集合好题归纳总结
1.集合相等题型做法总结：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合石是相等的。当已知A，B两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的：（1）个数相同；（2）对于其中一个集合的任一元素，在另一集合中都可以找到；（3）两个集合中的元素乘积相同；
（4）A⊆B，B⊆A.→例题: 集合A={x\x=2n+1,n∈Z},B={y=4k±1,k∈Z},则A与B的关系为________.
2. （化新为旧）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2 ∈S给出如下三个命题：①若m=1，则S=｛1｝②若m=-1/2,则1/4≤l≤1 ③若l=1/2,则-√2 /2≤m≤0正确的命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
3.在整数集合Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为[]，即
[]
① 2011∈[1]；
② －3∈[3]；
③ Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④ 若整数a，b属于同一‘类’，则(a－b)∈[0]。
其中，正确结论的代号是 。
4. （化新为旧） 设A是整数集的一个非空子集,对于k ∈A,如果k—1不属于A且k+1不属于A,那么k是A的一个“孤立元素”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的集合中,不含“孤立元素”的集合共有_____个 ，k＝0，1，2，3，4。给出如下四个结论：
5.（化新为旧）集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当X属于A时,若有X-1不属于
A,且X+1不属于A,则称X为A的一个"孤立元素",那么S中无"孤立元素"的4元子集的个数
是( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
6.（化新为旧） 如图 设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合。点P0是△P1
P2P3的中心，若集合S={P / P∈D,P P0≤P Pi(注：i为下标 且等于1,2,3）}则集合S表示
的平面区域是
A 三角形区域
B 四边形区域
C 五边形区域
D 六边形区域
7.（化新为旧） 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,
a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域。例如，有理数Q是一个数域，数集F={a+b√2|a,b∈Q}也
是数域。给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q含于M，则数集M也为数域；
③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。其中正确的命题有__________(填序号）
8.(代数循环型) 设实数集s满足下面两个条件的集合。(1)1不属于s (2)a∈s,则1/1-a∈s 求
证 ① 若a∈s则1-1/a∈s ②若2∈S，则在S中必含其他的两个数，试求出这两个数。③：
求证：集合S中至少有三个不同的元素
9. （互异性）写出由方程x的平方-(a+1)x+a=0的解组成的集合中的元素。
10. （互异性）已知集合P={x∈R|x²-3x+m=0},集合Q={x∈R|（x+1)²(x+3x-4)=0},集合P是否
能成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由。
11.文字描述法表示集合时，集合符号｛｝已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述
不应再用“全体”，“所有”， “全部”或“集”等词语。
12.若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ）
A．
B．
C．
D． ，0∈M
13. 已知a,b∈z,E={(x,y)︳（x-a)^2+3b≤6y,点（2，1）∈E,但（1，0）不属于E,(3,2)不属于E,求a,b的值
14. 已知集合M=|(X.Y)|X+Y=2|,N={(X.Y)|X-Y=4},若a∈M且a∈N，那么a为（ ）
A,{3,-1}B.(3,-1) C,｛(3,-1)｝D,{X=3,Y=-1}
15.（由特殊到一般） 已知集合A=｛x丨x=3n+1,n∈Z｝，B=｛x丨x=3n+2,n∈Z｝，M=｛x
丨x=6n+3,5已知集合A=｛x丨x=3n+1,n∈Z｝，B=｛x丨x=3n+2,n∈Z｝，M=｛x丨x=6n+3,n
∈Z｝，
（1）若m∈M,问是否有a∈A,b∈B,使m=a+b
（2）对于任意a∈A,b∈B,是否一定有a+b=m且m∈M？并证明你的结论。
16. 若不等式|x|
17以知集合M=｛x|x=m+1/6，m∈Z｝，N=｛x|x=n/2-1/3，n∈Z｝，P=｛x|x=p/2+1/6，p∈Z｝，
求M、N、P的关系
18. 设整数
，，集合，．令集合恰有一个成立．若和都在且三条件中，则下
列选项正确的是（ ）
A、 D、，， B、
有，则称S关于数的乘法是封闭
且有，C、，19. 设S是整数集Z的非空子集，如果的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，
有
A、，则下列结论恒成立的是（ ） 中至少有一个关于乘法是封闭的 B、中至多有一个关于乘法是封闭的C、
中有且只有一个关于乘法是封闭的 D、中每一个关于乘法都是封闭的
20. 若规定E={a1，a2…a10}的子集{ak1，ak2…，akn}为E的第k个子集，其中
k=2k1-1+2k2-1+2k3-1+…+2kn-1．则
（1）{a1，a3}是E的第______个子集；
（2）E的第211个子集是______．
22. 已知集合A={p|x的平方+2（p -1)x+1=0，x属于R}， 求集合B={y|y=2x-1,x属于A}
23.设是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭。下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是
[ ]
A.自然数集
B.整数集
C.有理数集
D.无理数集
21对正整数n，记In＝{1，2，3，…，n}，．(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
答案
1.A=B
2.D
3.①③④
4.6
5.C
6.D
7.③④
8. 由题设：当a∈S时，必有：1/(1-a)∈S.
