藝數家玩摺紙~生活篇首部曲
正六邊形的平安符
台北市麗山高中 彭良禎
在台灣的廟宇裡，平安符常被摺成「正六邊形」放在符袋中（圖一），好讓孩童掛在身上保平安。本文即解說此一正六邊形平安符的製作過程與數學原理。
（圖一）平安符及其六角包裝。
一、製作過程
器材：統一發票一張。
說明：常見的平安符多為長條狀，在日常生活中，就屬統一發票的規格（19＊4.4 cm）
與之最相近，且取得容易。與平安符相較，發票的缺點就是紙張較厚，導致摺紙過程中所呈現的誤差較顯著，需搭配技術上的修正。
步驟1：依發票的長邊方向對摺出1/4的長方形紙條。
建議：為減少誤差，宜摺成山線-谷線-山線的M型「1/4長方形」（圖二）。
方法：若欲使正面的圖文呈現在外，則需將發票的正面朝上。先對摺1/2處下凹的
谷線，再分別對摺1/4處上凸的山線。
山線 谷線 山線
山線 谷線 山線
谷線對摺
谷線對摺
（圖二）將發票摺成M型1/4長紙條的過程。
步驟2：在長紙條的1/2處摺出一個V型的60°角（圖三）。
說明：此處的60°角只須目測判斷即可，到步驟3會再作必要的調整。為便於圖解說
明與區別，圖三以橘、綠兩種顏色分別呈現長紙條的左右段。
步驟3：將V型角的左右2段紙條，依序以下層的紙條摺壓過上層的紙條（以下簡
稱為「下壓上」），如此不斷地重疊摺，可出一系列的正三角形，直到2段紙條被收完為止。
（圖三）六角平安符的起點動作：摺出V型的60°角。
說明：1.「上壓下」亦可，但以「下壓上」較易觀察、調整誤差。此處的「下壓上」
為順時針方向的操作示範。
2.每一次「下壓上」時，都須適度調整誤差，特別是第1次和第4、5次。第1次「下壓上」要調整兩段紙條的位置，使橘色紙條能完全切齊綠色紙條（圖四左），以便獲得步驟2的60°V型角。第4次「下壓上」要調整綠色紙條的位置，使之能完全對齊橘色的V型邊；第5次「下壓上」則是再次確認循環摺出的正三角形能合為一個正六邊形（圖五右、圖六左）。
（圖四）第1、2次「下壓上」的過程。
3.因循環層疊的「環結」會自動螺旋張開，故在第
5次以後的「下壓上」動作，都要壓在一開始的V型角之下，藉此嵌扣成緊密的六角形結構（圖六）。此處特別以顏色的深淺來突顯一開始的V型角與第5次以後「下壓上」紙條的上下層疊關係。
（圖五）第3、4次「下壓上」的過程。
（圖六）第5、
6、7次「下壓上」在V型角下層的過程。
4.約9次左右可將紙條收完，最後再將尾巴做必要的隱藏即可（圖七）。
（圖七）第8、9、10次「下壓上」的收尾過程。
二、數學原理
現象1：山線-谷線-
山線將長方形4
等分。
原理：長方形屬「二軸對稱」圖形，其兩條對稱軸分別與長、寬平行。
對照：在步驟1中，先將發票的兩個長邊重合，藉此可將發票對摺出2個全等的「1/2
長方形」，所摺的谷線就是對稱軸的位置；同理，從「1/2長方形」對摺出2個全等的「1/4長方形」，所摺的山線也是對稱軸的位置。（參見圖二）
思路：由於4＝2×2，故摺紙將長方形
4等分的策略便是先
2等分，再分別2等分。
現象2：長方形紙條可摺收成一個正六邊形。 原理：1.平角（180°）的三等分為60°角。
2.正三角形可規則排成長條狀（圖八左）。
3.正六邊形可從中心等分成6個正三角形（圖八右）。
操作：1.在步驟2、3中，先將綠1三角形摺疊到黑1三角形上，讓長紙條摺成V型
（還不保證是60°角），而在第1次「下壓上」時，要將橘1三角形調整摺疊到綠1三角形上，才能將平角三等分，故須調整橘色紙條的位置，使之與綠色紙條切齊，以確保得出60°的V型角。
2.在步驟3以後的「下壓上」動作，即是不斷地將「下紙條」依「上紙條」的邊為對稱軸翻轉，此時位在「下紙條」中的正三角形外角（120°），恰可翻摺成位在「上紙條」的正六邊形內角（120°），故在圖八的長紙條結構中，可發現同一編號的正三角形都會出現3次。 3. 若將正六邊形等分成6個正三角形的現象視為環狀結構，當固定以「下壓
上」的順時針或逆時針方向操作時，即可循環回到V型角的起點，接合成一個正六邊形。圖八左右另兩色系的正三角形是進入正六邊形第2層以後的重疊部份。
（圖八）正六邊形平安符的結構剖析。
建議：理論上，兩段紙條可完美地摺收成一個「正六邊形」。但在實際操作上，會因
紙張的厚度產生誤差，以致下層的正六邊形結構會較上層大，為使上下層的正六邊形大小都相同，建議在第4次以後的「下壓上」動作時，宜適度讓正六邊形的中心留個小孔，以便後續操作的緩衝調整，也方便平安符穿線吊掛。
