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武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数A 》A 卷（72学时用）
学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算下列各题（每题6分，3题共18分）：
+a 1 1
(1).计算行列式
1 11+a 1
.
1 1+a
(2).已知阶矩阵 (n ≥2) ，且非奇异，求(A *) *.
(3).设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足
I +A =I -A =0，计算2I +3A .
⎛10
二、(12分) 设A = 02
16⎝
⎛2-λ
三、(15分) 设A = 2
-2⎝
1⎫⎪
0⎪，且r (A ) =2，a ⎪⎭2
满足AX +I =A 2+X ，求a 和.
-2⎫⎛1⎫
⎪ ⎪
5-λ-4⎪, b = 2⎪. 讨论λ为何值时, 方程组AX =b 无
-1-λ⎪-45-λ⎪⎭⎝⎭
解、有唯一解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.
22
四、(15分) 设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+x 2+x 3-2x 1x 2-2x 2x 3-2x 3x 1,
(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值； (2).求可逆矩阵P ，使P -1AP 成为对角阵; (3).计算A m (m 是正整数).
五、(15分) 设V 1=L (α1, α2), V 2=L (β1, β2) , 其中α1=(2,1,3, -1) , α2=(0,2,0,1)；
β1=(1,3,1,0) , β2=(1, -6,2, -3) . 求V 1+V 2与V 1 V 2的基与维数.
六、(15分) 设σ是n 维线性空间V 上的线性变换, 且满足σn -1(α) ≠θ, 但σn (α) =θ.
(1).证明α, σ(α) , σ2(α) , …, σn -1(α) 是V 的一组基； (2).求线性变换σ在这组基下的矩阵A ； (3).讨论A 能否和对角阵相似.
七、(10分) 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值. 证明:AB =BA 的充要条件是A 的特
征向量也是B 的特征向量.
2005－2006第一学期《线性代数A 》A 卷参考解答
一、
+a 111+a 1.
11
2、A
n -2
11
11+a
. ＝(n +a )
1+a 1 111 1
10a 0
=(n +a ) =a n (n +a )
1+a 00 a
A ；
3
二、解：由初等变换求得a ＝1，由
，得
，由于
A -E ≠0，因此
可逆 ，且
。
三、解：经计算A =-(λ-1) 2(λ-10), 因此方程组有唯一解
时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
，即时无解。
因
令
四、解：1) 二次型的矩阵为A ＝
，所以
时有无穷多解。等价方程组为:
，得通解为：
;
|
E-A |＝=(+1)(－2)
所以A 的全部特征值为：
＝－1,
＝
＝2
对
对
= —1, 解 (－E －A ) X ＝0 得基础解系为 ＝
＝2, 解(2E —A ) X ＝0得基础解系为
＝(1,1,1)； ＝ (—1,1,0) ,
＝ (—1,0,1) 。
2). 令P ＝(α1, α2, α3) ＝
，即为所求可逆阵，此时AP ＝＝.
(-1) m
3) A m =P Λm P -1=
2m
2m
=(-1) m 4m
⎛2011⎫⎛-110-3⎫⎛1-103⎫
123-6⎪→ 033-9⎪→ 011-3⎪ T T T
五、 (α1, α2, β1T , β2) = 3012⎪ 031-7⎪ 001-1⎪
-110-3⎪ 021-5⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故dim(V 1+V 2) =3, 且α1, α2, β1是V 1+V 2的一组基. 又显然有dim(V 1) =2, dim(V 2) =2, 由维数公式得dim(V 1 V 2) =1. 考虑齐次线性方程组:
x 1α1+x 2α2+y 1β1+y 2β2=0
得基础解(1,-2, -1,1) T , 进而得V 1 V 2的基为α1-2α2=(2,-3,3, -3) .
六、 1.作组合k α+k 1σ(α) +k 2σ2(α) + +k n -1σn -1(α) =0，依次用σn -1, σn -2, , σ作用于上
式两边，即可得k =k 1= =k n -1
⎛0 1
2.A = 0
0⎝
001 0 000 1
0⎫0⎪0⎪ ⎪0⎪⎭
3.由于A 只有零特征值(n 重) ，而Ax =0的基础解系仅含一个解向量，没有n 个线性无关的
特征向量，故不能与对角阵相似.
B x =B A x 七、必要性：设λ是A 的特征值，x 是对应的特征向量．则Ax =λx ，故A B =x λ
即Bx ∈V λ．而V λ是一维子空间，故Bx =kx ，即x 也是B 的特征向量．
充分性：A , B 有n 个相同的线性无关的特征向量α1, α2, , αn ．取P =(α1 α2 αn )
⎛λ1
则有 P -1AP =
⎝⎛λ1
或 A =P
⎝
λ2
⎫⎛k 1⎪-1BP = , P ⎪
⎪ λn ⎭⎝
k 2
k 2
⎫
⎪⎪，
k n ⎪⎭⎫⎪-1
⎪P ，
k n ⎪⎭
λ2
⎫⎛k 1
⎪-1 P , B =P ⎪
⎪ λn ⎭⎝
由此即得AB =BA ．
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数B 》（A 卷）
学院 专业 学号 姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每小题6分，4题共24分）：
1、设五维向量
α1=(3,21,0,9,0)， α2=(1,7, -1, -2, -1)，α3=(2,14,0,6,1)，
求向量组α1, α2, α3的一个极大无关组。 2、设有四阶方阵
⎛12-3-1⎫ ⎪1-211⎪， A =
01-12⎪ ⎪
24⎭⎝30
T
求行列式 AA 的值。
3、判定二次型
222
f (x 1, x 2, x 3) =x 1+2x 2+6x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3
的正定性。
⎛a a a ⎫ ⎪2006
4、已知A = b b b ⎪，求A 。
c c c ⎪⎝⎭
二、解答题（每小题12分，3题共36分）：
1、已知
⎛11-1⎫
⎪
A = 011⎪，且A 2-AB =I ，
00-1⎪⎝⎭
其中I 是3阶单位矩阵， (1) 求矩阵B ； （2）令
C =4A 2-B 2-2BA +2AB ，
计算C 的伴随阵C *。 2、给定R 的两组基
3
ε1=(1,0,1),ε2=(2,1,0),ε3=(1,1,1),η1=(1,0,0),η2=(1,1,0),η3=(1,1,1)
定义线性变换：
σ(εi ) =ηi , i =1, 2, 3
试求：
（1）求由基ε1, ε2, ε3到基η1, η2, η3的过渡矩阵; （2）求线性变换σ在基η1, η2, η3下的矩阵。 3、已知
f (x 1, x 2, x 3) =2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3，
（1）求一个正交变换X =PY , 把二次型f 化为标准形。 （2）在x =1的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
三、证明与讨论（3题共40分）
1、设有线性方程组
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
⎨x 1+λx 2+x 3=3 , ⎪x +x +λx =λ-1
23⎩1
问λ 取何值时，方程组有惟一解、无解或有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。（15分） 2．设
A 为n ⨯n 矩阵，证明如果A 2=I ，那么
r (A +I ) +r (A -I ) =n
其中I 为n ⨯n 的单位矩阵，r 为矩阵的秩。（10分） 3、设
⎛0 A = 1
x 2⎝
1⎫⎪1-1⎪， 00⎪⎭
x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分）
线性代数B 参考答案
一、计算下列各题：
00
96
01
1、解：由－1－2－1＝9≠0，及R （α1, α2, α3）≤3，则知α1, α2, α3即为一极大无关组。
12-3-1
1-2112T
=50，所以：AA T=2500。 2、解：AA =A ，A =
01-123024
111⎛111⎫
11 ⎪顺序主子式为
3、解：f 的矩阵A =123， a =1>0=1>0123=1>0，11 ⎪12 136⎪136⎝⎭
