角
1、结合生活情景认识角，知道角的各部分名称，会用不同的方法和材料做出角。
2、在操作活动中体验感知角有大小，会用多种方法来比较角的大小，在探索角的大小比较的过程中，发展数学思考能力。
3、在创造性使用工具和材料来制作角和比较角的大小的过程中，体验解决问题策略的多样性，培养学生的动手实践能力和创新意识。
1. 角的定义与表示方法
（1）角的定义：角的定义有两种，一种是静态的组成定义，一种是动态的形成定义。 ① 角的组成定义：有______的两条射线组成的图形叫做角，这个______是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
②角的形成定义：由一条射线绕着它的______旋转而形成的图形叫做角。
（2）角的表示方法：①用三个大写的英文字母表示，其中表示顶点的字母应该写在____，如图1所示，表示为∠AOB ；②用一个大写的英文字母表示，这个字母表示角的____，如图1，还可以表示为∠O （这种方式适用于顶点处只有一个角的情况）。③用一个小写的希腊字母表示，如图2所示，表示∠α；④用数字表示标注，如图3所示，表示为∠
1.
（3）易混淆点
角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。另外，若没有特别说明，一般指的角都是小于平角的角。
2. 角的度量及换算
（1）常用的角的度量单位为___、___、___，这种角的度量制叫做角度制。1ﾟ=__,1’=__。除角度之外，角的度量还有弧度制、密度制等。
（2）常见的角的分类：①锐角：大于0ﾟ，小于90ﾟ的角；钝角：大于90ﾟ，小于180ﾟ的角；1直角=__，1平角=，1周角=。
（3）角的度量工具有：量角器、经纬仪、测角器等。
（4）借助三角尺可以画出30ﾟ，45ﾟ，60ﾟ，90ﾟ等特殊角，借助量角器可以画出任何
给定的角。
3. 角的比较与运算
（1）角的比较与运算
①______，把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，再比较另一条边的位置，如图所示。
②______，即用量角器量出角的度数，再按照度数比较角的大小。
（2) 易混淆点
在用叠合法比较大小时，易忽略两个角的（一边重合，另一边在重合的这条边的同侧）。
4. 角平分线
（1）定义：从一个角的____出发，把这个角分成两个____的角的，叫做这个角的平分线。
（2）角的n 等分线：类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n 个角，叫做角的n 等分线，例如角的三等分线、四等分线等。
5. 角平分线的几何表示。
6. 易混淆点
不能在角平分线的多种几何表达形式之间灵活转换。
7. 余角和补角
（1）定义：如果两个角的和等于90ﾟ，就说这两个角互为__角，简称________，其中一个角是另一个角的余角。如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角，简称________，其中一个角是另一个角的补角。
（2）互余、互补至于两个角的数量关系有关，与位置无关。
8. 余角、补角的性质
（1）余角的性质：同角的余角相等。
（2）补角的性质：同角的补角相等。
9. 方位角
（1）定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动的方向的夹角为方位角。
（2）注意事项：方位角在叙述是，一般先说____，后说____，如南偏东30ﾟ。但与南北方向夹角为45ﾟ时，常简称东北、东南、西北、西南，如南偏东____，即为东南方向。
参考答案
1. 公共端点 公共端点 端点 中间 顶点
2. 度 分 秒 60’ 60” 90ﾟ 180ﾟ 360ﾟ
3. 叠合法 度量法
4. 顶点 相等 射线
7. 余 两个角互余 180ﾟ 两个角互补
9. 南北 东西 45ﾟ
1. 角的定义及表示方法
【例1】下列对角的表示方法理解错误的是( )
A. 角可用三个大写字母表示, 顶点字母写在中间, 每边上的点写在两旁
B. 任何角都可以用一个字母表示
C. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上数字表示
D. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上希腊字母来表示
【解析】A,C,D 都符合角的表示方法的要求,B, 当角的顶点处只有一个角时, 才能用一个字母表示,B 说法错误.
答案：B.
总结：角的表示方法：
1. 角可用三个大写字母表示
2. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上数字表示
3. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上希腊字母来表示
练1. 下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形; ②角的边越长, 角越大; ③在角一边延长线上取一点D; ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；
③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个选项正确．
答案： A
练2. 下列说法中，不正确的是（ ）
A.∠AOB 的顶点是O 点 B.∠AOB 的边是两条射线
C.射线BO, 射线AO 分别是∠AOB 的边 D.∠AOB 与∠BOA 表示的是同一个角
【解析】A 三个大写字母表示角，则中间一个字母表示角的顶点；B 角的两边是两条射线；C 射线BO 端点为B 向BO 方向延伸，而射线AO 延AO 方向延伸，而角是由两条射线共端点组成的，所以错误；D 角的两边是射线。
答案:C
练3如图，下列表示角的方法错误的是 （ ）
A. ∠1与∠AOB 表示同一个角
B. ∠AOC 可用∠O 来表示
C. 图中共有三个角∠AOB 、∠AOC 、∠BOC
D. ∠β表示的是∠BOC
【解析】A 同一个角的两种表示方法
B 一个端点有多个点公用时，不可以用一个点来表示角。
C 、D 正确。
答案：B
2. 角的度量与比较大小
【例2】钟表在3点40分时, 它的时针和分针所成的钝角的度数是 . 用10倍的放大镜观察, 这个角应是 .