∴当t∈S时，必有：1/(1-t)∈S.
由a∈S，可知此时：1/(1-a)∈S
取t=1/(1-a).则：1/(1-t)=1/{1-[1/(1-a)]}∈S
整理1/{1-[1/(1-a)]}=(1-a)/(-a)=1-(1/a)∈S
9. (x-a)(x-1)=0
x=1, a
当a1时，解集为{1,a}
当a=1时，解集为{1}
10. 解：假设集合P能成为集合Q的子集。
对于Q：(x + 1)2(x2 + 3x – 4) = 0，因式分解(x + 1)2(x + 4)(x – 1) = 0，所以有x + 1 = 0或者x + 4 = 0或者x – 1 = 0，所以x = -1或者 -4或者1，所以集合Q = {-1，-4，1} ； 由于集合P包含于集合Q，分类讨论可得：
1）如果 -1∈P，代入可得1 + 3 + b = 0，所以b = -4，代入可得x2 – 3x – 4 = 0，因式分解(x + 1)(x – 4) = 0，解得x = -1或者4，所以集合P = {-1，4}不是集合Q的子集，舍去；
2）如果 -4∈P，代入可得16 + 12 + b = 0，所以b = -28，代入可得x2 – 3x – 28 = 0，因式分解(x + 4)(x – 7) = 0，解得x = -4或者7，所以集合P = {-4，7}不是集合Q的子集，舍去；
3）如果1∈P，代入可得1 – 3 + b = 0，所以b = 2，代入可得x2 – 3x + 2 = 0，因式分解(x –
1)(x – 2) = 0，解得x = 1或者2，所以集合P = {1，2}不是集合Q的子集，舍去；
4）如果集合P是空集，那么x2 – 3x + b = 0根的判别式Δ= 9 – 4b 9/4，此时集合P是集合Q的子集，符合题意；
综上所述，集合P能成为集合Q的子集，实数b的取值范围是(9/4，+∞) 。
12.A
13. 点（2，1）属于E 代入得（2-a)²+3b
若点（1，0）属于E 则代入有（1-a)²+3b
但（1，0）不属于E所以 （1-a)²+3b>0 （2）式
同理（3，2）不属于E（3-a)²+3b>12 （3）式
将三式化简并 a^2-4a+3b
a^2-2a+3b>-1 设t2=a^2-2a+3b 则t2>-1
a^2-6a+3b>3 设 t3=a^2-6a+3b 则t3>3
t2=t1+2a t1-1 即t1>-1-2a
所以-1-2a-3/2
同理 t3=t1-2a t13
所以 3+2a
所以 -3/2
代入（1）（2）（3）式 得9+3b
4+3b>0
16+3b>12
得 -4/3
14.B
15. 设a=3k+1,b=3l+2 . k,l∈Z,则a+b=3(k+l)+3因此当k+l=2p(p∈Z)时,a+b=6p+3,此时有m∈M,使a+b=m;当k+l=2p+1(p∈Z)时,a+b=6p+6不属于M,此时不存在m使a+b=m成立。
16. 不等式|x|
【也就是说，另一个不等式的解集要比|x|
17. 解决这类问题用到的方法叫做求同存异。具体来说，就是常数项求同，比较变量的不同。 M中x=m+1/6
N中x=n/2-1/3
P中x=p/2+1/6
其实字母虽然不同，但表示都是当mnp取遍全体整数时x所对应的值所组成的集合。 Mx=m+1/6=2m/2+1/6
Nx=n/2-1/3=n/2+1/6-1/2=(n-1)/2+1/6
Px=p/2+1/6
由以上可知，M表示的是所有偶数的1/2加上1/6,
N表示的是所有整数的1/2加上1/6，P表示的也是所有整数的1/2加上1/6。因此M是N和P的真子集，N和P相等
18.B
19.B
20.5；{a1，a2，a5，a7，a8}．
21. 当n=7时,I7={1,2,3,4,5,6,7},共7个元素；
I7中取2个元素的组合数,共28个,
但1·6=2·3=6；2·6=3·4=12,2·2=1·4=4,4、6和12分别计了2次,
所以,P7中元素的个数为 28-3=25个.