根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪4、解：A =b (111)，则A 2006=b (111)b (111) b (111) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2006个A
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a a a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= b ⎪(111) b ⎪(111) b ⎪(111)=(a +b +c ) 2005 b b b ⎪。 c ⎪ c ⎪ c ⎪ c c c ⎪⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭⎝⎭
2005个(a +b +c ) 相乘
二、解答下列各题：
1、解：(1)由A -AB =I ，得A (A -B )=I ，而A =-1≠0, 因此矩阵A 可逆，且
2
⎛1-1-2⎫⎛021⎫
⎪ ⎪ A -1= 011⎪ ，所以由A (A -B )=I ，得A -B =A -1，故B =A -A -1= 000⎪。
00-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭（2）注意4A 2-B 2-2BA +2AB ＝2A （2A ＋B ）-B (B ＋2A ) =(2A ＋B )(2A -B ),
⎛24-1⎫⎛20-3⎫⎛484⎫ ⎪ ⎪ ⎪且(2A ＋B ) ＝ 022⎪, (2A -B ) ＝ 022⎪, (2A ＋B )(2A -B ) ＝040，
⎪
00-2⎪ 00-2⎪ 004⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛484⎫⎛1-2-1⎫
⎪ ⎪。 22
即C =4A -B -2BA +2AB =040，且C *=C C -1=16010 ⎪ ⎪
004⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭
3
2、解 （1）取R 的另一组基e 1=(1, 0, 0), e 2=(0, 1, 0), e 3=(0, 0, 1) ，则由基e 1, e 2, e 3到基
⎡121⎤⎡111⎤
⎥, Q =⎢011⎥
011α1, α2, α3与η1, η2, η3的过渡矩阵P 及Q 分别为P =⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣101⎥⎦⎣001⎥⎦
再由(η1, η2, η3) =(ε1, ε2, ε3) X 可解得由基ε1, ε2, ε3到基η1, η2, η3的过渡矩阵为
⎛2-20⎫ ⎪
X =P -1Q = 220⎪
-221⎪⎝⎭
（2）σ(η1, η2, η3) =σ(ε1, ε2, ε3) X =(η1, η2. η3) X ，故σ在基η1, η2, η3下的矩阵仍为X 。
-λ⎛011⎫
⎪3、解：（1）A =10-1，A 的特征多项式为f (λ) =1 ⎪ 1-10⎪1⎝⎭
令f (λ) =0，得λ1=λ2=1, λ3=-2，
11
-λ-1=-(λ-1)(λ+2),
-1-λ
⎛-111⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪
对λ1=λ2=1, 解线性方程组 1-1-1⎪ x 2⎪=o ⇒x 1-x 2-x 3=0, 基础解系为：
1-1-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
β2=-1, -2,1) ξ1=(1,0,1)T, ξ2=
(1,1,0)T，正交规范化得：β1=⎛211⎫⎛x 1⎫
⎧2x 1+x 2+x 3=0 ⎪ ⎪
对λ3=-2， 解线性方程组 12-1⎪ x 2⎪=o ⇒⎨，得基础解系为：x -x +2x =023⎩1 1-12⎪ x ⎪
⎝⎭⎝3⎭
-1, -1) T，
ξ3=(1,-1, -
1) T，规范化得：β3=-111
-2-1则所求之一正交变换矩阵P = 0，变换之下的标准形为：
11-1222
f =y 1+y 2-2y 3。
（2）由于正交变换保持向量的长度不变，则X ==1，
222222
f =y +y -2y =y +y +y -1231233
2-2≤1-3y 3≤，1
2
y =3-，y 313
注意：
2
0≤y 3≤1，则
即f 的最大值为1，最小值为-2。比如令Y =(0,0,1)T，有min f =-2, 令Y =(1,0,0)T，有
max f =1。
三、证明题与讨论题：
1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：
(1)当λ≠1且λ≠-2时，R (A ) =R (B ) =3, 方程组有唯一解；
(2)当λ=1时，R (A ) =1，R (B ) =2，该情形方程组无解； (3)当λ=-2时, R (A ) =R (B ) =2, , 此时方程组有无限多个解。而,
⎛-2110⎫⎛-2110⎫⎛10-1-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪B = 1-213⎪ 1-213⎪ 0-112⎪, ，
11-2-3⎪ 0000⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧x 1=x 3-1⎛x 1⎫⎛1⎫⎛-1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
由此得⎨x 2=x 3-2，即 x 2⎪=c 1⎪+ -2⎪，(c ∈R ) 。
⎪x =x 1⎪ 0⎪ x ⎪
⎝⎭⎝⎭3⎝3⎭⎩3
证 因为
r （A+I）+r（A —I ）≥r （A+I+A—I ）=r(A)
A 2=I ∴A ≠0, r (A ) =n ，故 r （A+I ）+r（A —I ）≥n
又因为
(A +I )(A -I ) =A 2+A -A -I =I -I +A -A =O
∴ r （A+I ）+r（A —I ）≤n 即证 r （A+I ）+r（A —I ）=n
-λ01
3、解：A -λI =11-λ-1＝(λ-1)(x 2-λ2) ，得λ1=1, λ2、3=±x 。
x 20-λ
1）当x ≠0且x ≠±1时，A 有3个相异特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 一
定可以对角化。
2）如果x =±1，则λ1、2=1,λ3=-1，
⎛-101⎫⎛-101⎫
⎪ ⎪注意到λ1、0-1⎪ 000⎪，R (A -I )=1， 2=1时，由(A -λI )＝ 1
10-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪
则由 10-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的两个线性无关的特征向量。
10-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭⎛101⎫⎛101⎫
⎪ ⎪而当λ3=-1时，由(A -λI )＝12-1 12-1，R (A +I )=2， ⎪ ⎪ 101⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛101⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪
则由 12-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的一个特征向量。
000⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
再由上题知，此种情形下，A 的三个特征向量线性无关，即A 也可以对角化。
3）如果x =0，则λ1=1, λ2、0， 3＝
⎛0
1注意到λ2、3=0时，由 0⎝⎛-1 而当λ1=1时，由1 0⎝
010
000
1⎫⎛x 1⎫⎪ ⎪
-1⎪ x 2⎪=0及R (A )=2知，即A 恰有一个特征向量。
⎪0⎪⎭⎝x 3⎭
1⎫⎛-101⎫⎪ ⎪
-1⎪ 00-1⎪及R (A -I )=2知，
⎪-1⎪⎭⎝000⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪10-1 ⎪ x 2⎪=0 00-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
恰给出A 的一个特征向量，从而此情形下A 不具有3个线性无关的特征向量，则A 不可对角化。
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数C 》A 卷
学院 专业 学号 姓名
注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每题6分，4题共24分）：
⎛-111⎫ ⎪5
1．设A = 1-1-1⎪，计算A .