【解析】每小时分针转360°，时针转动30°；每分钟分针旋转6°，时针旋转0.5° 答案：130° 130°
总结：角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。
练4.(2014濮阳一中) 已知∠AOB=120°，OC 在它的内部，且把∠AOB 分成1：3的两个角，那么∠AOC 的度数为( )
A ． 40° B．40°或80° C．30° D．30°或90°
【解析】120除以（1+3）=30°。
由于OC 可能靠近OA ，或OB 所以出现了两种可能，
两种结果，∠AOC =30°或∠AOC =90°
答案：D
练5. 如图, 平角AOB 被分成的三个角∠AOC, ∠COD, ∠DOB 的比为2∶3∶4, 则其中最大的角是 度
.
【解析】设∠AOC=2x°, 则∠COD=3x°, ∠DOB=4x°,
根据题意得:2x+3x+4x=180,解得:x=20,
则最大的角是4×20°=80°.
答案：80
练6. 比较大小:38°15′___ 38. 15度(填“>”“=”或“
【解析】因为1°=60′, 所以38.15°=38°+(0.15×60) ′=38°9′, 所以
38°15′>38.15度.
答案：>
练7 . 51°28′30"=________度
【解析】51度28'30''= 51度28.5'=51度+(28.5/600度=51度+0.475度=51.475度 答案：51.475
3. 角平分线
【例3】（2015北京文汇期末）如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线. 如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD 的度数为（ ）
50° B．60° C．65° D．70°
【解析】∵ OB是∠AOC的角平分线，OD 是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°， 11
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=2∠COE=2×60°=30°，
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
答案：D
练8. 已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC =70º，则∠BOD 的度数是多少？
E
A O B
C
【解析】∵∠EOC =70º∴∠EOD=100º
∵OA 平分角EOC
∴∠COA=∠EOA=35°
又∵∠BOD=180º-∠EOA-∠EOD=180º-35º-100º
∴∠BOD=55°
答案：55°
练9. 已知∠AOE=100º，∠DOF=80º。OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC 。求∠EOF 的度数。
角
1、结合生活情景认识角，知道角的各部分名称，会用不同的方法和材料做出角。
2、在操作活动中体验感知角有大小，会用多种方法来比较角的大小，在探索角的大小比较的过程中，发展数学思考能力。
3、在创造性使用工具和材料来制作角和比较角的大小的过程中，体验解决问题策略的多样性，培养学生的动手实践能力和创新意识。
1. 角的定义与表示方法
（1）角的定义：角的定义有两种，一种是静态的组成定义，一种是动态的形成定义。 ① 角的组成定义：有______的两条射线组成的图形叫做角，这个______是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
②角的形成定义：由一条射线绕着它的______旋转而形成的图形叫做角。
（2）角的表示方法：①用三个大写的英文字母表示，其中表示顶点的字母应该写在____，如图1所示，表示为∠AOB ；②用一个大写的英文字母表示，这个字母表示角的____，如图1，还可以表示为∠O （这种方式适用于顶点处只有一个角的情况）。③用一个小写的希腊字母表示，如图2所示，表示∠α；④用数字表示标注，如图3所示，表示为∠
1.
