2）如图2，连接AC ，
在RT △AOC 中，OA=2，CO=4，
∴tan ∠ACO==1， 2
1， 2在RT △BOC 中，OB=8，CO=4， ∴tan ∠CBO==
∴∠ACO=∠CBO ．
（3）∵B （8，0），C （0，4），
∴直线BC 的解析式为y=﹣x+4，
如图3，分别过点Q ，P 作QF ⊥x 轴，PG ⊥x 轴，垂足分别为F ，G ，
设P （t ，12t ﹣t+4）， 2
，）， ①AQ ：AP=1：4，则易得Q （∵点Q 在直线y=﹣1x+4上， 2
，整理得t ﹣8t ﹣36=0， 2∴﹣+4=
，t 2=4﹣2
，11﹣解得t 1=4+2∴P 1（4+2， ，11+），
）， ），P 2（4﹣2，②AQ ：AP=2：4，则易得Q （∵点Q 在直线y=﹣1x+4上， 2
，
，P 4=4﹣2
，5+）；
）， ， ∴﹣1•2
2+4=整理得t ﹣8t ﹣12=0，解得P 3=4+2∴P 3（4+2，5﹣），P 4（4﹣2，③AQ ：AP=3：4，则易得Q （∵点Q 在直线y=﹣x+4上， ∴﹣•∴P 5（4+2+4=，3﹣，整理得t ﹣8t ﹣4=0，解得t 5=4+2），P 6（4﹣2，3+）， 2，t 6=4﹣2，
综上所述，抛物线上存在六个点P ，使Q 为线段AP 的三等分点，其坐标分别为P 1（4+211﹣
3﹣），P （24﹣2），P 6（4﹣2，11+，3+），P （34+2）． ，5﹣），P （44﹣2，5+）；P （54+2，，
点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．
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