1-1-1⎪⎝⎭
2
2．设二阶方阵A 满足方程A -3A +2E =O ，求A 的所有可能的特征值. 3．计算行列式
1+a 111
1111+a 11
. .
11+a 1111+a
4．设n 阶向量α=(x ，0， ，0，x ) T ，矩阵A =E -ααT , 且A -1=E +x ααT ，求实数x .
二、解答题（4题共60分，每题15分）
⎛101⎫
⎪
1．设A = 020⎪，且R (A ) =2，
16a ⎪⎝⎭
2．已知
满足
，求a 和
.
2-2⎫⎛2-λ⎛1⎫
⎪ ⎪A = 25-λ-4⎪, b = 2⎪,
-2 -1-λ⎪-45-λ⎪⎝⎭⎝⎭
就方程组AX =b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，
求出其通解. 3、设二次型
22
f (x 1, x 2, x 3) =x 12+x 2+x 3-2x 1x 2-2x 2x 3-2x 3x 1,
(1).求出二次型f 的矩阵A 及其秩; (2).求出矩阵A 的全部特征值;
(3).求可逆矩阵P ，使P AP 成为对角阵.
4、设是三阶实对称矩阵A 的特征值为6，3，3，且与特征值6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1) ，求A .
T
-1
三、证明题（2题共16分）：
1. （8分）设
是阶实方阵，当为奇数且
及
时, 证明：E -A =0.
2. （8分）若β1=k (2α1+2α2-α3), β2=k (2α1-α2+2α3), β3=k (α1-2α2-2α3), k 是非零实数，给出向量组β1, β2, β3线性无关的一个充要条件，并证明之.
2005－2006第一学期《线性代数C 》A 卷参考解答
一、计算题：
1⎫⎛-11
⎪4
1、(-3) 1-1-1⎪；2、λ1＝1，λ2＝2；3
1-1-1⎪
⎝⎭
二、解答题：
1、解： a ＝1，由A -
E ≠0，因此
可逆 ，且
＝a n (n +a ) ；4
2、解：经计算
时，因 时，因
, 因此方程组有唯一解
，即
，
通解为：
时无解。
。
3、解：1) 二次型的矩阵为A ＝
; 秩（A ）=3；
2
） |3) 。对
对
E-A
|＝(+1)(－
2) ，所以A 的全部特征值为：
＝(1,1,1)； ＝ (—1,1,0) ,
＝－1, ＝
＝2
= —1, 解得基础解系为 ＝
＝2, 解得基础解系为
＝ (—1,0,1) 。
令P ＝(α1, α2, α3) ＝
，则AP ＝＝.
⎛411⎫
⎪
4、A =
141⎪；
11`4⎪⎝⎭
三、证明题
1、证明：
，
所以.
2、证明：如果A ≠0，即α1, α2, α3线性无关，则有B ＝A C =A C ≠0，得β1, β2, β3线性无关；
反之如果β1, β2, β3线性无关，则由A C =B ≠0，得到A ≠0. 可见, α1, α2, α3线性无关是β1, β2, β3线性无关的一个充分必要条件.
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数D 》 （A 卷）
学院 专业 学号 姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每小题6分，5题共30分）：
1、设α1=(3,21,0,9,0)， 一个极大无关组。
α2=(1,7, -1, -2, -1)，α3=(2,14,0,6,1)，求向量组α1, α2, α3的
⎛12-3-1⎫ ⎪1-211⎪，求行列式 AA T的值。 2、设 A =
01-12⎪ ⎪
24⎭⎝30
TT
3、设α1=(111), α2=(1-21)，试求一个非零向量α，使α1, α2, α两两正交。
4、判定二次型
222
f (x 1, x 2, x 3) =x 1+2x 2+6x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3的正定性。
⎛a a a ⎫ ⎪2006
5、已知A = b b b ⎪，求A 。
c c c ⎪⎝⎭
二、解答题（每小题15分， 2题共30分）：
⎛11-1⎫ ⎪2
1、已知A =011，且A -AB =E ，其中E 是3阶单位矩阵，
⎪ 00-1⎪⎝⎭
(1) 求矩阵B ；
*
（2）令C =4A 2-B 2-2BA +2AB ，计算C 的伴随阵C 。
2、已知
f (x 1, x 2, x 3) =2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3，
（1）求一个正交变换X =PY , 把二次型f 化为标准形。 （2）在x =1的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
三、证明与讨论（3题共40分）
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
x +λx 2+x 3=31、设有线性方程组⎨1 , 问λ 取何值时，此方程组有惟一解、无解或⎪x +x +λx =λ-1
23⎩1
有无穷多个解？并在有无穷多解时求出其通解。（15分）
2、设三阶阵A 有三个实特征值λ1、λ2、λ3，且满足λ1=λ2≠λ3，如果λ1对应两个线性无关的特征向量α1和α2, λ3对应一个特征向量α3，证明α1, α2, α3线性无关。（10分）
⎛0 3、设A =1 x 2⎝1⎫⎪
1-1⎪，x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分） 00⎪⎭
线性代数D （即工科36学时）参考解答：
一、计算下列各题：
00
96
01
1、解：由－1－2－1＝9≠0，及R （α1, α2, α3）≤3，则知α1, α2, α3即为一极大无关组。
12-3-1
1-2112T
A ==50，所以：AA T=2500。 AA =A 2、解：，
01-123024
⎛x 1⎫
111⎧x 1=-x 3⎛⎫ ⎪⎛111⎫⎛101⎫
3、解：令 ⎪ x 2⎪=0, ⎪ ⎪, 得⎨x =0，取
1－211－21010⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩2
x 3⎝⎭
α=(-1,0,1)即可。
111⎛111⎫
11 ⎪顺序主子式为
4、解：f 的矩阵A =123， a =1>0=1>0123=1>0，11 ⎪12 136⎪136⎝⎭
根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。
T
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪5、解：A =b (111)，则A 2006=b (111)b (111) b (111) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ c ⎪ c ⎪c ⎭c ⎭⎝⎝⎝⎭⎝⎭
2006个A
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a a a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= b ⎪(111) b ⎪(111) b ⎪(111)=(a +b +c ) 2005 b b b ⎪。 c ⎪ c ⎪ c ⎪ c c c ⎪⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭⎝⎭
2005个(a +b +c ) 相乘
二、解答下列各题：