22. 解：由已知得：4(p－1)2－4≥0，得P≥2，或P≤0，
∴A＝{p｜p≥2，或p≤0}， 又∵x∈A，∴x≥2，或x≤0．
∴2x－1≥3，或2x－1 ≤－1， ∴x≥2，或 x≤0
∴B＝{y｜y≤－1，或y≥3}．
23.C
集合好题归纳总结
1.集合相等题型做法总结：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合石是相等的。当已知A，B两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的：（1）个数相同；（2）对于其中一个集合的任一元素，在另一集合中都可以找到；（3）两个集合中的元素乘积相同；
（4）A⊆B，B⊆A.→例题: 集合A={x\x=2n+1,n∈Z},B={y=4k±1,k∈Z},则A与B的关系为________.
2. （化新为旧）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2 ∈S给出如下三个命题：①若m=1，则S=｛1｝②若m=-1/2,则1/4≤l≤1 ③若l=1/2,则-√2 /2≤m≤0正确的命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
3.在整数集合Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为[]，即
[]
① 2011∈[1]；
② －3∈[3]；
③ Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④ 若整数a，b属于同一‘类’，则(a－b)∈[0]。
其中，正确结论的代号是 。
4. （化新为旧） 设A是整数集的一个非空子集,对于k ∈A,如果k—1不属于A且k+1不属于A,那么k是A的一个“孤立元素”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的集合中,不含“孤立元素”的集合共有_____个 ，k＝0，1，2，3，4。给出如下四个结论：
5.（化新为旧）集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当X属于A时,若有X-1不属于
A,且X+1不属于A,则称X为A的一个"孤立元素",那么S中无"孤立元素"的4元子集的个数
是( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
6.（化新为旧） 如图 设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合。点P0是△P1
P2P3的中心，若集合S={P / P∈D,P P0≤P Pi(注：i为下标 且等于1,2,3）}则集合S表示
的平面区域是
A 三角形区域
B 四边形区域
C 五边形区域
D 六边形区域
7.（化新为旧） 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,
a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域。例如，有理数Q是一个数域，数集F={a+b√2|a,b∈Q}也
是数域。给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q含于M，则数集M也为数域；
③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。其中正确的命题有__________(填序号）
8.(代数循环型) 设实数集s满足下面两个条件的集合。(1)1不属于s (2)a∈s,则1/1-a∈s 求
证 ① 若a∈s则1-1/a∈s ②若2∈S，则在S中必含其他的两个数，试求出这两个数。③：
求证：集合S中至少有三个不同的元素
9. （互异性）写出由方程x的平方-(a+1)x+a=0的解组成的集合中的元素。
10. （互异性）已知集合P={x∈R|x²-3x+m=0},集合Q={x∈R|（x+1)²(x+3x-4)=0},集合P是否
能成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由。
11.文字描述法表示集合时，集合符号｛｝已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述
不应再用“全体”，“所有”， “全部”或“集”等词语。
12.若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ）
A．
B．
C．
D． ，0∈M
13. 已知a,b∈z,E={(x,y)︳（x-a)^2+3b≤6y,点（2，1）∈E,但（1，0）不属于E,(3,2)不属于E,求a,b的值
14. 已知集合M=|(X.Y)|X+Y=2|,N={(X.Y)|X-Y=4},若a∈M且a∈N，那么a为（ ）
A,{3,-1}B.(3,-1) C,｛(3,-1)｝D,{X=3,Y=-1}
15.（由特殊到一般） 已知集合A=｛x丨x=3n+1,n∈Z｝，B=｛x丨x=3n+2,n∈Z｝，M=｛x
丨x=6n+3,5已知集合A=｛x丨x=3n+1,n∈Z｝，B=｛x丨x=3n+2,n∈Z｝，M=｛x丨x=6n+3,n
∈Z｝，
（1）若m∈M,问是否有a∈A,b∈B,使m=a+b
（2）对于任意a∈A,b∈B,是否一定有a+b=m且m∈M？并证明你的结论。
16. 若不等式|x|
17以知集合M=｛x|x=m+1/6，m∈Z｝，N=｛x|x=n/2-1/3，n∈Z｝，P=｛x|x=p/2+1/6，p∈Z｝，
求M、N、P的关系
18. 设整数
，，集合，．令集合恰有一个成立．若和都在且三条件中，则下
列选项正确的是（ ）
A、 D、，， B、
有，则称S关于数的乘法是封闭
且有，C、，19. 设S是整数集Z的非空子集，如果的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，
有
A、，则下列结论恒成立的是（ ） 中至少有一个关于乘法是封闭的 B、中至多有一个关于乘法是封闭的C、
中有且只有一个关于乘法是封闭的 D、中每一个关于乘法都是封闭的
20. 若规定E={a1，a2…a10}的子集{ak1，ak2…，akn}为E的第k个子集，其中
k=2k1-1+2k2-1+2k3-1+…+2kn-1．则
（1）{a1，a3}是E的第______个子集；
（2）E的第211个子集是______．
22. 已知集合A={p|x的平方+2（p -1)x+1=0，x属于R}， 求集合B={y|y=2x-1,x属于A}
23.设是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭。下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是
[ ]
A.自然数集
B.整数集
C.有理数集
D.无理数集
21对正整数n，记In＝{1，2，3，…，n}，．(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
答案
1.A=B
2.D
3.①③④
4.6
5.C
6.D
7.③④
8. 由题设：当a∈S时，必有：1/(1-a)∈S.