藝數家玩摺紙~生活篇首部曲
正六邊形的平安符
台北市麗山高中 彭良禎
在台灣的廟宇裡，平安符常被摺成「正六邊形」放在符袋中（圖一），好讓孩童掛在身上保平安。本文即解說此一正六邊形平安符的製作過程與數學原理。
（圖一）平安符及其六角包裝。
一、製作過程
器材：統一發票一張。
說明：常見的平安符多為長條狀，在日常生活中，就屬統一發票的規格（19＊4.4 cm）
與之最相近，且取得容易。與平安符相較，發票的缺點就是紙張較厚，導致摺紙過程中所呈現的誤差較顯著，需搭配技術上的修正。
步驟1：依發票的長邊方向對摺出1/4的長方形紙條。
建議：為減少誤差，宜摺成山線-谷線-山線的M型「1/4長方形」（圖二）。
方法：若欲使正面的圖文呈現在外，則需將發票的正面朝上。先對摺1/2處下凹的
谷線，再分別對摺1/4處上凸的山線。
山線 谷線 山線
山線 谷線 山線
谷線對摺
谷線對摺
（圖二）將發票摺成M型1/4長紙條的過程。
步驟2：在長紙條的1/2處摺出一個V型的60°角（圖三）。
說明：此處的60°角只須目測判斷即可，到步驟3會再作必要的調整。為便於圖解說
明與區別，圖三以橘、綠兩種顏色分別呈現長紙條的左右段。
步驟3：將V型角的左右2段紙條，依序以下層的紙條摺壓過上層的紙條（以下簡
稱為「下壓上」），如此不斷地重疊摺，可出一系列的正三角形，直到2段紙條被收完為止。
（圖三）六角平安符的起點動作：摺出V型的60°角。
說明：1.「上壓下」亦可，但以「下壓上」較易觀察、調整誤差。此處的「下壓上」
為順時針方向的操作示範。
2.每一次「下壓上」時，都須適度調整誤差，特別是第1次和第4、5次。第1次「下壓上」要調整兩段紙條的位置，使橘色紙條能完全切齊綠色紙條（圖四左），以便獲得步驟2的60°V型角。第4次「下壓上」要調整綠色紙條的位置，使之能完全對齊橘色的V型邊；第5次「下壓上」則是再次確認循環摺出的正三角形能合為一個正六邊形（圖五右、圖六左）。
（圖四）第1、2次「下壓上」的過程。
3.因循環層疊的「環結」會自動螺旋張開，故在第
5次以後的「下壓上」動作，都要壓在一開始的V型角之下，藉此嵌扣成緊密的六角形結構（圖六）。此處特別以顏色的深淺來突顯一開始的V型角與第5次以後「下壓上」紙條的上下層疊關係。
（圖五）第3、4次「下壓上」的過程。
（圖六）第5、
6、7次「下壓上」在V型角下層的過程。
4.約9次左右可將紙條收完，最後再將尾巴做必要的隱藏即可（圖七）。
（圖七）第8、9、10次「下壓上」的收尾過程。
二、數學原理
現象1：山線-谷線-
山線將長方形4
等分。
原理：長方形屬「二軸對稱」圖形，其兩條對稱軸分別與長、寬平行。
對照：在步驟1中，先將發票的兩個長邊重合，藉此可將發票對摺出2個全等的「1/2
長方形」，所摺的谷線就是對稱軸的位置；同理，從「1/2長方形」對摺出2個全等的「1/4長方形」，所摺的山線也是對稱軸的位置。（參見圖二）
思路：由於4＝2×2，故摺紙將長方形
4等分的策略便是先
2等分，再分別2等分。
現象2：長方形紙條可摺收成一個正六邊形。 原理：1.平角（180°）的三等分為60°角。
2.正三角形可規則排成長條狀（圖八左）。
3.正六邊形可從中心等分成6個正三角形（圖八右）。
操作：1.在步驟2、3中，先將綠1三角形摺疊到黑1三角形上，讓長紙條摺成V型
（還不保證是60°角），而在第1次「下壓上」時，要將橘1三角形調整摺疊到綠1三角形上，才能將平角三等分，故須調整橘色紙條的位置，使之與綠色紙條切齊，以確保得出60°的V型角。
2.在步驟3以後的「下壓上」動作，即是不斷地將「下紙條」依「上紙條」的邊為對稱軸翻轉，此時位在「下紙條」中的正三角形外角（120°），恰可翻摺成位在「上紙條」的正六邊形內角（120°），故在圖八的長紙條結構中，可發現同一編號的正三角形都會出現3次。 3. 若將正六邊形等分成6個正三角形的現象視為環狀結構，當固定以「下壓
上」的順時針或逆時針方向操作時，即可循環回到V型角的起點，接合成一個正六邊形。圖八左右另兩色系的正三角形是進入正六邊形第2層以後的重疊部份。
（圖八）正六邊形平安符的結構剖析。
建議：理論上，兩段紙條可完美地摺收成一個「正六邊形」。但在實際操作上，會因
紙張的厚度產生誤差，以致下層的正六邊形結構會較上層大，為使上下層的正六邊形大小都相同，建議在第4次以後的「下壓上」動作時，宜適度讓正六邊形的中心留個小孔，以便後續操作的緩衝調整，也方便平安符穿線吊掛。