1、解：(1)由A -AB =E ，得A (A -B )=E ，而A =-1≠0, 因此矩阵A 可逆，且
2
⎛1-1-2⎫⎛021⎫
⎪ ⎪ A -1= 011⎪ ，所以由A (A -B )=E ，得A -B =A -1，故B =A -A -1= 000⎪。
00-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
（2）注意4A 2-B 2-2BA +2AB ＝2A （2A ＋B ）-B (B ＋2A ) =(2A ＋B )(2A -B ),
⎛24-1⎫⎛20-3⎫⎛484⎫ ⎪ ⎪ ⎪且(2A ＋B ) ＝ 022⎪, (2A -B ) ＝ 022⎪, (2A ＋B )(2A -B ) ＝040，
⎪
00-2⎪ 00-2⎪ 004⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛1-2-1⎫⎛484⎫
1 ⎪ ⎪22-13
0即C =4A -B -2BA +2AB =040。再注意C ＝ 01，， C =4⎪ ⎪4 00 004⎪1⎪⎝⎭⎝⎭
则C *=C C -1
⎛1-2-1⎫
⎪=16 010⎪。
001⎪⎝⎭
1
1
-λ-1=-(λ-1)(λ+2),
-1-λ
-λ⎛011⎫
⎪2、解：（1）A =10-1，A 的特征多项式为f (λ) =1 ⎪ 1-10⎪1⎝⎭
令f (λ) =0，得λ1=λ2=1, λ3=-2，
⎛-111⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪
对λ1=λ2=1, 解线性方程组 1-1-1⎪ x 2⎪=o ⇒x 1-x 2-x 3=0, 基础解系为：
1-1-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
ξ1=(1,0,1)T, ξ2=
(1,1,0)T，正交规范化得：β1=
1 β2=
1-1, -2,1)
⎛211⎫⎛x 1⎫
⎧2x 1+x 2+x 3=0 ⎪ ⎪
⇒12-1x =o 对λ3=-2， 解线性方程组 ⎨⎪ 2⎪，得基础解系为：x -x +2x =023⎩1 1-12⎪ x ⎪
⎝⎭⎝3⎭
ξ3=(1,-1, -
1) T，规范化得：β3=
1-1, -1) T，
i.
⎛
则所求之一正交变
换矩阵P =
⎝
222
f =y 1+y 2-2y 3。
101-1-211-1，变换之下的标准形为：-1 （2）由于正交变换保持向量的长度不变，则X ==1，
222222
f =y +y -2y =y +y +y -1231233
2
y =3-，y 313
注意：
2
0≤y 3≤1，则
2
-2≤1-3y 3≤1，
即f 的最大值为1，最小值为-2。比如令Y =(0,0,1)T，有min f =-2, 令Y =(1,0,0)T，有
max f =1。
三、证明题与讨论题：
1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：
(1)当λ≠1且λ≠-2时，R (A ) =R (B ) =3, 方程组有唯一解； (2)当λ=1时，R (A ) =1，R (B ) =2，该情形方程组无解； (3)当λ=-2时, R (A ) =R (B ) =2, , 此时方程组有无限多个解。而,
⎛-2110⎫⎛-2110⎫⎛10-1-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪B = 1-213⎪ 1-213⎪ 0-112⎪, ，
11-2-3⎪ 0000⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧x 1=x 3-1⎛x 1⎫⎛1⎫⎛-1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
由此得⎨x 2=x 3-2，即 x 2⎪=c 1⎪+ -2⎪，(c ∈R ) 。
⎪x =x 1⎪ 0⎪ x ⎪
⎝⎭⎝⎭3⎝3⎭⎩3
2、证明：考虑k 1、k 2、k 3使得
k 1α1+k 2α2+k 3α3=o （＊），
则Ak 1α1+Ak 2α2+Ak 3α3=o ，即
k 1λ1α1+k 2λ2α2+k 3λ3α3=o （＊＊），
用λ1乘以（＊）式，然后与（＊＊）式相减得
k 3(λ3-λ1) α3=o ，
注意λ3-λ1≠0，有k 3=0。再由（＊）式得k 1α1+k 2α2=o ，由于α1和α2线性无关，则
k 1=k 2=0，于是
k 1=k 2=k 3=0，
即α1, α2, α3线性无关。
-λ
3、解：A -λE =1
01-λ0
1
-1＝(λ-1)(x 2-λ2) ，得λ1=1, λ2、3=±x 。 -λ
x 2
1）当x ≠0且x ≠±1时，A 有3个相异特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 一定可以对角化。
2）如果x =±1，则λ1、2=1,λ3=-1，
⎛-101⎫⎛-101⎫
⎪ ⎪，
注意到λ1、时，由＝=1A -λE 10-1 000()2 ⎪ ⎪R (A -E )=1，
10-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪
则由 10-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的两个线性无关的特征向量。
10-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
⎛101⎫⎛101⎫
⎪ ⎪而当λ3=-1时，由(A -λE )＝12-1 12-1，R (A +E )=2， ⎪ ⎪ 101⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛101⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪
则由 12-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的一个特征向量。
000⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
再由上题知，此种情形下，A 的三个特征向量线性无关，即A 也可以对角化。
3）如果x =0，则λ1=1, λ2、0， 3＝
⎛001⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪11-1注意到λ2、时，由=03 ⎪ x 2⎪=0及R (A )=2知，即A 恰有一个特征向量。 000⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
⎛-101⎫⎛-101⎫ ⎪ ⎪而当λ1=1时，由10-1 00-1及R (A -E )=2知， ⎪ ⎪ 00-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪10-1 ⎪ x 2⎪=0 00-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
恰给出A 的一个特征向量，从而此情形下A 不具有3个线性无关的特征向量，则A 不可以对角化。
-
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数A 》A 卷（72学时用）
学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算下列各题（每题6分，3题共18分）：
+a 1 1
(1).计算行列式
1 11+a 1
.