（3）易混淆点
角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。另外，若没有特别说明，一般指的角都是小于平角的角。
2. 角的度量及换算
（1）常用的角的度量单位为___、___、___，这种角的度量制叫做角度制。1ﾟ=__,1’=__。除角度之外，角的度量还有弧度制、密度制等。
（2）常见的角的分类：①锐角：大于0ﾟ，小于90ﾟ的角；钝角：大于90ﾟ，小于180ﾟ的角；1直角=__，1平角=，1周角=。
（3）角的度量工具有：量角器、经纬仪、测角器等。
（4）借助三角尺可以画出30ﾟ，45ﾟ，60ﾟ，90ﾟ等特殊角，借助量角器可以画出任何
给定的角。
3. 角的比较与运算
（1）角的比较与运算
①______，把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，再比较另一条边的位置，如图所示。
②______，即用量角器量出角的度数，再按照度数比较角的大小。
（2) 易混淆点
在用叠合法比较大小时，易忽略两个角的（一边重合，另一边在重合的这条边的同侧）。
4. 角平分线
（1）定义：从一个角的____出发，把这个角分成两个____的角的，叫做这个角的平分线。
（2）角的n 等分线：类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n 个角，叫做角的n 等分线，例如角的三等分线、四等分线等。
5. 角平分线的几何表示。
6. 易混淆点
不能在角平分线的多种几何表达形式之间灵活转换。
7. 余角和补角
（1）定义：如果两个角的和等于90ﾟ，就说这两个角互为__角，简称________，其中一个角是另一个角的余角。如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角，简称________，其中一个角是另一个角的补角。
（2）互余、互补至于两个角的数量关系有关，与位置无关。
8. 余角、补角的性质
（1）余角的性质：同角的余角相等。
（2）补角的性质：同角的补角相等。
9. 方位角
（1）定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动的方向的夹角为方位角。
（2）注意事项：方位角在叙述是，一般先说____，后说____，如南偏东30ﾟ。但与南北方向夹角为45ﾟ时，常简称东北、东南、西北、西南，如南偏东____，即为东南方向。
参考答案
1. 公共端点 公共端点 端点 中间 顶点
2. 度 分 秒 60’ 60” 90ﾟ 180ﾟ 360ﾟ
3. 叠合法 度量法
4. 顶点 相等 射线
7. 余 两个角互余 180ﾟ 两个角互补
9. 南北 东西 45ﾟ
1. 角的定义及表示方法
【例1】下列对角的表示方法理解错误的是( )
A. 角可用三个大写字母表示, 顶点字母写在中间, 每边上的点写在两旁
B. 任何角都可以用一个字母表示
C. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上数字表示
D. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上希腊字母来表示
【解析】A,C,D 都符合角的表示方法的要求,B, 当角的顶点处只有一个角时, 才能用一个字母表示,B 说法错误.
答案：B.
总结：角的表示方法：
1. 角可用三个大写字母表示
2. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上数字表示
3. 记角时可靠近顶点处加上弧线, 注上希腊字母来表示
练1. 下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形; ②角的边越长, 角越大; ③在角一边延长线上取一点D; ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；
③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个选项正确．
答案： A
练2. 下列说法中，不正确的是（ ）
A.∠AOB 的顶点是O 点 B.∠AOB 的边是两条射线
C.射线BO, 射线AO 分别是∠AOB 的边 D.∠AOB 与∠BOA 表示的是同一个角
【解析】A 三个大写字母表示角，则中间一个字母表示角的顶点；B 角的两边是两条射线；C 射线BO 端点为B 向BO 方向延伸，而射线AO 延AO 方向延伸，而角是由两条射线共端点组成的，所以错误；D 角的两边是射线。
答案:C
练3如图，下列表示角的方法错误的是 （ ）
A. ∠1与∠AOB 表示同一个角
B. ∠AOC 可用∠O 来表示
C. 图中共有三个角∠AOB 、∠AOC 、∠BOC
D. ∠β表示的是∠BOC
【解析】A 同一个角的两种表示方法
B 一个端点有多个点公用时，不可以用一个点来表示角。
C 、D 正确。
答案：B
2. 角的度量与比较大小
【例2】钟表在3点40分时, 它的时针和分针所成的钝角的度数是 . 用10倍的放大镜观察, 这个角应是 .
【解析】每小时分针转360°，时针转动30°；每分钟分针旋转6°，时针旋转0.5° 答案：130° 130°
总结：角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。
练4.(2014濮阳一中) 已知∠AOB=120°，OC 在它的内部，且把∠AOB 分成1：3的两个角，那么∠AOC 的度数为( )
A ． 40° B．40°或80° C．30° D．30°或90°
【解析】120除以（1+3）=30°。
由于OC 可能靠近OA ，或OB 所以出现了两种可能，
两种结果，∠AOC =30°或∠AOC =90°
答案：D
练5. 如图, 平角AOB 被分成的三个角∠AOC, ∠COD, ∠DOB 的比为2∶3∶4, 则其中最大的角是 度
.
【解析】设∠AOC=2x°, 则∠COD=3x°, ∠DOB=4x°,
根据题意得:2x+3x+4x=180,解得:x=20,
则最大的角是4×20°=80°.
答案：80
练6. 比较大小:38°15′___ 38. 15度(填“>”“=”或“
【解析】因为1°=60′, 所以38.15°=38°+(0.15×60) ′=38°9′, 所以
38°15′>38.15度.
答案：>
练7 . 51°28′30"=________度
【解析】51度28'30''= 51度28.5'=51度+(28.5/600度=51度+0.475度=51.475度 答案：51.475
3. 角平分线
【例3】（2015北京文汇期末）如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线. 如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD 的度数为（ ）
50° B．60° C．65° D．70°
【解析】∵ OB是∠AOC的角平分线，OD 是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°， 11
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=2∠COE=2×60°=30°，
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
答案：D
练8. 已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC =70º，则∠BOD 的度数是多少？
E
A O B
C
【解析】∵∠EOC =70º∴∠EOD=100º
∵OA 平分角EOC
∴∠COA=∠EOA=35°
又∵∠BOD=180º-∠EOA-∠EOD=180º-35º-100º
∴∠BOD=55°
答案：55°
练9. 已知∠AOE=100º，∠DOF=80º。OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC 。求∠EOF 的度数。