∴当t∈S时，必有：1/(1-t)∈S.
由a∈S，可知此时：1/(1-a)∈S
取t=1/(1-a).则：1/(1-t)=1/{1-[1/(1-a)]}∈S
整理1/{1-[1/(1-a)]}=(1-a)/(-a)=1-(1/a)∈S
9. (x-a)(x-1)=0
x=1, a
当a1时，解集为{1,a}
当a=1时，解集为{1}
10. 解：假设集合P能成为集合Q的子集。
对于Q：(x + 1)2(x2 + 3x – 4) = 0，因式分解(x + 1)2(x + 4)(x – 1) = 0，所以有x + 1 = 0或者x + 4 = 0或者x – 1 = 0，所以x = -1或者 -4或者1，所以集合Q = {-1，-4，1} ； 由于集合P包含于集合Q，分类讨论可得：
1）如果 -1∈P，代入可得1 + 3 + b = 0，所以b = -4，代入可得x2 – 3x – 4 = 0，因式分解(x + 1)(x – 4) = 0，解得x = -1或者4，所以集合P = {-1，4}不是集合Q的子集，舍去；
2）如果 -4∈P，代入可得16 + 12 + b = 0，所以b = -28，代入可得x2 – 3x – 28 = 0，因式分解(x + 4)(x – 7) = 0，解得x = -4或者7，所以集合P = {-4，7}不是集合Q的子集，舍去；
3）如果1∈P，代入可得1 – 3 + b = 0，所以b = 2，代入可得x2 – 3x + 2 = 0，因式分解(x –
1)(x – 2) = 0，解得x = 1或者2，所以集合P = {1，2}不是集合Q的子集，舍去；
4）如果集合P是空集，那么x2 – 3x + b = 0根的判别式Δ= 9 – 4b 9/4，此时集合P是集合Q的子集，符合题意；
综上所述，集合P能成为集合Q的子集，实数b的取值范围是(9/4，+∞) 。
12.A
13. 点（2，1）属于E 代入得（2-a)²+3b
若点（1，0）属于E 则代入有（1-a)²+3b
但（1，0）不属于E所以 （1-a)²+3b>0 （2）式
同理（3，2）不属于E（3-a)²+3b>12 （3）式
将三式化简并 a^2-4a+3b
a^2-2a+3b>-1 设t2=a^2-2a+3b 则t2>-1
a^2-6a+3b>3 设 t3=a^2-6a+3b 则t3>3
t2=t1+2a t1-1 即t1>-1-2a
所以-1-2a-3/2
同理 t3=t1-2a t13
所以 3+2a
所以 -3/2
代入（1）（2）（3）式 得9+3b
4+3b>0
16+3b>12
得 -4/3
14.B
15. 设a=3k+1,b=3l+2 . k,l∈Z,则a+b=3(k+l)+3因此当k+l=2p(p∈Z)时,a+b=6p+3,此时有m∈M,使a+b=m;当k+l=2p+1(p∈Z)时,a+b=6p+6不属于M,此时不存在m使a+b=m成立。
16. 不等式|x|
【也就是说，另一个不等式的解集要比|x|
17. 解决这类问题用到的方法叫做求同存异。具体来说，就是常数项求同，比较变量的不同。 M中x=m+1/6
N中x=n/2-1/3
P中x=p/2+1/6
其实字母虽然不同，但表示都是当mnp取遍全体整数时x所对应的值所组成的集合。 Mx=m+1/6=2m/2+1/6
Nx=n/2-1/3=n/2+1/6-1/2=(n-1)/2+1/6
Px=p/2+1/6
由以上可知，M表示的是所有偶数的1/2加上1/6,
N表示的是所有整数的1/2加上1/6，P表示的也是所有整数的1/2加上1/6。因此M是N和P的真子集，N和P相等
18.B
19.B
20.5；{a1，a2，a5，a7，a8}．
21. 当n=7时,I7={1,2,3,4,5,6,7},共7个元素；
I7中取2个元素的组合数,共28个,
但1·6=2·3=6；2·6=3·4=12,2·2=1·4=4,4、6和12分别计了2次,
所以,P7中元素的个数为 28-3=25个.
22. 解：由已知得：4(p－1)2－4≥0，得P≥2，或P≤0，
∴A＝{p｜p≥2，或p≤0}， 又∵x∈A，∴x≥2，或x≤0．
∴2x－1≥3，或2x－1 ≤－1， ∴x≥2，或 x≤0
∴B＝{y｜y≤－1，或y≥3}．
23.C