1 1+a
(2).已知阶矩阵 (n ≥2) ，且非奇异，求(A *) *.
(3).设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足
I +A =I -A =0，计算2I +3A .
⎛10
二、(12分) 设A = 02
16⎝
⎛2-λ
三、(15分) 设A = 2
-2⎝
1⎫⎪
0⎪，且r (A ) =2，a ⎪⎭2
满足AX +I =A 2+X ，求a 和.
-2⎫⎛1⎫
⎪ ⎪
5-λ-4⎪, b = 2⎪. 讨论λ为何值时, 方程组AX =b 无
-1-λ⎪-45-λ⎪⎭⎝⎭
解、有唯一解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.
22
四、(15分) 设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+x 2+x 3-2x 1x 2-2x 2x 3-2x 3x 1,
(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值； (2).求可逆矩阵P ，使P -1AP 成为对角阵; (3).计算A m (m 是正整数).
五、(15分) 设V 1=L (α1, α2), V 2=L (β1, β2) , 其中α1=(2,1,3, -1) , α2=(0,2,0,1)；
β1=(1,3,1,0) , β2=(1, -6,2, -3) . 求V 1+V 2与V 1 V 2的基与维数.
六、(15分) 设σ是n 维线性空间V 上的线性变换, 且满足σn -1(α) ≠θ, 但σn (α) =θ.
(1).证明α, σ(α) , σ2(α) , …, σn -1(α) 是V 的一组基； (2).求线性变换σ在这组基下的矩阵A ； (3).讨论A 能否和对角阵相似.
七、(10分) 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值. 证明:AB =BA 的充要条件是A 的特
征向量也是B 的特征向量.
2005－2006第一学期《线性代数A 》A 卷参考解答
一、
+a 111+a 1.
11
2、A
n -2
11
11+a
. ＝(n +a )
1+a 1 111 1
10a 0
=(n +a ) =a n (n +a )
1+a 00 a
A ；
3
二、解：由初等变换求得a ＝1，由
，得
，由于
A -E ≠0，因此
可逆 ，且
。
三、解：经计算A =-(λ-1) 2(λ-10), 因此方程组有唯一解
时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
，即时无解。
因
令
四、解：1) 二次型的矩阵为A ＝
，所以
时有无穷多解。等价方程组为:
，得通解为：
;
|
E-A |＝=(+1)(－2)
所以A 的全部特征值为：
＝－1,
＝
＝2
对
对
= —1, 解 (－E －A ) X ＝0 得基础解系为 ＝
＝2, 解(2E —A ) X ＝0得基础解系为
＝(1,1,1)； ＝ (—1,1,0) ,
＝ (—1,0,1) 。
2). 令P ＝(α1, α2, α3) ＝
，即为所求可逆阵，此时AP ＝＝.
(-1) m
3) A m =P Λm P -1=
2m
2m
=(-1) m 4m
⎛2011⎫⎛-110-3⎫⎛1-103⎫
123-6⎪→ 033-9⎪→ 011-3⎪ T T T
五、 (α1, α2, β1T , β2) = 3012⎪ 031-7⎪ 001-1⎪
-110-3⎪ 021-5⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故dim(V 1+V 2) =3, 且α1, α2, β1是V 1+V 2的一组基. 又显然有dim(V 1) =2, dim(V 2) =2, 由维数公式得dim(V 1 V 2) =1. 考虑齐次线性方程组:
x 1α1+x 2α2+y 1β1+y 2β2=0
得基础解(1,-2, -1,1) T , 进而得V 1 V 2的基为α1-2α2=(2,-3,3, -3) .
六、 1.作组合k α+k 1σ(α) +k 2σ2(α) + +k n -1σn -1(α) =0，依次用σn -1, σn -2, , σ作用于上
式两边，即可得k =k 1= =k n -1
⎛0 1
2.A = 0
0⎝
001 0 000 1
0⎫0⎪0⎪ ⎪0⎪⎭
3.由于A 只有零特征值(n 重) ，而Ax =0的基础解系仅含一个解向量，没有n 个线性无关的
特征向量，故不能与对角阵相似.
B x =B A x 七、必要性：设λ是A 的特征值，x 是对应的特征向量．则Ax =λx ，故A B =x λ
即Bx ∈V λ．而V λ是一维子空间，故Bx =kx ，即x 也是B 的特征向量．
充分性：A , B 有n 个相同的线性无关的特征向量α1, α2, , αn ．取P =(α1 α2 αn )
⎛λ1
则有 P -1AP =
⎝⎛λ1
或 A =P
⎝
λ2
⎫⎛k 1⎪-1BP = , P ⎪
⎪ λn ⎭⎝
k 2
k 2
⎫
⎪⎪，
k n ⎪⎭⎫⎪-1
⎪P ，
k n ⎪⎭
λ2
⎫⎛k 1
⎪-1 P , B =P ⎪
⎪ λn ⎭⎝
由此即得AB =BA ．
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数B 》（A 卷）
学院 专业 学号 姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每小题6分，4题共24分）：
1、设五维向量
α1=(3,21,0,9,0)， α2=(1,7, -1, -2, -1)，α3=(2,14,0,6,1)，
求向量组α1, α2, α3的一个极大无关组。 2、设有四阶方阵
⎛12-3-1⎫ ⎪1-211⎪， A =
01-12⎪ ⎪
24⎭⎝30
T
求行列式 AA 的值。
3、判定二次型
222
f (x 1, x 2, x 3) =x 1+2x 2+6x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3
的正定性。
⎛a a a ⎫ ⎪2006
4、已知A = b b b ⎪，求A 。
c c c ⎪⎝⎭
二、解答题（每小题12分，3题共36分）：
1、已知
⎛11-1⎫
⎪
A = 011⎪，且A 2-AB =I ，
00-1⎪⎝⎭
其中I 是3阶单位矩阵， (1) 求矩阵B ； （2）令
C =4A 2-B 2-2BA +2AB ，
计算C 的伴随阵C *。 2、给定R 的两组基
3
ε1=(1,0,1),ε2=(2,1,0),ε3=(1,1,1),η1=(1,0,0),η2=(1,1,0),η3=(1,1,1)
定义线性变换：
σ(εi ) =ηi , i =1, 2, 3
试求：
（1）求由基ε1, ε2, ε3到基η1, η2, η3的过渡矩阵; （2）求线性变换σ在基η1, η2, η3下的矩阵。 3、已知
f (x 1, x 2, x 3) =2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3，
（1）求一个正交变换X =PY , 把二次型f 化为标准形。 （2）在x =1的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
三、证明与讨论（3题共40分）
1、设有线性方程组
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
⎨x 1+λx 2+x 3=3 , ⎪x +x +λx =λ-1
23⎩1
问λ 取何值时，方程组有惟一解、无解或有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。（15分） 2．设
A 为n ⨯n 矩阵，证明如果A 2=I ，那么
r (A +I ) +r (A -I ) =n
其中I 为n ⨯n 的单位矩阵，r 为矩阵的秩。（10分） 3、设
⎛0 A = 1
x 2⎝
1⎫⎪1-1⎪， 00⎪⎭
x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分）
线性代数B 参考答案
一、计算下列各题：
00
96
01
1、解：由－1－2－1＝9≠0，及R （α1, α2, α3）≤3，则知α1, α2, α3即为一极大无关组。
12-3-1
1-2112T
=50，所以：AA T=2500。 2、解：AA =A ，A =
01-123024
111⎛111⎫
11 ⎪顺序主子式为
3、解：f 的矩阵A =123， a =1>0=1>0123=1>0，11 ⎪12 136⎪136⎝⎭
根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪4、解：A =b (111)，则A 2006=b (111)b (111) b (111) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2006个A
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a a a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= b ⎪(111) b ⎪(111) b ⎪(111)=(a +b +c ) 2005 b b b ⎪。 c ⎪ c ⎪ c ⎪ c c c ⎪⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭⎝⎭
2005个(a +b +c ) 相乘
二、解答下列各题：
1、解：(1)由A -AB =I ，得A (A -B )=I ，而A =-1≠0, 因此矩阵A 可逆，且
2
⎛1-1-2⎫⎛021⎫
⎪ ⎪ A -1= 011⎪ ，所以由A (A -B )=I ，得A -B =A -1，故B =A -A -1= 000⎪。
00-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭（2）注意4A 2-B 2-2BA +2AB ＝2A （2A ＋B ）-B (B ＋2A ) =(2A ＋B )(2A -B ),
⎛24-1⎫⎛20-3⎫⎛484⎫ ⎪ ⎪ ⎪且(2A ＋B ) ＝ 022⎪, (2A -B ) ＝ 022⎪, (2A ＋B )(2A -B ) ＝040，
⎪
00-2⎪ 00-2⎪ 004⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛484⎫⎛1-2-1⎫
⎪ ⎪。 22
即C =4A -B -2BA +2AB =040，且C *=C C -1=16010 ⎪ ⎪
004⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭
3
2、解 （1）取R 的另一组基e 1=(1, 0, 0), e 2=(0, 1, 0), e 3=(0, 0, 1) ，则由基e 1, e 2, e 3到基
⎡121⎤⎡111⎤
⎥, Q =⎢011⎥
011α1, α2, α3与η1, η2, η3的过渡矩阵P 及Q 分别为P =⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣101⎥⎦⎣001⎥⎦
再由(η1, η2, η3) =(ε1, ε2, ε3) X 可解得由基ε1, ε2, ε3到基η1, η2, η3的过渡矩阵为
⎛2-20⎫ ⎪
X =P -1Q = 220⎪
-221⎪⎝⎭
（2）σ(η1, η2, η3) =σ(ε1, ε2, ε3) X =(η1, η2. η3) X ，故σ在基η1, η2, η3下的矩阵仍为X 。
-λ⎛011⎫
⎪3、解：（1）A =10-1，A 的特征多项式为f (λ) =1 ⎪ 1-10⎪1⎝⎭
令f (λ) =0，得λ1=λ2=1, λ3=-2，
11
-λ-1=-(λ-1)(λ+2),
-1-λ
⎛-111⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪
对λ1=λ2=1, 解线性方程组 1-1-1⎪ x 2⎪=o ⇒x 1-x 2-x 3=0, 基础解系为：
1-1-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
β2=-1, -2,1) ξ1=(1,0,1)T, ξ2=
(1,1,0)T，正交规范化得：β1=⎛211⎫⎛x 1⎫
⎧2x 1+x 2+x 3=0 ⎪ ⎪
对λ3=-2， 解线性方程组 12-1⎪ x 2⎪=o ⇒⎨，得基础解系为：x -x +2x =023⎩1 1-12⎪ x ⎪
⎝⎭⎝3⎭
-1, -1) T，
ξ3=(1,-1, -
1) T，规范化得：β3=-111
-2-1则所求之一正交变换矩阵P = 0，变换之下的标准形为：
11-1222
f =y 1+y 2-2y 3。
（2）由于正交变换保持向量的长度不变，则X ==1，
222222
f =y +y -2y =y +y +y -1231233
2-2≤1-3y 3≤，1
2
y =3-，y 313
注意：
2
0≤y 3≤1，则
即f 的最大值为1，最小值为-2。比如令Y =(0,0,1)T，有min f =-2, 令Y =(1,0,0)T，有
max f =1。
三、证明题与讨论题：
1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：
(1)当λ≠1且λ≠-2时，R (A ) =R (B ) =3, 方程组有唯一解；
(2)当λ=1时，R (A ) =1，R (B ) =2，该情形方程组无解； (3)当λ=-2时, R (A ) =R (B ) =2, , 此时方程组有无限多个解。而,
⎛-2110⎫⎛-2110⎫⎛10-1-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪B = 1-213⎪ 1-213⎪ 0-112⎪, ，
11-2-3⎪ 0000⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧x 1=x 3-1⎛x 1⎫⎛1⎫⎛-1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
由此得⎨x 2=x 3-2，即 x 2⎪=c 1⎪+ -2⎪，(c ∈R ) 。
⎪x =x 1⎪ 0⎪ x ⎪
⎝⎭⎝⎭3⎝3⎭⎩3
证 因为
r （A+I）+r（A —I ）≥r （A+I+A—I ）=r(A)
A 2=I ∴A ≠0, r (A ) =n ，故 r （A+I ）+r（A —I ）≥n
又因为
(A +I )(A -I ) =A 2+A -A -I =I -I +A -A =O
∴ r （A+I ）+r（A —I ）≤n 即证 r （A+I ）+r（A —I ）=n
-λ01
3、解：A -λI =11-λ-1＝(λ-1)(x 2-λ2) ，得λ1=1, λ2、3=±x 。
x 20-λ
1）当x ≠0且x ≠±1时，A 有3个相异特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 一
定可以对角化。
2）如果x =±1，则λ1、2=1,λ3=-1，
⎛-101⎫⎛-101⎫
⎪ ⎪注意到λ1、0-1⎪ 000⎪，R (A -I )=1， 2=1时，由(A -λI )＝ 1
10-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪
则由 10-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的两个线性无关的特征向量。
10-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭⎛101⎫⎛101⎫
⎪ ⎪而当λ3=-1时，由(A -λI )＝12-1 12-1，R (A +I )=2， ⎪ ⎪ 101⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛101⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪
则由 12-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的一个特征向量。
000⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
再由上题知，此种情形下，A 的三个特征向量线性无关，即A 也可以对角化。
3）如果x =0，则λ1=1, λ2、0， 3＝
⎛0
1注意到λ2、3=0时，由 0⎝⎛-1 而当λ1=1时，由1 0⎝
010
000
1⎫⎛x 1⎫⎪ ⎪
-1⎪ x 2⎪=0及R (A )=2知，即A 恰有一个特征向量。
⎪0⎪⎭⎝x 3⎭
1⎫⎛-101⎫⎪ ⎪
-1⎪ 00-1⎪及R (A -I )=2知，
⎪-1⎪⎭⎝000⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪10-1 ⎪ x 2⎪=0 00-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
恰给出A 的一个特征向量，从而此情形下A 不具有3个线性无关的特征向量，则A 不可对角化。
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数C 》A 卷
学院 专业 学号 姓名
注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每题6分，4题共24分）：
⎛-111⎫ ⎪5
1．设A = 1-1-1⎪，计算A .
1-1-1⎪⎝⎭
2
2．设二阶方阵A 满足方程A -3A +2E =O ，求A 的所有可能的特征值. 3．计算行列式
1+a 111
1111+a 11
. .
11+a 1111+a
4．设n 阶向量α=(x ，0， ，0，x ) T ，矩阵A =E -ααT , 且A -1=E +x ααT ，求实数x .
二、解答题（4题共60分，每题15分）
⎛101⎫
⎪
1．设A = 020⎪，且R (A ) =2，
16a ⎪⎝⎭
2．已知
满足
，求a 和
.
2-2⎫⎛2-λ⎛1⎫
⎪ ⎪A = 25-λ-4⎪, b = 2⎪,
-2 -1-λ⎪-45-λ⎪⎝⎭⎝⎭
就方程组AX =b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，
求出其通解. 3、设二次型
22
f (x 1, x 2, x 3) =x 12+x 2+x 3-2x 1x 2-2x 2x 3-2x 3x 1,
(1).求出二次型f 的矩阵A 及其秩; (2).求出矩阵A 的全部特征值;
(3).求可逆矩阵P ，使P AP 成为对角阵.
4、设是三阶实对称矩阵A 的特征值为6，3，3，且与特征值6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1) ，求A .
T
-1
三、证明题（2题共16分）：
1. （8分）设
是阶实方阵，当为奇数且
及
时, 证明：E -A =0.
2. （8分）若β1=k (2α1+2α2-α3), β2=k (2α1-α2+2α3), β3=k (α1-2α2-2α3), k 是非零实数，给出向量组β1, β2, β3线性无关的一个充要条件，并证明之.
2005－2006第一学期《线性代数C 》A 卷参考解答
一、计算题：
1⎫⎛-11
⎪4
1、(-3) 1-1-1⎪；2、λ1＝1，λ2＝2；3
1-1-1⎪
⎝⎭
二、解答题：
1、解： a ＝1，由A -
E ≠0，因此
可逆 ，且
＝a n (n +a ) ；4
2、解：经计算
时，因 时，因
, 因此方程组有唯一解
，即
，
通解为：
时无解。
。
3、解：1) 二次型的矩阵为A ＝
; 秩（A ）=3；
2
） |3) 。对
对
E-A
|＝(+1)(－
2) ，所以A 的全部特征值为：
＝(1,1,1)； ＝ (—1,1,0) ,
＝－1, ＝
＝2
= —1, 解得基础解系为 ＝
＝2, 解得基础解系为
＝ (—1,0,1) 。
令P ＝(α1, α2, α3) ＝
，则AP ＝＝.
⎛411⎫
⎪
4、A =
141⎪；
11`4⎪⎝⎭
三、证明题
1、证明：
，
所以.
2、证明：如果A ≠0，即α1, α2, α3线性无关，则有B ＝A C =A C ≠0，得β1, β2, β3线性无关；
反之如果β1, β2, β3线性无关，则由A C =B ≠0，得到A ≠0. 可见, α1, α2, α3线性无关是β1, β2, β3线性无关的一个充分必要条件.
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数D 》 （A 卷）
学院 专业 学号 姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每小题6分，5题共30分）：
1、设α1=(3,21,0,9,0)， 一个极大无关组。
α2=(1,7, -1, -2, -1)，α3=(2,14,0,6,1)，求向量组α1, α2, α3的
⎛12-3-1⎫ ⎪1-211⎪，求行列式 AA T的值。 2、设 A =
01-12⎪ ⎪
24⎭⎝30
TT
3、设α1=(111), α2=(1-21)，试求一个非零向量α，使α1, α2, α两两正交。
4、判定二次型
222
f (x 1, x 2, x 3) =x 1+2x 2+6x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3的正定性。
⎛a a a ⎫ ⎪2006
5、已知A = b b b ⎪，求A 。
c c c ⎪⎝⎭
二、解答题（每小题15分， 2题共30分）：
⎛11-1⎫ ⎪2
1、已知A =011，且A -AB =E ，其中E 是3阶单位矩阵，
⎪ 00-1⎪⎝⎭
(1) 求矩阵B ；
*
（2）令C =4A 2-B 2-2BA +2AB ，计算C 的伴随阵C 。
2、已知
f (x 1, x 2, x 3) =2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3，
（1）求一个正交变换X =PY , 把二次型f 化为标准形。 （2）在x =1的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
三、证明与讨论（3题共40分）
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
x +λx 2+x 3=31、设有线性方程组⎨1 , 问λ 取何值时，此方程组有惟一解、无解或⎪x +x +λx =λ-1
23⎩1
有无穷多个解？并在有无穷多解时求出其通解。（15分）
2、设三阶阵A 有三个实特征值λ1、λ2、λ3，且满足λ1=λ2≠λ3，如果λ1对应两个线性无关的特征向量α1和α2, λ3对应一个特征向量α3，证明α1, α2, α3线性无关。（10分）
⎛0 3、设A =1 x 2⎝1⎫⎪
1-1⎪，x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分） 00⎪⎭
线性代数D （即工科36学时）参考解答：
一、计算下列各题：
00
96
01
1、解：由－1－2－1＝9≠0，及R （α1, α2, α3）≤3，则知α1, α2, α3即为一极大无关组。
12-3-1
1-2112T
A ==50，所以：AA T=2500。 AA =A 2、解：，
01-123024
⎛x 1⎫
111⎧x 1=-x 3⎛⎫ ⎪⎛111⎫⎛101⎫
3、解：令 ⎪ x 2⎪=0, ⎪ ⎪, 得⎨x =0，取
1－211－21010⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩2
x 3⎝⎭
α=(-1,0,1)即可。
111⎛111⎫
11 ⎪顺序主子式为
4、解：f 的矩阵A =123， a =1>0=1>0123=1>0，11 ⎪12 136⎪136⎝⎭
根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。
T
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪5、解：A =b (111)，则A 2006=b (111)b (111) b (111) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ c ⎪ c ⎪c ⎭c ⎭⎝⎝⎝⎭⎝⎭
2006个A
⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎛a a a ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= b ⎪(111) b ⎪(111) b ⎪(111)=(a +b +c ) 2005 b b b ⎪。 c ⎪ c ⎪ c ⎪ c c c ⎪⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭⎝⎭
2005个(a +b +c ) 相乘
二、解答下列各题：
1、解：(1)由A -AB =E ，得A (A -B )=E ，而A =-1≠0, 因此矩阵A 可逆，且
2
⎛1-1-2⎫⎛021⎫
⎪ ⎪ A -1= 011⎪ ，所以由A (A -B )=E ，得A -B =A -1，故B =A -A -1= 000⎪。
00-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
（2）注意4A 2-B 2-2BA +2AB ＝2A （2A ＋B ）-B (B ＋2A ) =(2A ＋B )(2A -B ),
⎛24-1⎫⎛20-3⎫⎛484⎫ ⎪ ⎪ ⎪且(2A ＋B ) ＝ 022⎪, (2A -B ) ＝ 022⎪, (2A ＋B )(2A -B ) ＝040，
⎪
00-2⎪ 00-2⎪ 004⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛1-2-1⎫⎛484⎫
1 ⎪ ⎪22-13
0即C =4A -B -2BA +2AB =040。再注意C ＝ 01，， C =4⎪ ⎪4 00 004⎪1⎪⎝⎭⎝⎭
则C *=C C -1
⎛1-2-1⎫
⎪=16 010⎪。
001⎪⎝⎭
1
1
-λ-1=-(λ-1)(λ+2),
-1-λ
-λ⎛011⎫
⎪2、解：（1）A =10-1，A 的特征多项式为f (λ) =1 ⎪ 1-10⎪1⎝⎭
令f (λ) =0，得λ1=λ2=1, λ3=-2，
⎛-111⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪
对λ1=λ2=1, 解线性方程组 1-1-1⎪ x 2⎪=o ⇒x 1-x 2-x 3=0, 基础解系为：
1-1-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
ξ1=(1,0,1)T, ξ2=
(1,1,0)T，正交规范化得：β1=
1 β2=
1-1, -2,1)
⎛211⎫⎛x 1⎫
⎧2x 1+x 2+x 3=0 ⎪ ⎪
⇒12-1x =o 对λ3=-2， 解线性方程组 ⎨⎪ 2⎪，得基础解系为：x -x +2x =023⎩1 1-12⎪ x ⎪
⎝⎭⎝3⎭
ξ3=(1,-1, -
1) T，规范化得：β3=
1-1, -1) T，
i.
⎛
则所求之一正交变
换矩阵P =
⎝
222
f =y 1+y 2-2y 3。
101-1-211-1，变换之下的标准形为：-1 （2）由于正交变换保持向量的长度不变，则X ==1，
222222
f =y +y -2y =y +y +y -1231233
2
y =3-，y 313
注意：
2
0≤y 3≤1，则
2
-2≤1-3y 3≤1，
即f 的最大值为1，最小值为-2。比如令Y =(0,0,1)T，有min f =-2, 令Y =(1,0,0)T，有
max f =1。
三、证明题与讨论题：
1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：
(1)当λ≠1且λ≠-2时，R (A ) =R (B ) =3, 方程组有唯一解； (2)当λ=1时，R (A ) =1，R (B ) =2，该情形方程组无解； (3)当λ=-2时, R (A ) =R (B ) =2, , 此时方程组有无限多个解。而,
⎛-2110⎫⎛-2110⎫⎛10-1-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪B = 1-213⎪ 1-213⎪ 0-112⎪, ，
11-2-3⎪ 0000⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧x 1=x 3-1⎛x 1⎫⎛1⎫⎛-1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
由此得⎨x 2=x 3-2，即 x 2⎪=c 1⎪+ -2⎪，(c ∈R ) 。
⎪x =x 1⎪ 0⎪ x ⎪
⎝⎭⎝⎭3⎝3⎭⎩3
2、证明：考虑k 1、k 2、k 3使得
k 1α1+k 2α2+k 3α3=o （＊），
则Ak 1α1+Ak 2α2+Ak 3α3=o ，即
k 1λ1α1+k 2λ2α2+k 3λ3α3=o （＊＊），
用λ1乘以（＊）式，然后与（＊＊）式相减得
k 3(λ3-λ1) α3=o ，
注意λ3-λ1≠0，有k 3=0。再由（＊）式得k 1α1+k 2α2=o ，由于α1和α2线性无关，则
k 1=k 2=0，于是
k 1=k 2=k 3=0，
即α1, α2, α3线性无关。
-λ
3、解：A -λE =1
01-λ0
1
-1＝(λ-1)(x 2-λ2) ，得λ1=1, λ2、3=±x 。 -λ
x 2
1）当x ≠0且x ≠±1时，A 有3个相异特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 一定可以对角化。
2）如果x =±1，则λ1、2=1,λ3=-1，
⎛-101⎫⎛-101⎫
⎪ ⎪，
注意到λ1、时，由＝=1A -λE 10-1 000()2 ⎪ ⎪R (A -E )=1，
10-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪
则由 10-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的两个线性无关的特征向量。
10-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
⎛101⎫⎛101⎫
⎪ ⎪而当λ3=-1时，由(A -λE )＝12-1 12-1，R (A +E )=2， ⎪ ⎪ 101⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛101⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪
则由 12-1⎪ x 2⎪=0恰给出A 的一个特征向量。
000⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
再由上题知，此种情形下，A 的三个特征向量线性无关，即A 也可以对角化。
3）如果x =0，则λ1=1, λ2、0， 3＝
⎛001⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪11-1注意到λ2、时，由=03 ⎪ x 2⎪=0及R (A )=2知，即A 恰有一个特征向量。 000⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
⎛-101⎫⎛-101⎫ ⎪ ⎪而当λ1=1时，由10-1 00-1及R (A -E )=2知， ⎪ ⎪ 00-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-101⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪10-1 ⎪ x 2⎪=0 00-1⎪ x ⎪⎝⎭⎝3⎭
恰给出A 的一个特征向量，从而此情形下A 不具有3个线性无关的特征向量，则A 不可以对角化。